Hộp thứ nhất chứa 10 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu xanh.. Hộp thứ hai chứa 12 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu dỏ và
Trang 1Câu 1 (4 điểm)
Cho hàm số: y x 2
x 1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y m 1 x cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B sao cho
độ dài đoạn thẳng AB 2 2
Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình: sin 2x 3 cos 2x2cos x 3
Câu 3 (2 điểm)
a Hộp thứ nhất chứa 10 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 4 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu xanh Hộp thứ hai chứa 12 viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu dỏ và 5 viên
bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 3 viên bi Tính sác xuất để lấy được 6 viên bi cùng một màu
b Tìm số hạng chứa x6
trong khai triển nhị thức Niu - ton của
12
2
2 x
x 2
với x0
Câu 4 (2 điểm)
a Giải phương trình: 2
log 5x 1 log x x 3 1
b Giải hệ phương trình: xx 2y 11 2 y
2 2 5
Câu 5 (4 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a và SAABCD ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm của
SC
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD, tính thể tích khối tứ diện NMCD
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Câu 6 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Trên các cạch BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N và E sao cho CM DN DE 1BC
3
Gọi H là giao điểm của AN và DM, biết
9 13
H ;
10 10
và E(0;2) Viết phương trình đường thẳng BH và tìm tọa độ điểm B
Câu 7.(2,0 điểm) Giải bất phương trình 2 3
3x 12x 12 2x 3 3x 5 0
Câu 8 (2 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa điều kiện: a b c 1
a b c
SỞ GD - ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THĂNG LONG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA ĐỢT 1NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Trang 2Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
a ab b 8
a b a b
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN THỨ 1 MÔN TOÁN - 2015
Câu 1
2,0
điểm
+ Sự biến thiên:
/
y
/
y 0 x 1 hàm số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1;
0,25đ
xlim y1 ; lim yx 1
xlim y 1; lim y 1x
Tiệm cận ngang là: y = 1 0,25
+ Bảng biến thiên:
x
y
/
y
1
1
+ Đồ thị (Lấy đủ các điểm, vẽ tiệm cận đứng, ngang đúng, điền đủ)
2
1 2
Học sinh tự vẽ hình
0,5
b,
2,0
điểm
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 m 1 x
x 1
0,25
2
x m 1 x m 1 0 1
x 1
0,25
+ Đường thẳng d cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt 1
2
2
m
1 m 1 1 m 1 0 1 0
0,25
+ Gọi A x ; y ; B x ; y 1 1 2 2 là các giao điểm x1; x2 là các nghiệm của
phương trình (1) và y1 m 1 x ; y1 2 m 1 x2
0,25
Trang 3+ 2 2 2 2 2
AB x x y y x x x x 2 x x 0,25
2 x x 4x x 2 m 1 4 m 1 2 m 2m 5
(do 1 2
1 2
0,25
2
AB 2 2 2 m 2m 5 2 2
0,25
+ KL: Vậy m = 1 thì d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn
AB2 2
Câu 2
(2,0
điểm)
1 2sin x cos x 3 2cos x 1 2cos x 3 0,25
2 2sin x cos x 3 cos x 2cos x 0
2 cos x sin x 3 cos x 1 0
cos x 0 2 sin x 3 cos x 1 0 3
0,25
2 x k ; k Z
2
0,25
k Z
0,25
[
[
0,25
Câu 3
a)
1 điểm
Số cách lấy 3 viên bi ở hộp 1 là: C 103
Số cách lấy 3 viên bi ở họp là 2 là: C312
→ Số cách lấy 6 bi mà mỗi hộp 3 viên là: 3 3
10 12
C C
Số cách lấy 3 viên bi màu xanh ở hộp 1 là: C 36
Số cách lấy 3 viên bi màu xanh ở hộp 2 là: C35
→ Số cách lấy 6 viên bi màu xanh mỗi hộp 3 viên là 3 3
6 5
C C
Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ ở hộp 1 là: C 34
Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ ở hộp 2 là: C37
0,25
0,25
0,25
Trang 4Suy ra: Số cách lấy 6 viên bi màu đỏ mỗi hộp 3 viên bi là: 3 3
4 7
C C
Số cách lấy được 6 viên bi cùng 1 màu đỏ: C C36 35C C34 37
Xác suất để lấy được 6 viên bi cùng màu là:
3 3
10 12
C C C C 17
C C 1320
0,25
b)
1 điểm Ta có:
k 12
k 0
12
k
k 12 2k 3k 24 12
k 0
C 2 1 x
Để tìm số hạng chứa x6
ta tìm k từ phương trình: 3k24 6 k 10 0,25
Vậy số hạng chứa x6 trong khai triển là: 10 8 10 6 6
12
33
C 2 1 x x
128
Câu 4
a 1
điểm
Điều kiện: 5x 1 02 x 1
5
x x 3 0
1
1 log 5x 1 log x x 3 1
2
0,25
2
2 log 5x 1 log x x 3 log 9
log 5x 1 log 9 x x 3
0,25
5x 1 9 x x 3 16x 19x 26 0
x 2 13 x 16
(loại)
KL: Phương trình có 1 nghiệm là x = 2
b
(1,0
điểm)
1 2 y 1 2 y
x 1 2y 1
x 2 5 2
0,25
Giải (2): Đặt 2y
2 t t0
Ta có phương trình: 2
t 2 1
2
0,25
+ Với t = 2 22y 2 y 1
2
; thay vào (1) x 2 0,25
+ Với t 1 22y 2 1 y 1
; thay vào (1) x 0
Kết luận:
Hệ phương có các nghiệm là:
x 2 x 0
;
0,25
Trang 5Câu 5
a
2 điểm
E
C
D S
B
P
Q
N
2a
M
A a
0
45
+ SAABCD AB là hình chiếu của SB lên (ABCD) góc giữa SB và
SB; BA SBA45
0,25
+
3 2
SABCD OABCD
V S SA 2a a
+
2 MCD
S MC.CD a.a
d N; MCD SA
1
3
1 a a a
3 2 2 12
b
2 điểm
Vẽ d qua C và d / /BD;dAB E BD / SCE d BD;SC d B; SCE
+ BE = CD = AB suy ra B là trung điểm của AE
d B; SCE d A; SCE
2
0,25
AH CE
AK SCE
AK SH
(Vì AK SHdo CE SAH d A; SCE AK
AK CE
0,25
+ AH 4a
5
Trang 6+ SAH vuông tại A, AK là đường cao 1 2 12 1 2
EC AD F EF 2BD 2a 5; AF 4A
0,25
Vẽ APSBAPSBC do CB SAB
Vẽ AQSDAQSCD
0,25
Góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng góc AP; AQ 0,25
+ AP a 2; AQ 2a
+ SP a 2;SQ a PQ2 SP2 SQ2 2SP.SQ cos BSD
Mà
cos BSD
2SB.SD 2a 2.a 5 10
0,25
AP AQ PQ cos AP; AQ cos PAQ
2AP.AQ
2a 4a 2a
4 10 10
5 4 5
a 2 2a
2
2 5
2a 4a 2a
4 10 10
5 4 5
a 2 2a
2
2 5
0,25
Câu 6
(2
điểm)
DAN DNA 90 CDM DNA 90 ANDM
0,25
Suy ra AHMB là tứ giác nội tiếp 0
AHMABM90
Có ABME là hình chữ nhật
0,25
Trang 7Suy ra A, B, M, H, E cùng thuộc một đường tròn
0 EHB 90 EH BH
+ EH 9 ; 7
10 10
làvecto pháp tuyến của BH
Phương trình đường thẳng BH là : 9 x 9 7 y 13 0
10 10 10 10
0,25
9x 7y 1 0
B a; b BH 9a 7b 1 0 b
7
+ EH 130
10
+ EAHEBH (tinh chất tứ giác nội tiếp)
DN 1 3 130 tan EBH tan EAH BH
0,25
Mà
2
2
13000a 23400a 10530
70
Ta có phương trình :
2
2
13000a 23400a 10530 1170
0,25
2
a 3 b 4 130a 234a 468 0 78 91
Vậy B (3 ;4) hoặc B 78; 61
65 65
Câu 7
(2điểm
)
Điều kiện : x 3
2
1 3 x2 x 1 2x 3 x 1 3x 5 0
0,25
3 2
2
3
x 1 3x 5
x 1 x 1 3x 5 3x 5
0,25
2
2
x 1 2x 3 x 1 x 1 3x 5 3x 5
Do : x 3 x 1 2x 3 0
2
Và : 2 2
x 1 x 1 3x 5 3x 5 0
0,25
Trang 8
2
x 1 2x 3 x 1 x 1 3x 5 3x 5
0,25
2
x 1 2x 3 x 1 x 1 3x 5 3x 5
0,25
Ta có :
1
x 1
2
2x 3 0
0,25
1
x 1 2x 3
Và
2 2
0 x
2
x 1 x 1 3x 5 3x 5
0,25
Suy ra bất phương trình 1 x 2 0 x 2 tmdk
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2
0,25
Câu 8
(2,0
điểm)
Ta có:
4
2 2
a b
8 8
a b a b
và dấu “=” xảy ra khi a = b
0,25
8a 5a 3b a b a b 3a 3b 2ab 2a b 2ab đúng 0,25
Ta có :
3
b a
a ab b 3 3
và dấu "=" xayr ra khi a = b
0,25
CM : 3 2 2 3 3 2 2
3b 2b a a ab b b a a b ab đúng a; b0 0,25
Do a + b + c = 1 a b 1 c M 7 1 c 1 c2
8 3
0,25
Đặt 1 c 2
3 3
với 0 c 1 do a b c 0 0 c 1
a b c 1
/
3 1 c 3 1 c
(Vì c 1 3c 1
3
và 1 c 2 1
0,25
Suy ra Hàm số f(c) liên tục và nghịch biến trên (0; ]1
3
KL: GTNN của M là: 7 2 10
8 9 3
khi
1
3
0,25