Cho hàm số a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị b Có tồn tại hay không tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc.. Chứng minh
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 (Ngày thi: 28/12/2014) lần I
Môn: Toán – Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 ( ID: 81791 )(2 điểm + 2 điểm) Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị
b) Có tồn tại hay không tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc Chứng minh rằng có duy nhất một tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm uốn
Câu 2 ( ID: 81793 )(1 điểm + 1 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải phương trình
Câu 3 ( ID: 81794 )(1 điểm + 1 điểm)
a) Tính nguyên hàm ∫
b) Tính tích phân ∫
Câu 4 ( ID: 81796 )(1 điểm + 1 điểm)
a) Cho tập , hỏi có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt của A b) Tìm số phức z thỏa mãn ̅ ̅
Câu 5 ( ID: 81798 )(1 điểm + 1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy
ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ √ √ , O và O’ là tâm của ABCD và
A’B’C’D’ Tính theo
a) Thể tích của khối lăng trụ ;
b) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng , và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO’
và B’O
Câu 6 ( ID: 81800 ) ( 2 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC A’,
B’, C’ là các điểm sao cho và là hình bình hành Biết
và là trực tâm của các Tìm tọa độ các đỉnh của
Câu 7 ( ID: 81803 )(1 điểm + 1 điểm) Trong không gian với hệ tea độ Oxyz, cho mặt cầu
, các điểm và a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A, B và C
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S),
và viết phương trình mặt cầu (S’) đồng tâm với mặt cầu (S’) và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Trang 2>> Để xem đáp án chi tiết của từng câ utruy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 2
Câu 8 ( ID: 81805 )(2 điểm) Giải hệ phương trình {
Câu 9 ( ID: 81806 )(2 điểm) Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn và thỏa mãn
chứng minh rằng:
-Hết -
Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh: ………
Trang 3ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Câu 1: (4 điểm)
a) 2điểm
+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1,00đ)
Ta có: (0,25đ)
Đổi trục tọa độ ta được hệ trục UXY (0,25đ)
Phương trình của đường cong trong hệ trục tọa độ mới là (0,25đ)
Hàm số mới là hàm lẻ nên đồ thị của nó nhận điểm uốn làm tâm đối xứng (0.25đ)
b) 2 điểm
Ta có => không tồn tại tiếp tuyến có hệ số góc (0,50 đ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là
(0,50đ) Tiếp tuyến đi qua điểm uốn
(0,50đ)
Câu 2 (2,0đ)
a) 1 điểm
Do đó phương trình tương đương với (0,25đ)
b) 1 điểm
Chia hai vế cho ta được (0,25đ)
Đặt , ta nhận được (0,25đ)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Câu 3 (2,0 đ)
a) 1 điểm
Trang 4>> Để xem đáp án chi tiết của từng câ utruy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 4
∫ ∫ (0,50đ)
b) 1 điểm
∫ ∫ ∫ (0,25đ)
=∫ ∫ ∫ (0,25đ)
=( ) ( ) ( ) (0,25đ)
Câu 4 (2,00 đ)
a) 1 điểm
Vì 4 và 6 cũng có thể đứng cuối nên số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
3 x (0,50đ)
b) 1 điểm
Đặt ̅ ̅ ̅ (0,50đ)
Thay vào phương trình đã cho ta có (0,50đ)
{
√
√
Vậy:
√ √
√ √
Câu 5 (2,0 đ)
C
D
A
0
B
C’
I
B’
O’
A’
H
K D’
Trang 5̂
Do là hình lăng trụ đứng nên (0,25đ)
√ √
√
√√
b.) Ta có và nên
ABCD là hình thoi =>
=> Gọi H là hình chiếu của A lên
=> ( )
̂ ̂ ̂ ( √ )
=> √ √
Trong có : =>
√ => ( )
√ (0,25đ)
Ta có: AO // = O’C’ => AOC’O’ là hình bình hành => A’O // OC’ =>AO’ // (OB’C’)
=>d(AO’;B’O) = d(O’;(OB’C’)) Gọi I là hình chiếu của O’ lên B’C’ => OI B’C’
Ta có: OO’ // AA’ => OO’ (A’B’C’D’) => OO’ B’C’ => B’C’ (OO’I)
Gọi K là hình chiếu của O’ lên OI => O’K OI, B’C’ O’K => O’K (OB’C’)
Ta có: ̂ √ (0,25đ)
√ √
√ (0,25đ)
Ta có: √ √
√
Vậy √ √
√
B’
C
B
C’
K
Trang 6>> Để xem đáp án chi tiết của từng câ utruy cập trang http://tuyensinh247.com/ và nhập mã ID câu 6
Ta có ABA’C’ là hình bình hành nên AC // BA’ và AB // CA’ (0,50đ)
là trực tâm của ΔBCA’ => CH1 BA’ và BH1 CA’
=> CH1 AC và BH1 AB => ABH1C nội tiếp được
Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp ΔABC => và A đối xứng nhau qua K
Tương tự và B đối xứng với nhau qua K Vậy (K) cũng là đường tròn ngoại tiếp
(0,50đ)
Gỉa sử phương trình của (K) là Do (K) là đường tròn ngoại
tiếp nên
{
{
{
Tương tự ta tìm được và (0,25đ)
Câu 7 (2,0 đ)
a) 1 điểm
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (0,25đ)
=> ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(0,25đ) Phương trình của mặt phẳng (P) là (0,50đ)
b) 1 điểm
có tâm bán kính R = 5 (0,25đ)
Ta có: ( ) cắt theo đường tròn (C) có
tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính √ (0,25đ)
Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
=> Phương trình của ⃗⃗⃗⃗ :
Trang 7=>Tọa độ I’ là nghiệm của hệ
{
{
(0,25đ) Câu 8: (2,0đ) Hệ đã cho tương đương với (0,50đ) {
{
{
{
{
(0,50đ) { [ (1.00đ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm (1; 1) và ( -1; -1) Câu 9: (2,0đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với (1,00đ)
Bất đẳng thức đã cho được chứng minh khi ta có: (1,00đ) Thật vậy, do a < nên bất đẳng thức trên tương đương với
Từ a > 0 nên theo bất đẳng thức AM-GM ta nhận được √
Dấu bằng xảy ra a = 1
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra a = b = c = 1