tuyển tập đề thi thử đại học năm 2012 hay có lời giải

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận đứng và ngang

CẤU ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012

I Phần chung cho tất cả thí sinh: (7 điểm)

Câu I (2 điểm): - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và

ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao

giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Câu II (2 điểm):- Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số

- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác

Câu III (1 điểm):- Tìm giới hạn

- Tìm nguyên hàm, tính tích phân

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Câu IV (1 điểm):Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông

góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ

tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính

diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Câu V (1 điểm): Bài toán tổng hợp

II Phần riêng (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a (2 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, elip, mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng,

mặt phẳng và mặt cầu

Câu VII.a (1 điểm):- Số phức

- Tổ hợp, xác suất, thống kê

- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số

Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, ba đường conic, mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai

đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu VII.b (1 điểm):- Số phức

- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai đường tiệm cận

của đồ thị (C) một tam giác với đường tròn ngoại tiếp có bán kính bằng 2

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t ại A và D Biết AB = 2a,

AD = CD = a, SA = 3a (a > 0) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD) theo a.

2 Cho các số a, b, c dương thoả mãn a2b2 c2 12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A

2 Giả sử M x y thuộc đồ thị (C) của hàm số.( ; )0 0

Phương trình tiếp tuyến tại M là 2 0 0

0 0

1 ( 1)

x

x x

1

x A x

1 Phương trình tương đương 2cos3 cos 3(1 sin 2 ) 3 1 cos 4

2 Nhận xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.

Hệ tương đương với:

2

2

2 1

D C

B A

Vậy GTNN của biểu thức là P = 1

0,5

1 ĐK: x ≥ 2 Nhận xét x = 2 không là nghiệm của phương trình.

Với x > 2 phương trình tương đương với: 1 4 4 1 3 0

       hay A(3; 7) hoặc A(1; 5).

Vì hoành độ điểm A âm nên A(1; 5)

Vì  AB DC     ( 2; 6) B( 3; 1)  

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HOC NĂM 2012 (Đ 2)

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH ( 7,0 điểm)

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số: y=x3−3x+2 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị ( C) tại ba điểm phân biệt A( 2; 4), B, C sao cho gốc tọa độ O

nằm trên đường tròn đường kính BC

Câu II ( 2 điểm)

Câu IV ( 1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với

mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là

một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =

PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a ( 2 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành OABC có diện tích bằng 4 Biết A (-1; 2) và giao điểm I

của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x - 1 Tìm tọa độ đỉnh B và C

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x− +y 2z− = 1 0 và các đường thẳng

Tìm các điểm A trên d và B trên 1 d sao cho AB song 2

song với mặt phẳng (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1

Câu VII.a ( 1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1 2 2 2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1 ; 2) và đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = 0 Hai điểm B và C di động

trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5 Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông ABCD với A(1; 2; 0); C(2; 3; -4) và đỉnh B nằm trên

mặt phẳng (Q): x+2y+z−3=0 Tìm toạ độ của đỉnh D

Câu VII.b ( 1 điểm)

Tìm a và n nguyên dương thỏa :

n

A = n

Hết

+ Giao với trục Oy (0; 1)

+ Giao với trục Ox (1; 0), (-2; 0)

0,25

2 ( 1 điểm)

Phương trình đường thẳng d qua điểm A(2;4) có hệ số góc k là: y = k x 2( ư +) 4

Hoàng độ giao điểm của của đường thẳng d và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình:

1cos sin (2 sin 2 )(cos cos )

2

x x

2 , ( )3

π π

x

tm x

Q P K

M

I

N

C A

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được (***)

Do I là trung điểm OB và AC nên

+) Với I(1;0) suy ra B(2;0) và C(3;-2)

0,25

+) Với I( 1

;3

d d'

C H A'

1( 3 ) k3k k

Gọi d’ là đường thẳng qua A và // d => d’ có pt: 4x – 3y + 2 = 0

Gọi D(x ; y) trên d’ sao cho AD = 5

Ta có chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = AB + BC + 5

=> chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Xét tứ giác ABCD Dễ có ABCD là hình bình hành => AB + AC = AC + CD

Gọi A’ đối xứng với A qua d => AC = A’C => AC + CD = A’C + CD

BC= AD⇒ B −






Dễ thấy khi A’, C, D thẳng hàng thì A’, B, D’ cũng thẳng hàng

Vậy hai điểm cần tìm là: 7

1

Đ THI TH Đ I HOC NĂM 2012 Mụn: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phỳt ( khụng k th i gian phỏt đ )

(Đ 3)

Phần chung CHO TấT Cả CáC THí SINH (7 điểm)

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số f ( ) x = x3 ư3(m+1)x2 +3m(m+2)xư2+m (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =ư2

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm

số (1) tới trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) tới trục Oy

Câu II: (2 điểm)

1 Giải phương trình: (cosx + sinx)3 =3cosx+sinx

ư

=

ư

1724

117

16 2 2 2

y x xy

y y

Câu IV: (1 điểm)

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn: (x + y)(y+z)(z+x)=8 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =xy+ yz+zx

Phần RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc phầnB

3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại

A Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d : x + 7yư31=0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng

AC , điểm M(2;ư3) thuộc đường thẳng AB

Phần B

Câu Vb: (3 điểm)

1 Giải phương trình: log 3 x x 2 + log9x3x2 =2log3x

2 Tìm hệ số của số hạng chứa x 5trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( 2+ x) n, biết:

12 + 23 + 25 + + 22nư1 =524288

n n

-Hết -

Hàm số đạt cực đại tại x=-2 với giá trị cực đại là y(-2)=0

và đạt cực tiểu tại x=0 với giá trị cực tiểu là y(0)=-4

I

1 1

−

O x y

I

1 1

−

0,5

( 1) 3 ( 2)6

Theo giả thiết ta có:

=

ư++

01122

23

3

m m m m m

m m

2cossin2)sin

0,5

Câu II.1

(1 điểm)

0)sin(cos

π π

k x

k x

x x

4

21

tan

0cos

(k∈Ζ) 0,5

Dễ thấy y=0 không phải nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của pt 1 cho 2

=

ư+

=+

72)

14(

178)

14(

7214

y

x y

x

y

x y x

v y x

u y

x

Hệ đã cho trở thành (**)

72

1782







=+

=

ư

v u

v u

11

54

y x

y x y

x

y xy

y x

y xy

8

194

(vô nghiệm) Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( )x;y =(1;1) hoặc ( )x;y =(1/4;1/4)

CâuIII.1

(1 điểm)

Với x≥1, bất phương trình tương đương: 2(x+ +3) (xư ≤1) 2 0.25

WWW.ToanCapBa.Net

0.25

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB và CD và I là giao điểm của SK

và MN

060

AB

P AB

//

//

//

)(

tứ giác ABMN là hình thang cân

Tính S ABMN, ta có IH là đường cao

Vì tam giác SKH là tam giác đều cạnh a nên

a AB

28

332

3)

2

(2

1)

(2

1

a a

a a IH

MN AB

Vì SI ⊥(ABMN)⇒SI là đường cao của khối chóp ABMN S. và

22

a SK

Vậy

16

3

8

3323

1

3

.

a a

a S

SI

H K

xyz P

++

)(

(2

3)(2

1)(2

1)(2

=+++

≥+++++

=+

22

Câu Va.1

2 2

2 2 2

+

−

12

22

012

)22

2 2

2

3 3 3

3

x x

x x x

x x

=+

−

⇔

0,1

2,10

0232 2

x x

x x x

x

x x

Vậy tập nghiệm của pt là S ={−1;0;1;2}

Gọi số cần lập là abcd (a≠0)

Ta có 2.3.A32 =36 số

Vậy có 144-36=108 số

0,5

0,5

+

=

=

b a

b a ab

b a

b a

b a

34

43071212

50

745

cos2

2 2 0

0134

−

=++

A y

x

y x

Toạ độ của B là nghiệm của hpt: ( 4;5)

0134

0317

=

−+

B y

x

y x

Toạ độ của C là nghiệm của hpt: (3;4)

0317

0743

C y

x

y x

=+

04934

A y

x

y x

y x

y x

)3

;10(01843

0317

A

C N M

1,

x

3 3 3

3

log2log

2

log21log1

log2

=+

+++

Đặt t =log3x, ta đ−ợc 2 2 2 3 1 0

2

211

+

++

t t

−

2 2 2 2

3

32

22

10

1421

x

x t

t t

;3

n n

n

C20 + 12 + 22 2 + + 22Thay x=-1 ta đ−ợc + + + 2 − 1 =

2 3

2 1

2n C n C n n

2 2

2 0

Thay x=1 ta đ−ợc

20 + 12 + + 22 =22 ⇒2 =22 ⇔524288=22 −1 ⇔ =10

n A

C C

2)

Gọi N là điểm đối xứng của M qua phân giác của góc B

Suy ra pt của MN là x+y-2=0 Gọi I là giao điểm của BD và MN

Suy ra toạ độ của I là nghiệm của hpt: ) (3; 1)

2

1

;2

3(01

02

N A

y x

y x

Vì N thuộc BC và BC ⊥AH ⇒ pt BC: 2x+y-5=0

Toạ độ của B là nghiệm của hpt: (2;1)

01

052

B y

x

y x

042

A y

x

y x

5(

N I M

H C

7(052

04

13

C y

=

−+

7(1),

;2(),2

1

;3( B C

0,25

Chú ý: Nếu thí sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

A PHẦN CHUNG (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+(6m+3)x−m , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m= 1

2 Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm cực trị là

hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng 1

2.Giải bất phương trình sau: 2x2 + − − 8x 10 3 x+ ≤ 5 3( x+ + − 2 1) 2x2 + 2x− 4

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( 3 ) 2

Câu IV (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC =a Trên đường thẳng d vuông góc với

mp(ABC) tại A lấy điểm S khác A Gọi K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa SA và KH biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 450

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần a hoặc b

a Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, I(1 5;

2 2) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Điểm M(0;-1) và N(-1;2) lần lượt thuộc đường thẳng AB và AC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết A

− .Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất,

lớn nhất.

b Theo chương trình Nâng cao:

Câu VIb (2.0 điểm)

1.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I( )3;3 và AC= 2BD Điểm 2;4

3

lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3

2 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( )1 ( )2

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 (Đ 4)

x y

+) Ta có tiếp tuyến tại hai điểm cực trị có phương trình lần lượt là:

y = f(1) và y = f(2m+1) khi m ≠ 0 thì hai đường thẳng trên là song song và khoảng cách giữa

y

3

-1

∞ +

Điều kiện: sinx≠ 0 (*) Khi đó:

Phương trình đã cho tương đương với: ( ) 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình(a) là T = [ ]1; 7

C S

SB ⊥ (AHK) ⇒ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBA) là góc AKH= 450 Do tam giác AHK vuông

cân tại H nên ta có AK=AH 2

Các tam giác SAC và SAB vuông nên

Gọi I là hình chiếu của H trên AC, J là hình chiếu của K trên AB khi đó SA//(HKIJ) nên

4 1

B là giao của AB và Bc nên B có tọa độ là B(2;3),

C là giao của BC và AC nên tọa độ C là C(-1;2)

2.Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1;1 − ) và có VTCT u=(1; 2; 0) Gọi n=(a b c, , ) là VTPT

VIIa

*Đăt z = +x yi x y, ( ; ∈R) thì (1 ) 2 1

1

i z i

Vậy số phức có modul lớn nhất thỏa mãn đkbt là: z = 3i

Vậy số phức có modul nhỏ nhất thỏa mãn đkbt là: z = i

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – NĂM 2012 ( Đ 5)

Môn: TOÁN; Khối A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số: 1 3 2 1

y = x − x + m + x + − m (1), m là tham số

1 Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = − 1

2 Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(3; 1− )

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình: 3cos cos 3 2sin (cos 2 2)

2 6 cos 2sin

Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn: , , a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc đường thẳng d có

phương trình: x − 4 y − = 2 0, cạnh AC song song đường thẳng d Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình: x + + = y 3 0, điểm M(1;1) nằm trên AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 2 1 1

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, phương trình

đường thẳng AB: x − + = y 3 0, điểm I(1;2) là giao điểm hai đường chéo Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x− + + =y z 5 0, đường thẳng

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM NĂM 2012

Min y x =m x = ⇒ tọa độ tiếp điểm M(2;m+3) 0.25

PT tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) tạiM(2;m+3) có dạng: y=m x( − + +2) m 3 0.25

I

(2 điểm)

Tiếp tuyến đi qua A(3; 1)− nên 1− = + + ⇔ = −m m 3 m 2 Vậy m= −2 0.25

2 6 cos 2 (1)sin

G

S

C B

cos ln(sin )sin

sincos

1sin

sin

x

x x

v x

Áp dụng định lý Côsin trong BCM∆ :

BM2 =BC2+MC2−2BC.BM.cos300 3

7

a x

2

− ; 3

2

− ) Gọi N đối xứng M qua AH thì N(-4;-4) và N nằm trên AC

C

A

B d

D

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – NĂM 2012 ( Đ 6)

Môn: Toán khối A, B

Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2điểm) Cho hàm số 3 ( ) 2

tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

Câu II (2điểm)

2 3

sin 1 coscos

x

π π

−

−

= ∫

Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D Biết AB = 2a, AD =a, DC =

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a

Câu V (1điểm) Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện 2 2 2

4

a + + +b c abc= Chứng minh rằng

3

a b+ + ≤c

II PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2điểm)

1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm

  Các đường thẳng AB, CD lần lượt đi qua

các điểm M(− − 4; 1), N(− −2; 4) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có hoành độ âm

9 2 4 + −x =m 2 − +x 2 +x

Câu VIIa (1điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các

góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục toạ

độ) Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt cả hai trục toạ độ

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng

a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và B đồng thời song song với đường thẳng d

b Qua A viết phương trình đường thẳng ( )∆ vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới ( )∆ là nhỏ nhất

Câu VIIb (1điểm) Cho hai số phức liên hợp nhau z z1, 2 thoả mãn điều kiện 1

2 2

z

z là một số thực và

1 2 2 3

z −z = Tìm số phức z 1

Giao với Ox: (−1; 0 ; 2; 0) ( ) 4

Giao với Oy: ( )0; 4

y = x − m+ x+ m Hàm số có hai cực trị khi y’ đổi dấu hai lần, khi đó y’ = 0

có hai nghiệm phân biệt nên ( )2

PT ↔cosx+2 3 sin 2 cosx x=cos 3x+4 sin 2x

sin 2 sin 3 cos 2 0

26

k x

πππ

ĐK của hệ:

2 2

a b

14

143

19

4 0 3

S DCB BCD

1 Theo chương trình chuẩn

Gọi M' 7; 2( )và N' 5;5( )là điểm đối xứng với M, N qua I ta có N'∈AB và M'∈CD

Nên đường thẳng AB có phương trình 2x−3y+ =5 0

0,25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB 1

; 22

Bằng cách đối xứng A, B qua I ta có được C(1; 2 ,− ) ( )D 4; 0 0,25

Để đoạn thẳng nối hai điểm được chon cắt cả hai trục thì hai đầu đoạn thăng đó phải ở góc

phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ bốn

3 2

ABCD ABC

x y

Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4)

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

0,5

VIb

2. b Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d,

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng đi qua A và H thỏa

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – NĂM 2012 ( Đ 7)

MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0) điểm

2

y = x + mx + m + m có đồ thị là ( Cm)với m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = − 1

2 Tìm m để ( Cm) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị này lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình lượng giác

cos ln(1 ) lim

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (1;1) Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng y = 3 và điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC là tam giác đều

2 Trong mặt phẳng Oxy cho A (1;2) và B (3;1) Viết phương trình đường tròn qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng 7 x + 3 y + 1 0 =

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh hệ thức

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho A (1;0), B − ( 2;4), C − ( 1;4), D (3;5), tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng

3 x y − − 5 0 = sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau

2 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4 x + 3 y − 2 0 = và tiếp xúc với cả hai đường thẳng x y + + 4 0 = và 7 x y − + 4 0 =

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải bất phương trình log log 22x 3 x + log log 33x 2 x ≥ 0

b Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞ − ; 1) và (0;1) và đồng biến trên mỗi khoảng

( 1;0) − và (1; +∞ )

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại của hàm số là 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1, giá trị cực tiểu là y ± = − ( 1) 1

và y’’ đổi dấu khi qua hai nghiệm đó

nên đồ thị có hai điểm uốn là 3 5

3 3

−

5 9

−

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt nên m<0

Khi đó y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm này nên đk đủ để hàm số có 3 điểm cực trị là m<0

Từ đó tính được

3

1 3

m = −

0.25

-

0.25 - 0.25

- 0.25

II.1

(1đ)

ĐK: x ∈ 

Biến đổi pt về (sin cos )(1 sin cos ) 1

Ta được sin cos 0

2

2

3 3

-

Giải hệ này được z = 2; y = 1 hoặc z = − 1; y = 4

-

Giải trường hợp đầu được x = y = 1, trường hợp sau vô nghiệm

Tóm lại các nghiệm (x;y) của hệ là (0;0);(1;1)

0.25 -

0.25

- 0.25 -0.25

III

(1đ) Biến đổi về

2 0

( 1) (1 cos ) ln(1 ) lim

0.25 -

0.25

- 0.25

IV

(1đ)

Do AD vuông góc với SA và AB nên AD vuông góc với

mặt (SAB)

Gọi I là trung điểm của AB thì AD vuông góc với SI

Mà tam giác SAB đều nên AB vuông góc với SI

Suy ra SI vuông góc với mặt (ABCD)