Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động

Chẳng hạn có thể thấy ñiều khiển tự ñộng xuất hiện ở các máy công cụ số, ở hệ thống lái tự ñộng và dẫn ñường máy bay, tàu vũ trụ trong công nghiệp hàng không vũ trụ, trong công nghiệp xe

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC KHOA CÔNG NGHỆ TỰ ĐỘNG

GIÁO TRÌNH

(Lưu hành nội bộ)

Biên soạn: Phạm Thị Hương Sen

Lê Thị Vân Anh

HÀ NỘI - 2011

LỜI NÓI ĐẦU

Công nghệ tự ñộng là một trong những hướng phát triển công nghệ mũi nhọn của ñất nước trong thế kỷ 21 Với nền công nghiệp hiện ñại ngày nay, mức ñộ tự ñộng hóa ngày càng ñược nâng cao nhằm mục ñích nâng cao năng suất lao ñộng, giảm chi phí sản xuất, giải phóng sức lao ñộng cho con người,… Để tiếp cận với nền công nghiệp có mức ñộ tự ñộng hóa cao chúng

ta cần trang bị những kiến thức cơ bản về lý thuyết ñiều khiển tự ñộng bên cạnh kiến thức chuyên môn của mình

Lý thuyết ñiều khiển tự ñộng là cơ sở lý thuyết ñể thiết kế, phân tích các hệ thống tự ñộng trong các lĩnh vực khác nhau của ngành kỹ thuật Nhiệm vụ của lý thuyết ñiều khiển tự ñộng là khảo sát các ñặc tính ñộng học của các hệ nhằm mục ñích thiết kế hệ thống thỏa mãn các yêu cầu cho trước

Giáo trình Lý thuyết ñiều khiển tự ñộng trình bày những kiến thức cốt lõi của lý thuyết ñiều

khiển tự ñộng tuyến tính liên tục Nội dung của giáo trình ñược biên soạn gồm 7 chương trong ñó: chương 1, 3, 5 do Ths Lê Thị Vân Anh biên soạn; chương 2, 4, 6, 7 do Ths Phạm Thị Hương Sen biên soạn

Chương 1: Tổng quan về ñiều khiển tự ñộng

Chương 2: Mô tả toán học hệ ñiều khiển tự ñộng

Chương 3: Khảo sát ñộng học hệ thống ñiều khiển tuyến tính liên tục

Chương 4: Phân tích tính ổn ñịnh và chất lượng hệ thống ñiều khiển

Chương 5: Thiết kế hệ thống ñiều khiển

Chương 6: Nâng cao chất lượng hệ ñiều khiển

Chương 7: Ứng dụng Matlab khảo sát hệ thống ñiều khiển tự ñộng

Các tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Phan Xuân Minh, Viện Điện, Đại học Bách Khoa Hà Nội ñã chỉ dẫn, góp ý trong suốt quá trình biên soạn giáo trình

Do khả năng và kinh nghiệm biên soạn còn nhiều hạn chế nên tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu sót về mặt nội dung và bố cục, chúng tôi rất mong nhận ñược sự góp ý của các bạn ñọc ñể lần tái bản sau này có chất lượng tốt hơn

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ii

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng 2

1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa 2

1.2.2 Nguyên tắc ñiều khiển 4

1.2.3 Tín hiệu 6

1.3 Phân loại hệ thống ñiều khiển tự ñộng 7

1.3.1 Phân loại theo mạch phản hồi 7

1.3.2 Phân loại theo ñặc ñiểm mô tả toán học 8

1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển 8

1.3.4 Phân loại theo dạng năng lượng sử dụng 9

1.3.5 Phân loại theo số lượng ñầu vào, ñầu ra 9

1.4 Ví dụ về hệ thống ñiều khiển 9

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 13

2.1 Khái niệm 13

2.2 Mô tả hệ thống ở miền thời gian 13

2.2.1 Mô hình phương trình vi phân 13

2.2.2 Mô hình trạng thái 15

2.3 Mô tả hệ thống trong miền tần số 21

2.3.1 Mô hình hàm truyền 21

2.3.2 Đại số sơ ñồ khối 25

2.3.3 Công thức Mason 30

2.4 Mối quan hệ giữa các dạng mô tả toán học 33

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 35

CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 37

3.1 Tín hiệu cơ bản và ñáp ứng 37

3.1.1 Tín hiệu xung ñơn vị và hàm trọng lượng 37

3.1.2 Tín hiệu bậc thang ñơn vị và hàm quá ñộ 38

3.1.3 Tín hiệu ñiều hòa và hàm ñặc tính tần 40

3.2 Đặc tính ñộng học của một số khâu cơ bản 43

3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu P) 43

3.2.2 Khâu tích phân (khâu I) 45

3.2.3 Khâu vi phân (khâu D) 46

3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất (khâu PT1) 48

3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất 51

3.2.6 Khâu ổn ñịnh bậc hai (khâu PT2) 52

3.2.7 Khâu chậm trễ 58

3.3 Khảo sát ñặc tính ñộng học của hệ thống ñiều khiển 59

3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống 60

3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống 61

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 64

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 66

4.1 Khái niệm về tính ổn ñịnh 66

4.2 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh ñại số 68

4.2.1 Điều khiển ổn ñịnh cần thiết 68

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Hurwitz 69

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh 71

4.3 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số 74

4.3.1 Nguyên lý góc quay 74

4.3.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Mikhailov 76

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Nyquist 77

4.4 Độ dự trữ ổn ñịnh 80

4.5 Phương pháp quỹ ñạo nghiệm số 81

4.5.1 Khái niệm 81

4.5.2 Quy tắc vẽ quỹ ñạo nghiệm số 82

4.6 Khảo sát chất lượng hệ thống ñiều khiển 84

4.6.1 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái xác lập 84

4.6.2 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái quá ñộ 86

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 87

CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 89

5.1 Mục ñích ñiều khiển 89

5.2 Bài toán tổng hợp hệ thống 91

5.3 Các quy luật ñiều khiển cơ bản 92

5.3.1 Luật ñiều khiển tỉ lệ (luật P) 93

5.3.2 Luật ñiều khiển tích phân (luật I) 94

5.3.3 Luật ñiều khiển tỉ lệ - tích phân (luật PI) 95

5.3.4 Luật ñiều khiển tỉ lệ - vi phân (luật PD) 97

5.3.5 Luật ñiều khiển tỉ lệ - vi tích phân (luật PID) 99

5.4 Một số phương pháp tổng hợp bộ ñiều khiển PID 103

5.4.1 Phương pháp lý thuyết 104

5.4.2 Phương pháp thực nghiệm 115

5.5 Tổng hợp bộ ñiều khiển trong không gian trạng thái 119

5.5.1 Tính ñiều khiển ñược (Controllability) 120

5.5.2 Tính quan sát ñược (Observability) 122

5.5.3 Phương pháp gán ñiểm cực 123

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 124

CHƯƠNG 6: NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỆ ĐIỀU KHIỂN 126

6.1 Phương pháp bù tác ñộng nhiễu 126

6.1.1 Bù nhiễu phụ tải 126

6.1.2 Bù nhiễu ñặt trước 127

6.2 Điều khiển tầng 127

CHƯƠNG 7: ỨNG DỤNG MATLAB KHẢO SÁT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 130

TÀI LIỆU THAM KHẢO 134

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1.1 Giới thiệu

Điều khiển tự ñộng ñã và ñang ñóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển khoa học kỹ thuật, ñặc biệt là các lĩnh vực như hàng không, robot và sản xuất hiện ñại Chẳng hạn có thể thấy ñiều khiển tự ñộng xuất hiện ở các máy công cụ số, ở hệ thống lái tự ñộng và dẫn ñường máy bay, tàu vũ trụ trong công nghiệp hàng không vũ trụ, trong công nghiệp xe hơi,… Ngoài

ra ñiều khiển tự ñộng cũng rất cần thiết trong lĩnh vực ñiều khiển quá trình, như ñiều khiển áp suất, ñộ ẩm, nhiệt ñộ, ñộ nhớt, và dòng chảy,

Lược sử phát triển ñiều khiển tự ñộng

Lịch sử phát triển của ñiều khiển tự ñộng ñược ghi nhận từ trước công nguyên, bắt ñầu từ ñồng hồ nước có phao ñiều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp Hệ ñiều chỉnh nhiệt ñộ ñầu tiên do Cornelis Drebble (1572 - 1633) người Hà Lan sáng chế Năm 1765, Polzunov chế tạo bộ ñiều chỉnh mức nước nồi hơi Năm 1784, James Watt chế tạo bộ ñiều tốc ly tâm ñể ñiều chỉnh máy hơi nước Các sáng chế này ñược xem là các cơ cấu tự ñộng xuất hiện ñầu tiên trong công nghiệp

Hình 1.1: H ệ ñiều tốc của James Watt

Nguyên lý hoạt ñộng của hệ ñiều tốc ly tâm (hình 1) là duy trì cho tốc ñộ quay của tuabin hơi nước giữ ổn ñịnh Nếu tốc ñộ n tăng lên, thông qua cơ cấu ly tâm, con trượt sẽ kéo lên trên (kéo cả ñầu A của cánh tay ñòn AB) và ñầu B bị ấn xuống làm cho van ñóng lại, làm giảm luồng hơi cấp vào tuabin, do ñó tốc ñộ quay của tuabin giảm xuống Tương tự khi tốc ñộ quay của tuabin vì một nguyên nhân nào ñó bị giảm xuống thì cánh tay ñòn AB thông qua cơ cấu ly tâm sẽ hạ ñầu A xuống và nâng ñầu B lên ñể mở cửa van cho luồng hơi vào máy nhiều hơn và làm tăng tốc ñộ quay của tuabin hơi nước

Những nghiên cứu ñáng kể trong giai ñoạn ñầu phát triển của lý thuyết ñiều khiển tự ñộng thuộc về Minorsky, Hazen và Nyquist Năm 1922, Minorsky là người ñặt nền móng cho lý thuyết ñiều khiển tàu thủy và chỉ ra cách xác ñịnh tính ổn ñịnh từ phương trình vi phân mô tả

hệ thống Năm 1917, O.Block sử dụng lý thuyết vectơ và hàm biến phức vào việc nghiên cứu

lý thuyết ñiều khiển tự ñộng Trên cơ sở ñó, năm 1932 Nyquist ñã ñưa ra phương pháp ñồ thị

ñể xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống kín từ ñáp ứng tần số của hệ hở với tín hiệu vào hình sin Trong suốt thập niên 1940, phương pháp ñáp ứng tần số, ñặc biệt là phương pháp biểu ñồ Bode, ñã ñược sử dụng rộng rãi ñể phân tích và thiết kế các hệ thống ñiều khiển vòng kín tuyến tính Từ cuối thập niên 1940 ñến ñầu thập niên 1950 Evans phát triển và hoàn chỉnh phương pháp quỹ ñạo nghiệm Đây là hai phương pháp cốt lõi của lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển, cho phép thiết kế ñược những hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh và ñáp ứng ñược các yêu cầu ñiều khiển cơ bản Các bộ ñiều khiển ñược thiết kế chủ yếu là bộ ñiều khiển PID và bộ ñiều khiển

sớm trễ pha Lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển (trước 1960) chủ yếu áp dụng cho hệ tuyến tính bất biến với một ñầu vào-một ñầu ra

Từ khoảng 1960, sự xuất hiện của máy tính số và lý thuyết ñiều khiển số ñã tạo ñiều kiện cho sự ra ñời lý thuyết ñiều khiển hiện ñại dựa trên sự phân tích và tổng hợp ñáp ứng thời gian

sử dụng biến trạng thái Lý thuyết ñiều khiển hiện ñại rất thích hợp ñể thiết kế các bộ ñiều khiển là các chương trình phần mềm chạy trên vi xử lý và máy tính số Điều này cho phép thiết

kế các hệ thống phức tạp nhiều ñầu vào, nhiều ñầu ra với chất lượng ñiều khiển cao

Trong những thập niên gần ñây lý thuyết ñiều khiển hiện ñại phát triển theo các hướng: ñiều khiển tối ưu các hệ tiền ñịnh và ngẫu nhiên, ñiều khiển thích nghi và ñiều khiển thông minh Các phương pháp ñiều khiển thông minh như ñiều khiển mờ, mạng thần kinh nhân tạo, thuật toán di truyền bắt chước các hệ thống thông minh sinh học, về nguyên tắc không cần dùng mô hình toán học ñể thiết kế hệ thống, do ñó có khả năng ứng dụng thực tế rất lớn Xu hướng kết hợp các phương pháp ñiều khiển trong một hệ thống ñiều khiển cũng ñược phát triển với sự trợ giúp của máy tính số

Ngày nay, lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển vẫn giữ vai trò quan trọng Nó cung cấp các kiến thức cơ bản ñể làm nền tảng cho việc tiếp cận các hệ thống ñiều khiển hiện ñại, ngày càng phức tạp hơn

Khái niệm ñiều khiển

Điều khiển một hệ thống ñược hiểu là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác ñộng lên hệ thống ñể biến ñổi, hiệu chỉnh sao cho ñáp ứng của hệ ñạt mục ñích ñịnh trước Quá trình ñiều khiển không cần sự tham gia trực tiếp của con người gọi là ñiều khiển tự ñộng

Ví dụ: Xét quá trình lái (ñiều khiển) một xe máy ñể xe luôn chạy với tốc ñộ ổn ñịnh 40km/h Để ñạt ñược mục ñích này trước hết mắt người lái xe phải quan sát ñồng hồ tốc ñộ ñể biết tốc ñộ hiện tại của xe (thu thập thông tin) Tiếp theo, bộ não sẽ so sánh tốc ñộ hiện tại với tốc ñộ mong muốn và ra quyết ñịnh tăng ga nếu tốc ñộ <40km/h và giảm ga nếu tốc ñộ

>40km/h (xử lý thông tin) Cuối cùng tay người lái xe phải vặn tay ga ñể thực hiện việc tăng hay giảm ga (tác ñộng vào hệ thống) Kết quả là tốc ñộ xe ñược hiệu chỉnh lại và giữ ổn ñịnh như mong muốn Trong các hệ thống ñiều khiển tự ñộng, quá trình ñiều khiển cũng diễn ra tương tự nhưng các bộ phận: mắt, bộ não, tay của con người ñược thay thế bằng các thiết bị kỹ thuật có chức năng tương ứng

1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng

1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa

Một hệ thống ñiều khiển tự ñộng tổng quát ñược minh hoạ ở hình 1.2

Hình 1.2: C ấu trúc cơ bản của hệ thống ñiều khiển

Hệ thống gồm ba thành phần cơ bản là ñối tượng ñiều khiển, thiết bị ño và bộ ñiều khiển

Trong ñó:

r(t): tín hiệu vào, chuẩn tham chiếu (reference input), giá trị ñặt trước

y(t): tín hiệu ra (output), biến/ñại lượng cần ñiều khiển

y ht (t): tín hiệu hồi tiếp

e(t): tín hiệu sai lệch Sai lệch giữa tín hiệu ñặt và tín hiệu ra

u(t): tín hiệu ñiều khiển

z(t): tín hiệu nhiễu

Đối tượng ñiều khiển (ĐTĐK): là hệ thống vật lý cần ñiều khiển ñể có ñáp ứng mong

muốn ĐTĐK bao gồm ña dạng các loại máy, thiết bị kỹ thuật, quá trình công nghệ ĐTĐK là máy, thiết bị thường ñược ñặc trưng bằng các cơ cấu chấp hành như ñộng cơ, xi lanh, hệ bàn trượt với tín hiệu ra là chuyển ñộng vật lý như vận tốc, vị trí, góc quay, gia tốc, lực Các quá trình công nghệ thường có tín hiệu ra là nhiệt ñộ, áp suất, lưu lượng, mức

Xylanh lực Lưu lượng, áp suất Vận tốc, vị trí, lực

piston

Lò nhiệt Công suất cấp nhiệt Nhiệt ñộ

B ảng 1.1: Một số ñối tượng thường gặp trong kỹ thuật và tín hiệu vào ra tương ứng

Thiết bị ño (cảm biến): Thực hiện chức năng ño và chuyển ñổi ñại lượng ra của hệ thống

thành dạng tín hiệu phù hợp ñể thuận tiện so sánh, xử lý, hiển thị Sự chuyển ñổi là cần thiết khi các tín hiệu vào, ra không cùng bản chất vật lý: tín hiệu ra có thể là vận tốc, vị trí, nhiệt ñộ, lực,… trong khi tín hiệu vào ña phần là tín hiệu ñiện Nguyên tắc chung ñể ño các ñại lượng không ñiện bằng phương pháp ñiện là biến ñổi chúng thành tín hiệu ñiện (ñiện áp hoặc dòng ñiện)

Một số thiết bị ño ñiển hình là:

- Đo vận tốc: bộ phát tốc (DC tachometer, AC tachometer, optical tacho)

- Đo lượng dịch chuyển: chiết áp (potentiometer), thước mã hóa

- Đo góc quay: chiết áp xoay, bộ mã hóa góc quay (rotary encoder)

- Đo nhiệt ñộ: cặp nhiệt ngẫu (thermocouple), ñiện trở nhiệt (thermistor, RTD)

- Đo lưu lượng, áp suất: Các bộ chuyển ñổi, lưu lượng, áp suất

- Đo lực: cảm biến lực (loadcell,…)

Bộ so sánh: so sánh và phát hiện ñộ sai lệch e giữa tín hiệu vào chuẩn và tín hiệu hồi tiếp

(hay giá trị ño ñược của tín hiệu ra)

Thông thường, các thiết bị ño thực hiện chuyển ñổi tỉ lệ nên:

y ht = K.y với K là hệ số chuyển ñổi

Nếu K = 1 thì e = r - y ht = r – y

Trong hệ thống thực tế bộ so sánh thường ñược ghép chung vào bộ ñiều khiển

Bộ điều khiển: dùng thơng tin về độ sai lệch e để tạo tín hiệu điều khiển u thích hợp, từ đĩ

tác động lên đối tượng Thuật tốn xác định hàm u(t) gọi là thuật tốn điều khiển hay luật điều

khiển Bộ điều khiển liên tục cĩ thể thực hiện bằng cơ cấu cơ khí, thiết bị khí nén, mạch điện RLC, mạch khuếch đại thuật tốn Bộ điều khiển số thực chất là các chương trình phần mềm chạy trên vi xử lý hay máy tính

Nhiễu: các tác động lên hệ thống gây nên các ảnh hưởng khơng mong muốn được gọi

chung là nhiễu Nhiễu luơn tồn tại và cĩ thể tác động vào bất cứ phần tử nào trong hệ thống, nhưng thường được quan tâm nhiều nhất là các nhiễu tác động lên đối tượng điều khiển, loại này gọi là nhiễu đầu ra hay nhiễu phụ tải

Trên đây chúng ta chỉ mới đề cập đến các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển Trong thực tế, cấu trúc hồn chỉnh của hệ thống điều khiển thường đa dạng và phức tạp hơn Ví dụ, trong hệ cịn cĩ cơ cấu thiết đặt tín hiệu vào chuẩn, các cơ cấu tác động cĩ vai trị trung gian giữa bộ điều khiển và đối tượng như van điều khiển, bộ khuếch đại cơng suất, mạch cách ly, động cơ, các bộ truyền động Trong hệ thống điều khiển số cịn cĩ các bộ chuyển đổi A/D, D/A, card giao tiếp,…

1.2.2 Nguyên tắc điều khiển

Nguyên tắc điều khiển thể hiện đặc điểm lượng thơng tin và phương thức hình hành tác động điều khiển trong hệ thống Các nguyên tắc điều khiển cĩ thể xem là kim chỉ nam để thiết

kế hệ thống điều khiển đạt chất lượng cao và cĩ hiệu quả kinh tế nhất

Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thơng tin phản hồi

Muốn quá trình điều khiển đạt chất lượng cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dịng thơng tin: một từ bộ điều khiển đến đối tượng và một từ đối tượng ngược về bộ điều khiển (dịng thơng tin ngược gọi là hồi tiếp) Điều khiển khơng hồi tiếp (điều khiển vịng hở) khơng thể đạt chất lượng cao nhất là khi cĩ nhiễu Các sơ đồ điều khiển dựa trên nguyên tắc thơng tin phản hồi là:

Điều khiển bù nhiễu (Hình 1.3): Nguyên tắc này được dùng khi các tác động bên ngồi lên

ĐTĐK cĩ thể kiểm tra và đo lường được, cịn đặc tính của ĐTĐK đã được xác định đầy đủ Bộ điều khiển sử dụng giá trị đo được của nhiễu để tính tốn tín hiệu điều khiển u(t) Nguyên tắc điều khiển này cĩ ý nghĩa phịng ngừa, ngăn chặn trước Hệ thống cĩ khả năng bù trừ sai số trước khi nhiễu thực sự gây ảnh hưởng đến tín hiệu ra Tuy nhiên, vì trong thực tế khơng thể

dự đốn và kiểm tra hết mọi loại nhiễu nên với các hệ phức tạp thì điều khiển bù nhiễu khơng thể cho chất lượng cao

Hình 1.3: S ơ đồ điều khiển bù nhiễu

Điều khiển san bằng sai lệch (Hình 1.4): Nguyên tắc này được dùng khi các tác động bên

ngồi khơng kiểm tra và đo lường được, cịn đặc tính của ĐTĐK thì chưa được xác định đầy

đủ Tín hiệu ra y(t) được đo và phản hồi về so sánh với tín hiệu vào r(t) Bộ điểu khiển sử dụng

độ sai lệch vào-ra để tính tốn tín hiệu điều khiển u(t), điều chỉnh lại tín hiệu ra theo hướng làm triệt tiêu sai lệch Nguyên tắc điều khiển này cĩ tính linh hoạt, thử nghiệm và sửa sai Hệ

thống có khả năng làm triệt tiêu ảnh hưởng của các nhiễu không biết trước và/hoặc không ño ñược Nhược ñiểm của nó là tác ñộng hiệu chỉnh chỉ hình thành sau khi ñộ sai lệch ñã tồn tại

và ñược phát hiện, tức là sau khi tín hiệu ra ñã thực sự bị ảnh hưởng Các quá trình trễ trong hệ làm cho tín hiệu ra không giữ ñược ổn ñịnh một cách tuyệt ñối mà thường có dao ñộng nhỏ quanh giá trị xác lập

Hình 1.4: S ơ ñồ ñiều khiển san bằng sai lệch

Điều khiển phối hợp (Hình 1.5): Để nâng cao chất lượng ñiều khiển, có thể kết hợp nguyên

tắc bù nhiễu nguyên tắc san bằng sai lệch Mạch bù nhiễu sẽ tác ñộng nhanh ñể bù trừ sai số tạo ra bởi các nhiễu ño ñược, còn mạch ñiều khiển phản hồi sẽ hiệu chỉnh tiếp các sai số tạo ra

bởi các nhiễu không ño ñược

Hình 1.5: S ơ ñồ ñiều khiển phối hợp

Nguyên tắc 2: Nguyên tắc ña dạng tương xứng

Muốn quá trình ñiều khiển có chất lượng thì sự ña dạng của bộ ñiều khiển phải tương xứng với sự ña dạng của ñối tượng.Tính ña dạng của bộ ñiều khiển thể hiện ở khả năng thu thập thông tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn quyết ñịnh,…Ý nghĩa của nguyên tắc này là cần thiết kế bộ ñiều khiển phù hợp với ñối tượng Hãy so sánh yêu cầu chất lượng ñiều khiển và bộ ñiều khiển sử dụng trong hệ thống:

- Điều khiển nhiệt ñộ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) với ñiều khiển nhiệt ñộ lò sấy (không chấp nhận sai số lớn)

- Điều khiển mực nước trong bồn chứa của khách sạn (chỉ cần ñảm bảo luôn có nước trong bồn) với ñiều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng cần giữ không ñổi)

Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài

Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt ñộng trong môi trường cụ thể và có tác ñộng qua lại chặt chẽ với môi trường ñó Nguyên tắc bổ sung ngoài thừa nhận có một ñối tượng chưa biết (hộp ñen) tác ñộng vào hệ thống và ta phải ñiều khiển cả hệ thống lẫn hộp ñen Ý nghĩa của nguyên tắc này là khi thiết kế hệ thống tự ñộng, muốn hệ thống có chất lượng cao thì không thể bỏ qua nhiễu của môi trường tác ñộng vào hệ thống

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc phân cấp (Hình 1.6)

Đối với hệ thống ñiều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp ñiều khiển bổ sung cho trung tâm Cấu trúc phân cấp thường sử dụng là cấu trúc hình cây, ví dụ như hệ thống ñiều khiển giao thông ñô thị hiện ñại, hệ thống ñiều khiển dây chuyền sản xuất

Hình 1.6: S ơ ñồ ñiều khiển phân cấp

1.2.3 Tín hiệu

Tín hiệu x( )t ñược ñịnh nghĩa như là một hàm số phụ thuộc thời gian mang thông tin về các thông số kỹ thuật ñược quan tâm trong hệ thống và ñược truyền tải bởi những ñại lượng vật lý, nói cách khác tín hiệu là một hình thức biểu diễn thông tin

Ví dụ: Để ñiều khiển nhiệt ñộ thì nhiệt ñộ hiện thời là một thông số kỹ thuật của hệ thống cần ñược quan tâm Giá trị nhiệt ñộ ño ñược bằng cảm biến tại thời ñiểm t ñược thể hiện dưới dạng giá trị của hàm số phụ thuộc thời gian u( )t và là một ñại lượng ñiện áp có ñơn vị là Volt Như vậy, tín hiệu u( )t là một hàm thời gian mang thông tin về nhiệt ñộ trong phòng tại thời ñiểm t và ñược truyền tải bởi ñại lượng vật lý là ñiện áp…

Trong một hệ thống có nhiều tín hiệu x1( ) ( )t ,x2 t , x n( )t ñược quan tâm cùng một lúc Tất cả các tín hiệu ñược quan tâm ñó sẽ ñược ghép chung lại thành một vector tín hiệu ký hiệu bởi:

( )

( ) ( )

t x t

x

n

M

1

Phân loại tín hiệu

Do tín hiệu trong x( )t có mô hình là hàm thời gian như ñã ñịnh nghĩa vừa nêu trên nên phụ thuộc vào miền xác ñịnh cũng như miền giá trị của hàm số x( )t là liên tục hay rời rạc mà tín hiệu x( )t có thể phân thành bốn loại sau:

- Tín hiệu liên tục: Nếu x( )t là hàm liên tục từng ñoạn theo thời gian, tức là ( ) ( )k

với mọi t ktrong từng khoảng thời gian

- Tín hiệu không liên tục: Nếu x( )t là hàm không liên tục theo thời gian Thường các tín hiệu này chỉ ñược xác ñịnh tại hữu hạn các ñiểm t1,t2K,t n

- Tín hiệu tương tự: Nếu x( )t là hàm liên tục theo miền giá trị

- Tín hiệu rời rạc: Nếu x( )t là hàm không liên tục theo miền giá trị

Bốn kiểu tín hiệu trên chỉ là sự phân loại cơ bản theo miền xác ñịnh hoặc theo miền giá trị của ( )t

x Trên cơ sở bốn kiểu phân loại cơ bản ñó mà một tín hiệu x( )t khi ñược ñể ý chung ñồng thời tới cả miền xác ñịnh và miền giá trị có thể là:

- Dạng tín hiệu liên tục-tương tự

- Dạng tín hiệu không liên tục-tương tự

- Dạng tín hiệu liên tục-rời rạc

- Dạng tín hiệu không liên tục-rời rạc

Trong ñó dạng tín hiệu không liên tục - rời rạc còn có tên gọi là tín hiệu số Hình 1.7 minh họa trực quan cho bốn dạng tín hiệu vừa trình bày

1.3 Phân loại hệ thống ñiều khiển tự ñộng

1.3.1 Phân loại theo mạch phản hồi

- Hệ thống kín: là hệ thống ñiều khiển có phản hồi, tức là tín hiệu ra ñược ño và hồi tiếp về

so sánh với tín hiệu vào Bộ ñiều khiển sử dụng ñộ sai lệch vào-ra ñể tính toán tín hiệu ñiều khiển u(t), hiệu chỉnh lại tín hiệu ra theo hướng làm triệt tiêu sai lệch Cấu trúc hệ kín có thể có một hoặc nhiều vòng hồi tiếp Sơ ñồ khối của hệ kín một vòng hồi tiếp ñược mô tả trên Hình 1.2

- Hệ thống hở: không dùng mạch phản hồi, tức là không có sự so sánh kết quả thực tế với trị số mong muốn sau tác ñộng ñiều khiển Các hệ thống ñiều khiển dựa trên cơ sở thời gian ñều là hệ hở Một ví dụ là máy giặt trong ñó các thao tác giặt, xả, vắt ñược tác ñộng tuần tự bằng rơle thời gian, kết quả ñầu ra là ñộ sạch của quần áo không ñược máy kiểm tra (ño) lại

Hệ hở có cấu trúc ñơn giản và thích hợp với các ứng dụng không ñòi hỏi cao về chất lượng ñáp ứng

1.3.2 Phân loại theo ñặc ñiểm mô tả toán học

- Hệ tuyến tính: Mọi phần tử của hệ ñều có quan hệ vào-ra là hàm tuyến tính Hệ tuyến tính ñược mô tả bằng phương trình vi phân (hoặc sai phân) tuyến tính Đặc trưng cơ bản của hệ tuyến tính là áp dụng ñược nguyên lý xếp chồng, tức là nếu hệ có nhiều tác ñộng vào ñồng thời thì ñáp ứng ñầu ra có thể xác ñịnh bằng cách lấy tổng các ñáp ứng do từng tác ñộng riêng rẽ tạo nên

- Hệ phi tuyến: Hệ có ít nhất một phần tử có quan hệ vào-ra là hàm phi tuyến Hệ phi tuyến không áp dụng ñược nguyên lý xếp chồng Hệ tuyến tính chỉ là mô hình lý tưởng Các hệ thống ñiều khiển thực tế ñều có tính phi tuyến Ví dụ trong các bộ khuếch ñại ñiện, ñiện từ, thủy lực, khí nén luôn có sự bão hòa tín hiệu ra khi có tín hiệu vào ñủ lớn; trong truyền ñộng

cơ khí, thủy lực, khí nén luôn tồn tại các khâu khe hở, vùng không nhạy với tín hiệu vào nhỏ; các hệ thống ñiều khiển ON/OFF là phi tuyến với mọi giá trị tín hiệu vào Để ñơn giản hóa quá trình phân tích và thiết kế, hệ phi tuyến có phạm vi biến thiên của các biến tương ñối nhỏ thường ñược tuyến tính hóa ñể ñưa gần ñúng về hệ tuyến tính

1.3.3 Phân loại theo loại tín hiệu trong hệ thống

- Hệ liên tục: Các tín hiệu truyền trong hệ ñều là hàm liên tục theo thời gian Hệ liên tục ñược mô tả bằng phương trình vi phân

- Hệ rời rạc: Tín hiệu ở một hay nhiều ñiểm của hệ là dạng chuỗi xung hay mã số Hệ rời rạc ñược mô tả bằng phương trình sai phân

1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển

- Hệ thống ổn ñịnh hóa: Khi tín hiệu vào r(t) không thay ñổi theo thời gian ta có hệ thống

ổn ñịnh hóa hay hệ thống ñiều chỉnh Mục tiêu ñiều khiển của hệ này là giữ cho sai số giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra càng nhỏ càng tốt Hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh hóa ñược ứng dụng rộng rãi trong dân dụng và công nghiệp, ñiển hình là các hệ thống ñiều chỉnh nhiệt ñộ, ñiện áp, tốc ñộ, áp suất, lưu lượng, mức nước, nồng ñộ, ñộ pH…

- Hệ thống ñiều khiển theo chương trình: Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm ñịnh trước theo thời gian, yêu cầu ñáp ứng ra của hệ thống sao chép lại các giá trị tín hiệu vào r(t) thì ta có hệ

thống ñiều khiển theo chương trình Ứng dụng ñiển hình của loại này là các hệ thống ñiều khiển máy CNC, robot công nghiệp

Hình 1.8: S ơ ñồ hệ thống ñiều khiển thích nghi

- Hệ thống theo dõi: Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm không biết trước theo thời gian, yêu cầu ñiều khiển ñể ñáp ứng y(t) luôn bám sát ñược r(t), ta có hệ thống theo dõi Điều khiển theo

dõi thường ñược sử dụng trong các hệ thống ñiều khiển pháo phòng không, rada, tên lửa, tàu ngầm…

- Hệ thống ñiều khiển thích nghi: Khi cần ñiều khiển các ñối tượng phức tạp, có thông số

dễ bị thay ñổi do ảnh hưởng của môi trường, hoặc nhiều ñối tượng ñồng thời mà phải ñảm bảo cho một tín hiệu có giá trị cực trị, hay một chỉ tiêu tối ưu nào ñó,… thì các bộ ñiều khiển với thông số cố ñịnh không thể ñáp ứng ñược, khi ñó ta phải dùng nguyên tắc thích nghi Sơ ñồ hệ

thống thích nghi như Hình 1.8 Tín hiệu v(t) chỉnh ñịnh lại thông số của bộ ñiều khiển sao cho

hệ thích ứng với mọi biến ñộng của môi trường

- Hệ thống ñiều khiển tối ưu: Khi cần tạo lập những luật ñiều khiển cho hệ thống ñạt chỉ tiêu về tính hiệu quả ñã ñược ñịnh trước dưới dạng hàm mục tiêu Q

1.3.4 Phân loại theo dạng năng lượng sử dụng

- Hệ thống ñiều khiển cơ khí

- Hệ thống ñiều khiển ñiện

- Hệ thống ñiều khiển khí nén

- Hệ thống ñiều khiển thủy lực

- Hệ thống ñiều khiển ñiện-khí nén, ñiện-thủy lực,…

1.3.5 Phân loại theo số lượng ñầu vào, ñầu ra

- Hệ SISO (Single Input - Single Output: một ñầu vào - một ñầu ra)

- Hệ MIMO (Multi Input - Multi Output: nhiều ñầu vào - nhiều ñầu ra)

Trong khuôn khổ của chương trình môn học, tài liệu này chỉ tập trung ñề cập ñến các vấn ñề của hệ thống ñiều khiển tuyến tính bất biến một ñầu vào - một ñầu ra

1.3.6 Hệ bất biến và hệ biến ñổi

- Hệ bất biến theo thời gian (hệ dừng): Các thông số của hệ không thay ñổi trong suốt thời gian hoạt ñộng của hệ thống Hệ bất biến ñược mô tả bằng phương trình vi phân/sai phân hệ số hằng Đáp ứng của hệ này không phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào ñược ñặt vào hệ thống

- Hệ biến ñổi theo thời gian (hệ không dừng): Các thông số của hệ là tham số phụ thuộc vào thời gian, ví dụ hệ thống ñiều khiển tên lửa với khối lượng của tên lửa giảm dần do sự tiêu thụ nhiên liệu trong quá trình bay Phương trình mô tả hệ biến ñổi theo thời gian là phương trình vi phân/sai phân hệ số hàm Đáp ứng của hệ này phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào ñược ñặt vào hệ thống

1.4 Ví dụ về hệ thống ñiều khiển

Hệ thống ñiều khiển mức nước

Hình 1.9: H ệ thống ñiều khiển mức nước ñơn giản

Trong hệ thống ñiều khiển tự ñộng hình 1.9, ñối tượng ñiều khiển là bồn nước (1) Mục tiêu ñiều khiển là giữ mức nước trong bồn luôn ổn ñịnh và bằng trị số H0 ñặt trước cho dù lượng nước tiêu thụ thay ñổi như thế nào

Tín hiệu ra y = h: mức nước thực tế

Tín hiệu vào r = H 0: mức nước yêu cầu

Nhiễu z: sự thay ñổi lượng nước tiêu thụ

Thiết bị ño là phao (2); bộ ñiều khiển là hệ thống ñòn bẩy (3) có chức năng khuếch ñại sai lệch

và ñiều khiển ñóng mở van; cơ cấu tác ñộng là van (4)

Tín hiệu ñiều khiển u: ñộ nâng của van (4)

Hình 1.10: H ệ thống ñiều khiển mức nước

Nguyên lý hoạt ñộng của hệ thống ñiều khiển mức nước ở hình 1.10 như sau: Mức nước

cần giữ luôn ổn ñịnh là C trong trường hợp van V 1 mở tùy theo nhu cầu sử dụng (ñược coi là

nhiễu) Khi mức nước trong bình khác C, một ñiện áp chênh lệch E n ñược tạo ra, qua bộ

khuếch ñại công suất cung cấp cho ñộng cơ Động cơ này khi quay sẽ ñiều chỉnh ñộ mở M 1của

van qua ñó ñiều chỉnh dòng M 2

Hệ ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC

Hình 1.11 giới thiệu một phiên bản ñơn giản của hệ thống ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC Tốc ñộ yêu cầu ñược ñặt chỉnh bằng chiết áp và có giá trị trong khoảng 0 ÷ 10V Bộ phát tốc (tachometer) ño số vòng quay của ñộng cơ và chuyển thành tín hiệu ñiện áp 0 ÷ 10V Bộ khuếch ñại vi sai (1) so sánh giá trị ñặt với tốc ñộ thực tế, sau ñó tín hiệu sai lệch ñược chuyển ñến bộ khuếch ñại công suất (2) ñể thành tín hiệu ñiều khiển ñộng cơ Để có sai số xác lập bằng 0 và cải thiện ñặc tính ñộng học của ñộng cơ tốt hơn, người ta thay bộ khuếch ñại vi sai bằng bộ ñiều khiển PID và mạch chỉnh lưu ñiện tử

Trong các ứng dụng ñiều khiển tốc ñộ và ñịnh vị chính xác, hiện nay người ta thường dùng ñộng cơ servo DC và AC Động cơ servo có quán tính nhỏ, khả năng gia tốc tốt, làm việc tin cậy, hầu như không cần bảo dưỡng Động cơ servo DC công suất nhỏ ñược sử dụng trong các thiết bị văn phòng như ñộng cơ quay ổ ñĩa máy tính, ñộng cơ quay rulo máy in, … Động cơ

servo DC công suất trung bình và lớn ñược sử dụng trong các hệ thống robot, hệ thống ñiều khiển máy CNC,…

Hình 1.11: S ơ ñồ hệ thống ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC

Hình 1.12 giới thiệu hệ thống ñiều khiển ñộng cơ servo DC dùng bộ ñiều khiển ñiện tử theo nguyên tắc ñiều biến ñộ rộng xung (PWM) Tín hiệu phản hồi ñược lấy từ bộ phát tốc hoặc bộ mã hóa góc quay (encoder) lắp ñặt sẵn trên ñộng cơ

Hình 1.12: S ơ ñồ hệ thống ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ servo DC

Hệ thống ñiều khiển máy trộn

Hình 1.13: S ơ ñồ hệ thống ñiều khiển máy trộn

Điều khiển một máy trộn (Hình 1.13) là duy trì hỗn hợp của hai chất A và B sao cho nồng

ñộ của chúng không ñổi Hai chất A và B ñược ñưa vào thùng trộn và ñược máy trộn khuấy ñều ñể cho ra một hỗn hợp C có tỉ lệ % thành phần A ñúng theo giá trị ñặt trước Bộ ño nồng

ñộ là một máy phân tích ñể xác ñịnh tỉ lệ phần trăm của thành phần A trong hỗn hợp C và cho

ra tín hiệu dòng ñiện tương ứng từ 4 ÷ 20mA Tín hiệu này dẫn về bộ ñiều khiển bằng ñiện tử tạo lên một tín hiệu ñiều khiển tác ñộng vào van (thông qua bộ ñiều khiển van) Để khống chế lưu lượng chất A chảy vào thùng trộn

Hệ thống ñiều khiển nhiệt ñộ

Hình 1.14: S ơ ñồ hệ thống ñiều khiển lò nhiệt

Hình 1.14 giới thiệu một hệ thống ñiều khiển nhiệt ñộ lò nung ñiện Nhiệt ñộ trong lò là ñại lượng liên tục Nhiệt ñộ này ñược ño bằng cảm biến, sau ñó chuyển thành tín hiệu số nhờ bộ chuyển ñổi liên tục/số (A/D – Analog/Digital) và ñưa vào máy tính thông qua mạch giao tiếp Nhiệt ñộ yêu cầu cũng là dạng tín hiệu số và ñược ñặt chỉnh bằng chương trình phần mềm Máy tính so sánh nhiệt ñộ hồi tiếp với nhiệt ñộ ñặt và nếu có sai lệch thì máy tính sẽ xuất hiện tín hiệu ñiều khiển mạch nung thông qua giao tiếp, khuếch ñại, rơle cấp ñiện cho ñiện trở nung hoặc quạt làm mát trong lò

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

2.1 Khái niệm

Đối tượng nghiên cứu trong thực tế của hệ thống ñiều khiển rất ña dạng và có bản chất vật

lý khác nhau Các phần tử trong hệ thống có thể là cơ, ñiện, nhiệt, thủy lực, khí nén, … Do vậy, cần có cơ sở chung ñể phân tích, thiết kế các hệ thống ñiều khiển có bản chất vật lý khác nhau và cơ sở ñó là toán học

Để mô tả hệ thống tuyến tính liên tục người ta thường sử dụng ba dạng mô hình toán học

cơ bản sau:

- Phương trình vi phân tuyến tính;

- Hàm truyền ñạt;

- Phương trình trạng thái

Mỗi phương pháp mô tả hệ thống ñều có những ưu ñiểm riêng, trong tài liệu này sẽ xét cả

ba phương pháp mô tả trên

2.2 Mô tả hệ thống ở miền thời gian

2.2.1 Mô hình phương trình vi phân

Một hệ thống tuyến tính liên tục có tín hiệu vào là r(t) và tín hiệu ra là y(t) có thể ñược mô

tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng tổng quát:

)(

)(

1 1 0

1 1

1 1

dt

dr b dt

r d b dt

r d b t y a dt

dy a dt

y d a dt

y d

m

m m

n n

n n

n

n

++

++

=+

++

Trong ñó: a 0 , …, a n ; b 0 , …,b m là những hằng số, ñược xác ñịnh từ tham số của các phần tử;

n là bậc của phương trình vi phân, m ≤ n

Phương trình vi phân mô tả cho một hệ thống bất kỳ ñược xây dựng theo phương pháp giải tích, tức là dựa trên các ñịnh luật vật lý biểu diễn các quá trình ñộng học của hệ thống ñể thành lập phương trình vi phân Cụ thể là:

- Đối với các phần tử ñiện: áp dụng các ñịnh luật Kirchoff dòng ñiện, ñiện áp tìm mối quan

hệ dòng - áp trên ñiện trở, cuộn cảm, tụ ñiện,…

- Đối với các phần tử cơ khí: áp dụng ñịnh luật II Newton tìm quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc, quan hệ giữa lực và ñộ biến dạng của lò xo, …

- Đối với các phần tử nhiệt: thường áp dụng ñịnh luật truyền nhiệt, ñịnh luật bảo toàn năng lượng, …

Ví dụ 2.1: Cho mạch ñiện RC trên hình 2.1 Biết trước giá trị của ñiện trở R, của tụ ñiện C

trong mạch Hãy xác ñịnh mô hình mạch ñiện dưới dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ

giữa tín hiệu vào là ñiện áp u i (t) và tín hiệu ra là ñiện áp u 0 (t) trên tụ ñiện

Theo ñịnh luật Kirchoff ta có:

u R (t) + u C (t) = u i (t) (2.2)

i R (t) = i C (t) (2.3)

u C (t) = u 0 (t) (2.4)

u o (t) C

u i (t)

Hình 2.1: M ạch ñiện RC

Mặt khác:

dt

du C t

dt

du C

Với tín hiệu vào r(t) = u i (t) ; tín hiệu ra y(t) = u 0 (t) ta có phương trình vi phân mô tả cho mạch ñiện RC chính là phương trình vi phân cấp 1:

)()(

dt

dy

Ví dụ 2.2: Xác ñịnh phương trình vi phân mô tả cho ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập

Động cơ là phi tuyến nhưng ta xem gần ñúng là phần tử tuyến tính Sơ ñồ cấu trúc ñược mô tả

trên hình 2.2 Tín hiệu vào là ñiện áp U ñặt vào phần ứng, ñiện áp cuộn kích từ U kt, mô men

cản M c ; tín hiệu ra là tốc ñộ quay n của ñộng cơ Ở ñây ta xét bài toán có: U kt = const , M c = const, khi ñó mô hình ñộng cơ một chiều kích thích ñộc lập ñược xem là mô hình có 1 tín hiệu

vào là ñiện áp phần ứng U, một tín hiệu ra là tốc ñộ n

Quá trình xảy ra trong ñộng cơ là sự chuyển

ñổi ñiện năng sang cơ năng, còn tín hiệu ra là

tốc ñộ của ñộng cơ và quá trình ñộng học của

chuyển ñộng quay dưới tác ñộng của momen

ñiện năng

Trạng thái xác lập của ñộng cơ ta có các phương

trình cân bằng ñiện và cơ:

Hình 2.2: S ơ ñồ cấu trúc ñộng cơ ñiện

trong ñó: U 0 - ñiện áp ban ñầu ñặt vào phần ứng của ñộng cơ

I 0 , E: ñiện áp, dòng ñiện, sức ñiện ñộng phần ứng ở trạng thái xác lập và

E = kưФn 0 = k 1 n 0 (từ thông Ф = const)

M d0 = M c ⇒ Mc = M d0 = k m ФI 0 = k 2 I 0 (từ thông Ф= const)

k 1 , k 2 - các hệ số tỉ lệ

M d0 - mô men dẫn ñộng của ñộng cơ ở trạng thái tĩnh

M c - mô men cản cơ học

Khi ñiện áp ñặt vào phần ứng của ñộng cơ thay ñổi bằng U 0 + ∆U thì dòng ñiện trong phần

ứng I0 + ∆I, tốc ñộ ñộng cơ n 0 + ∆n Quá trình ñộng học xảy ra trong ñộng cơ ñược mô tả bằng

phương trình vi phân:

dt

I d L I I R n n k U

+

∆++

∆+

)

0 2

∆++

Thay lại và rút gọn ta ñược phương trình vi phân mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra là sự thay ñổi tốc ñộ của ñộng cơ và tín hiệu vào là sự thay ñổi ñiện áp ñặt vào phần ứng ñộng cơ dạng:

2 2 2 2

1

dt

n d k

L J dt

n d k

R J n k

+

∆+

∆

=

U k

n dt

n d k k

R J dt

n d k

∆+

∆

.1

1 2

1 2 2 2

n d T dt

n d T

R J

T c = - là hằng số thời gian ñiện cơ của ñộng cơ

Đặt: r(t) = ∆U, y(t) = ∆n, ta thấy mô tả cho ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập là phương trình vi phân bậc hai có dạng tổng quát:

)(.)(

2

t r K t y dt

dy T dt

y d T

2.2.2 Mô hình trạng thái

Ở phần trước ta ñã biết, một hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào

và tín hiệu ra bằng phương trình vi phân bậc n Đối với các hệ thống hiện ñại chúng ta thường

cần một hệ phương trình phản ánh không những mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra

mà còn cả các mối quan hệ ràng buộc giữa các biến trạng thái bên trong ñối tượng nữa Chính

vì thế một phương pháp khác cũng thường ñược sử dụng ñể khảo sát hệ thống ñiều khiển tự ñộng là phương pháp mô tả hệ thống trong không gian trạng thái Phương pháp biểu diễn trong không gian trạng thái rất thích hợp cho việc thiết kế trên máy tính nên ñược sử dụng ngày càng nhiều Hệ thống mô tả trong không gian trạng thái chính là chuyển phương trình vi phân bậc n

thành n phương trình vi phân bậc một bằng cách ñặt n biến trạng thái

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời ñiểm t0 và biết tín hiệu vào ở thời ñiểm t ≥ t 0, ta hoàn toàn

có thể xác ñịnh ñược ñáp ứng của hệ tại mọi thời ñiểm t ≥ t 0

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái, n biến trạng thái hợp lại thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái Ký hiệu:

x = [x 1 x 2 … x n ] T

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả

hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc một viết dưới dạng ma trận:

)()()

(

t Dr t Cx t

y

t Br t Ax t

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

KK

MO

M

MO

M

KK

KK

2 1

2 22

21

1 12

Phương pháp thành lập phương trình trạng thái của hệ thống có thể dựa trên phương trình

vi phân Tùy theo cách ñặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể ñược mô tả bằng nhiều dạng phương trình trạng thái khác nhau Ta xét hai trường hợp như sau:

a Tr ường hợp vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không chứa ñạo hàm của tín

hi ệu vào (m = 0)

Phương trình vi phân mô tả hệ thống có dạng:

)()

(

1

1 1

dt

dy a dt

y d a dt

y d

++

−

Quy tắc ñặt biến trạng thái:

- Biến trạng thái thứ nhất ñặt bằng tín hiệu ñầu ra:

x 1 (t) = y(t)

- Các biến trạng thái thứ i ( i =2,n) ñược ñặt theo quy tắc: biến trạng thái sau ñặt bằng ñạo hàm của biến trạng thái trước:

)()

x& =Thay các biến trạng thái vừa ñặt vào phương trình (2.17) ta ñược:

()

()

()

()

()

()

(

0

0 1

0

2 0

1 1

0 2

0 1

.

1

3 2

2 1

t r a

b t x a

a t x a

a t

x a

a t x a

a x

x x

x x

x x

n n

n n

n

n n

00

10

00

01

00

00

10

0 0 1

2 1

0 0

3 0

2 0

1 1

2

1

t r

a b x

x

x x

a a a

a a

a a

a x

x

x

x

n n

n n

KK

MM

MM

KK

x x

x t

y

1

2 1

(

)()()

(

t Dr t

Cx t

y

t Br t Ax t

x x

x

1

2 1

3 0

2 0

1

10

00

01

00

00

10

a a a

a a

a a

a

A

n

KK

MM

MM

KK

0

00

a b

=

Ngoài ra ta có thể ñặt biến trạng thái theo phương pháp tổng quát như sau:

b x a

a x

x a

a x x

x a

a x x

x a

a x x

n n

n n n

0

0 1 0

1 0

1 1

1 0

2 3 2

1 0

1 2 1

00

00

0

10

0

01

0

00

1

0 0 1

2 1

0

0 1

0 2

0 1

1

2

1

t r

a b x

x

x x

a a

a a

a a

a a

n n

KK

MM

MM

KK

x x

x t

y

1

2 1

(

)()()

(

t Dr t

Cx t

y

t Br t Ax t

x x

x

1

2 1

0

10

0

01

0

00

1

0

0 1

0 2

0 1

KK

MM

MM

KK

a a

a a

a a

a a

A

n n

0

00

a b

=

Sơ ñồ cấu trúc trạng thái tương ứng như hình 2.4

n

x& xn x & −1

1 n

1 1

1 1

dt

dr b dt

r d b dt

r d b t y a dt

dy a dt

y d a dt

n n

n n

n

n

++

++

=+

++

Quy tắc ñặt biến trạng thái như sau:

- Biến trạng thái thứ nhất ñặt bằng tín hiệu ñầu ra:

x 1 (t) = y(t)

- Các biến trạng thái thứ i ( i =2,n) ñược ñặt theo quy tắc:

)()

()

(

0

2 1 0

1

a

b x a

a t x t

i i

;

0

1 0

0

1 1 0

1 1

0

1 1 0

2 3 2

0

0 1 0

1 2 1

n m r a

b x a

a x

n m

r a

b x a

a x x

r a

b x a

a x

x

r a

b x a

a x

x

m n

n

m n

n n

00

10

0

01

0

00

1

0

0 1

0 1

0 0

1

2 1

0

0 1

0 2

0 1

1

2

1

t r

a b

a b

a b

a b

x x

x x

a a

a a

a a

a a

n n

n n

KK

MM

MM

KK

x x

t

y

1

2 1

000

1)

2)(10

5

2 2

2 3

3

t r dt

dr dt

r d t

y dt

dy dt

y d dt

y

d

++

=+

x

r x

x x

r x x

x

5.75.0

5.35

5.2

1 3

1 3 2

1 2

)2(

)1(

Hệ phương trình trạng thái là:

r x

x x

5.310

05.0

105

015.2

3 2 1

001

x x

x y

Việc chứng minh hệ phương trình trạng thái (2.23) tương ñương với phương trình vi phân (2.22) cũng ñơn giản như sau: ñạo hàm hai vế phương trình (1), sau ñó thay phương trình (2) vào ñược phương trình mới, lại ñạo hàm thêm một lần nữa, rồi thay phương trình (3) vào, thay

trở lại x 1 = y ta sẽ có ñược phương trình vi phân (2.22)

Trường hợp 0<m<n−1 chúng ta có thể tự suy ra cách ñặt biến trạng thái tương tự

2.3 Mô tả hệ thống trong miền tần số

2.3.1 Mô hình hàm truyền

Mục 2.1.1 ta ñã biết một hệ thống ñiều khiển có thể ñược mô tả bởi một phương trình vi phân, như vậy ñể xác ñịnh tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào thì ta cần phải giải phương trình vi

phân mô tả hệ thống, nhưng với phương trình vi phân bậc cao (n > 2) thì việc giải phương

trình vi phân trở nên phức tạp Phép biến ñổi Laplace sẽ giúp ta giải phương trình vi phân ñơn giản hơn rất nhiều

Phép biến ñổi Laplace:

Cho f(t) là hàm thời gian, xác ñịnh với mọi t ≥ 0, biến ñổi Laplace của f(t) là:

s -số phức, gọi là biến Laplace

Với mỗi hàm f(t) cho trước chỉ có duy nhất một ánh xạ F(s) và ngược lại Điều kiện ñể hàm

f(t) có biến ñổi Laplace là tích phân ở công thức (2.24) hội tụ

Quá trình tìm hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) ñược gọi là phép biến ñổi Laplace ngược và ký hiệu là £ -1, ñược tính theo công thức sau:

f(t) = £ -1 [F(s)] = ∫

C

ts

ds e s F

j ( )2

1

với C là ñường cong kín ñược chọn trong miền s

Một số tính chất của phép biến ñổi Laplace:

1 Tính tuyến tính: nếu hàm f 1 (t) có biến ñổi Laplace là F1(s)=£[f1(t)] và hàm f 2 (t) có biến ñổi Laplace là F2(s)=£[f2(t)] thì:

t df

Trong ñó f(0 +

) là ñiều kiện ñầu, nếu ñiều kiện ñầu bằng 0 thì:

£ ( ) sF(s)

dt

t df

s f

s s F s dt

t f d

L

£ ( ) s F(s)

dt

t f

, nếu các ñiều kiện ñầu triệt tiêu

3 Ảnh của tích phân: nếu hàm f(t) có biến ñổi Laplace là F( =s) £[f(t)] thì:

£

s

s F d

f

)(

lim

0sF s t

3 e− α t (α > 0)

α+s1

−

)s(

s +αα

s1

s

!n

+

2

)s(

1α+

)!

1n(

−

1α+

10 (e e )

ab

1 − at − bt

−

1++

t 2 1

2 T

t 2 1

TT

Te

TT

1sT(s

e)ba(a

eab

−

+

−+

−

−

)bs)(

as(s

1++

1+

1

sω+

ω

2 2

)s(

sω+α+

α+

2 2

)s( +α +ωω

Hàm truyền

Một hệ thống tuyến tính liên tục có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra y(t), hàm truyền ñạt W(s)

ñược ñịnh nghĩa là tỷ số ảnh Laplace Y(s) của ñáp ứng ñầu ra y(t) và ảnh Laplace R(s) của tín

hiệu kích thích r(t) khi hệ ñược kích thích từ trạng thái 0 Tức là khi có các ñiều kiện ñầu y(0),

dt

y d

ñều bằng không Như vậy:

)(

)()

(

s R

s Y s

Khi hệ thống ñược mô tả bởi phương trình vi phân (2.1), thì có thể áp dụng các tính chất về phép biến ñổi Laplace chuyển từ miền gốc thời gian sang miền ảnh ñể xác ñịnh hàm truyền ñạt, ta có:

)()

()()

1 0

1

1 1

n n

n n

++

++

=+

++

−

−

n n

n n

m m

m m

a s a s

a s a

b s b s

b s b s R

s Y s

W

++

++

++

++

1

1 1 0

)(

)()

(

Đa thức mẫu số của hàm truyền ñược gọi là ña thức ñặc tính (hoặc ña thức ñặc trưng):

n n

n n

a s a s

a s a s

1

1 1

0 1

1 1

n n

n n

a s a s

a s

)(

(

)) (

)(

()(

)(

)(

)()(

2 1

2 1

1

1

n

m n

z s z s z s K s s

z s K s R

s Y s

z j (j = 1…m) - là nghiệm của ña thức tử số, gọi là ñiểm không (zero);

s i (i = 1…n) - là nghiệm của ña thức mẫu số, gọi là ñiểm cực (pole);

Một hệ thống hay một phần tử tuyến tính có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra là y(t), sau khi ñã

ñược mô hình hóa và xác ñịnh ñược hàm truyền W(s) thường ñược biểu diễn ñơn giản dưới dạng khối như sau:

Ngoài ra hàm truyền của một số phần tử trong hệ thống còn ñược ký hiệu là G (s), H (s)

Ví dụ 2.4: Từ phương trình vi phân mô tả mạch ñiện RC ở ví dụ 2.1, xác ñịnh hàm truyền ñạt?

)()(

)()()

1

1)

(

)()

R

s Y s

W

Ví dụ 2.5: Tìm hàm truyền ñạt của hệ ñược mô tả bởi phương trình vi phân như sau:

)(10

152

2 3

3 4

4

t r dt

dr dt

dy dt

dy dt

y d dt

y

d

+

=++

+Chuyển sang miền Laplace:

)()(10)()(15)(2)(

5s4Y s + s3Y s + s2Y s +sY s = sR s +R s

)()110()()15

25

( s4 + s3 + s2 +s Y s = s+ R s

⇒

s s s

s

s s

R

s Y s

W

++

5

110)

(

)()

(

Dưới ñây là hàm truyền ñạt của một số thiết bị ñiển hình trong thực tế:

- Các thiết bị ño lường, thiết bị biến ñổi tín hiệu: W(s) = K

- Động cơ ñiện một chiều:

1)

(

2

2 2

=

s T s T T

K s

W

- Lò nhiệt:

1)

W

e K s

W( ) = −τ

Một số nhận xét:

- Hàm truyền là một cách mô tả của phương trình vi phân;

- Mô tả hàm truyền chỉ dùng cho phần tử và hệ thống tuyến tính bất biến (các hệ số là hằng số);

- Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số a i , b i và bậc n của hệ thống, không phụ thuộc

vào tín hiệu vào và tín hiệu ra;

- Việc xác ñịnh tín hiệu ra của hệ thống khi biết trước tín hiệu vào ñơn giản hơn nhiều dựa trên phương trình:

Y(s) = W(s)R(s)

2.3.2 Đại số sơ ñồ khối

Các hệ thống trong thực tế thường gồm nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau Để biểu diễn các hệ thống phức tạp người ta có thể dùng sơ ñồ khối Sơ ñồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác ñộng qua lại giữa các phần tử trong hệ thống Sơ ñồ khối gồm có ba thành phần cơ bản là khối chức năng, bộ cộng và ñiểm rẽ nhánh

- Khối chức năng: tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền;

- Bộ cộng: tín hiệu ra của bộ cộng bằng tổng ñại số của các tín hiệu vào;

- Điểm rẽ nhánh: tại ñiểm rẽ nhánh mọi tín hiệu ñều bằng nhau

±

±

Hình 2.6: Các thành ph ần cơ bản của sơ ñồ khối

Đại số sơ ñồ khối là thuật toán biến ñổi tương ñương các sơ ñồ khối Hai sơ ñồ ñược gọi là tương ñương nếu chúng có quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra là như nhau

Để tìm hàm truyền của hệ thống có sơ ñồ khối phức tạp, ta thường tìm cách biến ñổi sơ ñồ khối ñể làm xuất hiện các dạng kết nối ñơn giản rồi lần lượt tính các hàm truyền tương ñương theo nguyên tắc: rút gọn dần từ trong ra ngoài

Các phần tử trong sơ ñồ khối có thể mắc nối tiếp, song song hoặc phản hồi Dưới ñây là một số quy tắc biến ñổi sơ ñồ khối thường dùng:

a Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

Các phần tử ñược gọi là mắc nối tiếp nếu tín hiệu ra của phần tử trước là tín hiệu vào của phần tử sau Tín hiệu ra của phần tử cuối cùng là tín hiệu ra của hệ thống Sơ ñồ các phần tử mắc nối tiếp ñược mô tả trên hình 2.7

∏

=

n 1

)s(W

⇔

Hình 2.7: S ơ ñồ hệ thống các phần tử mắc nối tiếp

1 i

)(WR(s)

Y(s)(s)

Như vậy hàm truyền ñạt của hệ thống các phần tử mắc nối tiếp bằng tích số hàm truyền ñạt của các phần tử thành phần

b Hệ thống gồm các phần tử mắc song song

Hệ thống ñược xem là gồm các phần tử mắc song song nếu tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu vào của các phần tử thành phần, còn tín hiệu ra của hệ thống bằng tổng ñại số tín hiệu ra của các phần tử thành phần Sơ ñồ hệ thống các phần tử mắc song song ñược mô tả trên hình 2.8

∑

=

n 1

)s(W

)()

s R

s Y s

Mạch phản hồi là mạch ñưa tín hiệu từ ñầu ra của một phần tử quay trở lại ñầu vào của nó

Hệ thống có mạch mắc phản hồi gồm hai mạch: Mạch truyền thẳng W t (s) và mạch phản hồi

H(s) Mạch phản hồi còn ñược gọi là mạch hồi tiếp

Tín hiệu ra của mạch truyền thẳng là tín hiệu ra của hệ thống và là tín hiệu vào của mạch phản hồi Có hai dạng phản hồi: mạch phản hồi âm và mạch phản hồi dương

)()()()(

s W s E s

Y

s H s Y s R s E

t

)()()()()()()]

()()([)

⇒

⇒ Y(s)[1+W t(s)H(s)]=R(s)W t(s)

)s(H)s(W1

)s(W

)()

(

)()

(

s H s W

s W s

R

s Y s

Như vậy hàm truyền của hệ thống với mạch phản hồi âm bằng hàm truyền của mạch truyền

thẳng chia cho 1 cộng với tích hàm truyền của mạch truyền thẳng nhân với hàm truyền của

mạch phản hồi

Trường hợp khi hàm truyền mạch phản hồi H(s) = 1, gọi là hệ thống có phản hồi âm ñơn

vị, hàm truyền ñạt của hệ là:

)(1

)()

(

s W

s W s

)s(W

)()()()(

s W s E s

Y

s H s Y s R s E

t

)()()()()()()]

()()([)

)()

(

)()

(

s H s W

s W s

R

s Y s

Như vậy hàm truyền của hệ thống với mạch phản hồi âm bằng hàm truyền của mạch truyền

thẳng chia cho 1 trừ ñi tích hàm truyền của mạch truyền thẳng nhân với hàm truyền của mạch

phản hồi

Khi H(s) = 1: hệ thống có phản hồi dương ñơn vị, hàm truyền ñạt của hệ là:

)(1

)()

(

s W

s W s

Khi xác ñịnh hàm truyền ñạt của hệ thống có nhiều vòng phản hồi, trong nhiều trường hợp phải chuyển vị trí các tín hiệu Mục ñích của chuyển vị trí tín hiệu là ñưa một hệ thống có ñường truyền tín hiệu phức tạp thành một hệ thống tương ñương có ñường truyền tín hiệu ñơn giản hơn, có dạng nối tiếp, song song hoặc hồi tiếp Phép chuyển ñổi này còn ñược gọi là chuyển ñổi sơ ñồ khối Tín hiệu có hai loại: Tín hiệu vào (tín hiệu có mũi tên ñi vào) và tín hiệu ra (tín hiệu có mũi tên ñi ra) Ta có các trường hợp chuyển ñổi tín hiệu như sau:

Chuyển vị trí tín hiệu vào:

- Từ trước ra sau một khối:

⇔

- Từ sau ra trước một khối:

Chuyển vị trí tín hiệu ra:

- Từ trước ra sau một khối:

⇔

)s(W1

- Từ sau ra trước một khối:

Các biến ñổi sau ñây là không tương ñương:

- Chuyển ñiểm rẽ nhánh từ trước hoặc sau bộ cộng hoặc ngược lại:

- Chuyển vị trí hai bộ cộng khi giữa hai bộ cộng ñó có ñiểm rẽ nhánh:

≠

Ví dụ 2.6: Tính hàm truyền tương ñương của hệ thống có sơ ñồ khối như sau:

Giải: Lần lượt rút gọn sơ ñồ khối từ trong ra ngoài ta ñược:

Hàm truyền W 11 của hệ kín phản hồi âm W 1 -H 1 là:

1 1

1 11

W W

2 1 2

2 1 1 1

2 1 1 1

2 2 11

2 11

11

11

)

(

H W W H W

W W H

W H W W

W H W W

H W W

W W s

W

++

=+

+

=+

=

Ví dụ 2.7: Xác ñịnh hàm truyền của hệ thống có sơ ñồ khối sau:

Giải: Ở sơ ñồ khối này ñể tính ñược hàm truyền ta phải tiến hành chuyển ñổi tín hiệu trước

Bài này có 2 cách chuyển: thứ nhất là có thể chuyển tín hiệu ra từ trước khối W 3 (ñiểm A) ra

sau khối W 3 (ra sau ñiểm B) Cách thứ 2 là chuyển tín hiệu vào từ sau khối W 1 ra trước khối

W 1 Dưới ñây ta sẽ trình bày theo cách làm thứ nhất

Chọn cách chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau khối W 3 (từ ñiểm A sang ñiểm A1), ta có sơ ñồ tương ñương:

Hàm truyền của khối W 11:

2 3 2

3 2 11

W W W

3 2 1 3

1 11 1

11 1 12

1/

W W W W

H W W

W W W

4 3 2 1 4

12

4 12

11

)

(

W W W W H W W H W W

W W W W W

W

W W s

W

++

−

=+

=

2.3.3 Công thức Mason

Để biểu diễn hệ thống ñiều khiển tự ñộng, ngoài phương pháp sử dụng sơ ñồ khối, ta còn

có thể sử dụng phương pháp sơ ñồ dòng tín hiệu Sử dụng sơ ñồ dòng tín hiệu ta có một số ñịnh nghĩa sau ñây:

Sơ ñồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh

- Nút: là một ñiểm biểu diễn một biến hay một tín hiệu trong hệ thống

- Nhánh: là ñường nối trực tiếp hai nút, trên mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền của tín

hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở hai nút

- Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra

- Nút ñích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào

- Nút hỗn hợp: nút có cả các nhánh hướng ra và các nhánh hướng vào Tại nút hỗn hợp, tất

cả các tín hiệu ra ñều bằng nhau và bằng tổng ñại số của các tín hiệu vào

- Đường tiến: là ñường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu ñi từ nút nguồn

ñến nút ñích và chỉ qua mỗi nút một lần Hàm truyền của một ñường tiến bằng tích các hàm truyền của các nhánh trên ñường tiến ñó

- Vòng kín: là ñường khép kín bao gồm các nhánh liên tiếp có cùng một hướng tín hiệu và

chỉ ñi qua mỗi nút một lần Hàm truyền của một vòng kín bằng tích các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín ñó

Nếu hệ thống cho ở dạng sơ ñồ khối mà ta muốn áp dụng công thức Mason ñể tính hàm truyền, thì trước hết ta phải chuyển sơ ñồ khối thành sơ ñồ graph Mối tương quan giữa sơ ñồ khối và graph tín hiệu ñược trình bày trong bảng 2.2

Một số lưu ý khi chuyển từ sơ ñồ khối sang graph:

- Có thể gộp hai bộ cộng (hoặc hai ñiểm rẽ nhánh) liền nhau thành một nút;

- Có thể gộp một bộ cộng và một ñiểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút;

- Không thể gộp một ñiểm rẽ nhánh và một bộ cộng liền sau nó thành một nút

B ảng 2.2: Mối tương quan giữa sơ ñồ khối và graph tín hiệu

Biểu diễn dạng sơ ñồ khối Biểu diễn bằng sơ ñồ graph

- Vòng phản hồi:

2 1

ww1

ww

P

Trong ñó: P k - hàm truyền của ñường tiến thứ k;

∆ - ñịnh thức con thứ k suy ra từ ∆ bằng cách bỏ ñi các vòng kín có dính k

với ñường tiến thứ k

và ∆ - ñịnh thức của graph tín hiệu

m j

m j i j

j i i

L

, ,

i i

L : tổng các hàm truyền của các vòng kín có trong sơ ñồ graph;

j

i L L

∑

,

: tổng các tích hàm truyền của hai vòng không dính nhau;

(không dính có nghĩa là không có nút nào chung, nếu có ít nhất một nút chung thì gọi là dính)

m j

m j

i L L L

,

: tổng các tích hàm truyền của ba vòng không dính nhau;

Ví dụ 2.8: Tính hàm truyền tương ñương của hệ thống mô tả bởi sơ ñồ Graph sau ñây:

- Xác ñịnh hàm truyền của các ñường tiến P k:

5 4 3 2 1

P =

5 4 6 1

P =

7 2 1

P =

- Xác ñịnh các vòng lặp L k:

1 4

L =−

2 7 2

L =−

2 5 4 6

L =−

2 5 4 3 2

L =−

- Tính ñịnh thức của Graph:

2 1 3 2

1

3 3 2 2 1

1 4 7

2 1 5 4 6 1 5 4 3 2 1

1

)1

(

H H W W W H W W W W H W W W H W W H W

H W W

W W W W W W W W W W W W

++

++

+

++

+

=

2.4 Mối quan hệ giữa các dạng mô tả toán học

Một hệ thống ñiều khiển tự ñộng có thể mô tả ở dạng phương trình vi phân, hàm truyền ñạt, sơ ñồ khối, hoặc trong không gian trạng thái Tùy theo hệ thống và bài toán ñiều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn phương pháp mô tả toán học cho phù hợp Nếu là bài toán phân tích hệ thống có một ñầu vào một ñầu ra thì ta có thể chọn một trong ba phương pháp ñều ñược Nếu hệ thống là phi tuyến hoặc có thông số biến ñổi theo thời gian, hoặc hệ có nhiều ñầu vào ra thì thường sử dụng mô hình trạng thái

DB.)AsI.(

C)s(

Đ

ặt biế

n trạng th ái

Hình 2.11: Quan h ệ giữa các dạng mô tả toán học hệ thống ñiều khiển tự ñộng

Trong một số trường hợp hệ thống cho dưới dạng sơ ñồ khối ta có thể thành lập phương trình trạng thái bằng cách ñặt biến trạng thái trực tiếp từ sơ ñồ khối

Ví dụ 2.9: Thành lập phương trình trạng thái của hệ có sơ ñồ khối như sau:

)2s3)(

4s(s

15++

Giải: Sơ ñồ khối tương ñương:

R(s)

1+

X1(s) = Y(s)

s

1

2s3

15+

15)

s s

X

+

=

)(15)(2)(

3sX1 s + X1 s = X2 s

⇒

2 1

3

2

x x

s s

X

+

)()

(4)

)()()

x x

01

140

053/2

3 2 1

1

x x

x x

y

Tìm hàm truyền ñạt của hệ từ phương trình trạng thái:

Cho hệ tuyến tính có mô hình trạng thái:

(

)()()

(

t Dr t

Cx t

y

t Br t Ax t

()

(

)()

()

(

s DR s

CX s

Y

s BR s AX s

()

(

)()

()(

s DR s

CX s

Y

s BR s

X A sI

⇒ Y(s) =[C(sI − A)− 1B+D]R(s)

với I là ma trận ñơn vị

Hàm truyền ñạt của hệ thống tính theo phương trình trạng thái là:

D B A sI C s R

s Y s

)(

)(

)()

(

Ví dụ 2.10: Cho hệ có phương trình trạng thái:

r x

x x

1

13

2

1 2

x

x y

Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt của hệ thống

Giải:

B A sI C s

A sI

1

130

1

131

0

01)(

−+

11

)3(

1)

()det(

1)

s

s s

s A sI Adj A sI A

−+

10

1031

11

)3(

1)

s s s

s s

s B A sI

1)3(

201010

10211)3(

1)

++

s s

s s B A sI C

Vậy:

13

2010)

++

+

=

s s

s s

c Viết phương trình trạng thái mô tả các mạch ñiện

2 Cho hệ thống có hàm truyền ñạt:

a

1346

10)

+++

=

s s s

s

W

b

12537

4)

++++

=

s s s s

s

W

c

15832

13)

++++

+

=

s s s s

s s

W

d

17103

14115

)

2 3

+++

+

+++

=

s s s

s

s s s

s

W

- Viết phương trình trạng thái mô tả hệ thống

- Vẽ sơ ñồ cấu trúc mô tả hệ thống

3 Xác ñịnh hàm truyền ñạt của hệ có sơ ñồ khối như sau:

a

b

c