tuyển tập 90 đề thi thử đại học kèm lời giải chi tiết và bình luận môn toán tập 1

Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC 1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình Các bạn cần nắm chắc kiến thức cơ bản đầu chương, phép biến đổi mũ, loga, kỹ năng biến ối trong

Tuyển tập 90 đề thi thử đại học

kèm lời giải chỉ tiết và bình luận

Mục lục Giới Thiệu Tổng Quát

khi giải hệ phương trình

8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việ

9- Giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính Casio

10- Một vài điểm cần chú ý khi giải phương trình lượng giác

11- Một số dạng toán thường gặp về số phức 12- Một số loại toán tổ hợp thường gặp trong kì thí tuyển sinh đạt học

13- Suy nghĩ không cũ về một dang toán không m 14- Suy nghĩ về một loại toán quen thuộc

15- Phương pháp đổi biến trong bài toán chứng minh Bất đẳng thức

16- Một số bài toán xác định các yếu tổ trong tam giấc)

Khối A 2014

Khối A 201 Khối A 2012 Khối A 2013

Phần III: LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN

Đề sổ 1

Đề số 2

Đề sổ 3

LOVEBOOK.VN|4

Khối A 2002 Khối A 2003 Khối A 2004 Khối A 2005 Khối A 2006

Khối A 2007 Khối A 2008 Khối A 2009

x at gidi 6 Quấi a

Giới Thiệu Tổng Quát Về GSTT Group

Cuấn sách này được viết bởi toàn bộ các bạn đến từ GSTT GROUP, Vì vây; chúng tôi xin được giửi tới cá,

em học sinh và các độc giả đôi nét về tập thể tác giả nà Bài viết được trích trong profile của GSTT GROUP

1.Giới thiệu chung ì

h trường Trang những ngày:

đầu thành lập GSTT Group chủ yếu hoạt động ở mảng online bằng viết thực hiện những bài giảng trực tuyến

và hỗ trợ các em học sinh trên diễn đàn Kể từ đầu năm 2012, GSTT Group đã mở rộng hoạt

ng của mình sang các lĩnh vực khác như tổ chức giảng dạy tình nguyi

thị thử đại học cho học sinh 12, tổ chức chương trình gia6 lu với học sinh lớp 12 tại các trường cấp 3,

Không chỉ giàu lòng nhiệt huyết với các thế hệ học tập của các thành viên Kể từ năm học 2012—2013,GSTT Group thành lập các câu lạc bộ học tập dành cho các thành viên Một số câu lạc bộ đã đi vào hoặt động như : Câu lạc bộ tiếng Anh, câu lạc bộ Luật, Câu lạc bộ kinh tế đối ngoại, Câu lạc bộ Y Ngoài +ä¿để các thành viên GSTT Group có điều kiện trải nghiệm, làm quen với công việc khi ra trường, GSTT Group tố chức chương trình JOB TALK Nhiing chia sẻ về công, Việc và cuộc sống của các vị khách mời sé gi các thành viên trưởng thành hơn khí ra trường,

r các trung tâm bảo trợ xã hội, tổ chức

-em đi sau, GSTT Group còn rất chú trọng tới việc

kiến thức của mình truyền đạt lại.cho các thể hệ đàn em

Sứ mệnh: Kết nối yêu thương

1 tới hình ảnh GSTT Group sẽ đến với tất cả các em học sinh trên cả nước, đặc biệt là những em có mảnh đời bất hạnh GSTT Group sẽ là một đại gia đình với nhiều thế hệ học sinh, sinh

viên, ăn sâu trong tiềm thức học sinh, sinh viên Việt Nam

Slogan: 1 Light the way 2, Sharing the value

IL Danh mychoat agng:

Hướng tổi học sinh

a Giẳng day tình nguyện thường xuyên tại các trung tâm bảo trợ xã hội và ở vùng sâu vùng xa

Ð, Giao lưu chia sẽ kinh nghiệm thi cử tới các trường cấp 3

LOVEBOOKVN |6

Hướng tới sinh viên

44, Giúp đỡ 169 em ở làng trẻ SOS - Hà Nội học tập

5 Tổ chức 2 chương trình giao lưu cùng thủ khoa đại học ở trường TIIPT chuyên Lương Văn Tụy ~ Ninh Bình và THPT Nguyễn Siêu - Hưng Yên

6 Tổ chức thi thử đại học cho 1000 em học sinh ở khu vức Hà Nội

Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC

1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình

Các bạn cần nắm chắc kiến thức cơ bản đầu chương, phép biến đổi mũ, loga, kỹ năng biến ối trong đương z

~ _ Ngoài ra, để giải quyết chọn vẹn bài toán thì các kỹ thuật đẳng cấp, nhẩm nghiệm Pn tích thành

* @ By? ~ 2y— 1— 4x2 = 0 (4)

“BÀI 1: Giải hệ phương trình:

Bài 2¡ Giải hệ phương trình: |

xe=l

+ Nếu 4x'~3x~I=0© x=-t 1 +

L2 + Với x= 1 thay vào (2) ta có: 6y ~ yŸ =

+Vớix= ~š thay vào (2) ta có:

Thử lại các nghiệm Gø)=03)(-33)) Các nghiệm của

Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (#4

'B- Chìa khóa tư duy giải toán

+ Phép "thể" có ý đồ chính:

-Ý đồ 1: Rút x theo y hoặc heo x từ một phương trình rồi thể vào phương trình còn lại đưa về phương trình một biến tuy hơi cồng kềnh nhưng nếu mạnh đạn biến đổi thi “kiểu gì cũng ra"- ví dụ 1 là minh chứng cho ta điều này Lưu ý, có thể dùng ấn phụ để giải ví dụ 1 gọn hơn “thế” nhưng nó thích hợp với bạn có

tư duy tốt Vậy nên, nếu ấn phụ không nghĩ ra thì “thế” là một phương án an toàn và luôn luôn ra,

-Ý đồ 2: Quan sát những biểu thức cùng xuất hiện ở 2 phương trình, sau đó thế chúng cho nhau Ở ví

dụ 2, ta thấy ở phươnế trình (1) có “9” còn phương trình (2) có “9x”, để thế 2 “thằng” này cho nhau thì một

cách tự nhiên, ta han về của phương trình (1) cho x rồi thế 9x = 6x*y — y? vào phương trình (3) thì lời

giải được hé mở hoàn toàn Ở ví dụ 3 cũng cùng ý đồ khi thấy thẳng “3x” xuất hiện đồng thời ở hai phương

trình Ở ví dụ 3 cồn 'thêm ý đồ nhóm ẩn phụ chính là biểu thức trong căn: u = 3y? — 2y + 6 + 3x2 Ta chỉ cần

lập tức sinh ra v = 7x + 7) rất đẹp

x? +xy+x+3=0(1)

(+ 1) + 3y + 1) +20 — VX5y + 2y = 0 (2)

xty(x +2) = 1(1)

x” txy + 2x+2=0(2) xy=x#7y+1()

Bài 2: Điều kiện y > 0

Tương tự như bài 1 Từ x + logs y = 3 = y = 33% = 35 =F

Thế vào phương trình (1) ta có: (2y? — y + 12.2

2- Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình

⁄ Doãn Trung San

(GSTT GROUP - ĐI Y Hà Nội) Khi giải phương trình, bệ phương trình chúng ta gặp một số bài toán khá cồng kênh Các phương pháp hay dùng sặp trở ngại, khi đó ta có quyền nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biển của hàm số (hay phương pháp ham $6)

Có hai loại chứng ta hay gấp:

Ð) Đạng quy được về f(u(x)) = f(ø(x)) với flà hàm đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

© x2 +2x= (2x+2)V2W+1 © (2x)? + 2x = (V2X+1) + VOR

Ta thấy, phương trình đã cho tương đương với: x(4x? + 1) = (2+1) +V2x+1 > x20

Xét hàm số f() = tẺ + t trên (0; +00)

C6 f'(t) = 3t? + 1 > 0 đồng biến trên [0; +e)

Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +00)

Mà phương trình (1) tương đương với f(2x) = f(V2x+ 1)

Nên phương trình (1) ©› 2x = V2x + Ï © 4xÊ — 2x T—

mm © 2x? + 4x45 204+ 1)? +3

Nên phương trình đã cho xác định trên R

Phuong trình đã cho tương đương với:

'B- Tư duy giải toán

Như vậy, thực chất để giải al toán này, bước đầu tiên ta cần làm là đưa bài toán về dạng

f(D) = FO) ie

Tức là, phân tích, chuyển vế đưa phương trình về dạng mà 2 vế là 2 biểu thức cùng một hàm

.Gó một số dấu hiệu sau:

+ Phương trình cồng kềnh

+ Phuong trinh có sự cách biệt:

Ví dụ: Ở phương trình yang táo bậc 3 (x3) và bậc 2 5 trong ( V2x + 1)

+ Cùng xuất hiện 2 loại hàm trong phương trình

Vi dụ:

- hàm số mũ + lướng pide

~ hàm đa thức+ hàm:logarit (ví dụ 2)

- bàm đa thức“ hăm mũ

Khi đó, bạn đó quyền nghĩ đến phương pháp hàm số này

Ngoài ra, iề nhìn nhận vai trò tương đồng, ngang nhau của một số biểu thức trong phương trình

thằng trình (1) ta thấy cụm (x + 1)2x + 1 sẽ có bậc 5

i phần còn lại 4x3 + x có bậc là 3

i vậy, nếu xem v/2x+ 1 là một ẩn thì cụm (x + 1)/2x + 1 có thể biến đổi thành một hàm bậc 3 Đó là sự

tơng đồng về bậc cho phép ta đi theo hướng: xem x và 2x + 1 có vai trò ngang nhau

Giống kiểu đặt ẩn phụ (có thể gợi là ẩn phụ âo)

ag X?+x+3 - 5

Hay & vi dy 2: loga TT ao g = logalx? +x + 3) ~ loga (2x? + 4x-+ 5)

Vai trò của x + x + 3 và 2x? + 4x + 5 là ngang nhau

II Dạng f(u(2)) = 0 nhẩm được tất cả nghiệm (thường là phương trình có một nghiệm, hoặc 2 nghiệm)

Với các dang bài này ta chú ý bổ đề sau: Nếu phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất n nghiệm, thì f0)

“ye 2tine= (2) an(2 2

cor'(o = 2.n2 - (5) -tn(§) > o,vee Rcin(§) < 0)

=> Hàm số f()) đồng biến trên R = phwong trinh f(t) c6 nhiều nhất 1 nghiệm

Ma f(—1) = 0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = —1

> Ham số g(x) nghịch biến trên R = gÓÙ=0 có nhiều nhất một "nghiệm hay TQ) = 0 có nhiều nhất một

nghiệm = phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Mà ta thấy f(0) = 0 và f(1) = 0 nên tà suy ra phương trình f(+) = 0 có hai nghiệm là x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiém là x = 0; x= 1

Như vậy với các bài toán chứa hàm mũ cồng kềnh, với việc sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến chúng trở nên khá là ngắn

Những bài này thường khá là đễ nhẩm nghiệm, tuy nhiên bài toán cồng kẽnh dễ gây sốc, vì vậy có thể nghĩ đốn phương pháp hàm số (cụ thể là tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm sổ)

Khi đó, ta xét hàm số thÍch hợp, tuy nhiên dựa vào số nghiệm mà ta có thể chứng minh ngay f'(x) < 0(> 0)

Để suy ra phươnG trinh có nghiệm duy nhất hoặc tiếp tục xét hàm số gŒ) = f'@), chứng minh f (x)=0 có nhiều nhất 1 n£hiệm qua đó chứng mình f(x)=0 có 2 ngÌ

Bài tập vận dụng:

Ví dụ 1:Giãi phương trình: xŠ — 4x? — 5x + 6 = Vix? + 9x4

lÃi phương trình: 4(x — 2)[log; x(x — 3) + loga(x — 2) = 15 + 1)

Giải phương trình: 2*2+3€09% — 2x?+4cosÊx — 2cos3x,

Nguyễn Phước

(GV THCS Lê Hồng Phong - Thừa Thiên ~ mae)”

(Bài đăng trên tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 360)

at, P(x) + B Q(x) + y.-/ P(X) Q(x) = 0 (apy # 0)

a.Cách giải:

+ Néu P(x) = 0 thi Q(#) =) Dan dén OS

+ N€u P(x) # 0, ta chia cả hai về của phương trình chơ P(x) được:

g0), J0G) Qe)

B-BGg + Y [ogy = OPHEE= logy C20

Phương trình trở thành ft? + yt + œ = 0 Từ đó tìm trồi từ t tìm x CS b,Ví dự 1: Giải phương trình: 2(x? — 3x + 2) = 35+ 8 (1) ` Lời giải: Biến đổi phương trình (1) về dạng, A

2Q — 2x + 4) — 2 + 2) =3 (RTD — 2x + 4)

Điều kiện: x > ~2 (vì x? — 2x + 4 = (x— 1)? + 3 > 0)

Dox = —2 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia fi

x? — 2x +4

Đo a và 8 không đồng thời bằng '0 nên at? + Bt-+y = 0 trở thành phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 của t

Giải phương trình tìm t rồi thay: 'P(Œ) + /QG9 để tìm nghiệm của phương trình

b,Ví dụ 2: Giải phương trinh: Y2x-4 3 + Vx+ 1 = 3x + 2V2x7 + 5x + 3 ~ 16 (2)

Lời giải: Biến đối (2) về dani

- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 73 = V4755

'3 Phương trình dang ax? + bx + c = px? + qx +r trong đó:

Phương trình trên trở thành: œt? + Bt + y = 0 Từ đó tìm trồi tìm x b,Ví dụ 3: Giải phương trình: ‘

4x2 +10 +9 =5V2x? + 5x + 3 (3) Lời giải: Đặt t= V2x? + 5x + 3 (t> 0) thì” = 2x + 5x+ 3 © 2 +32 “410x409,

Giải hệ trên ta tìm được x

b;VEdụ-+ Giải Lời giải: Tac6 4x? + 5x+7= (2x42) +72> 0,với mọix phương trình: 3 5)? 87 = 2 +

Cộng theo về của (9) và (5) và biến đối dẫn đến f6x* + 20x + 3 = 0 © x = ~10 + 2VT3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình (4) có nghiệm là x = —10 ‡+2/13

Phương trình vô tỉ rất phong phil va da dang vi vay đòi hỏi học sinh phải hết sức thận trọng khí trình bày lời giải

4- Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vô tỷ

Mai Văn Chinh (GSTT GROUP - ĐH Y Hà Nội)

*Ähhân liên hợp - một phương pháp sử dụng những kiến thức rất cơ bản nhưng lại có những ứng

dụng Vô cùng quan trọng trong gidi pt, bpt, hpt vô tỷ và ngay cả với nhiều dạng toán khác trong đề thí HSG,

¡ học như giới han, tích phât

LOVEBOOKLVN|14

Với bất kỳ phương pháp nào, kiến thức cơ bản luôn giữ vai trò là khởi nguồn của mọi phép biến đối Với phương pháp nhân liên hợp, ta cần gan ý đến những biểu thức rất quen thuộc sau:

- Liên hợp bậc lI: Vasvo- Foe og Vab> ab

a-b fab + Yo*

~b

- Liên hợp bậc IV: a +46: = 'Va,b>0;a #b

của+JbX#a +$b)

Trong đó, phép liên hợp bậc II là được sử dụng phổ biến nhất

1I- TƯ DUY GIẢI

A- Tự cảm nhận

Để các bạn hiểu hơn về phương pháp này, tôi sẽ đưa ra một số ví dụ điển hình Bạn kế bc suy ngẫm và cảm

nhận về phương pháp này Sau đó, hãy hệ thống lại và xem bạn đã tìm ra những, ish Tiêng mình

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho

B.CHIA KHOA

- Trước tiên, anh xin đưa ra một số khái niệm và kĩ năng quan trong:

-+ Lượng liên hợp: là một số hay một biểu thức cần thêm bớt vào mỗi căn thức đế sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung

+ Kĩ năng nhẩm nghiệm: là tìm nghiệm của phương trình cả ngi —⁄8;x=I+-(8

#đẹp” và nghiệm "xấu" hay nghiệm “vô

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình, giả sử có nhị

Bước 3: biến đổi ( c> øóQ+h@)+ = 0 ne

Trong d6 g(x); h(x) la các biểu thức chứa căn thỏa man g(a )=h(e )=0

Bước 4: Nhân liên hợp và xử lí phương trình mờÏ

- Để các bạn hiểu rõ thêm về tư duy giải toán, chúng ta lần lượt đi từng loại phương trình , bất phương trình

vô tỷ,

LoạL1:10x) = 0 có 1 nghiệm "đẹp" VớLT dạng này, lượng liên hợp thường là 1 hằng số

vD1: V3x+1-J6—x +3x? -14x-8 =0(1) (B-2005)

- Nhấm được x = 5 là một nghiệm cña phương trình

- Giả sử lượng liên hợp cần bớt 33x +1 là A hay g(x) = V3x41 - A

Ta cần tìm A sao cho g(5) #0 €»-/3.5+T~A=0»A=4

Vậy lượng liên hợp cần bớtcủa /3x+Ï là 4

-tìm được lượng liên hợp là 1 Đo đó ta có lời giải như phần A,

Như vậy với những phương trình có 1 nghiệm "đẹp" x = œ thì “lượng liên hop" cin bét& yr(x) 18 ro)

Cụ thể: ở ví dự trền, với r@) = 3x+1 và nghiệm x = 5 thì ta cần bớt ở ,[ï@x) =/3X+1 một lượng liên hợp là

“Tw vf dy này, tôi chỉ trình bày tư duy để tìm ra lượng liên hợp

- Nhấm được x= -1 và =2 là 2 nghiệm của (2)

LOVEBOOK.VN J16

- Giả sử lượng liên hợp cần bớt ở jx+2 là Ax+B

Khi do: g(x)= Vx +2 -(Ax+B)

Như đã nói ở trên ta cần tìm A và B sao cho g(-1)=g(2)=U

- Nhấm được x=œ và x=ÿ là nghiệm của phương trình đã cho

~ Với ,[ïf@) ta tìm được A, B sao cho:

XịX; +X, = =—T hay xụ, x; là 2 nghiệm của xˆ*~2x~7=0 s —- - &

C.MOTSO SAILAM MAC PHAT

mm toán bằng phương pháp liên hợp ta có thể phạm một số sai lầm nhỏ, nhưng lại làm lời cênh, đôi khi là lời giải sai Sau đây là một số sai lầm ta có thể mắc:

có thể là chìa khóa quan trợng của bước 4: xử lí phương trình sau khi nhân liên hợp Nếu một

số bại quên di TXB, sẽ khó trong việc đánh giá phương trình mới, đôi khi làm ta đi vào “ngõ cụt"

” Phúc tạp hơn rất nhiều

= BE trénh sai lầm này, khi sử dụng chức năng tìm nghiệm gần đúng SOLVE của máy tính cầm tay, giá trị ban

`” đầu bạn nên nhập 2 giá trị như -10 và 10 Tại sao lại thế?

Vì ở PT mức thi ĐH, nghiệm "thường" không quá lớn hoặc quá bé Do đó chỉ cần xét ở những khoảng này là

có thé giảm đi xác suất thiếu nghiệm

3) Nhân với biểu thức liên hợp có thé bing không với x thuộc TXĐ'

ý điều này vì khi nhân liên hợp, biểu thức liên hợp phải khác 0 với mọi x thuộc TXĐ

- Chỉ quan tâm đến biểu thức căn để tìm lượng liên hợp

~ Với những biểu thức không có căn dồn hết về cuối, chắc chắn sẽ phân tích được thành nhân tử

5- Tư duy đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình

DOAN TRUNG SAN

;STT GROUP - SV ĐH Y Hà Nội)

Trong những năm qua hpt là một phần khó quen thuộc trong các đề thi đặt học, cao đẳng và cũng là phần đêm lại khó khăn cho khá nhiều các em Vì vậy việc nắm các phương phấp và vận dụng chúng một cách linh hoat là điều vô cùng cần thiết

Hệ pt đã cho tương đương với:

{eng roc ~y)txy=1 ®

8p t đã cho có nghidm (x; y) Ha (1; 1); (05-1); (15 0); (-15 0); (-1; 3), iếp theo ta xem xét tiếp VD2 đổ so sánh giữa 2 ví dụ qua đó tìm ra đặc trưng và mấu chốt của các bài toán

Ï tưỡng tự 2 ví dụ này

LOVEBOOK.VN | 48

‘xt + 2x3 — 5x? + y? — 6x— 11 = Ú

‡Ww=7

+ Thí dụ 2: Giải hệ x2 + vi

Giải: ai

y>

kxđ:

¡ | <i

Khi d6, hé phương trình đã cho tương đương với:

ee oe no er aes (ese eee cy

:B- Tư duy giải toán

"Ta thấy cả 2 ví dụ trên chúng ta đều trải qua v8 bước:

B1: Tập trung đơn giản hệ đã cho (tách, nhöm hợp lý tạo nhân tử)

B2: Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng, có khi là nữả đối xứng

+ Phân tích thành hằng đẳng tức như đã thấy ở VD2: x® + 2x? — 5x? + y? — 6x + 9 = (x2)? + x? + (~3)? +

2.x2.x + 2.n2(—3) + 2:x (8) = (x? + x— 3)Phay ở ví dụ (1): XE + yŠ — 2xÊy = Ge = y)2

+ Phân tích thành nhấn'tử chung ở cả 2 phương trình như ở VD1: Thấy ở pt thứ 2 có x? — y) và xy, ta tập

trung phân tích pt thứ nihất thành (x2 — y) + xy(x? — y) + xự = Ngoài 2 kĩ năng chính trên, còn có một số yếu tổ đặc trưng như:

Những phần từ cồng kðnh (chứa căn thức, ) như Vy = 7(ở vd 2) thường sẽ cố định và đặt làm ẩn

để giắm sự cồng kềnh Khi cố định 1 ẩn phụ, việc tìm ẩn phụ còn lại sẽ dễ hơn

.6ó sự tương đồng về bậc của 2 biểu thức nào đó, thì đó sẽ là 2 ẩn phụ

Vd 2: fy? —7 xem như bậc 1 trong khi có y2 là bậc 2

xem như bậc 2 thì có x* + 2x3 — 5x2 — 6x xem như la bac 4 (2 x 2)

”ồng vào nhau Như ở đây có sự đan xen khá đẹp của kĩ năng phân tích nhân tử và phương pháp đặt ẩn phụ

Vi vay ban nên tiếp thu và tự rèn luyện kĩ năng và các phương pháp cho mình

'Ví dụ sau sẽ giúp bạn tự cảm nhận điều đó tốt nhất

LOVEBOOKLVN |19

4x2 + 3= —y(3% + 1)

Hướng dẫn;

Ta c6; 4x? tage —y(3x + 1) © (4x? + 3xy) + (3x +y) ~ 25 =0)

Phương trình (1) bao gồm cả phần bậc 1 và bậc 2 nên ta sẽ nghĩ đến 2 ẩn phụ là 2 biểu thức bậc Nhất, và

ân của (1) sẽ là:ab + a + b =m Ø

Ta lại thấy, phương trình (2): + y2

+%y vai trò ngang nhau + là tổng bình phương, không chứa tích

® Ta nghĩ đến dạng ẩn phụ: Đối hệ số,ngược dấu: Ếx + xy) và (ux — ty) eas 7

Khi đó ta phân tích: 4x? + 3xy + arty 0

“rên đậy là í tưởng của bài toán trên, bước thực hiện là ở các bạn” -

Qua céc vi dụ trên, hy vọng các bạn tiếp thu và vận dụng linh: hoạt kĩ năng phân tích và phương pháp đặt ấn Phụ đưa về hệ đối xứng,

sương pháp được sử dụng nhiều trong các bài toán hệ phương trình

bất kì em học sinh nào có thể vận dung được"

"Hằng đẳng thức là mị ene, ' pháp này khá đơn giải

KIẾN THỨC Cơ BẢN W

Bạn đọc cần phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ cơ bản trong sách giáo khoa Tôi không

"hắc lại ở đây nữa Ƒ

"Tự cảm nhận: »

YÊU cầu; Bạn đọc xẻm hhững ví dụ mẫu, điển hình của phương pháp để tự rút ra phương pháp và đối chiếu YỐi phan chia khốa tử duy giải toán

x)+y+x)y +xy?+xy Vidu 1; Giiibỹphương trình:

Lấy (1)~(3) ta được: xÌ +y° ~3x? =6y” =9— Ae (0) -3x? +3x—1) + (y? —6y? + 12y-8)=0

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (x;y) = cane{-

B Chìa khóa tư duy giải toán

Tư tưởng: Bất kỳ phương trình nào xuất hiện hằng đắng thức thì bước đầu tiên là ta nhóm ra hằng đẳng thi

đó Sau đó, dùng ấn phụ và các công cụ khác để xử lý Cứ nhóm ra được hằng đẳng thức là lời giải gỳ vate

Ma (x41) =x? 43x? +3x+1 Dé ra 3x”,3x ta cần nhân PHƯƠNG TRÌNH (2) với 3; đây cũng là biến đối đầu

tiên của ta Sau đó, việc còn lại ta chỉ việc + hoặc ~ hai PT(1) và (3) với nhadlà ra được HĐT ngon lành:

- Cứ thấy xuất hiện HĐT là phải nhóm ra

- Hãy nhẫn nghiệm để dự đoán HDT

- Để xuất hiện HĐT áp dụng chiến thuật cổ ngoặc thì phá, không có ngoặc thì nhóm vào

D Bài tập vận dụng v

Bài I: Giải hệ phương trình f (Trích 8 thi HSG quốc gia năm 2010)

3“ 414252 y2 =r

Bài 8: Giải hệ phương trình kem 15A0 lien

(xy? 3xy*— 2) = xy"(x+ 2y) 41

vee

7- Một số chú ý khi giải hệ phương trình

Pham Van Hing số ý 11/2009

Bài đăng trên tạp chí Tốn Học và Tuổi Trẻ số 389

Trong các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng chúng ta thường thấy cỏ bài tốn giải một hệ phương trình hoặc các bài tốn giải phương trình mà để giải được nĩ ta phải dẫn về hệ phương trình

Vì vậy; để chuẩn bị tốt cho kì thi đại học cao đẳng sắp tới, chúng ta cần ơn tập kĩ các bài fộn thuộc loại nay

Trong bài báo này chúng ta quan tâm đến cách giải một số hệ cơ bản và đơn giản sai 1.Hệ đổi xứng loại một

Một hệ pt hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại một nếu khi đổi vai trị x choy ick pt trong hé được giữ

nguyên Đối với hệ dang này, thơng thường chúng ta đưa hệ đã cho về hệ dạng cỡ bản

Lời giất: Ta cĩ 8 = (x? + y?)? — (xy)? = (x? + y? + xy)(x? + y?

X2+txy+y?=4 (x2+y?2=3 Íx+y=v§

=f prea xy=1 wea, he

Từ đĩ suy ra hệ đã cho cĩ tất cả bốn nghiệm

Do đĩ u,v là nghiệm của phương trình tế ~ + m = 0 (*)

Hệ đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi phương trình (®) cĩ cả hai nghiệm t khơng âm Điều này tương đương với

—=4m>0

A [ S=120 ®œ0<m<

ST Lời giất Đặtx + vốy tý = v | z 2/|v| > 2) Hệ đã cho trở thành

u+wes§ u+v=5

lo+e-s6 v2 15m — 10 © [uy =8— m

Do đĩ u, vjâ pghiệm của phương trình t? — 5t + 8 — m = 0 (*) Hệ đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi phương

trình (%} cổ hai nghiệm tạ, tạ thỏa mân |tạ| > 2 và |tạ| > 2

Từ đổ suy ra2 < m < 2 hoặc m > 22

' Trước hết, từ (2) cĩ |x| < 1 và |y| < 1.Hơn nữa 0 < x <1;0 < y <1

Thật vậy, nếu chẳng hạn =1 <x< 0thì xŠ + yŠ < 1,trái với (1) Lấy (1) trừ đi (2) theo vế ta được

xŠ(1 —x) +yŠ(1— y) = 0 Dễ thấy trong (3) mỗi số hạng đều khơng âm

of t+2=v x

4, Tim m để các phương trình sau có nghiệm: _ › a,WT=x+ŸWT+x=m AVTEsinx + VT+ sinx =m

II, Hệ đối xứng loại 2

Một hệ 2 phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu khi đổi vai trò x cho y thì phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại

| Đổi với hệ dạng này.thông thường chúng ta lấy mộtphương trình trừ đi phương trình kia và dẫn về dạng |

Lời giải: Lấy phường (1) (từ i phương trình (2) theo vế ta được:

x? —y? = y*—x3 + 4GỞ — y?) + BẦy — 3),

xiŒ—x) = y?(1— ÿ)

„®0=y3=x)~(=x3)(1=) =0

¬® (1—y)+y+y?)(1— #) ~ (1~*)(1+x+x?)( — y) = 0

®(~#)(~y)(y—x⁄) +x+y) = 0

+ Với 1 ~ x = 0 thì hệ có nghiệm là (x;y)=(1;0)

+ Với 1 — y = 0 thì hệ có nghiệm là (x;y)=(0;1)

1 €1) 2 đúng 3 nghiệm thực phân biệt

+ Với y— x = 0 thì x = y, thể vào phương trình (1) ta được x3 ‡ x? ~ 1 = 0

Xét ham F(x) = x3 + x? — 1 Dễ thấy đồ thị của hàm F(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, nên hệ có nghiệm x = y = xọ trong đó xạ là nghiệm của pt x” ‡ x? — 1 = 0

+ Với 1+ +y = 0,trường hợp này hệ không có thêm nghiệm nào

Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt (x;y) là (0;1),(1;0) và (xọ xo), với xạ là nghiệm của PT x? + x?

* Thí dụ 3: Giải hệ pt:

Lời giải:

Hiển nhiên x = y = 0 là một nghiệm của hệ Dứi dây xét x # 0 và y # 0

Cộng theo vế 2 PT trong hệ ta được:

1 Giải các hệ PT sau:

1 paged

oY = 2007 - 8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt vê

~~ "Pham Gia Linh (Ha Ndi)

Bài đăng trên tạp chỉ Toán Học và Tuổi Trẻ số 365

Để giải phương trình và bất phương trình siéu viét (mG, lô- ga- rit, lượng giác) ta cần nắm vững các kiến thức

cơ bản và phương pháp giải của nó

A.PT va BPT M, LOGARIT é

1 Các kiến thức cơ băn

1 Dinh nghĩa và các tính chất của lũy thừa (với số mũ nguyên, số!

2 Tính chất của hàm số mũ và lô- ga- rít

3 Các PT và BPT cơ bản Với mọi số dương m thì

Trường hợp a* < m,logạx < m xét tương tự

II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1) Phương pháp đưa về cùng cơ số

LOVEBOOK.WN |26

f9) > g(x)khi a > 1 fG) < gG9khio< a<1

ea) > ned — | Oa et ounte cae

Lời giải:

Đặt t= logx (t # 0) thì (6)có dạng — +2 > 3 tt = log, x có dạngTT—~ † + -SU 1 S2 ` 0e ~1<t< = hoậc0 <t<2

1

Khi đó ~ 1 < logax < —z hoặc 0 < logax < 2

Vậy tập nghiệm của (6Jà (T: 5) 00;4)

Thí dụ 7 Giải PT: 3.49 + 2.14%—4*#=0 (7) 4

Hướng dẫn:

Chia 2 vế của pt cho 4* rồi đặt t= @ Bot

Lưu ý 2: Mục đích của phương pháp đặn phụ là chuyển ác bài toán đã cho vẽ pt (hoặc bpd) hu tt da biết cách giải

Dang (a + Vb)" + (a— vb) #

Dang au2f + b(uv)f) + evo 0; thì nên chia cho v09 rội date = MT

Khi biến đổi pt về dạng af(x)2+ bf(x) + e = 0 (hoặc > 0)với f@x) = m#É9 hoặc f(x) = logm ø(x),ta đặt t

Thi dy® Giải pt 20? + 4) = 9°?

Hướng dẫn: Logarit cơ số 2 hai vế

emrctzrpt (9) 1a f2;1ogz 3 =2}:

„„ Êwu ý 3: Phương pháp logarit hóa rất có hiệu lực khi hai vế của pt có dạng tích các lũy thừa nhằm chuyển ẩn

sổ khỏi số mũ Cần nhớ

afŒ®) = b & f(x) = logạ b (0 < a # 1,b > 0);

af©) = p8 € log, af = log, b&™ e> f(x) = g(x) log, b

Với x < 1 thì 3X < 3! = 3 — logs 1 < 3 — logs x

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (10) Thí dụ 11.Giải PT 2* = 3Ÿ +1 (11) Lời giải:

Thí dụ 13 Giải Phương trình eae iL

Lời giải: Looogarit cơ số 2 cả hai vế của hai pty

ties Ty = 1 + 2leg, 4? đây là bọt bậc nhất ha ẩn, Giải tìm được y) = (2; 1)

‘Thi dy 14: Gidi HPT: ƒ&=1+J @®

1 Các công thức lượng giác

2 Các phương trình lượng giác cơ bản

LOVEBOOK.YN | 28

sinx = m,cos x = m, tan x = m, cotx = m

3 Phương trình đạng asin x + bcos x = ¢

asin? x + bsinxcosx + ccos°x = d

4,PT đưa về PT đa thức của một hàm số lượng giác

1I.MỘT SỐ THÍ DỤ

+ Thí dụ 17: Giải pt cotx + sinx (1 + tanxtan3) =4 a3)

Lời giải: điều kiện sinx # 0,cosx ø 0© sin 2x ø 0, Biến đổi vế trái của (13) ta có:

Se + sinx 2 4 = + = ang Su Pasi 2x = 5

sinx cosx cos sinx ` €0sx ` sin2x ?

5m

px soe

Vay x= ty + koa = 35 + km (e € 2) + Thí dụ 18: Giải PT cos*x + sin* x + cos (x~5) sin (3x

> sin® 2x + sin 2x— 2 = 0 «9 sin 2x = 1 (do [sin 2x) < 1) > x= = kek € Z)

© Thi du 19: Gidi PT tanx + tan? x + tan? x + cotx + cot” x + cot?x = 6 (15)

ời giải! K x24 (helt) Tact:

tanx-+ cotx= 2 € tanx= Lex = T+ kn,

+ Thí dụ 20: Giải phương trình: ~eas2xtan (x+ 2) tan (x= 2) (6)

Hướng dẫn điều kiện : xz mi + KE ket

m yy

Dotan (x +) tan (x5) = =1 đến (16)biển đối thành

(sinx — cosx)(1 — sinx)(1 ~ césx) = 0

tê % 5 Fat kon = Bene D)

+ Thí dụ 17: Giải pt cotx + sinx (1 + tanxtan2) =4

Lời giải: điều kiện sinx # 0,cosx # 0 2 sin2x # 0

Biến đổi vế trái của (13) ta có:

giữ = +sinx cosxcosŠ+sinxsinŠ cosx sinx ME CỔ mere

sinx cos x cos> sinx cosx

5 vay x 12 hag x= 35 + kre k €2)

m

+ Thí đụ 18: Giải PT cos* x + sin x + cos (x~3) sin (3x

Lời giải: Dúng biến đổi tích thành tổng, ta

rhein fe) sin ae 1 3

S2 —sin? 2x — cos 4x + sin2x-3 = 0

TaN RF COUN = (ANF COCR] =

tan? x + cot? x = (tanx + cotx)® — 3(tan x + cotx)

Đặtt = tanx+cotx ([t] > 2)thi YTQ8)86 đang, TẾ ~2t—~8 =0 £y t= 2.Do đó;

Dotan (x+ 3 tan(x-7) = ~1 iên (16)biến đối thành

(Ginx — cosx)(1 — sinx)(1 — cổs3Y = 0 ì h

Giải các PT , BPT sau:

1.3 sin? x — cos 2x‘ sii'2x + cos?x

2,tan 2x + cotx = 8 cos? x

9- Giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính Casio : Hồ Văn Diên

Lớp 12A1, trường THPT Thái Lão

LOVEBGOK.VN 29

"Thì ta nhập: 1 + sin(X) = - cos(X) - cos(2X) - sin(2Ä)

Nếu muốn dò nghiệm của phương trình 2y' =15y'~30y +148=0 (*)

‘Thi ta nhập: 2X* - 15X- 30X + 148 = 0 (nghiệm của phương trình này cũng là ¡ của (*), ta ch

Thực ra việc nhập giá trị khởi tạo cho X này khá quan trọng Vì thường thì máy tính sẽ dò nghiệm trong một

khoảng lân cận nào đó của X Vì vậy, đối với phương trình hữu tỉ thông thường thì việc này khá quan trong

Nếu giá trị khởi tạo không phù hợp thì nhiều lúc máy sẽ báo không đò được nghiệm (mặc dù (ẫn có nghiệm)

Còn đối với phương trình lượng giác thì do tinh chất tuần hoàn cha ham lượng giác nên có rất nhiều giá trị nghiệm đủ “phân bố” nhiều trục số Vì vậy nên việc tạo giá trị khởi đầu thực ra không Cần quan trọng lầm

Thể nhưng để tiện cho việc nhìn nghiệm lượng giác thì ta nên tạo giá trị khởi đầu nằm trong đoạn [0 ; 180}

(đối với chế độ là đổD) hoặc [0;x] (nếu dùng chế độ rađian R)

Đến đây ta chỉ còn việc chờ kết quả dò nghiệm, +) Nếu đò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba dòng như sau:

Nếu muốn tiếp tục việc đò nghiệm, ta bấm pm[SÏ Continue :

~ Dòng 2: Giá trị hiện tai ca X, =

~ Dong 3: L-R = <Sailéchhatvé> + ^„ L-R=

Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm tấm phim [AC|

+) Nếu máy không thể đò được nghiệm: Lúc này màn hình sẽ hign Can't Solve, e Can't satve Điều này có hai nguyên nhân Thử nhất là phương trình đã | {Ac]

nhập luôn vô nghiệm Thứ hát có thé là do giá trị khởi tạo | [4 [®]

không được phù hợp Vì ậy 1a có thể tiếp tục công việc dò nghiệm bằng cách một trong hai nút điều chỉnh|4]hoặc ƒ>| để trở lại bước nhập phương trình và cho một giá trị khởi tạo phù hợp hơn,

-Wfdụ 2iãi phương trÌnh sau: 2x4 2194? 4474? -180=0

Đầu tiên ta nhập phươhg trình vào máy: 2X* + 19X + 47X? - 180 = 0

Bấm | SHIFT sau đó nhập giá trị khởi tạo là [1 | chẳng

hạn và bấm eel màn hình hign két qua X = 1,5 với độ sai | 2x4+19X34.47X2-180=000nh

Lư ý: Khi nhập phương trinh dang f(x) =0 ta có thể không nhập phần “= 0” của phương trình mà chỉ cần

nhập f(x) Và tôi cũng khuyên các bạn rằng nên bỏ phần "=0" của phương trình, không nên nhập phần này

Một phương trình dạng f(x)=g(x) (ví dụ x”—=3x=1~3x”) thì đầu tiên ta nên chuyển nó vé dan;

f(x)~g(x)=0 để nhập (và không nhập phần "=0”) és

Một mẹo để không cần viết nháp giai đoạn chuyến vế F(x) —g(x)=0, 46 la ta nhập kiểu:

f(x)~[Cø(x) )| và bấm [SHIET S0LVR

Nguyên nhân tại sao lại nên nhập như vậy thì tôi xin trình bày như sa

~ Khi nhập phương trình dạng f(x)=0 hay f(x) =g(x) thì do chứa đấu = nên nu ta nhập sai sót mà lỡ bấm

BHIET_ SOLVR rồi thì sẽ không sửa được, tức là mất thêm thời gian nhập lại Thời gian nhập một phương,

trình (nếu một phương trình phức tạp hoặc một phương trình lượng giác) không phải ¡là ngắn, còn thời gian

sửa một phương trình thi sé rất ít

~ Khi ta chỉ nhập phương trình mà khuyết dấu

bước như sau:

Sau khi nhập phương trình, ta bấm nút [=] đế tính giá trị của biểu thức vừa nhập với giá trị biến X là giá trị

hiện thời được lưu Lúc này máy tính sẽ lưu lại trong bộ nhớ biểu thức vừa hÌập Máy tính sẽ hiện kết quả

tính được (ta không cần quan tâm kết quả này) mà cứ tiếp tục bấm như thường

Nếu sau khi bấm SHIFT SOLVE) ma ta biết đã nhập sai phương trình ñ) bấm liên tục nút [AC ] cho đến khi

xuất hiện màn hình trắng (chú ý không bấm [ON] nếu bấm [ON thì tất vä bộ nhớ tạm thời về biểu thức đã

nhập sẽ “bay” đi hết) Sau đó bấm nút|<4|là phương trình sẽ hiện lại cho chúng ta

Trên đây là các bước cơ sở để thực hiện các phép đò nghiệm Paice cho một phương trình lượng giác = chủ

Thực ra việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc sẽ cho:kết quả không như ý ta nếu phương trình lượng giác

đó có nghiệm "không đẹp chút nào” Vì vậy các bạn đừng nên quá dựa dẫm quá vào chiếc máy tính đang cầm

trên tay mà hãy trang bị một kiển thức thật vững chắc! l

ên về việc phân tích nhân tử chung để giải phương trình lượng,

~ Phương trình siny = =1 có nị ~5 +k2r (biểu diễn trên đường tròn

lượng giác chỉ là một điểm B)

= Phuong trình sinx = Ô:cð nghiệm là x=km (biểu diễn trên đường tròn lượng

giác bằng hai điểm A Vira’)

~ Phương trình cồs

~ Phương trình cos,

1 có nghiệm là x=k2m (biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ là một điểm A)

~1 có nghiệm là x=++ k2z (biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ là một điểm A?)

2 +m (biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm B và B)

~ Phượng trình cosz = ø (với ~1 <z»< 1) có hai nghiệm đối nhau (biểu diễn trên đường tròn lượng giác

biog’ liểm đối xứng nhau qua trục ngang)

= Phương trình cosx= 0 có nghiệm là x

aor bint ars ty co hai nghiger bir tra biết diễn © OnE Bi E

'ïai điềm đối xứ ng với nhau qua trục dọc)

› Phương trình tanx = zm có hai họ nghiệm hơn kém nhau một lượng là x (biểu diễn trên đường tròn lượng

giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua gốc O

LOVEBOOK,VN|32

Từ những nhận xét tưởng chừng như đơn giản trên mà chúng ta sẽ rút ra một số kinh nghiệm giải phương trình lượng giác như sau:

~Nếu một phương trình lượng giác có hai điểm biểu diễn là

là (sinx- 0) hay chính là sinx

~ Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là A (mà không có Ä) thì có thể nó có một nhân tử chút

‘cosx~ 1)

4 'Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là A' (mà không có A) thì có thể nó có một nhân tử chung là (cosz+1)

~ Nếu một phương trình lượng giác có một điểm biểu diễn là điểm B và B thì có thể nó có một nhấn tir chung

là (cos x~ 0) hay chinh la cos x

~ Nếu một phương trình có một điểm biểu diễn là R (mà không cé B’) thì có thể nó có

~ Nếu một phương trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục tữang thì nó có thể có một nhân

tử chung là (cos x /) (với m giá trị lượng giác cos ứng với hai điểm đó: `! ˆ

~ Nếu một phương trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau aia Be O thì nó có thể có một nhân tử chung là (tan x~ z) (với zngiá trị lượng giác tan ứng với hai điểm đổ) `

Thành thạo việc tư duy bằng đường tròn lượng giác như thế này sẽ giúp việc giải phương trình lượng giác đơn giản hơn mà không cần vẽ đường tròn lượng giác!

Hai cách làm sau đây thực ra là giống nhau, vì vậy ai mud Si dung cach nào cũng được Với những bạn mới sit dung tht toi vẫn khuyên các bạn dùng cách thứ nhất, và máy tính nên để ở chế độ là đ6Ð[bởi vì việc nhập, céc gid tri radian lâu hơn một t0

Gch 1,Giải bằng chúc nang CALC |bằng cách thông đụng

Bước 1;Nếu phương trình có hai vế thì chuyển hết Về một về để được phương trình f(x) =0

Sau đó nhập f(x) vào trong máy -

Bước 2;:Lần lượt thử các giá trị lượng giáp đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng | CALC}_ Giá trị nào làm

giá trị f(x)=0 thì đó chính là nghiệm của phương trình

ủa phương trình thì đánh dấu ngay trên đường tròn lượng giác

Yá ở mục II1 ta nhận định nhân tử chung (có thể nhận định được nhiều cách phân

.Gích 2; Dùng chức năng CALCkối ưu hơn

Bước 1:Giống Bước 1 của cách 1,

c2)Lầi lượt thử các giá trị lượng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng [CALC] Gia tr] nào làm aid tri F(x) =0 thi dé chinh la nghiệm của phương trình và ta dimg lai & d6 Giả sử nghiệm vừa tìm được là œ

+) Giá trị NGƯỢC PHA với œ, tức là (œ + 909), Nếu (œ + 909) cũng thỏa mãn thì nghĩ đến nhân tử chung là

(tan x~ tan œ) hay chính là (sinx~ tan a cos 2) (tùy trường hợp mà ta sử dụng nhân tử chung nào cho hợp

mi

in đối với trường hợp œ có biểu diễn là một trong các điểm A, B, A', E thì việc làm này có thể "thừa" Cụ

thể là nếu trong ba giá trị DOI, BU va NGƯỢC PHA trên đềukhông thỏa mãn phương trình thì tùy giá trị củấu 7

mà ta sẽ nghĩ đến các nhân tử chung khác nhau (ví dụ như a la diém A thi nhân tử chung,

Nếu œ có biểu diễn là khác tất cả các điểm A, B, A', B' mà các giá trị ĐỐI, BÙ và NGƯỢC PHA trên aaa

thỏa mãn thì ta phải quay về Bước 1 đế thử các giá trị khác

Bước 4;Thử phân tích thành nhân tử chung

Bước 1:Nhập phương trình vào máy Bước 2:Nhập gid tri khởi tạo trong [ 0 ; 360 ] và dò nghiệm

Sở dĩ ta không dùng chế độ rađian vì nghiệm khi hiển thị ra rất lẻ, nó không ở các dáng hay a

Vida 38 thi Đại học Khối B năm 2005)

Giải phương trình lượng giác: 1+ sinx-+-eosx + sin2x + cos2x

Cách 1:Thử các giá trị đặc biệt ta thấy các giá trị thỏa mãn là-120”, 135°, 45°, -120°

‘Thay rng 120 và ~120 là hai giá trị đối nhau, còn 135 và =45 là các giá trị ngược pha nhau Vậy nên ta nghĩ

đến hai nhân tử chung có thể có của phương trình là: „` ”

(cosx = 08120") hide (tan x tan 135°)

Hay chính là (cosx > hoac (sinx +cosx) (phương trình này chỉ chứa sin và cos nên ta ưu tiên lấy dang (

sinx +cosx) hơn là lấy dạng ( tanx +1))

Thử phân tích theo nhân tử (eosx+2) 158 ưu tiên nhóm sin2x trước (luôn là vậy đối với phương trình

dạng này) Sổ hang mà khi nhóm với sia2x mà xuất hiện nhân tử chung như trên chính là sinx

(Thực ra ngoài nháp ta làm như sau:

2sinx| CORED —sinx

Với hướng đó ta phân tích phữơng trình như sau:

(sin 2x + sinx) + (1+cos2x+.cosx)=0

Một câu hỏi nho nhỏ đặt ra: Ta phải dùng công thức nhân đôi đối với số hạng cos2x như thế nào trong ba

công thỨc: cos2x = 2cos*x-1 = 1-2sin? x =cos*x-sin?x cho hgp lý?

Xiñ được trả lời như sau: Các bạn phải xác định nhân tử chung chứa hàm gì?

~ Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sin thì ta quy cos2x=1~2sin” x (tức là quy cos2x về sina),

~ Nếu nhân tử chung chứa CẢ HAI ham sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta qui

Cách 2:Thử các giá trị đặc biệt từ 09 trở đi, ta dừng lại tại giá trị « = 1209, Bấm thấy ngay giá tri -1209 cling

thỏa mãn nên ta đoán nhân tử chung là (cosx + ?

Tiếp tục cách giải như trên

Cách 3:Nhập phương trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế độ là độ) thì sau

khoảng gần 20smáy tính cho kết quả ~459, Thực hiện lấy các giá trị góc ĐỐI (459), BÙ (2259).thỲ đến giá trị

NGƯỢC PHA mới thấy thỏa mãn Như vậy đoán được nhân tử chung là (tanx~tan(~455}) hay chính là (

sinx+cosx)

Vẫn ưu tiên nhóm sin2xtrước Làm nháp:

sin 2x =2sinxcosx = 2(sinx + cosx)cosx—2c0s” x = 2(sinx +cosx)cosx—(cos2x +4) Vi vay nên để hop lý ta

sẽ nhóm sin2x với (cos2x + 1) xi Nếu phân tích theo cách:

49 2(sinx+.cosx)sinx+(2eos* x—2sin* x) + (sinx +-cosx]

Đến đây thì không khó để phân tích thành nhân từ chung (si x`Ý c0sx) Vid D8 thi chon I6p 12 năm 2012 - 2013 THPT Thái lito)’

sin2x —3cos2x + 11sỉn x— SUS =

Với dạng phương trình này thì cách giải lại còn được rút ngần hơn nữa!

'Thấy rằng thật không đẹp chút nào khi cho cái Indu đó vào Vì nếu bình thường thì ta chỉ cần giải phương trình từ = 0 là được rồi Suy luận như thế cho thay rằng việc cho cái mẫu như vậy chỉ là để loại nghiệm mà thôi Vì vậy nên trong các giá trị thỏa mãn:để mẫu = 0 sẽ có ít nhất một giá trị là nghiệm của phương trình tử

~ Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sỉn thì ta quy cos2z= 1~2sinˆx (tức là quy cos2z về sina)

- Nếu nhân từ chung chứa CẢ HAI hàm sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta i

"Tiếp tục cách giải như trên

Cách 3:Nhập phương trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế độ Tà độ) thì sau

khoảng gần 20smáy tính cho kết quả 459 Thực hiện lấy các giá trị góc ĐỐI (45*), BU (225%) thỲ đến giá trị

NGƯỢC PHA mới thấy thỏa mãn Như vậy đoán được nhân tử chung là (tanx~' e4) hay chính là (

sinX+eosx) ¢

'Vẫn ưu tiên nhóm sin2xtrước Làm nháp: `

sin 2x =2sinxcosx = 2(sin x + cosx)cosx—2c0s” x = 2(sinx +cosx)cosx—(cos2x +4 Vi vay nên để hợp lý ta

sẽ nhóm sin2x với (cos2x + 1)

Nếu phân tích theo cách:

(sinax + 2sin? x) + (cos2x+1~2sin? x +sinx-+c08x)=0

= 2(sinx-+cosx) sinx + (2c0s?x~2sin® x) +(sinx-+cosx)=0 <7

Đến đây thì không khó để phân tích thành nhân tir chung (sin x ¥cosx)

Vidy 44 8 thi chon lớp 12 nam 2012 - 2013 THPT me

Giải phương trình: 2sin2x =3eos2x +11 sin x —2cosx — SS

2cosx-J3

'Với dạng phương trình này thì cách giải lai còn được rút ngắn hơn nữa!

‘Thay ring thật không đẹp chút nào khi cho ci indu d6 vào Vì nếu bình thường thì ta chỉ cần giải phương, trình tử = 0 là được rồi Suy luận như thế cho thấy rằng việc cho cái mẫu như vậy chỉ là để loại nghiệm mà thôi Vì vậy nên trong các giá trị thỏa mãn để mẫu = =0 sẽ có Ít nhất một giá trị là nghiệm của phương trình tử

=0 ey

TS

DIEU HIER COKE“ REE TRIE VERE TKI

Phương trình đã cho tương dir `2sin2x—3cos2x+11sin~2eosx=4=0- (),

x

Dùng máy tính thử ta thấy ngay x =-” + k2x thỏa mãn phương trình trên Ap dụng cách 2 ta thử thấy giá trị

bù với nó làx = ¬ thỏa mã phương trình trên Như vậy ta dự đoán phương trình sẽ có một nhân tử chung

& 1 4, š

BGsine~3) lVỪ

Ta phân tích đợc ty: 2sin2x = 4sinxcosx = 4{ sins ~ Seow = (-2cosx)

Như vậy td’s8tthém 2sin2xvéi (-2cosx) Trinh bay lời giải như sau:

na 2cosx) ~3cos2x + 11sinx~4=01

dường như những cách đó đều cho ra một kết quả!

.Wdh 6Á Đề thi Đại học Khối B năm 2011)

Giải phương trình lượng giác: sin2xcosx +sinxcosx =cos2x +sinx+cosx

'Thử đến giá trị 60, ta dừng lại và thử thấy ~60° cũng thỏa mãn phương trình nên có thể nhấn tử chung của phương trình là (cosx~ 3)

‘ie chung (cosx- 3)

Thực hiện lời giải như sau:

sin 2xcosx + sinxcosx = cos2x+sinx +cosx

2 {sinxcorx~Zsins{sinaxconxB) = cos2x-+cosx

<> sinx| cosx~= |4+-2| sinxcos’x—=sinx |= 2cos*x-1+ dnfler- if vnndehlne| Stang

cosina conn), 2sina{ cos? x4) 2cos2x+-cosx—1

.W[ dụ Z⁄(Đề thí Đại học Khði A năm 2007)

Giải phương trình lướng giác: (1+sin”x)eosx+ (1+ eos x)sinx = 1+sin2x

Phương trình này không khó, thoạt nhìn ta cũng có thể nhận thấy ngay tính đối xứng của hai vế trong phương trình, Chứng đều chứa nhân tử chung (sinx + cosz) Thế nhưng hãy thử giải phương trình này bằng hướng khác Xentr sao nhét

Còn đối vối Bạn nào vẫn chưa tính ý thì đầu tiên ta thử các giá trị lượng giác bắt đầu từ 04, Giá trị thỏa mãn đầu tiên chính là 09, Thử giá trị bù với nó (tức 1809) ta thấy không thỏa mãn Như vậy có thể phương trình này có nhấn tử chung là (osx~ 1)

Để thầy đối cách giải một chút, ta sẽ áp dụng cách thêm bót sau: "Ta cứ thêm cho đủ nhân tử chung rồi trừ đi Jong vừa thêm, cụ thể ta thực hiện:

<{4+ sin? x)(cosx—1) +(1 + sin? x) +(cos? x—2eosx +1)sinx + 2sinxeosx =1+2sinxeosx

<> (cosx—1)(1+sin? x-+sinxcosx —sinx) + (1-cosx)(1+cosx)=0

<9 (cosx—1)(sin? x + sinxcos x—sinx—cosx) =0

<2 (cosx ~1)(sinx + cosx)(sinx-1)=0

Các giá trị nghiệm đặc biệt: 09 (điểm A) ; 909 (điếmB) ; 1350 và ~450 (ngược pha nhau):

Từ đây có thể thấy phương trình có các nhân tử chung là (cos- 1), (sinx~ 1) và nhận từ (sinx-+ cos4)!

Giải phương trình lượng giác: 4sinx+cosx+3sin xtanx~3tanx=3 (1)

Điều kiện xe Fk (keZ)

HTượt thữ các giả trị Bắt đầu giá trị ngược pha là tÌ

(sinz+ cos>) ỹ

"Ta thêm bớt cho đủ nhân tử chung (tanz + 1): 7

(1) © 4sinx+ cosx+[3siax(tanx +1)~3sinx]~3(anx+1) +33

META tal Bra UT ISS THOT i

a mãn phương trình Vậy phương trình sẽ có nhân tử chung la (tanx + 1) hay chính là

Giải phương trình lượng giác: sin2 =eosBx + cos7x + cos6x—sinx (1) ighiém của phương trình

Với những bài toán mà chứa các số hạng với các giá trị lượng giác là bội số khá lớn của ẩn (nhự bài toán này

thì đó là 6x, 7x, 8z) thì ta nên sử dụng Cách 1 (có thể phối hợp thêm cách 3) Bởi vì khi đó ta sẽ có cái nhìn bao quát về các nghiệm của phương trình và có thể chọn được nhân tử chung phù hợp nhất

Ta thường giải những phượng trình như thế này đó là áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng cho thật hợp lý để có thế làm giảm được bội số của x và để đễ dang nhìn nhận nhân tử chung

Các giá trị lượng giác thỏa tnăn phương trình trên là 459, 1209,~1200, -1359,

Nhóm từng cặp nghiệm ta thấy có một cặp đối nhau (1209 và ~1209) và một cặp ngược pha nhau (459 và ~

1350), Vi vay ta dự đoấn phương trình sẽ có nhân tử chung là (eeszt2) hoặc (tanz - 1)

Nếu nhân tử €hùng là (cosz+- ; ) Liic đồ ta sẽ nhóm được sin2x và sinx để xuất hiện nhân tử chung này Vậy

la ba số hạng còn lại:cos8x+cos7x+cos6x Dùng công thức biến đối tổng thành tích:

cos8x Ýcos6x =2oos7xcosx, ta thấy được ngay nhân tử:

cos8x +08 6x +c0s7x = 2cos7xcosx +c0s7x =(2cosx +1)cos7x

———-YYvậy memta sẽ trình bày TờT giải như saur

(Q) © (Gin2x + sinx)~[ (eos8x+ eos6x) + cox7x ]=0

9 (2c0sx +1)(sinx —cos7x) =0 Đến đây có thế tiếp tục giải được phương trình

Với bài toán trên, ta cũng nhận xét rằng do bội số của x khả lớn làm chu kỳ Luần hoàn gi

"kha im” phan bo trén dirong tron rT

thì sẽ gây rắc rối cho người phụ thuộc máy tính Như với bài toán trên, nếu nhìn nhận nhân tử chung là (tanx

~ 1) thì hướng đi sẽ rất phức tạp và khó nhận được kết qua

Phương pháp này được áp dụng cho phần lớn các bài toán giải phương trình lượng giác mà chữa bội số của

x, cu thể là đối với 3xở dạng cơ bản như: :

1.acos2x + bsìn2x-+ ccosx+ đsỉnx+e=0

2,acos3x + bsin 3x + ccos2x + đsin2x +ecosx + fsin x + g =0

Sau day là một số bài tập áp đụng:

Giải các phương trình lượng giác sau:

1.(Khối A, A; năm 2012): x|3 sin2x +cos2x =2cosx~1

sin2x +2cosx— sinx~1

tanx+ 3 3.( Thi tht đại học THPT Thái Lão năm 2012):

6sin” x + sin2x —15cos|

4 (Xhối A năm 2002): Ca 1+2sin2x

cos2x QÓ

14+ tanx `:

6(Khối ð năm 2004): 5sinx~2=3(1~$inX) tan? x

7.(Äíhối Ð năm 2008): 2sinx(1,+ cos2x)+ sin2x = 1 +2cosx

(GV THPT Lê Hồng Phong, Biên Hòa, Đồng Nai)

Đài đăng trên tạp chỉ Toán Học và Tuất Trẻ số 394

10- Một

Phương trình lựợng gide (PTLG) luôn xuất hiện trong các đề thi đại học và cũng gây không ít khó khăn cho che thi sinh Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một số điểm cần chú ý khi giải che PTLG V8 phương pháp chung thi để giải PTLG ta sit dung các công thức biển đổi lượng giác đựa phương trình ban đầu

về PTLG thường gặp

Ching ta bign đổi PTLG theo các hướng sau:

1 Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cosin

ới dạng này ta cần lưu ý một số biến đổi sau:

Sink VBcosx = 2sin (x5) = cos (x #2)

<OMisinx + cosx = 2sin (x2) = 2005(x #5)

sinx 4 cosx = V2sin (x5) = VZcos (x2)

+ Thí dụ 1: đả phương trình sin 3x — V3 cos 3x = 2sin 2x (1)

tời giải: Ta có sin 34— Vỗ cos3x*= 2sin(3x—3) nên (1) € sin (3x =

5 é Đối chiếu điều kiện ta có x = = + 2nw,n S8 là nghiệm của phương trình đã cho

© 1 = cos4x.cos 6x = sin=S*/sinF € 1-5 (cos 2x + cos 10x) = 5 (cosx — cos 10x)

© cos 2x + cosx— 2 = 0 CẾ2cos2x + cosx — 3 = Ũ © cosx = 1 © x=k2k EZ

+ Thí dụ 5: Giải phương trầnh tan (T~ x) = 5sin2x + 1(4)

i Didu kign: cosx # 0 2 x #5 + len