Điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

Một vài định tính khác của các hệ điềukhiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳtheo mức độ liên quan.. Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về h

Mục lục

1.1 Hệ điều khiển không có chậm 7

1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm 7

1.1.2 Một vài định tính 10

1.2 Hệ điều khiển có chậm 11

1.2.1 Phương trình vi phân có chậm 11

1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm 14

1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati 18

2 Bài toán điều khiển có nhớ 25 2.1 Giới thiệu bài toán 25

2.2 Dấu hiệu ổn định hóa được 26

2.2.1 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng phi tuyến 26

2.2.2 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng tuyến tính 30

3 Bài toán điều khiển H∞ 34 3.1 Kiến thức chuẩn bị 34

3.1.1 Giới thiệu bài toán 34

3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề 35

3.2 Dấu hiệu để bài toán có nghiệm 38

Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt

R - tập các số thực

R+ - tập các số thực không âm

X - không gian Banach của các trạng thái

U - không gian Banach của các điều khiển

Rn - không gian véc tơ n-chiều

(A, B) - một cặp ma trận điều khiển

Φ(t, s) - ma trận cơ bản của ˙x(t) = Ax(t)

GC - điều khiển được hoàn toàn

GR - đạt được hoàn toàn

GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0

ROE - phương trình toán tử Riccati

Mở Đầu

Các hệ thống có mặt ở khắp nơi Độ phức tạp của các hệ thống nói chung làkhông có giới hạn Mỗi hệ thống hoạt động theo một cơ chế riêng của mình nếunhư không có các tác động ngoại lai (thường gọi là nhiễu hay là yếu tố không chắcchắn) Tính không chắc chắn có thể làm cho hệ thống sa vào các tình huống ngoàimong muốn Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thườngđưa thêm vào hệ thống một thành phần gọi là bộ phận điều khiển Với các tácđộng thích hợp và đúng lúc, hiệu quả hoạt động của hệ thống sẽ cao hơn Điều đóđược đảm bảo bởi một tính chất quan trọng gọi là tính ổn định của hệ thống

Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng của Toán học Ngày nay, việc nghiên cứu không chỉ dừng lại trêncác phương trình vi phân thường mà còn được mở rộng sang các phương trình viphân có chậm

Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân

có chậm Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài toán cótên gọi là "ổn định hoá" các hệ điều khiển Một vài định tính khác của các hệ điềukhiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳtheo mức độ liên quan

Luận văn gồm phần mở đầu, một chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nộidung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và về các phươngtrình vi phân không có chậm và có chậm

Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điềukhiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thôngtin về các hành vi điều khiển đã có trong quá khứ

Chương ba trình bày một kết quả cho bài toán điều khiển H∞ Kết quả nhậnđược từ giả thiết điều khiển được hoàn toàn về không của hệ thống xuất phát(chưa kể nhiễu và điều khiển)

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn SinhBảy Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn,giúp đỡ, kiểm tra để tôi có thể hoàn thành bản luận văn

Tôi xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại chotôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học vềnhững điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luậnvăn.

Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh TháiBình về sự tạo điều kiện thuận lợi cho tôi có thể hoàn thành khoá học

Cuối cùng, tôi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa về tinh thần

và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tô Thị Phương

Thesis title : “Stability control of some delayed systems”

Full name : To Thi Phuong

Specialization: Analysis

Spec code : 60 46 01 02

Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay

The systems are everywhere In general, the complexity of the systems has notthe limit Every system is operating under one of their own mechanisms if there arenot exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertainfactor) There may be that, under perturbations the system can gradually awayfrom the best designed state To decrease damages due this exotic impacts fromoutside there are often supplied an additional inside component which is called con-trol unit By timely and efficient control operation, in general the system should beconsidered better It is ensured by a critical property, which is called “the stability”

of this system

Stability theory of differential equations is one important research area of ematics Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differentialequations, but also deal many attention on delayed equations For the delayed dif-ferential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces.This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations Thestability of systems is supported by control, therefore the problem is referred bythe term “stabilization control systems” Some other properties of control systemsare also reminded, depending on the relevant level

Math-The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basicknowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references

Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the tions without delay and with delay

equa-Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systemswith control functions built from the late information about status and from in-formation about the driver behavior in the past.

Chapter three presents the results for the problem control H∞ Results receivedfrom assuming complete control of the system is not derived (excluding interferenceand control)

In the total, this thesis presents the concept of control systems without delayand with delay, some of the basic properties of the control system The thesis alsopresents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems

by feedback control functions built from delayed information of systems and mation about previous behavior control Finally, the thesis presents condition forexistence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systemswith uncertain from outside impacts Feedback control function is formed on thebasis of the test operator Riccati equation

infor-Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mỗi hệ điều khiển có thể chứa nhiều biến, trong đó hai biến cơ bản là biến trạngthái, kí hiệu là x và biến điều khiển, kí hiệu là u Biến x nhận giá trị trong mộtkhông gian Banach X nào đó được gọi là không gian trạng thái Biến u nhận giátrị trong không gian Banach U nào đó, gọi là không gian điều khiển Trong nhiềutrường hợp bài toán được xét trong không gian đặc biệt hơn, đó là các không gianHilbert hoặc đơn giản: X=Rn,U=Rm

1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm

Hệ điều khiển dạng tổng quát

Xét hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân thường (xem [1], [2]):

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0 (1.1)trong đó t ∈R+ := [0; +∞), x(t) ∈Rn, u(t) ∈ Ω ⊆ Rm, f :R+×Rn × Ω → Rn, x(t)

là trạng thái (state) của hệ thống tại thời điểm t, u(t) là hàm điều khiển tại t.Nếu Ω 6=Rm thì hệ điều khiển là bị hạn chế

Nếu Ω =Rm thì hệ điều khiển là không bị hạn chế

Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái

u(t) = ϕ(x(t))gọi là hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback) Trong trường hợp đó

ta có phương trình

˙x(t) = f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)).

Hệ điều khiển dạng tuyến tính

Xét hệ điều khiển (xem [2])

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t).

trong đó A(t) là ma trận cỡ n × n, B(t) là ma trận cỡ n × m, u(t) là véc tơ m-chiều.Trong trường hợp A, B là các ma trận hằng ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng

Khi đó, với bất kì trạng thái ban đầu x(t0) = x0 và điều khiển u(t) thì nghiệm của

hệ được xác định bởi công thức

x(t) = x(t0, x0, t) = S(t − t0)x0+

Z t

t 0

S(t − s)Bu(s)ds,trong đó, S(t) = eAt.

Trường hợp hệ không dừng, nghĩa là khiA(t), B(t) là các ma trận phụ thuộc t:

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)với điều kiện ban đầu(t0, x0), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãnđiều kiện ban đầu x(t0) = x0 của phương trình là

x(t) = x(t0, x0, u, t) = x0+

Z t

t

f (s, x(s), u(s))ds.

Hệ điều khiển có hàm quan sát

Khi một hệ thống đang hoạt động có rất nhiều thông số để xác định trạng thái

của nó Tuy nhiên người ta thường chỉ quan tâm đến một lượng thông số vừa đủ

để có thể khôi phục được toàn bộ trạng thái hệ thống khi cần thiết Xét hệ động

lực được mô tả bởi hệ phương trình







˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t).

(1.4)

A, B, C là các ma trận thực tương ứng có cỡ là n × n, n × m, r × n,

x(t) - véc tơ n chiều biểu thị trạng thái hệ thống tại thời điểm t,

u(t) - véc tơ m chiều biểu thị tác động đầu vào, thường gọi là hàm điều khiển,

y(t) - véc tơ r chiều biểu thị đầu ra của biến trạng thái (output)

Như vậy x(t), u(t), y(t) khi t ∈ R cho ta các dãy véc tơ trong các không gian tương

ứng là Rn, Rm và Rr

Từ (1.4) ta thấy nếu cho trạng thái ban đầu x 0 và đầu vào u(t) thì các trạng thái

x(t) và đầu ra y(t) xác định duy nhất

Nghiệm của hệ(1.4)được hiểu là mọi bộ(x(t), u(t), y(t))của các dãy véc tơ{x(t)}, {u(t)}, {y(t)},thỏa mãn hệ phương trình với mọi t

(1.5)

Ở đây,w(t) là đầu vào không chắc chắn hay còn gọi là nhiễu Khi nhiễu là quá lớn

thì nói chung hệ thống sẽ hoạt động không đúng với ý định đặt ra ban đầu

Các loại hạn chế

Ở phần trên ta đã nói đến các hệ điều khiển có hạn chế Dưới đây, ta phân biệt

một vài loại hạn chế thường gặp ([2], [12]):

• Hạn chế kiểu tập hợp: Cho tập Ω ⊆Rm Hàm điều kiện cần thỏa mãn u ∈ Ω.

• Hạn chế theo chuẩn: Cho trước một số M > 0 Hàm điều kiện cần thỏa mãn

kuk ≤ M.

• Hạn chế hầu khắp nơi: Chop > 0 Hàm điều kiện cần thỏa mãnR0+∞ku(t)kpdt ≤ +∞. Thông thường chỉ xét cho p = 2 Nói cách khác u(t) là các hàm bìnhphương khả tích trên [0; +∞).

• Hạn chế kiểu H∞: Cho trước một số γ > 0 Hàm điều kiện cần thỏa mãn

• Hạn chế kiểu H∞ kết hợp hạn chế sai số đầu vào: Cho trước một số γ > 0 vàđiều kiện ban đầu (0, x0) Việc khởi động đúng với điều kiện ban đầu là khó.Trong thực tế luôn là các trạng thái xấp xỉ Sai số khởi động không được phépquá lớn Vậy, hàm điều kiện cần thỏa mãn

R+∞

0 ky(t)k 2 dt ckx0k +R0+∞kw(t)k 2 dt

≤ γ, ∀x0.

1.1.2 Một vài định tính

Tính điều khiển được hoàn toàn của hệ tuyến tính otonom

Xét hệ điều khiển tuyến tính otonom (1.2):

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t).

Định nghĩa 1.1 ([2], [12])

• Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn (GC) nếu với bất kì t0 ∈R+,bất kì trạng thái ban đầu x0, bất kì trạng thái kết thúc xf, tồn tại thời gianhữu hạn T > t0 và một biến điều khiển u(t), sao cho x(t0) = x0 và x(T ) = xf.

• Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kì

t0 ∈ R+, x(t0) = x0 ∈ Rn, tồn tại thời gian hữu hạn T và một điều khiển u(t),sao cho x(T ) = 0.

• Hệ (1.2) được gọi là đạt được hoàn toàn (GR) nếu với trạng thái ban đầux(t0) = 0, bất kì trạng thái kết thúc xf, tồn tại thời gian hữu hạn T > t0 vàmột điều khiển u(t), sao cho x(T ) = xf.

Định nghĩa trên cũng được phát biểu tương tự cho các hệ không otonom cũngnhư các hệ dạng phi tuyến.

Nhận xét 1.1 Một hệ là điều khiển được hoàn toàn (GC) thì hệ đó là đạt đượchoàn toàn (GR) và điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC)

Hệ (1.2) hoàn toàn xác định bởi ma trận A, B nên chúng ta có thể nói về tínhđiều khiển được của cặp (A, B)

Chúng ta xây dựng ma trận điều khiển của hệ là ma trận cỡn × nm

W = [B, AB, A2B, , An−1B].

Định lý 1.1 ([2]) Hệ (1.2) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi rankW = n.

Dấu hiệu để hệ tuyến tính otonom là điều khiển được hoàn cũng thường đượcphát biểu qua định lý Hautus dưới đây Ở đây,σ(A) là kí hiệu tập phổ của ma trậnhằng A

gọi là một phương trình vi phân thường trong không gian Rn (xem [1,2,11,12 ]).

Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu) tạithời điểmt (đặc trưng bởi ˙x(t)) chỉ phụ thuộc vàot và trạng thái tức thờix(t) củachính hệ thống đó Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình vi phân trong

đó ngoài sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi ˙x(t) còn phụ thuộc vào trạng tháicủa hệ thống trong quá khứ (xem [2,3,4,7,8, 9,10] ) Ta xét phương trình sau

trong đó x ∈ Rn, t ∈R+:= [0, +∞), f : R+×Rn −→Rn, f là liên tục, h(t) là hàmkhông âm, bị chặn trên R+ bởi h > 0 Khi đó phương trình (1.7) được gọi là mộtphương trình vi phân có chậm Sau đây là một số kiến thức mở đầu về loại phươngtrình này

Xét phương trình (1.7) với độ chậm là h > 0 Ký hiệu C := C([−h, 0],Rn) làkhông gian Banach của các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0] và nhận giá trị trong

Rn. Chuẩn của hàm φ ∈ C xác định như sau

ta sẽ có hàmx t ∈ C([−h, 0],Rn) Như vậy, x t là cung từ t − h đếnt của đường cong

x = x(t) Khi s chạy trên [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy trên [t − h, t] Có thể thấyđại lượng này mang các thông tin về trạng tháix(s) với s ∈ [t − h, t] Các thông tinnày là "chậm" theo nghĩa đã xảy ra trước thời điểm t Khi ˙x(t) phụ thuộc vào cáctrạng thái này, ta sẽ có một quan hệ hàm được mô tả như sau ([7])

trong đó

f : D ⊂ R× C −→Rn.Đây là phương trình tổng quát của các phương trình có chậm với độ chậmh

Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.2 ([7]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên

R+ mà khi thay vào (1.8) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phươngtrình có chậm (1.8)

Điều kiện ban đầu

Định nghĩa 1.3 ([7]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈ R+ Nghiệm x(.) của (1.8) thỏamãn điều kiện

x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0− h, t0]gọi là nghiệm đựợc xác định bởi điều kiện ban đầu (t0, φ) (hay là nghiệm đi qua(t0, φ))

Nghiệm này thường được ký hiệu làx(t0, φ, t) hoặc nếu không có khả năng nhầmlẫn thỉ có thể kí hiệu đơn giản là x(t)

Định lý tồn tại, duy nhất nghiệm

Định lý 1.3 ([7], tr 41) Giả sử D là một tập mở trong R+ × C và f ∈ C(D,Rn).Nếu (t0, φ) ∈ D thì phương trình (1.8) có nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu(t0, φ) Nếu hàm f là Lipschitz theo biến φ thì nghiệm nói trên xác định duy nhất.Định lý trên đây được chứng minh ở [7], dựa vào bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.1 ([7]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước và f (t, φ) là liên tục thì việc tìmnghiệm của phương trình (1.8) qua (t0, φ) tương đương với việc giải phương trìnhtích phân sau

Hệ điều khiển có chậm trên trạng thái

Xét hệ điều khiển (xem [2,3,10])

Điều khiển u có thể không bị hạn chế hoặc bị hạn chế, chẳng hạn u ∈ Ω ⊆Rm.

Hệ quan sát có chậm không chắc chắn dạng tuyến tính (xem [5,9,10]) thườngđược mô tả bởi







˙x(t) = L(x t ) + Bu(t) + C(t)w(t), y(t) = D(t)xt+ E(t)u(t).

(1.12)

trong đó, L(.) là một ánh xạ tuyến tính xác định trên C

1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm

Xét phương trình có chậm tổng quát (1.8)

˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0

f (t, 0) = 0, ∀t ∈R+.Điều kiện f (t, 0) = 0 đảm bảm rằng hệ trên có nghiệm cân bằng tầm thườngx(t) ≡ 0 Ta luôn giả thiết hàm f đủ tốt để các điều kiện về tồn tại, duy nhất vàkéo dài nghiệm trên R+ được thỏa mãn

Định nghĩa 1.4 ([7,10])

• Nghiệmx = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định nếu ∀t0 ∈R+, ∀ > 0,

∃δ = δ(t0, ) sao cho với mọi φ ∈ C mà ||φ|| < δ thì ||x(t0, φ, t)|| < , ∀t ≥ t0.

• Nghiệm x = 0 của phương tình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại δ1> 0 sao cho với ||φ|| < δ1 thì x(t0, φ, t) → 0 khi t → +∞

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định đều (hoặc ổn địnhtiệm cận đều) nếu δ ( hoặc δ1) nói trên là không phụ thuộc vào t0

• Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu với mọi φ ∈ C, tồn tại δ > 0, N > 0sao cho

||x(t0, φ, t)|| ≤ N ||φ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0.

• Với α > 0 cho trước nghiệm x = 0 ổn định mũ với chỉ số α (δ = α) thì nóinghiệm đó là α - ổn định mũ Khi nghiệm tầm thường x = 0 ổn định ta sẽ nóingắn gọn là hệ phương trình ổn định (theo các nghĩa khác nhau nói trên)

Định nghĩa 1.5 ([2,3,10]) Nói hệ điều khiển

Phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ có chậm

Phương pháp thứ nhất Lyapunov dựa vào khái niệm tập phổ rất được ưa chuộngtrong nghiên cứu ổn định các phương trình vi phân thường Với phương trình viphân hàm (1.8)

˙x(t) = f (t, xt),phương pháp này hoàn toàn không khả dụng Lý do đơn giản là tập phổ của cácphương trình hàm quá phức tạp, khó có thể kiểm soát hay đánh giá chúng Hơnnữa, sự liên hệ giữa tập phổ và hành vi tập nghiệm cũng là chưa rõ ràng Nghiêncứu tính ổn định của các phương trình vi phân hàm người ta chủ yếu dựa vào cáchàm bổ trợ, thường gọi là các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii, hoạt động trongkhông gian hàm Đây là điểm khác biệt so với trường hợp phương trình vi phânthường, nơi các hàm bổ trợ chỉ cần hoạt động trong không gian trạng thái

Giả sử f :R× C −→Rn với f (t, 0) = 0, ∀t ∈R và f đủ tốt để thỏa mãn các điềukiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm

Giả sử xác định một hàm số

V :R+× C −→R,trong đóV (t, φ)liên tục theo từng biến vàV (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 Giả sửx(t) = x(t0, φ, t)

là nghiệm của phương trình (1.8)

Ký hiệu sau đây chỉ đạo hàm theo biếnt của hàmV dọc theo nghiệm của phươngtrình (1.8)

không giảm, u(s) > 0 với s > 0, u(0) = 0 Khi đó:

(i) Nếu

u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ)

˙

V (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)thì nghiệm x = 0 của (1.8) là ổn định

(ii) Nếu có thêm điều kiện lim

s→+∞ u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệmcủa (1.8) là bị chặn

(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệmx = 0của (1.8) là ổn định tiệm cận

Phần chứng minh định lý này có thể xem ở [7] (J Hale) hoặc ở [11] (Yoshizawa).Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để nghiệm là ổn định đều

Định lý 1.5 ([7]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂R+× C −→R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0,liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), v(s), w(s) : R+ −→ R+ liêntục không giảm, u(s), v(s) > 0 với s > 0, u(0) = v(0) = 0 Khi đó:

(i) Nếu

u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ v(||φ||)

˙

V (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)thì nghiệm x = 0 của (1.8) là ổn định đều

(ii) Nếu có thêm điều kiện lim

s→+∞ u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệmcủa (1.8) là bị chặn đều

(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệmx = 0của (1.8) là ổn định tiệm cận đều

Vậy, với ∀ > 0, ∃δ = δ(), t0∈R, ||φ|| < δ thì ||x(t0, φ)(t)|| < , ∀t ≥ t0.

Từ đó ta có x = 0 là ổn định đều (số δ không phụ thuộc vào t 0)

(ii) Ta có u(0) = 0, lim

s→+∞ u(s) = +∞ và u(.) liên tục nên với mọi số α > 0 luôntồn tại số β = β(α) sao cho u(β) = v(α)

Nếu ||φ|| ≤ α thì theo chứng minh (i) ta có

Giả sử tồn tại nghiệm x = x(t 0 , φ), ||φ|| < δ 0 thỏa mãn ||x t || ≥ δ, t ≥ t 0 Do đómỗi khoảng có độ dài h chứa một số s sao cho ||x(s)|| > δ Vì vậy tồn tại {tk}k saocho

||x(tk)|| ≥ δ, t0+ (2k − 1)h ≤ tk ≤ t0+ 2kh, k = 1, 2,

Do f là hàm hoàn toàn liên tục nên tồn tại hằng số L sao cho|| ˙x(t)|| < L, ∀t ≥ t0

Vì vậy, trong khoảng tk− δ

2L ≤ t ≤ tk+ δ

2L ta có x(t) > δ

2.Thật vậy, từ giả thiết của hàm f, tồn tại hằng số L sao cho|| ˙x(t)|| < L, ∀t ≥ t0, suyra

, tk − δ

2L ≤ t ≤ tk + δ

2L.Với L đủ lớn, nếu cần thiết ta có thể giả thiết rằng các khoảng này là không giaonhau Do đó

V (tk, xtk) − V (t0, φ) ≤ −w

δ 2

δ

L(k − 1).

Giả sử K(δ0, L)là số nguyên dương nhỏ nhất mà

K(δ0, L) ≥ v(δ0)

δ

Lw

δ 2

v(δ0) δ

Lw

δ 2

Nếu tồn tại hàm Lyapunov- Krasovskii V (t, xt) và số dương λ1, λ2, λ3 sao cho mọinghiệm x(t) thỏa mãn:

1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không dừng có chậm với h > 0







˙x(t) = A(t)x(t) + f (t, xt), t ∈R+x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0],

(1.14)

trong đó f là tuyến tính theo biến thứ hai Đầu tiên ta nghiên cứu phương trìnhthuần nhất tương ứng Lưu ý rằng đó là một phương trình vi phân thường

Gọi S(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất này và đặt

x(t) := S(t)y(t) Thay vào (1.15), ta được

˙ S(t)y(t) + S(t) ˙ y(t) = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt)hay S(t) ˙ y(t) = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt) − ˙ S(t)y(t)

hay S(t) ˙ y(t) = f (t, xt).

(do S(t) là ma trận nghiệm cơ bản nên S(t) = A(t)S(t)˙ )

Suy ra

˙ y(t) = S−1(t)f (t, x t ).

Giả sử x 0 = x(t 0 ), khi đó x 0 = S(t 0 )y(t 0 ) = Iy(t 0 ) = y(t 0 ). Do đó, ta có







˙ y(t) = S−1(t)f (t, xt) y(t0) = x0.

||U (t, τ )|| ≤ eM (t−τ ), ∀t ≥ τ ≥ 0Chứng minh U (t, τ ) là toán tử giải của phương trình (1.15) Ta có

Nhận xét Ta có thể chỉ ra rằng, nếu nghiệmx(t) = 0 của hệ(1.15) là ổn định mũthì

∃K > 0, λ > 0 sao cho

||U (t, τ )|| ≤ Ke−λ(t−τ ), ∀t ≥ τ ≥ 0. (1.16)Xét phương trình Riccati sau

˙

P (t) + AT(t)P (t) + P (t)A(t) = −Q(t), (1.17)trong đó:

A(t) là ma trận hàm cỡ n × n, liên tục, giới nội, không suy biến trên R+

Q(t) là ma trận hàm cỡ n × n, giới nội, đối xứng, xác định dương đều trên R+,theo nghĩa ∃c > 0 sao cho

ma trận hàm P(t) đối xứng, xác định dương đều trên R+, thỏa mãn phương trình(1.17) Khi đó P(t) được xác định như sau

2

2λ ||x||2, ∀t ∈R+, ∀x ∈Rn, (1.20)trong đó

Ngược lại với mỗi ma trận hàm Q(t) giới nội, đối xứng, xác định dương đềutrên R+, tồn tại ma trận hàm P (t) đối xứng, xác định dương đều của phương trình(1.17) thỏa mãn điều kiện (1.20) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.15) là ổnđịnh tiệm cận.

Chứng minh Giả sử nghiệm x(t) = 0 của hệ (1.15 ) là ổn định tiệm cận sao chotoán tử giảiU (t, τ ) thỏa mãn điều kiện (1.16) Với mọi ma trận hàm Q(t)đối xứng,xác định dương đều

Với x(t) = S(t)x0 là nghiệm hệ thuần nhất nên ta có

hay dS(t)

dt = A(t)S(t)

Ta có x(t) = S(t)x0 hay S−1x(t) = x0.

Z +∞

t

S(τ )S−1(t)T Q(τ )S(τ )S−1(t)dτ

Do Q(t) đối xứng, xác định dương nên tồn tại c > 0 sao cho

hQ(t)x, xi ≥ c ||x||2, ∀t ∈R+, ∀x ∈Rn.

Vì vậy hP (t)x, xi ≥ cRt+∞||U (τ, t)x||2dτ

Mặt khác ta có

||x|| = ||U (t, τ )U (τ, t)x|| ≤ ||U (t, τ )|| ||U (τ, t)x||

Kéo theo, ||U (τ, t)x|| ≥ ||x||

s t

= p ||x||

2

K22λ , ∀t ∈ R+, ∀x ∈Rn, (s → +∞).Kéo theo, hP (t)x, xi ≤ p ||x||

2

K22λ .Ngược lại, ta chọn hàm Lyapunov cho hệ (1.15)

V (t, x) = hP (t)x, xi , (x ∈Rn).