sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toántrung học phổ thông. Các bài toán về phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi những năm gần đây. Các bài toán này thường gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh, trong đó quan trọng nhất là bước định hướng tìm lời giải bài toán. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng khi giải phương trình vô tỉ và định hướng lựa chọn phương pháp hợp lí qua các bài toán cụ thể. Trong quá trình giảng dạy ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tôi nhận thấy học sinh rất hứng thú với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình vô tỉ từ đó đề xuất ra các giải pháp tốt nhất để giải bài toán. Cách làm này sẽ giúp học sinh tích cực hơn khi tiếp cận các bài toán phương trình vô tỉ và phát huy được tính chủ động, sáng tạo cho các em trong giải toán.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG ĐỊNH

HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Lĩnh vực/ Môn: Toán

Năm học: 2014 – 2015

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải

em trong giải toán

Với những lí do trên, tôi xin hệ thống một số dạng toán về phương trình vô tỉ, các phương pháp giải và cách tiếp cận lời giải những dạng toán này thông qua việc nghiên cứu đề tài:

“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình

vô tỉ”

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2013 - 2014, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện, tôi nhận thấy đa số học sinh giải thành thạo

phương trình vô tỉ dạng cơ bản hoặc đơn giản nhưng các bài tập nâng cao khiến các em tỏ ra lúng túng và lo lắng khi chưa có định hướng làm bài Chính điều này phần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng

kiến kinh nghiệm: “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ”

III MỤC ĐÍCH

Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng sáng tạo khi giải các bài toán nâng cao hoặc một số đề thi Đại học – Cao đẳng về phương trình vô tỉ, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê sáng tạo cho các

em, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm : “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ” áp dụng cho khối 12 ôn thi Đại

học – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 ở trường THPT Tùng Thiện

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo các ví dụ với cách

sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ của phương trình

vô tỉ từ đó lựa chọn các phương pháp, đề xuất hướng giải quyết bài toán giúphọc sinh phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn cácphương pháp giải phương trình vô tỉ

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Điều kiện của phương trình vô tỉ

- Phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệquả, phép biến đổi hệ quả

- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

V ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi khối 11 – 12 củatrường THPT Tùng Thiện trong hai năm liên tiếp

Đội tuyển học sinhgiỏi 11

10

2014 – 2015 Đội tuyển học sinh

giỏi 12

10

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đạihọc, Cao đẳng những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi Thành phố HàNội và một số tỉnh khác

- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thựchiện

- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh

- Dạy thực nghiệm trên lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện năm học

2013 - 2014 và trong lớp bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về phương trình vô tỉ trong một số đề thi Đại học – Caođẳng và đề thi học sinh giỏi trong quá trình ôn tập cuối năm lớp 12 và bồidưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường

VIII ĐIỀU TRA CƠ BẢN BAN ĐẦU

Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều khó khăn, lúng túng khi giải các bài toán nâng cao về phương trình vô tỉ như:

Cụ thể qua khảo sát tác giả tạm phân loại học sinh như sau:

 Loại A: Có lời giải chính xác, hoàn chỉnh

 Loại B: Có lời giải nhưng chưa chặt chẽ đầy đủ

 Loại C: Có lời giải nhưng lời giải sai

 Loại D: Không có lời giải

 Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài:

Trước khi thực hiện đề tài, kết quả khảo sát bài toán ví dụ 6 trong đề tài này đối với lớp 12A4 và đội tuyển học sinh giỏi lớp 11 của trường THPT Tùng Thiện (năm học 2013 – 2014) như sau:

Tổng sốhọcsinh

Loại A Loại B Loại C Loại D

I KIẾN THỨC CƠ BẢN HỌC SINH CẦN NẮM VỮNG

1) Phương trình vô tỉ dạng cơ bản:

3) Cách sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS tìm nghiệm của phương trình vô tỉ:

a) Tìm nghiệm hữu tỉ của 1 phương trình vô tỉ:

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình:

1

Nghiệm của phương trình là

x = 1 CALC

b) Kiểm tra số nghiệm hữu tỉ của một phương trình vô tỉ

Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :

hai nghiệm và đề xuất phương pháp giải phương trình : nâng lũy thừa hai vế hoặc trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc chia trường hợp của x trên tập xác định của phương trình để tách căn thức và giải phương trình

c) Tìm nhân tử của phương trình có nghiệm vô tỉ:

Ví dụ: Tìm nhân tử của phương trình: 2

4x  14x 11 4 6  x 10 ( Sau khi

bình phương 2 vế phương trình sẽ được phương trình hệ quả là phương

lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm và biến đổi phương trình bậc 4 về

dạng tích để giải phương trình đó).

 Cách thực hiện:

Thao tác trên máy tính

Nhập phương trình

(4X 2 +14X+11) 2 = 16(6X+10)

CALC 9

(4X 2 +14X+11) 2 = 16(6X+10)

CALC -2

-2

-1.651387819

Nghiệm của phương trình

A.B -0.25

Để giúp các em học sinh phân tích hướng giải một phương trình vô tỉ

bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, tôi xin trình bày các ví dụ tiêu biểu sau

đây được chọn lọc trong các đề thi Đại học – Cao đẳng các năm gần đây và

một số đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh, thành phố Từ đó giúp các em

hiểu sâu sắc hơn về các phương pháp giải các phương trình vô tỉ, tự tin hơn

khi đứng trước các bài toán giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x  2 2 x  1 x  1 4(1) ( Trích đề thi

Đại học khối D năm 2005)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 3 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp giải.

  (Thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

  (Thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

  (Thỏa mãn điều kiện )

Với t = 2  x   1 2 x 3 (Thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 1 x2  3x  1 0(2) ( Trích đề thi Đại học khối D năm 2006)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp giải.

2 2

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: 1;2  2

Cách 3: Trục căn thức tạo nhân tử chung

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: 1;2  2

 Nhận xét: Trong cách giải 3 học sinh sẽ gặp khó khăn nếu

thêm bớt để trục căn thức, tạo nhân tử chung (x – 1), do đó đòi

thì bài toán trở nên đơn giản!

( Tổng quát lên khi dùng máy tính cẩm tay tìm được nghiệm

hữu tỉ x = a thì ta có thể có hướng thêm bớt, trục căn thức tạo

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: 1;2  2

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 3 3 x 2 3 6 5   x 8 0  (3) ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2009)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = -2 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp giải.

 Một số cách giải:

Cách 1: Phương pháp đặt 1 ẩn phụ

Với t = -2  x = -2 (Thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2

 Nhận xét: Vì phương trình (3) có nghiệm nguyên x = -2 nên

lũy thừa thì thu được phương trình bậc 3 có nghiệm nguyên và bài toán trở nên đơn giản!

   

2 3

3 2

2

8 2 3

8 2

3

8 2 3

15 4 32 40 0

8 2 3

2 15 26 20 0 2

a a

a b

a b

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 5 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là ( x- 5)

 Giải: Điều kiện : 1 6

 Nhận xét: Với bài toán này thì các phương pháp khác sẽ thực

hiện rất khó khăn Nếu không sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm x = 5 thì rất khó định hướng cách giải!

Ví dụ 5: Giải phương trình: 5x 1  3 9  x  2x2  3x 1 (5)

( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2012 - 2013)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là (x – 1)

2 3

2 33

2 33

( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2013 - 2014)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình

2x2  2x 52 4x 12x2  3 ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập phương trình hai lần, dùng SHIFT – CALC ) sử dụng lệnh gán

2

khi bình phương 2 vế phương trình thì thu được phương trình

3 3

x  x hoặc 3x2  4x 2

từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp nâng lũy thừa đưa về phương trình hệ quả hoặc phương pháp khác (Đòi hỏi sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh).

( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2011 - 2012)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

và x = 0 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp nâng lũy thừa hoặc phương pháp khác.

x x

x

x

Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là : 0; 1;  5 12 

Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là : 0; 1;  5 12 

1 cos 1 cos sin 0

sin 1 cos sin 0

sin sin 2 sin 1 0

sin 0 sin 0

sin 1 sin 2sin 1 0

5 1 sin (Dosint 0)

( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2014 - 2015)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc phương pháp khác.

2 2

Khi đó, phương trình (*)  x 1

Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1

thêm bớt để trục căn thức, tạo nhân tử chung (x – 1), do đó đòi

và để ý giá trị của x suy ra được từ phương trình (8) thì bài toán trở nên đơn giản!

Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1

trình có nghiệm duy nhất thì ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá Trong phương trình (8) có thể dễ dàng biến đổi vế

giá trị không dương.

Ví dụ 9: Giải phương trình: 15x5  11x3  28  1 3  x (9)

( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2006 - 2007)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm

ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = - 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc phương pháp khác.

Do đó, phương trình (*)  x 1 (Thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất x = -1

( Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ – Vòng 2 - năm 2008 - 2009)

 Phân tích hướng giải:

Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình

x2  5x 102  60 24  x 5x2 ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập phương trình hai lần, dùng SHIFT – CALC ) sử dụng lệnh gán

khi bình phương 2 vế phương trình thì thu được phương trình

từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp nâng lũy thừa đưa về phương trình hệ quả hoặc phương pháp khác (Đòi hỏi sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh).

 Một số cách giải:

Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa

 4 ( không thỏa mãn(A))

3 13 ( không thỏa mãn(A))

Vậy phương trình (10) cĩ tập nghiệm là   2 14; 3   13

Cách 2: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung

2 2

2 2

2 14 (không thỏa mãn điều kiện )

2 14 (thỏa mãn điều kiện )

3 13 (thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình (10) cĩ tập nghiệm là   2 14; 3   13

 Một số bài tập thực hành: Giải các phương trình sau:

III KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Trong 2 năm học 2013 – 2014 và 2014 - 2015, tơi đã vận dụng sángkiến kinh nghiệm này vào các tiết dạy ơn tập cuối năm lớp 12A4 và các buổidạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 11, 12 của trường THPT TùngThiện và đã thu được những kết quả rất tích cực Tơi nhận thấy các em đãgiải thành thạo một số dạng phương trình vơ tỉ nâng cao; tích cực đưa ranhững lời giải hay, ngắn gọn, logic; quá trình ơn luyện cho học sinh giỏi ởtrường đạt kết quả cao hơn; các em đã tự tin, khơng cịn lúng túng khi gặp

những dạng toán khó; nhiều em thể hiện càng ngày càng yêu thích bộ môn

Toán Đặc biệt trong kì thi chọn học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm học

2014 – 2015, cả hai em học sinh dự thi đều giải thành công phương trình vô

tỉ trong đề thi và một em đã đạt giải nhì Thành Phố

Cụ thể qua kiểm tra đánh giá cho kết quả như sau:

Lớp

Tổng sốhọcsinh

Loại A Loại B Loại C Loại D

12A4 (Trước khi thực hiện đề

12A4 (Sau khi thực hiện đề tài) 43 8 18,6 16 37,2 17 39,5 2 4,6

Đội tuyển học sinh giỏi 11

Đội tuyển học sinh giỏi 12

C - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Qua một năm thực hiện đề tài, kết quả lớn nhất thu được là học sinh tựtin hơn trong các bài toán giải phương trình vô tỉ Đặc biệt đề tài còn kích

thích được học sinh hứng thú tìm tòi thêm bài tập, say mê sáng tạo, phát huy

tính tích cực chủ động đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư

duy lôgíc cho học sinh

Đó chính là động lực thúc đẩy tác giả tiếp tục đi sâu nghiên cứu các lĩnh vực của khoa học phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông nhằm

trang bị cho học sinh những tri thức khoa học và đạo đức cách mạng góp

phần vào công cuộc phát triển đất nước trong tương lai

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên trong quá

trình hoàn thành sáng kiến khó tránh khỏi sai sót trong cách trình bày, cũng

như hệ thống các ví dụ và bài tập còn chưa phong phú, đa dạng, chưa đầy đủ

và khoa học Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và

đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn, góp phần nâng

cao chất lượng dạy và học của cả thầy và trò trong nhà trường

II ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG

Như đã trình bày ở trên, sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng

cho những tiết bài tập ôn tập cuối năm lớp 12 và trong quá trình ôn học sinh

giỏi cũng như luyện thi Đại học, Cao đẳng, ôn thi THPT quốc gia tạo tiền đề

vững chắc cho các em học sinh học tốt môn Toán ở bậc THPT

Sáng kiến kinh nghiệm này vẫn còn cần thêm thời gian để hoàn

thiện hơn và sẽ tiếp tục được khai thác, nghiên cứu mở rộng sâu hơn về nội

dung, hệ thống bài tập và phương pháp giảng dạy

III KIẾN NGHỊ

- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp trường: cần động viên, khuyến

khích Tổ, nhóm chuyên môn thường xuyên có những buổi sinh hoạt theo

chuyên đề về những vấn đề vướng mắc trong quá trình giảng dạy hoặc các

chuyên đề quan trọng mà giáo viên thấy tâm đắc và có nhiều ứng dụng trong

giảng dạy đặc biệt là về phương pháp dạy học

- Đối với Hội Đồng Khoa Học cấp Sở: Cần tuyên dương những sáng

kiến kinh nghiệm đạt giải cao, có thể đưa lên trang web của Sở Giáo dục để

giáo viên các trường khác có thể tham khảo, học hỏi kinh nghiệm trong quá

trình viết và thực hiện sáng kiến của mình

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp nhiều học sinh tự tin

hơn với các bài toán giải phương trình vô tỉ, có quyết tâm sưu tầm và chinh

phục các bài toán khó, từ đó phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của

các em trong học tập môn Toán

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN

VỊ

Sơn Tây, ngày 14 tháng 03 năm 2015

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của người khác

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

………

………

………

………

………

………

………

………

……….