a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF H thuộc AC, K thuộc BF.a Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng c
Trang 1PHẦN: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh bằng a SA
vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3
a) Tính góc giữa SC và mp(SAB),(SCD) và (SAD)
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)
c) Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AD Xác định và tính diện tích thiết diện bị cắt bởi hình chóp và mặt phẳng (P)
Tam giác SAC đều , tam giác SBD cân tại S
a) Chứng minh: SO⊥(ABCD)
b) Chứng minh: (SAC) ⊥(SBD)
c) Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
5
a
AC= và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a
a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)
Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC
=a, AD = 2a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 2
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính góc giữa SO và BC
c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)
d) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua SB và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện
điểm của BC Lấy điểm S ở ngoài mp(α ) sao cho SB = a và SB⊥OA Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng (β) qua M và song song với SB và OA cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q Đặt BM =x(0< <x a)
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b) Tính theo a, x diện tích hình thang MNPQ; tìm x để diện tích là lớn nhất
Bài 6: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng và
thỏa mãn các điều kiện:AB a AD= ; = AF =a 2; đường thẳng AC vuông góc với đường
Trang 2thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF (H thuộc AC, K thuộc BF).
a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF Tính tỉ số DI
DF
b) Tính độ dài đoạn HK
c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK
Bài 7: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a Hai điểm M, N chuyển
động trên hai đoạn thẳng BD và B’A tương ứng sao cho BM =B N t’ = Gọi α β, lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B’A
a) Tính độ dài MN theo a,t Tìm t để độ dài MN ngắn nhất
b) Tính α β, khi độ dài MN ngắn nhất.
c) Trong trường hợp tổng quát chứng minh hệ thức 2 2 1
2
c α+c β =
rằng: BC⊥(SAB), DC⊥(SAD),DB⊥(SAC).
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống SB, SC, SD Chứng minh rằng:
a) SC⊥(AHK), I∈(AHK).
b) HK ⊥(SAC),HK ⊥AI
giác ABC và SBC Chứng minh: HK ⊥(SBC)
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; cho biết
BA BC a AD= = = a, SA⊥(ABCD) Chứng minh tam giác SCD vuông.
SA⊥ ABCD ; M là trung điểm của AD Chứng minh: (SBM)⊥(SAC)
SA = 2a; M là trung điểm của SC Chứng minh tam giác ABM cân tại M và tính diện tích của nó
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông; mặt bên (SAD) là tam giác
đều và vuông góc với đáy M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh rằng: AM ⊥BP
Bài 15: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC, đôi một vuông góc với nhau và
OA OB OC a= = = Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mp(OMN)
a) Chứng minh CE vuông góc với mp(OMN)
Trang 3b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM =CN t= (0< <t 2 )a
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN
b) Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất
c) Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của
BC và SA
điểm của BC; HA SI⊥
a) Chứng minh HA⊥(SBC) Tính AH
b) ĐiểmK∈AI và AK x
AI = , mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI, cắt AB,
AC, SC, SB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ
Gọi H là trực tâm của tam giác ACD Chứng minh rằng:
(ABE) (⊥ ADC); (DFK)⊥(ADC OH); ⊥(ADC)
Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông
góc với mp (ABC) ; Cho biết SA = AB = a, · 60o
BAC= a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông
b) Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SB tại M, SC tại N Chứng minh rằng MN song song với BC và tính diện tích tam giác AMN
c) Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của SA và BC; P thuộc cạnh SB sao cho 2
PS= − PB
uuur uuur
, Q thuộc cạnh AC sao cho QAuuur= −2QCuuur Chứng minh rằng IS 2
3
IB
IP= uur+ uur
uur
và 2
3
IA IC
IQ= uur+ uur
uur
Từ đó suy ra bốn điểm A, J, P, Q nằm ttrong một mặt phẳng
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của cạnh BC và SD Chứng minh ba véc tơ SAuur, MNuuuur, CDuuurđồng phẳng
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy, SA = a 2
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông
b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)
c) Tính góc giữa SC và mp (SAB)
d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
Bài 22 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I
Trang 4là trung điểm BC
a) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC)
b) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI)
c) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI)
d) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB
(SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K∈ SC)
a) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
b) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC
c) Chứng minh: ∆BHK vuông
d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)
SA = 2a.
a) Chứng minh (SAC) (⊥ SBD); (SCD) (⊥ SAD)
b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC)
c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)
b) Chứng minh tam giác SAC vuông
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
AM là đường cao của ∆SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC)
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)
Bài 27: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là
tâm của đáy ABCD
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC)
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC
đường cao SO = a
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC Chứng minh rằng: BC⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
Trang 5Bài 29: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với
BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm
BC, I là trung điểm AH
a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
b) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)
c) Tính khoảng cách giữa AD và BC
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông
b) Chứng minh OA vuông góc BC
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA
và BC
và B Biết AB = BC = a, ·ADC =45 ,0 SA a= 2
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
= 6
SA a
a) Chứng minh : BD SC SBD⊥ , ( ) (⊥ SAC)
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 33: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông
góc chung và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C
Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông
góc với (ABCD) Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)
c) Tính góc giữa SC và (SAB)
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
3
= ,
SO⊥(ABCD), SB a=
a) Chứng minh: ∆SAC vuông và SC vuông góc với BD
b) Chứng minh: (SAD) (⊥ SAB SCB), ( ) (⊥ SCD)
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD
Trang 6Bài 36: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA (ABC SA), 3a
2
⊥ = Gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
vuông góc với (ABCD), SB SD a 13
4
= = Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC)
c) Gọi (α ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC) Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (α ) Tính góc giữa (α) và (ABCD).
Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC),
tam giác ABC vuông cân tại C AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC)
b) Chứng minh (SAC) (⊥ SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O là trung điểm của AB)
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB)
b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mp (ABC).
c) Gọi AM là đường cao của ∆SAB, N là điểm thuộc cạnh SC Chứng minh: (AMN) ⊥ (SBC)
a
SA 6
2
=
a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC
c) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD)
Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA =
SB = SC = SD = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO Kẻ OP vuông góc
với SA
a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD)
b) Chứng minh rằng: MN ⊥ AD
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD)
d) Chứng minh rằng: 3 vec tơ BD SC MNuuur uur uuuur, , đồng phẳng
Trang 7Bài 42: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC)
b) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC)
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI)
Bài 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi hai điểm M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SC
a) Chứng minh AC ⊥ SD
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD)
c) Cho AB = SA = a Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
Bài 44: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau Gọi H là chân
đường cao vẽ từ A của tam giác ACD
a) Chứng minh: CD ⊥ BH
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH Chứng minh đường thẳng
AK vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) Cho AB = AC = AD = a Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
Bài 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy
a) Chứng minh tam giác SBC vuông
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBH) vuông góc với nhau
c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
SA = a 3
a) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM)
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Gọi I là trung điểm của SO
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD)
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
SA a 2= Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN)
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD)
Trang 8Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a
và SA⊥(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD)
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC)
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD)
=a 7 và SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)
Bài 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy, SA = a 2
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông
b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)
c) Tính góc giữa SC và mp (SAB)
a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC)
b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC)
c) Cho SA = a 6
3 Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 53: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh tam giác SAD vuông
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC
c) Gọi F là trung điểm của AD Chứng minh (SID) ⊥ (SFC) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SFC)
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′
b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′)
c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′
CA = a, CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈
AB′, K ∈ AA′)
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′⊥ (CHK)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK)