luận văn thạc sĩ bất phương trình và hệ bất phương trình

Và đặc biệt trong chương này có đề cập đếnứng dụng của việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào một số bài toánkinh tế.. Luận văn trình bày các bài toán về bất phương trình và h

Mục lục

1.1 Đại cương về bất phương trình 6

1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ 8

1.2.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩn số 8

1.2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn số 10

1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số 11

1.2.4 Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số 12

1.2.5 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn số 13

1.2.6 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn số 14

1.2.7 Hệ bất phương trình đối xứng 18

1.3 Bất phương trình, hệ bất phương trình đại số vô tỷ 20

1.3.1 Bất phương trình vô tỷ 20

1.3.2 Hệ bất phương trình vô tỷ 36

1.4 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 40

1.4.1 Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 40

1.4.2 Hệ bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 48

2 Bất phương trình mũ và lôgarit 52 2.1 Bất phương trình mũ 52

2.1.1 Một số kiến thức cơ bản 52

2.1.2 Các phương pháp giải 52

2.2 Bất phương trình logarit 63

2.2.1 Một số kiến thức cơ bản 63

2.2.2 Các phương pháp giải 63

3 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số 74 3.1 Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số 74

3.2 Phương pháp tam thức bậc hai 87

3.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ 91

3.4 Phương pháp hình học 99

3.5 Các phương pháp khác 101

hệ bất phương trình" Việc nâng cao kiến thức và giúp học sinh giải tốt các bàitoán trên là động lực để tôi nghiên cứu đề tài này.

Bản luận văn này được chia làm 3 chương

Chương 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số

Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại Luận văn trình bàymột số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình hữu tỷ; bấtphương trình và hệ bất phương trình vô tỷ; bất phương trình và hệ bất phươngtrình có chứa dấu giá trị tuyệt đối Và đặc biệt trong chương này có đề cập đếnứng dụng của việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào một số bài toánkinh tế

Chương 2 Bất phương trình mũ và lôgarit

Ở chương này, luận văn đề cập đến các phương pháp giải bất phương trình

mũ và bất phương trình lôgarit

Chương 3 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số

Luận văn trình bày các bài toán về bất phương trình và hệ bất phương trình

có chứa tham số thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và đề thihọc sinh giỏi

Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa

học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quátrình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất Rất mong nhận được

sự góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Vũ

Đỗ Long Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắcmắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HàNội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013; Ban giám hiệu

và các đồng nghiệp trường THPT Trần Văn Lan huyện Mỹ Lộc, tỉnh Nam Định

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Học viênTrần Thị Thu Phương

Chương 1

Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số

a, Khái niệm bất phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg.Đặt D = Df ∩ Dg

• Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng:

• Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định D của bất phương trình

mà chỉ cần nêu điều kiện để x ∈ D Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác địnhcủa bất phương trình, gọi tắt là điều kiện của bất phương trình

b, Bất phương trình tương đương

Dưới đây, chúng ta nói tới bất phương trình dạng f (x) < g(x) Đối với các bất

phương trình dạng f (x) 6 g(x), f (x) > g(x), f (x) > g(x) ta cũng có các kết quảtương tự.

• Hai bất phương trình (cùng ẩn) trên cùng một tập xác định D được gọi làtương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm;

• Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết

f1(x) < g1(x) ⇔ f2(x) < g2(x)

• Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng tập xác định D (hay cócùng điều kiện xác định mà ta ký hiệu là D) và tương đương với nhau ta nói:+ Hai bất phương trình tương đương trên D;

+ Hoặc với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau

c, Biến đổi tương đương các bất phương trình

• Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phươngtrình tương đương với nó;

• Một số phép biến đổi tương đương thường dùng:

Cho bất phương trình f (x) < g(x) có tập xác địnhD, y = h(x)là một hàm sốxác định trên D

Khi đó, trênD, bất phương trìnhf (x) < g(x)tương đương với mỗi bất phươngtrình sau:

(i) f (x) + h(x) < g(x) + h(x);

(ii) f (x)h(x) < g(x)h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x ∈ D;

(iii) f (x)h(x) > g(x)h(x) nếuh(x) < 0 với mọi x ∈ D;

Lưu ý:

+) Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được mộtbất phương trình mới tương đương;

+) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]3 < [g(x)]3

+) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai:

f (x) < g(x) ⇔ [f (x)]2< [g(x)]2

+) Tương tự, ta cũng có quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ và nâng lên lũy thừabậc chẵn

1.2 Bất phương trình và hệ bất phương trình đại số hữu tỷ



a



Định lý 1.2

Cho đa thức f (x) được biểu diễn dưới dạng tích các nhị thức bậc nhất Gọi xi lànghiệm bội bậc ki của đa thức f (x)

Khi đó: f (x) sẽ đổi dấu khi đi qua mốc x i nếu k i là số lẻ;

f (x) sẽ không đổi dấu khi đi qua mốc xi nếu ki là số chẵn

Bài toán 1.1

Giải bất phương trình sau:

2x − 1 5x + 3 >

(1.1) ⇔ (2x − 1)(7x + 6) − (3x − 2)(5x + 3)

2 + 6x (5x + 3)(7x + 6) > 0.

Vậy bất phương trình (1.1) có tập nghiệm là −6

7; −

3 5



∪ (0; 6)

(ii) Bất phương trình bậc nhất một ẩn số

• Dạng bất phương trình:

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0,

trong đó x là ẩn, a và b là hằng số, a 6= 0

• Cách giải và biện luận: ax + b ≤ 0 (1)

+ Nếu a > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ −b

- Nếu m = −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là R

- Nếu m > −1 thì bất phương trình có tập nghiệm là



2 + m + 5 3(m + 1)

.Bài toán 1.3

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau xác định với mọi x ≥ −3:

Lời giải

Điều kiện để hàm số đã cho có nghĩa là:

(m − 3)x + 2m − 5 ≥ 0 ⇔ (m − 3)x ≥ 5 − 2m.

Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ −3 khi và chi khi:

+ Giải từng bất phương trình của hệ;

+ Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta đượctập nghiệm của hệ bất phương trình

- Giải bất phương trình (1.4.1) ta được tập nghiệm là (−∞; 6]

- Giải và biện luận bất phương trình (1.4.2):

+ Nếu m < −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là −∞; −1

m + 1

i.+ Nếu m = −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là R

+ Nếu m > −1 thì bất phương trình (1.4.2) có tập nghiệm là h −1

m + 1; +∞

.Suy ra hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

1.2.3 Bất phương trình bậc hai một ẩn số

(i) Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng: f (x) = ax2 + bx + c trong đó

a, b, c là những hệ số và a 6= 0

Định lý 1.3 (về dấu của tam thức bậc hai):

Cho f (x) = ax2+ bx + c (a 6= 0), ∆ = b2− 4ac

(i) Nếu ∆ < 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R;

(ii) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, ∀ x 6= − b

2a;(iii) Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2)

Khi đó: f (x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2;

f (x) trái dấu với hệ số a khi x 1 < x < x 2.(ii) Bất phương trình bậc hai một ẩn số

• Bất phương trình bậc hai một ẩn số x là bất phương trình có dạng:

ax2+ bx + c > 0, ax2+ bx + c ≥ 0, ax2+ bx + c < 0, ax2+ bx + c ≤ 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là các hằng số và a 6= 0

• Cách giải:

+ Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái của bất phương trình;

+ Tìm x làm cho vế trái mang dấu thỏa mãn dấu của bất phương trình

Suy ra m = 0 không thỏa mãn bài toán

- Nếu m 6= 0 thì bất phương trình (1.5) là bất phương trình bậc hai

Suy ra bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với ∀x ∈R khi và chỉ khi

⇔

(

m > 0

Vậy với m ≥ 1 thì bất phương trình (1.5) nghiệm đúng với mọi x.

• Hệ bất phương trình bậc hai một ẩn số là hệ gồm 2 hoặc nhiều bất phươngtrình bậc hai một ẩn số

• Cách giải:

+ Giải từng bất phương trình của hệ;

+ Lấy giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ ta đượctập nghiệm của hệ bất phương trình

Bài toán 1.6 (Đại học Cảnh sát - Khối D - 1999)

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Do đó, vế trái của (1.6.2) có hai nghiệm x1 = m, x2 = m + 1

Suy ra, bất phương trình (1.6.2) có tập nghiệm là [m; m + 1]

- Suy ra, hệ bất phương trình (1.6) có nghiệm khi và chỉ khi

Suy ra hệ bất phương trình (1.7) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

trong đó a, b, c là những số cho trước: a2+ b26= 0 ; x và y là các ẩn

• Mỗi cặp số(x0; y0)sao cho ax0+ by0+ c < 0 gọi là một nghiệm của bất phươngtrình ax + by + c < 0

• Nghiệm của các bất phương trình dạng

ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0

cũng được định nghĩa tương tự

• Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩnđược biểu diễn bởi một điểm; tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tậphợp điểm Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình

Định lý 1.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d) : ax + by + c = 0 chiamặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không

kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax + by + c > 0,nửamặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm thỏa mãn bất phương trình

ax + by + c < 0

• Từ định lý ta suy ra:

+ Nếu(x0; y0)là một nghiệm của bất phương trìnhax+by+c < 0(hayax+by+c >

0) thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0; y0) chính là miềnnghiệm của bất phương trình ấy;

+ Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 thì miềnnghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ

• Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0:

(i) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng(d) : ax + by + c = 0

(ii) Xét một điểm M (x0; y0) không nằm trên(d)

+ Nếu ax0+ by0+ c < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M làmiền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0;

+ Nếu ax0+ by0+ c > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm

M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0

•Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có liên quanchặt chẽ đến một số bài toán kinh tế Trước khi xét đến ứng dụng này, ta sẽ xétbài toán về phương pháp tìm cực trị của biểu thức P (x; y) = ax + by trên mộtmiền đa giác lồi

b

+) Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P (x; y), ta cho đường thẳng (dm) chuyểnđộng song song với (d0) từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên chođến khi (dm) lần đầu tiên đi qua một điểm (x0; y0) nào đó của (S) Khi đó mđạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P (x; y), đó là

P (x0; y0) = ax0+ by0

+) Khi tìm giá trị lớn nhất của P (x; y), ta cho đường thẳng(dm)chuyển độngsong song với (d0) từ một vị trí nào đó ở phía trên miền (S) và đi xuống chođến khi (d m ) lần đầu tiên đi qua một điểm (x 0 ; y 0 ) nào đó của (S) Khi đó mđạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của P (x; y), đó là

Chú ý:

+) Qua cách làm trên ta thấy P (x; y) đạt giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) tạimột đỉnh nào đó của đa giác (S)

+) Điều kiện b 6= 0 trong bài toán trên có thể thay đổi thành điều kiện a, b

không đồng thời bằng 0 Bài toán với điều kiện mới này so với bài toán trênchúng ta còn phải giải quyết thêm trường hợpa 6= 0, b = 0, và đây là trường hợptương đối đơn giản

Bài toán 1.9

Một cơ sở sản xuất có thể làm được hai loại hàng I và hàng II, từ nguyên liệu

A và B Trữ lượng A và B hàng ngày theo thứ tự có được là 6 và 10 đơn vị Đểsản xuất một đơn vị hàng I cần 2 đơn vị nguyên liệu loại A và 3 đơn vị nguyênliệu loại B Để sản xuất một đơn vị hàng II cần 1 đơn vị nguyên liệu loại A và

4 đơn vị nguyên liệu loại B Giá bán một đơn vị hàng I và hàng II theo thứ tự

là 2 và 5 đơn vị tiền tệ.Qua tiếp thị được biết, trong một ngày nhu cầu tiêu thụhàng II không quá 2 đơn vị, nhu cầu hàng I hơn 2 lần hàng II không quá 1 đơn

vị Hỏi cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu đơn vị hàng mỗi loại để doanh thu lớnnhất

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị hàng I và hàng II được sản xuất mỗi ngày

Theo giả thiết x, y phải thỏa mãn các điều kiện

Từ đó ta tìm được miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình (1.9) là miền đagiác OABC (kể cả biên).

• Theo bài toán (1.8), ta tìm được số tiền c đạt giá trị lớn nhất điểm A(2; 1).Vậy mỗi ngày cần sản xuất 2 đơn vị hàng I và 1 đơn vị hàng II thì sẽ đạt đượcdoanh thu lớn nhất là 9 đơn vị tiền tệ

Bài toán 1.10

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin

B đối với cơ thể con người Kết quả như sau:

i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A

và không quá 500 đơn vị vitamin B;

ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B;

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin Bkhông ít hơn 1

2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vịvitamin A

Hãy tìm phương án để một người dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn cácđiều kiện trên mà số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng giá một đơn vị vitamin

A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng

(f4) : x+y−400 = 0 (f5) : 3x−y = 0 (f6) : x−2y = 0 (d0) : 9x+7.5y = 0

Từ đó ta tìm được miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình (1.10) là miền đagiác ABCDEF (kể cả biên)

• Theo bài toán (1.8), ta tìm được số tiềnc đạt giá trị nhỏ nhất điểm(100; 300).Vậy phương án để dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện của bàitoán mà số tiền phải trả ít nhất đó là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vịvitamin B mỗi ngày, và chi phí mỗi ngày là 3150 đồng

Ta có (1.11)⇔ x

(x − 1)2+ (y − 1)2 ≤ 2 (1.11.2)Trong mặt phẳng tọa độOxy ta vẽ hai đường tròn (C1)và (C2) có phương trìnhnhư sau

(C 1 ) : x2+ y2 = 22; (C 2 ) : (x − 1)2+ (y − 1)2 = √

2
2

Từ đó ta có, trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

•Những điểm có tọa độ(x; y)thỏa mãn bất phương trình (1.11.1) là những điểm

ở ngoài đường tròn (C 1 );

•Những điểm có tọa độ(x; y)thỏa mãn bất phương trình (1.11.2) là những điểm

ở trong đường tròn (C2), kể cả những điểm trên đường tròn (C2) ;

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình (1.11) là vùng được in đậm trên hình

vẽ và không nằm trên đường tròn (C 1 )

Bài toán 1.12 (theo Olympic 30 tháng 4, lần thứ XV, 2009 Lớp 10,THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam)

Giải bất phương trình sau:

(

x + y ≤ 4

Lời giải

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Với phương pháp này ta sẽ khử căn thức bằng cách nâng lên lũy thừa Khi đó,

ta cần chú ý một số điểm sau đây:

• Đối với bất phương trình có chứa nhiều căn thức bậc chẵn thì khi giải cần đặtđiểu kiện để căn thức có nghĩa và nên sắp xếp lại các số hạng ở hai vế của bấtphương trình để sau khi bình phương ẩn x nằm ngoài căn thức triệt tiêu hay

có bậc thấp nhất, đồng thời để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình Sau

đó mới thực hiện lũy thừa để khử căn và quy về các dạng bất phương trình cơbản, đồng thời chú ý việc kết hợp với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp củabất phương trình

Bài toán 1.13 (Đại học kinh tế quốc dân – Khối A – 2001 )

(

x − 1 ≥ 0 (x + 5)(3x + 4) > 16(x − 1)2

x ≤ −5

(

x ≥ 1 13x2− 51x − 4 < 0

Bài toán 1.14 (Đại học kiến trúc Hà Nội – Khối A – 2001)

Giải bất phương trình sau:

Do đó trên [3; +∞) thì bất phương trình (1.14.2)vô nghiệm

Vậy bất phương trình (1.14) có tập nghiệm là −∞;1

2

i

∪ {1}

Bài toán 1.15 (Đại học Bách khoa Hà Nội - 2000)

Giải bất phương trình sau:

Bài toán 1.16 (Đại học Mỏ - Địa chất 1999)

Giải bất phương trình sau:

2x2

9 + 2x
2

Lời giải.

Điều kiện để bất phương trình (1.16) có nghĩa là: x ≥ −9

2; x 6= 0.Với điều kiện trên thì nhân cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái của bất phươngtrình (1.16) với biểu thức (3 + √



\ {0}.Bài toán 1.17

Giải bất phương trình sau:

p

3x 2 − 7x + 3 +px 2 − 3x + 4 >px 2 − 2 +p3x 2 − 5x − 1. (1.17)Lời giải

Điều kiện để bất phương trình (1.17) có nghĩa là:

√ 13 6

√ 37 6

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

• Nếu bài toán chứa pf (x) và f (x) ta có thể đặt t = pf (x), với điều kiện tốithiểu t ≥ 0, khi đó f (x) = t2

• Nếu bài toán chứa pf (x) ±pg(x), pf (x).g(x) và f (x) + g(x) = k (k=const)

ta có thể đặt t =pf (x) ±pg(x), khi đó pf (x).g(x) = ±t

2 − k

• Nếu bài toán chứa pf (x),pg(x) và pf (x)pg(x) = k(k = const) ta có thể đặt

t =pf (x), với điều kiện tối thiểu t ≥ 0, khi đó pg(x) = k

t.Bài toán 1.19 (Đại học An Ninh – 2000 –Khối A )

Giải bất phương trình sau:

√ 7x + 7 + √

Lời giải

Điều kiện để bất phương trình (1.19) có nghĩa là: x ≥ 6

7

Với điều kiện trên thì:

•Đối với một số bất phương trình vô tỷ, khi thu gọn bất phương trình ta thườngchia cả hai vế cho √x hay một biểu thức nào đó, sau đó ẩn phụ mới dễ dàngđược nhận ra

Bài toán 1.20 (Olympic 30 tháng 4, lần thứ XVII, 2011 Lớp 10,Trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn – Ninh Thuận đề nghị)

Giải bất phương trình sau:

+ Nếu x = 0 thay vào bất phương trình ta được 0 ≤ 1 (luôn đúng)

Suy ra x = 0 là một nghiệm của bất phương trình (1.20)

+ Nếu x > 0 thì chia cả 2 vế của bất phương trình (1.20) cho x 2 (x 2 + 1) tađược:

t1 − 1

x + 1x

⇔

vuu

tx + 1

x + 1x

vuu

t1 − 1

x + 1x

⇔ 0 ≤ t2+ t − 1 − 2t

r

t − 1t

• Phương pháp này thường được sử dụng đối với các bất phương trình khi lựachọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn triệt

để qua ẩn phụ đó hoặc biểu diễn được thì công thức biểu diễn quá phức tạp

Khi đó thường ta được một bất phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫntheo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương.

⇔x ≤ 0.

Kết hợp (1.21.1) và (1.21.2) ta thu được x ≤ 1 − √

2.Vậy bất phương trình (1.21) có tập nghiệm là −∞; 1 −√2∪

5 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Để sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình thường cóhai trường hợp sau:

•Bất phương trình chuyển được về một trong các dạngf (x) > k, f (x) ≥ k, f (x) <

k, f (x) ≤ k với f (x) là hàm số đơn điệu và có x 0 sao cho f (x 0 ) = k;

• Bất phương trình chuyển được về một trong các dạng f (u) > f (v), f (u) ≥ f (v)

với f (x) là hàm số đơn điệu

Bài toán 1.23

Giải bất phương trình sau:

3

√ 3x + 1 + √

Điều kiện để bất phương trình (1.23) có nghĩa là: x ≥ −2

Bất phương trình (1.23) tương đương với bất phương trình:

3

√ 3x + 1 + √

Suy ra, hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (−2; +∞) và f (0) = 3.

Khi đó bất phương trình (1.23) được biến đổi như sau

Suy ra, hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Khi đó bất phương trình (1.24) được biến đổi như sau

f (x − 1) > f (3 − x) ⇔ x − 1 > 3 − x ⇔ x > 2.

Đối chiếu với điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm của bất phương trình(1.24) là (2; 3]

6 Phương pháp lượng giác

Phương pháp này nhằm làm mất dấu căn mà không cần lũy thừa

∪hπ; 3π

2



•Dạng 6: Nếu |x| ≥ m (m > 0) hoặc bài toán có chứa biểu thức √x 2 − m thìđặt x = m

2



∪hπ;3π2



•Dạng 7: Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và bài toán có chứa biểuthức √x 2 + 1 thì đặt x = tan α với α ∈



−π

2;

π 2



•Dạng 8: Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và bài toán có chứa biểuthức √x 2 + m 2 thì đặt x = m tan α với α ∈−π

2;

π 2

.Bài toán 1.25

Giải bất phương trình sau:

2

√ 2

2 Vậy bất phương trình (1.25) có tập nghiệm là

√ 2

2 ; 1

.Bài toán 1.26

Giải bất phương trình sau:

Ta thấy bất phương trình trên luôn đúng ∀t ∈ [0; π].

Vậy bất phương trình (1.26) có tập nghiệm là [−1; 1]

Điều kiện để bất phương trình (1.27) có nghĩa là: x ≥ 1

Với điều kiện trên, bất phương trình (1.27) tương đương với bất phương trình

+

√ 23 4

2

+

√ 23 4



, − →v =2x −5

4;

√ 23 4

2

+

√ 23 4

2

+

√ 23 4

là (−1; 1) và (1; −1).

Ta thấy y = 0 thì hệ bất phương trình (1.31) không được thỏa mãn.

Suy ra y 6= 0, do đó điều kiện xác định của hệ (1.31) là

Miền nghiệm của bất phương trình (1.33.2) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng



1.4 Bất phương trình và hệ bất phương trình có chứa dấu giá

trị tuyệt đối

1 Phương pháp biến đổi tương đương