Từ A kẻ tia vuông góc với AB, từ C kẻ tia vuông góc với BC, hai tia này cắt nhau tại I.. Chứng minh AB.OM = MN.HB c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.. Hớng dẫn chung 1 Hớng dẫn chấm t
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
2
10 ( : ) 3 6
6 4
2
1 (
2 3
2
x
x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 31
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Bài 2 (1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức a b c2( )b c a2( )c a b2( )thành nhân tử
b) Cho a + b + c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của N =
2015 2015 2015
2015
a b c
Bài 3 (1,5 điểm)
a) Tìm a, b sao cho đa thức f x ax 3 bx 2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x 2 x 2 b) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương Bài 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: 40 ) 3 ( 9 2 2 2 x x x b) Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 z 1 y 1 x 1 Chứng minh rằng: 1 2 2 2 2 2 2 z xy xy xz y xz yz x yz Bài 5 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H Từ A kẻ tia vuông góc với AB, từ C kẻ tia vuông góc với BC, hai tia này cắt nhau tại I a) Chứng minh tứ giác AHCI là hình bình hành b) Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm của BI, AC, BC Chứng minh AB.OM = MN.HB c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng và HG = 2GO Bài 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 b b c c a a
-HẾT -Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh: Phòng thi số:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015 Mụn: TOÁN 8
I Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả Trong bài làm,
thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn
II Đáp án và thang điểm
Bài 1
(1,5 đ)
a) Với x 0, x 2 thì giá trị của biểu thức A đợc xác định
2
10 ( : ) 3 6
6 4
2
1 (
2 3
2
x
x x
x x
x x
2
10 ( : ) 2
2 ) 2 )(
2 ( 2
1 (
2
x
x x
x x
x x
2
6 ( : ) ) 2 )(
2 (
) 2 ( 2 2
(
x x
x
x x x
6
2 ).(
) 2 )(
2 (
6
x
x
2 1
0,25đ
0,25đ b)
3
1
3
1
hoặc x =
-3
1
(TMĐKXĐ) Nếu x =
3
1
thì A =
5
3
Nếu x = -
3
1
thì A =
7 3
0,25đ
0,25đ c) Để A có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ớc của 1 Từ đó suy ra
2 - x = 1 hoặc 2 - x = -1 => x = 1 hoặc x = 3 ( TMĐKXĐ) Vậy giá trị nguyên của x cần tìm là x = 1 ;x = 3
0,25đ
0,25đ
Bài 2
(1,5 đ)
a) Ta cú
a b c b c a c a b a b c b c a c b c c a
(b c a)( c ) (c a b)( c ) (b c a c a c)( )( ) (c a b c b c)( )( )
(b c a c a c b c)( )( ) (b c a c a b)( )( )
0,25đ 0,25đ
0,25 đ
b) Ta cú a3 + b3 + c3 = 3abc
3 3 3
3 3
2 2 2
3 ( ) 3 ( ) 3 0
3 ( ) 0
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vỡ a +b +c 0)
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vỡ (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c
Nờn (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đú (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
0,25đ
Trang 3 a = b = c
Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*) Thay (*) vào N ta có: N =
2015 2015 2015 2015
2015 2015 2014
(3 ) 3
a
a b c
0,25đ 0,25 đ
Bài 3
(1,5 đ)
a) Ta có : g x x2 x 2= x 1 x 2 Vì f x ax3 bx2 10x 4
chia hết cho đa thức g x x2 x 2
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
3 2
ax bx 10x 4= x+2 x-1 q x
Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1
Với x=-2 2a-b+6=0 2
Thay (1) vào (2) Ta có : a=-4 và b=-2
0,25đ
0,25đ
0,25đ b) Giả sử n 2 + 4n + 2013 = m 2 (mN)
+ Suy ra n 22 2009 m2 m2 n 22 2009
m n 2 m n 2 2009
+ Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường hợp sau xảy ra:
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0,25đ
0,25đ 0,25đ
Bài 4
(1,0 đ)
a) ĐKXĐ: x 3
3
3 2 ) 3
3 ( 3
3
x
x x x
x x
x x x
3 6 ) 3
3
x
x x
x x
3 6 ) 3 (
2 2
2
x x
x
Đặt t =
3
2
x
x
, ta có: t2 + 6t - 40 = 0 (t - 4)(t + 10) = 0
10
4
t
t
+ Với t = 4, ta có:
3
2
x
x
= 4 x2 – 4x – 12 = 0
6
2
x x
+ Với t = -10, ta có:
3
2
x
x
= -10 x2 + 10x + 30 = 0 (x+5)2
+ 5 = 0 (vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 2 ; 6
0,25đ
0,25đ
z
1 y
1 x
1
xyz
xz yz xy
xy–xz
0,25đ
Trang 4Nên x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
) )(
( ) )(
( ) )(
( z x z y
xy z
y x y
xz z
x y x
yz
0,25đ
Bài 5
(3,5 đ)
G N
M
C
I O
H B
a) AH // CI (cùng vuơng gĩc với BC)
AI // CH (cùng vuơng gĩc với AB) Vậy AHCI là hình bình hành
1,25đ
b) Ta cĩ:
2
1
AB
MN AH
ON
HAB (cặp gĩc nhọn cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc) Nên HAB đồng dạng với ONM (c.g.c) MN AB OM HB
Vậy AB.OM = MN.HB
1,0đ
c) G là trọng tâm của tam giác ABC thì G thuộc đoạn AN và
2
1
AG GN
Chứng minh HAG đồng dạng với ONG (c.g.c) Suy ra:
AGH HGO180 0
Nên H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO
1,0đ
Bài 6
(1,0 đ)
Áp dụng BĐT x2 + y2
2xy, ta cĩ:
1
1 2
2 2
2 2
2
2 1
) 1 (
2
2 2 2
a
Lập luận tương tự, ta được:
VT
1
1 1
1 1
1
a bc b ca c
ab abc abca
ab a
ab abc
a a
1
= ab a ab a a a ab ab
1
=1
0,5đ
Trang 5Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1
0,5đ