Sang kiến kinh nghiêm 2015 môn toán lớp 9

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này tôi viết về một mảng kiến thức trọng tâm trong trương trình toán Đại số lớp 9 đó là phương trình bậc hai và hệ thức viét. Tron đó các dạng toán trọng tâm đã được định hướng và phân loại cụ thể cho từng dạng bài kèm theo cách giải và các ví dụ cụ thể. Các thầy cô và các en có the tham khảo.

CỘNG HềA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phỳc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ XẫT, CễNG NHẬN SÁNG KIẾN

Năm: 2015

Kớnh gửi: - Sở GD&ĐT Hải Phũng

- Sở Khoa học và Cụng nghệ Hải Phũng

Họ và tờn: Bựi Văn Dương

Chức vụ, đơn vị cụng tỏc: Tổ trưởng tổ KHTN - Trường THCS Kiền Bỏi

Tờn sỏng kiến: “Nõng cao kết quả học tập cho học sinh thụng qua việc phỏt hiện và phõn dạng khi giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột”

Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Giảng dạy bộ mụn toỏn 9, bồi dưỡng HSG toỏn 9 và ụnthi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 trường THCS Kiền Bỏi

1 Túm tắt tỡnh trạng giải phỏp đó biết:

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán của trờng THCS nói chung và lớp

9 nói riêng, tôi nhận thấy: Phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơngtrình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phongphú Hơn nữa, trong một vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, vàocác trờng chuyên, lớp chọn các bài toán về phơng trình bậc hai có sử dụng định lý Vi-

et xuất hiện khá phổ biến

Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-et là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập), vì thế nhiều học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài

toán có liên quan đến định lý Vi-et Chúng ta cũng thấy rằng, để giải các bài toán cóliên quan đến định lý Vi-et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thôngqua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phơng trình bậc hai

Trớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khảnăng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khảnăng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu đề tài:

“Nõng cao kết quả học tập cho học sinh thụng qua việc phỏt hiện và phõn dạng khi giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột”

Qua nghiờn cứu này tụi muốn đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫnhọc sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi - ét mà cỏc

em hay gặp phải trong quỏ trỡnh giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng quanghiờn cứu này tụi muốn giỳp GV toỏn 9 cú thờm cỏi nhỡn mới sõu sắc hơn, chỳ ýđến việc rốn luyện kỹ năng thực hành giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức

Vi-et cho học sinh để từ đú khai thỏc hiệu quả và đào sõu suy nghĩ tư duy lụgic củahọc sinh giỳp cỏc em phỏt triển khả năng tiềm tàng trong chớnh bản thõn cỏc em.

Giải phỏp của tụi là đưa ra những dạng toỏn để giới thiệu, để học sinh phỏthiện và cỏc em sẽ chủ động hơn trong việc tiếp thu tri thức

Qua nhiều năm giảng dạy bộ mụn toỏn và tham khảo ý kiến của cỏc đồngnghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tụi nhận thấy: Trong quỏ trỡnh hướng dẫn học sinhgiải toỏn Đại số về phương trỡnh bậc hai thỡ học sinh rất lỳng tỳng khi vận dụng cỏckhỏi niệm, định lý, bất đẳng thức, cỏc cụng thức toỏn học

Sự vận dụng lớ thuyết vào việc giải cỏc bài tập cụ thể của học sinh chưa linhhoạt Khi gặp một bài toỏn đũi hỏi phải vận dụng và cú sự tư duy thỡ học sinh khụngxỏc định được phương hướng để giải bài toỏn dẫn đến lời giải sai hoặc khụng làmđược bài

Một vấn đề cần chỳ ý nữa là kỹ năng giải toỏn và tớnh toỏn cơ bản của một

2 Túm tắt nội dung giải phỏp đề nghị cụng nhận sỏng kiến:

Thay cho việc học sinh học tập một cỏch thụ động theo phương phỏp họcthuộc lý thuyết và làm cỏc bài tập theo thứ tự, tụi đó suy nghĩ và thử nghiệm việc hệthống lại kiết thức và cỏch giải cỏc bài toỏn theo từng dạng toỏn vào giảng dạy.Trong quỏ trỡnh học, học sinh đó đạt được kết quả tiến bộ rừ rệt

Trong giờ học Toỏn, tất cả cỏc phương tiện dạy học như: phương tiện trựcquan như tranh, ảnh, đồ vật thật, … đều cú thể gõy hứng thỳ cho học sinh trong họctập, nú đúng vai trũ quan trọng trong việc thiết lập mối quan hệ giữa ngụn ngữ và ýnghĩa, giỳp học sinh liờn tưởng được ý nghĩa của ngụn ngữ thành cỏc bài toỏn dạngtoỏn dễ dàng

Với cỏc chủ đề gần gũi, sỏt thực với cuộc sống thường ngày của bộ sỏchgiỏo khoa Toỏn 9 giỏo viờn cú thể giới thiệu phương phỏp học tập phự hợp

Một số DẠNG TOÁN VỀ ứng dụng của định lí viét

ứng dụng định lí Viét vào giải các bài toán : Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của

PT bậc hai, sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Hải Phũng, ngày 20 thỏng 03 năm 2015

Người viết đơn

Bựi Văn Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỦY NGUYÊN

TRƯỜNG THCS KIỀN BÁI

Tác giả: Bùi Văn Dương

Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán

Chức vụ: Tổ trưởng tổ KHTN

Nơi công tác: Trường THCS Kiền Bái - Thủy Nguyên

Ngày 20 tháng 03 năm 2015

THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tờn sỏng kiến: Nõng cao kết quả học tập cho học sinh thụng qua việc phỏt hiện

và phõn dạng khi giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột

2 Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Giảng dạy bộ mụn toỏn 9 - THCS, ễn thi HSG toỏn

9, ễn thi vào lớp 10 THPT

3.Tỏc giả:

Họ và tờn: Bựi Văn Dương

Ngày/thỏng/năm sinh: 02 / 06 / 1977

Chức vụ, đơn vị cụng tỏc: Tổ trưởng tổ KHTN Trường THCS Kiền Bỏi -Thủy Nguyờn - Hải phũng

Điện thoại: DĐ: 0934638689 Cố định: 0313874510

4 Đồng tỏc giả (nếu cú):

Họ và tờn:

Ngày/thỏng/năm sinh:

Chức vụ, đơn vị cụng tỏc:

Điện thoại: DĐ: Cố định:

5 Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến:

Tờn đơn vị: Trường THCS Kiền Bỏi

Địa chỉ: Xó Kiền Bỏi - Huyện Thủy Nguyờn - Tp Hải Phũng

Điện thoại: 0313874510

I Mụ tả giải phỏp đó biết:

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán của trờng THCS nói chung và lớp

9 nói riêng, tôi nhận thấy: Phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú Hơn nữa, trong một vài năm trở lại đây, trong các đề thi vào lớp 10 THPT, vào các trờng chuyên, lớp chọn các bài toán về phơng trình bậc hai có sử dụng định lý

Vi-et xuất hiện khá phổ biến

Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-et là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập), vì thế nhiều học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài

toán có liên quan đến định lý Vi-et Chúng ta cũng thấy rằng, để giải các bài toán có liên quan đến định lý Vi-et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phơng trình bậc hai

Trớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu đề tài:

“Nõng cao kết quả học tập cho học sinh thụng qua việc phỏt hiện và phõn dạng khi giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột”

Qua nghiờn cứu này tụi muốn đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫnhọc sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi - ét mà cỏc

em hay gặp phải trong quỏ trỡnh giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng quanghiờn cứu này tụi muốn giỳp GV toỏn 9 cú thờm cỏi nhỡn mới sõu sắc hơn, chỳ ýđến việc rốn luyện kỹ năng thực hành giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thứcVi-et cho học sinh để từ đú khai thỏc hiệu quả và đào sõu suy nghĩ tư duy lụgic củahọc sinh giỳp cỏc em phỏt triển khả năng tiềm tàng trong chớnh bản thõn cỏc em

Giải phỏp của tụi là đưa ra những dạng toỏn để giới thiệu, để học sinh phỏthiện và cỏc em sẽ chủ động hơn trong việc tiếp thu tri thức

Nghiờn cứu được tiến hành trờn hai nhúm của lớp 9A3 và 9A4 trường Trunghọc cơ sở Kiền Bỏi Lớp 9A3 là lớp thực nghiệm, lớp 9A4 là lớp đối chứng Lớp thựcnghiệm đó thực hiện giải phỏp thay thế khi dạy cỏc tiết lý thuyết, tiết luyện tập và cỏctiết ụn tập về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột Kết quả cho thấy tỏc động đó

cú ảnh hưởng rừ rệt đến kết quả của học sinh: Lớp thực nghiệm đó đạt kết quả caohơn so với lớp đối chứng Điểm kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm cú giỏ trị trungbỡnh là 8.46, điểm kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng là 6.73 Kết quả kiểm tra chothấy cú sự khỏc biệt lớn giữa điểm trung bỡnh của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Điều đú chứng minh được việc “Nõng cao kết quả học tập cho học sinh thụng qua việc phỏt hiện và phõn dạng khi giải toỏn về phương trỡnh bậc hai và hệ thức Vi - ột” trong dạy học làm nõng cao kết quả của học sinh

Qua nhiều năm giảng dạy bộ mụn toỏn và tham khảo ý kiến của cỏc đồngnghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tụi nhận thấy: Trong quỏ trỡnh hướng dẫn học sinhgiải toỏn Đại số về phương trỡnh bậc hai thỡ học sinh rất lỳng tỳng khi vận dụng cỏckhỏi niệm, định lý, bất đẳng thức, cỏc cụng thức toỏn học

Sự vận dụng lớ thuyết vào việc giải cỏc bài tập cụ thể của học sinh chưa linhhoạt Khi gặp một bài toỏn đũi hỏi phải vận dụng và cú sự tư duy thỡ học sinh khụngxỏc định được phương hướng để giải bài toỏn dẫn đến lời giải sai hoặc khụng làmđược bài

Một vấn đề cần chỳ ý nữa là kỹ năng giải toỏn và tớnh toỏn cơ bản của một

II Nội dung giải phỏp đề nghị cụng nhận sỏng kiến

II.0 Nội dung giải phỏp mà tỏc giả đề xuất

Thay cho việc học sinh học tập một cách thụ động theo phương pháphọc thuộc lý thuyết và làm các bài tập theo thứ tự, tôi đã suy nghĩ và thử nghiệm việc

hệ thống lại kiết thức và cách giải các bài toán theo từng dạng toán vào giảng dạy.Trong quá trình học, học sinh đã đạt được kết quả tiến bộ rõ rệt

Trong giờ học Toán, tất cả các phương tiện dạy học như: phương tiện trựcquan như tranh, ảnh, đồ vật thật, … đều có thể gây hứng thú cho học sinh trong họctập, nó đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập mối quan hệ giữa ngôn ngữ và ýnghĩa, giúp học sinh liên tưởng được ý nghĩa của ngôn ngữ thành các bài toán dạngtoán dễ dàng

Với các chủ đề gần gũi, sát thực với cuộc sống thường ngày của bộ sáchgiáo khoa Toán 9 giáo viên có thể giới thiệu phương pháp học tập phù hợp

x1  1 ; 2 

2 NÕu a - b + c = 0 th× (*) cã 2 nghiÖm

a

c x

2 Cho ph¬ng tr×nh cã mét hÖ sè cha biÕt, cho tríc mét nghiÖm, t×m

nghiÖm cßn l¹i vµ chØ ra hÖ sè cña ph¬ng tr×nh.

c) Cho ph¬ng tr×nh: 2

x  7x q 0 biÕt hiÖu hai nghiÖm b»ng 11, t×m q vµ 2 nghiÖmcña ph¬ng tr×nh

d) T×m q vµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2

x  qx 50 0biÕt ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm

vµ cã mét nghiÖm b»ng 2 lÇn nghiÖm kia

c) 4 4

1 2

x  x (= 2 2 2 2

1 2 1 2(x x )(x  x )  )

2 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc nghiÖm:

VD1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 8x+ 15 = 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh:

VD 3: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x2 - mx + 2m -1 = 0

Tính theo m giá trị của biểu thức A = 3

1

1

x + 3 2

1

x = 3

2

3 1

3 1

3 2

3 1

2 1 2 1

3 2 1

.

3

x x

x x x x x

m m 18m 9 2m 1

21 4 16

áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =

4

85 và P = x1 x2 =

16 21

1 x 2 x x

2 2

85 16

84 16

85

= 16

64 4

1

= 1

VD5: Cho phơng trình x2  5x 3  0 Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1, x2

Tính giá trị của biểu thức A = x1  2  x2  1

H

ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm

x1 , x2 Nh vậy nếu để ý kỹ ta thấy  2

1

1  2  x  2

x

Có x1 + x2 = 5; x1 x2 = 3  x1  0, x2  0

2 1

5

2

3 1

18

4 18 18

8 8 3 6 4 10 5 12

8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5 12

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

B = 15 12 1 24 8 2

2

3 1

2 1

2 1 1

2

2

3 1 3

2 1

3 2

3 1

1



3 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình.

Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình

Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét,

thay thế 1 cách hợp lý (thờng thì phải thay thế nhiều lần) ta sẽ tách đợc giá trị của biểu thức đó.

VD 1: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình : 2 1 0





px x

b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0





qx x

b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0

bc

q c

2 1





 x

x x

3 2 2

2 1

2 2

1 2

x x

x x

1 1

x x

3) Cho phơng trình x2 mxm70 Không tính nghiệm x1và x2theo m, hãy tính

2 1





 x

x x

x

2 1 2

2 1

2 2 2 1

2

4

x x x x

x x x x

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v =p thì u và v là nghiệm của

ph-ơng trình x2  SxP0(*) Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là  S2  4P0hay S2 4P

Đó chính là điều kiện tồn tại hai số u và v mà tổng u + v = S và u v =P Nh vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua tích giải phơng trình bậc hai

II Một số ví dụ

Nên a,b là nghiệm của phơng trình : x2  5x60

Giải phơng trình này ta đợc x1  3 ;x2  2 Vậy a = 3 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 3

2 2

ab b a

10 2

) ( 2

ab

ab b

ab

b

a

 a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10

* Nếu a+b = 7 và ab = 10  a,b là 2 nghiệm của phơng trình

0 10 7

ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0 x 2;ya)

Theo giả thiết ta có: x+y= 2a; x.y= b2 Do đó x,y là nghiệm của phơng trình

b a

a

y

b a

b a a y

b a a x

* Nếu a = b  = 0 (1) có nghiệm kép là x1 x2 a Khi đó hình chữ nhật là hìnhvuông cạnh a

* Nếu a  b    0  (1) vô nghiệm , khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn

2

2

xy y

2 2

x

zx yz

xy

z y x

Nhận xét : Để giải hệ phơng trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y và xy sau

đó đa về phơng trình bậc 2 đã biết cách giải

2

xy y

x

xy y x

2

y x y x xy y x

S P S

S S P S

P S P S

P S P S

* Giải (1) : Theo định lý Vi- ét, x,y là nghiệm của phơng trình

0 2 3





 t

t có   0 nên trờng hợp này vô nghiệm

Vậy các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là ( x;y) = ( 2;1) và (1;2)

2 2

x

zx yz

xy

z y x

2 6

(

) 2 ( 7 ) 1 ( 6

z x

y

z x

y z xy

z y

(

) 2 ( 7 ) 1 ( 6 )

(

z x

y

zx yz

xy

y z

) 5 ( ) 4 ( 3

z x

z x

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet  x và z là các nghiệm của phơng trình

0 2 3

Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1)

* Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ là y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet.



y

x và x.y = 96

x1 2  ; S =

a

b x

x1  2  

* Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một

số cho trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét

S P

S P

3 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0

* Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thờng có 2 cách giải:

Cách 1: - Có P  0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S P

Thì hai nghiệm đều dơng

Cách 2: Trớc hết phải có   0khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu

0



S (Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)

Hoặc S = 0 (Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S ,0 P 0 (Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

II Một số ví dụ

VD1: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm cùng dấu

Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?

5

0 4 5

2

m

m m

4 9 2

5 2

m m

5

m m

m m

4

m m

b PT (2) cã hai nghiÖm x1 ; x2 cïng dÊu khi vµ chØ khi

2

0 0

b Hai nghiÖm cïng dÊu ph©n biÖt

c Hai nghiÖm ©m ph©n biÖt

2

1 1

2

1 0 0

b Có 2 nghiệm trái dấu và có giá trị tuyệt đối bằng nhau

m a

m m

m m

x  

Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn

TH2: Nếu m – 4 0  m 4 phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phơng trình có một nghiệm dơng

i) PT có 2 nghiệm trái dấu Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0

0 0

4

m

m m

b

m a