Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ.. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng √ ̂ và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Biết rằng số đo góc giữa
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số ( ) ( )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình ( ) √ ( )
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân ∫
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ̅ ( ) Tìm phần
thực và phần ảo của z
b) Một chi đoàn có 15 đoàn viên trong đó có 7 nam và 8 nữ Người ta chọn ra 4 người
trong chi đoàn đó để lập một đội thanh niên tình nguyện Tính xác suất để trong 4
người được chọn có ít nhất 1 nữ
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng
√ ̂ và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết rằng số đo góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng Tính theo a thể tích của khối chóp và
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Câu 6 (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )
và điểm ( ) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
( ) và điểm ( ) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp
xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
Câu 7 (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đương tròn ( ) ( )
( ) và đường thẳng ( ) Từ điểm A thuộc ( ) kẻ hai đường thẳng
lần lượt tiếp xúc với (C) tại B và C Tìm tọa độ điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC
bằng 8
Câu 8 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình { ( √ ) √
( ) ( )√
Câu 9 (1.0 điểm) Cho các số thực không âm thỏa mãn * + Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
√
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu 1 (2,0 điểm)
a.(1,0 điểm) ( ) ( )
Với , hàm số trở thành: (0.25đ)
+ Tập xác định: D =R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
hoặc
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3); (0,25đ)
+ Đồng biến trên các khoảng ( ) và ( )
- Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại ( )
+ Hàm số đạt cực đại tại ( )
- Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Trang 3b.(1,0 điểm)
+ Tập xác định: D =R
+ Đạo hàm: (0,25đ)
Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực đại tại ( ) (0,25đ)
0
Điều kiện đủ:
Với , ta có:
Bảng biến thiên
Từ BBT ta suy ra ta có: 0
Bảng biến thiên
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại
Vậy hàm số đạt cực đại tại khi
Câu 2 (1,0 điểm)
Trang 4( ) √ ( ) ( )
+ Điều kiện: { { (0,25đ)
+ Khi đó: (1) ( ) √ ( ) (0,25đ)
,| |( )-
+ Với thì ( ) ( )( ) : pt vô nghiệm + Với thì (2) ( )( ) (0,25đ)
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trình đã cho là
Câu 3: (1.0 điểm)
+ Ta có: ( )( ) (0,25đ)
+ Do đó: ∫ ∫ (0,25đ)
= | | | | | |
=
Câu 4 (1.0 điểm)
a.(0.5đ)
+ Đặt ( ) ta có:
( ) ( ) ̅ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
{ { (0,25đ)
+ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17
b.(0.5đ)
Số phần tử của không gian mẫu là | | (0,25đ)
Gọi A là biến cố “trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ| |
Vậy xác suất cần tính là ( ) | | || (0,25đ)
Trang 5Câu 5 (1.0 điểm)
(0,25đ) + Do đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng √ ̂ nên các tam giác ABC, ADC
là tam giác đều cạnh √
Suy ra: ( √ ) √ √
+ Gọi H là trung điểm của BC Suy ra
Do đó: ,( ) ( )-̂ ( )̂ ̂
+ Xét tam giác SAH ta có: ( √ ) √ (0,25đ)
+ Vậy √ √
+ Gọi Vì DB AC, BD SC nên BD (SAC) tại O (0,25đ)
+ Kẻ OI SC => OI là đường vuông góc chung của BD và SC
+ Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO và ACS hoặc đường cao của tam giác SAC suy ra được √ Vậy ( ) √
Câu 6 (1.0 điểm)
+ Bán kính mặt cầu ( ( )) | ( ) ( ) |
√
√ (0.25đ) + Phương trình mặt cầu: ( ) ( ) ( ) (0,25đ)
+ Tiếp tuyến chính là hình chiếu vuông góc H của I xuống mặt phẳng (P) đã cho (0,25đ) + Đường thẳng IH qua I và nhận VTPT ⃗ ( ) của mặt phẳng ( ) làm VTCP có
Trang 6{
( )
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình (0,25đ) {
+ Hệ này có nghiệm
+ Do đó tiếp điểm H có tọa độ là ( )
Câu 7 (1.0 điểm) + (C) có tâm ( ) √ ( ) ( )
+ Từ tính chất tiếp tuyến => IA BC tại H là trung điểm của BC Giả sử ( )
=> √ √
+ Suy ra: ( )√ ( )
+ Trong tam giác vuông IBA có ( ) (0,25đ) Thay (2) vào (1) ta có: / √
( )( ) (0,25đ) Suy ra
( ) ( ) 0
Trang 7
[ ( ) ( ) (0,25đ)
Câu 8 (1.0 điểm)
{ √ / √ ( ) ( ) ( )√ ( )
Ta thấy không thỏa mãn phương trình (2)
Với thì (1) ( √ ) ( √ ) (3)
+ Xét hàm số: ( ) ( √ ), với t R (0,25đ)
Ta có: ( )
√ , với moị t R Suy ra ( ) đồng biến trên R
Do đó:
( ) ( ) ( ) + Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: (0,25đ)
( )√ (4)
Xét hàm số ( ) ( )√ với ( )
Ta có: ( )
√ ( ) Suy ra ( ) đồng biến trên ( )
Do đó: ( ) ( ) ( )
Với (0,25đ)
+ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) là ( )
Câu 9 (1.0 điểm)
+ Ta có: ( ) (0,25đ)
Tương tự ta có ( )
+ Do đó ta có theo bất đẳng thức Cô – si thì
Trang 8Vậy nên ta có:
( ) √ + Đặt √ với (0,25đ)
Xét hàm số ( ) trên ( ) Ta có:
( ) Bảng biến thiên
+ Dựa vào BBT suy ra ( ) ( ) ( ) Do đó Dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi và
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi và
