Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a.. Tính thể tích V của hình chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a.. Th
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán 12 Khối D.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
y= - + x ( 2m 1 )x+ - -m 1 ( Cm )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để đường thẳng y= 2mx m 1 - - cắt cắt đồ thị hàm số ( Cm ) tại ba điểm phân biệt có
hoành độ lập thành một cấp số cộng
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 ( 2 )
2 sin x 3- = 3 sin x+ 2 sin x 3 tan x -
2)Giải hệ phương trình:
2
4
1
ì
ï
-
ï
í
î
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn :
3
x 2
3x 2 3x 2
L lim
x 2
®
+ - -
=
-Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành với AB=2a , BC=a 2 ,
BD=a 6 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a
Tính thể tích V của hình chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho x y, là các số dương thoả mãn 1 1 1 3
xy+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểux y
( 1) ( 1)
M
B PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIA (2,0 điểm) 1)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB,CD; hai đường chéo AC,BD vuông góc với nhau Biết A 0;3( ), B 3;4( ) và C nằm trên trục hoành Xác định toạ độ đỉnh D của hình thang ABCD
2)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( )
n
x
Biết rằng số nguyên dương n
thoả mãn C n 6 + 3C n 7 + 3C n 8+ C n 9 =2C n 2 8+
CâuVIIA (1,0điểm).Xác định m để hàm số: ( 2 ) ( )
y= m - 3m x+ 2 m 3 cos x - luôn nghịch biến trên ¡
2.Theo chương trình nâng cao.
Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip
( )E biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( )E tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật
cơ sở của ( )E là 12 2( + 3 )
S= 1.2.C + 2.3.C + L+ 2012.2013.C
CâuVII B (1,0 điểm).Xác định m để hàm số: ( 2 ) ( 2 )
y= m + + m 1 x+ m - + m 1 sin x+2m luôn đồng biến trên ¡
HẾT
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán 12 Khối D.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Văn bản này gồm 05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả
II) Đáp án và thang điểm:
y= - + x ( 2m 1 )x+ - -m 1 ( Cm )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1 1,0 đ
CâuI
Khi m=1 hàm số trở thành 3 2
y= - + x 3x -2
Tập xác định: R; hàm số liên tục trên R.
Sự biến thiên: lim
®-¥ = +¥ ; lim
®+¥ = -¥ Đồ thị hàm số không có tiệm cận
0,25
2,0 đ
Bảng biến thiên:
y ĐU= 0
0.25
Đồ thị của hàm số có dạng như hình dưới đây:
0.25
2) Tìm m để đường thẳng y= 2mx m 1 - - cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x ( 2m 1 )x m 1 2mx m 1
x ( 2m 1 )x 2mx 0
Û - + + =
x x ( 2m 1 )x 2m 0
=
é
ê
ê
ê = ë
0.25
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 3Ba giao điểm là: A 0; m 1 ( - - ); B 1; m 1 ( - ); ( 2 )
C 2m;4m - -m 1
Ta có: A,B,C phân biệt m 0; m 1
2
Sắp sếp các hoành độ theo thứ tự tăng dần ta có các dãy số sau
· 0 ; 1 ; 2m lập thành cấp số cộng Û + 0 2m= 2.1Û m=1 thoả mãn (*)
· 0 ; 2m ; 1 lập thành cấp số cộng 0 1 2.2m m 1
4
· 2m ; 0 ; 1 lập thành cấp số cộng 2m 1 2.0 m 1
2
0.25
0.25
Kết luận: m = 1 ; 1 ;1
2 4
1) Giải phương trình: 3 ( 2 )
2 sin x 3- = 3 sin x+ 2 sin x 3 tan x - (1)
CâuII
Điều kiện: cos x¹0
Phương trình đã cho tương đương với :
2 sin x.cos x 3 cos x- = 3 sin x+ 2 sin x 3 sin x
2 sin x.cos x 3 cos x 3 cos x.sin x 2 sin x
0.25
2,0 đ
2
sin x.cos x 1 2 sin x 3 cos x 0
1 sin 2x 1 2 2 cos x 3 cos x 0
2
0.25
2
2 cos x 3 cos x 2 0
Û - - = ( do sin 2x 2- ¹ " ) 0, x
( )
cos x 2 VN
1 cos x
2
é =
ê
Û
ê = -
ê ë
0.25
p
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 2 k 2 ,k
3
p
0.25
2)Giải hệ phương trình:
2
4
1
ì
ï
-
ï
í
î
Viết lại hệ phương trình:
2
1
x y 1
x y
ï + + ê - + ú =
-
í
ï + + - + =
î
Đ/K x- ¹y 0 0.25
Đặt a x y ; b x y 1
x y
= + = - +
- điều kiện b ³2 .
3
b 3 a
ì
ì + - = ì - + = = Ú =
= -
0.25
Trang 4x y 1
1
x y
+ =
ì
- + =
- î
0.25
5 a 3
5 4
b 3 a 3
3 3
ì
= ï
ïï
· í
ï = - = - =
ï
î
Loại
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( x; y) ( )= 1;1
0.25
Tính giới hạn :
3
x 2
L lim
x 2
®
+ - -
=
3
1,0đ
3 1
4
®
0.25
2
2
x 2
L lim
4 3x 2 2
®
- +
0.25
CâuIV
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành với AB=2a , BC=a 2 ,
BD=a 6 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của
tam giác BCD, biết SG=2a
Tính thể tích V của hình chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
SB theo a
1,0đ
1,0đ
Nhận xét ABCD là hình chữ nhật (do 2 2 2
AB + AD =BD )
0.25
3
K là điểm đối xứng với D qua C, H là hình chiếu vuông góc của G lên BK suy ra
BK ^( SHG ) Gọi I là hình chiếu vuông góc của G lên SH suy ra GI = d(AC,SB) 0.25
Trang 5CÂU V
GH = CJ mà 1 2 1 2 1 2 CJ 2a GH 2a
CJ = BC + CK Þ = 3 Þ = 3
Tam giác SHG vuông ở G suy ra GI=a
Vậy: d(AC,SB) = a
Cho x y, là các số dương thoả mãn 1 1 1 3
xy+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:x y
( 1) ( 1)
M
0.25
1,0đ
Cách 1 Đặt
x> = y > , theo đề bài ta có ( ) ( )
2
3
4
a b
a b ab +
- + = £ (BĐTCauchy), kết hợp với a b + >0 suy ra a b + ³2
0.25
Ta tìm giá trị lớn nhất của 3 3 2 2
2
2
1
+ - + +
+ + + +
2
4 a b a b a b
= ê - + + + + + ú
+
ë û (do ab= - 3 (a b + ))
0.25
t
= - + + + trên [ 2; +¥)
2
12
t
¢ = - - + < " ³ suy ra g t nghịch biến trên (2,( ) +¥)
0.25
Do đó
[ 2, )
max ( )g t g (2) 6
+¥ = = suy ra giá trị lớn nhất của M bằng 3
2 đạt được khi
a= = Û = = b x y
0,25
Cách 2 Đặt a= 1 0,b 1 0
x> = y > , theo đề bài ta có 3 3 2 2
a ab b a a ab b b ab
1
, (BĐT AMGM) dấu bằng khi a= =b 1
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 3
2 đạt được khi a= = Û = = b 1 x y 1
0,25
Câu
VI A
1)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy là
AB,CD; hai đường chéo AC,BD vuông góc với nhau Biết A 0;3( ), B 3;4( ) và C
nằm trên trục hoành Xác định toạ độ đỉnh D của hình thang ABCD
1,0đ
Trang 62,0 đ
( )
C Ox C c;0
DC : x 3 y c 0 D( 3d c;d )
Î Þ
- - = Þ +
0.25
2
0.25
I là trung điểm AB I( 3 7 ; )
2 2
Þ
J là trung điểm DC J 3d 2c d ;
+
è ø, từ
8 3c
5
-
0.25
Thay (2) vào (1) có: 2
c
2
=
é
ê
ê = ë
c 6 d 2 D( 0; 2 )( tm )
= Þ = - Þ -
-
= Þ = Þ
(Học sinh phải kiểm tra điều kiện thông qua véctơ AB và véctơ DC cùng chiều)
Kết luận: D( 0; 2 )
-0,25
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( )
n
x
Biết rằng số
nguyên dương n thoả mãn C n 6 + 3C 7 n + 3C n 8+ C n 9 =2C n 2 8+
1,0đ
Điều kiện : *
nÎ ¥ ,n³ 9
15 k
-
-
Số hạng không chứa x tương ứng với 30 5k 0 k 6
6
-
Số hạng không chứa x phải tìm là 6 6
15
Xác định m để hàm số: ( 2 ) ( )
y= m - 3m x+ 2 m 3 cos x - luôn nghịch biến trên ¡ 1,0
VII A Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên ¡ Û y¢ £ " Î ¡ 0 x
Trang 7Đồ thị f t( ) = - 2 m( - 3 t) + m - 3m trên đoạn [ - 1;1 ] là một đoạn thẳng
( )
f t 0 t 1;1
f 1 0
ì - £ ï
£ " Î - Û í
£
ï î
0,25
2 2
2 m 3 m 3m 0
ì - + - £ ì - + £ ì - £ £
£ £
- - £
î
Vậy để hàm số nghịch biến trên ¡ thì 2£ m£3
0,25
Câu
VI B
2,0 đ
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip ( )E biết rằng
có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( )E tạo thành một tam giác đều và chu vi hình
chữnhật cơ sở của ( )E là 12 2( + 3 )
a + b = > > với 2 tiêu điểm ( ) ( ) ( 2 2 2 )
F - c F c c = a - b c >
1,0 đ
0,25
2 đỉnh trên trục nhỏ là B1( 0;- b) ,B2( 0;b ) theo gt:tam giác B F F1 1 2( ÚD B F F 1 1 )đều
( )
6 3
3
a
c
a b
ì = -
=
ì
ï
ï
ï
ï + = +
î
0,5
Xét số hạng tổng quát : ( ) k
2013
2013!
k 1 k C k 1 k 2012.2013.C k 2,3, ,2013
k ! 2013 k !
-
Câu Xác định m để hàm số: ( 2 ) ( 2 )
y= m + + m 1 x+ m - + m 1 sin x+ 2m đồng biến trên ¡ 1,0
7B Đạo hàm ( 2 ) ( 2 )
y¢ = m + + + m 1 m - +m 1 cos x
1,0 đ Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên ¡ Û y¢ ³ " Î ¡0 x 0,25
m + + + m 1 m - + m 1 cos x³ " Î ¡ 0 x
m + + + m 1 m - + m 1 t³ " Î - 0 t 1;1 với t=cos x 0,25
Đồ thị ( ) ( 2 ) ( 2 ) [ ]
f t = m + + + m 1 m - + m 1 t , " Î - t 1;1 trên đoạn [ - 1;1 ] là một
đoạn thẳng để ( ) [ ] ( )
( )
f 1 0
f t 0 t 1;1
f 1 0
ì ³ ï
³ " Î - Û í
- ³
ï î
0,25
Û
2
ì + ³ " Î
í
³
î
¡
Vậy m³ 0 thoả mãn yêu cầu bài toán 0,25
