Các bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp

Ông đã chứng minh được rằng không có được đường đinào thoả mãn yêu cầu bài toán lời giải chi tiết của bài xin được trình bày rõ ở chương IV b, Bài toán bốn màu Có những bài toán mà nội d

Mục lục

1.1 Giới thiệu bài toán 6

1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại 9

1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng 9

1.2.2 Nguyên lý Diriclet 16

2 Bài toán liệt kê 39 2.1 Giới thiệu bài toán 39

2.2 Thuật toán và độ phức tạp tính toán 40

2.2.1 Khái niệm thuật toán 40

2.2.2 Mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng PASCAL 41

2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán 43

2.3 Phương pháp sinh 45

2.4 Thuật toán quay lui 48

3 Bài toán đếm 52 3.1 Các bài toán đếm cơ bản 52

3.1.1 Giới thiệu bài toán 52

3.1.2 Các quy tắc đếm cơ bản 52

3.1.3 Tam giác Pascal và nhị thức Newton 65

3.1.4 Nguyên lý bù trừ 68

3.1.5 Hệ thức truy hồi 70

3.2 Phân loại các bài toán đếm 75

3.2.1 Bài toán đếm có sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản 75

3.2.2 Bài toán đếm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước 77

3.2.3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và đẳng thức chứa công thức tổ hợp 80

3.2.4 Bài toán đếm các đối tượng hình học 83

3.2.5 Bài toán phân chia (hoặc lấy ra) các đồ vật vào (hoặc ra khỏi) các hộp 84

3.2.6 Hệ số ak của xk trong khai triển Newton 88

3.2.7 Bài tập nguyên lý bù trừ 90

3.2.8 Bài tập hệ thức truy hồi 91

3.2.9 Đẳng thức phương trình liên quan đến khai triển Newton 96

4 Bài toán tối ưu 108 4.1 Giới thiệu bài toán 108

4.2 Bài toán tối ưu trong đồ thị 108

4.2.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị 108

4.2.2 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận 117

4.2.3 Bài toán tìm cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất 120

4.2.4 Bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất 126

Kết luận 130

Tài liệu tham khảo 131

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo và các đồng nghiệp trườngTHPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Ngoại Ngữ - ĐHQGHN đã tạo điềukiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiệnluận văn này.

Tác giả xin cảm ơn các bạn đồng khóa, gia đình và bạn bè đã quan tâmgiúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn này không thể tránhkhỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến chỉ dẫn,đóng góp của thầy cô và các bạn

Trong toán học sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện với nhiều bài toán hay với

độ khó cao Những ai mới bắt đầu làm quen với khái niệm tổ hợp thườngkhó hình dung hết độ phức tạp về về cấu trúc trên các tập đặc biệt Dovậy tôi đã chọn đề tài "bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp" Luậnvăn đã trình bày bốn bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp, xây dựng một

Chương 2: Bài toán liệt kê Chương 2 được trình bày theo bốn mụcbao gồm: giới thiệu bài toán, thuật toán và độ phức tạp tính toán cùngvới phương pháp sinh và thuật toán quay lui

Chương 3: Bài toán đếm Đây là nội dung chính của luận văn Trongchương này tác giả đã nêu được các bài toán đếm cơ bản, phân loại các

bài toán đếm theo từng dạng bài tập cụ thể Trong mỗi dạng tác giả đều

có ví dụ minh họa cũng như bài tập tự luyện

Chương 4: Bài toán tối ưu Trong chương này tác giả đã giới thiệubài toán, nhắc lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị, biểu diễn đồthị bằng ma trận và trình bày hai bài toán cơ bản là: Bài toán tìm câybao trùm có trọng số nhỏ nhất và bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏnhất

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiêncứu khoa học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chếnên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất.Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Chương 1

Bài toán tồn tại

1.1 Giới thiệu bài toán

Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hìnhthoả mãn các tính chất cho trước là hết sức khó khăn Bài toán về bẩy câycầu của nhà toán học Euler vào thể kỉ XVIII đã khiến người dân thànhphố Konigsberg và các nhà toán học thời bấy giờ mất bao công tìm kiếmlời giải Hay đơn giản hơn, khi một kì thủ cần phải tính toán các nước đicủa mình để giải đáp xem liệu có khả năng thắng hay không, hoặc là mộtngười giải mật mã cần tìm chìa khoá giải cho một bức mật mã mà anh takhông biết liệu đây có đúng là bức điện thật được mã hoá của đối phươnghay không, hay chỉ là bức mật mã giả của đối phương tung ra nhằm đảmbảo an toàn cho bức điện thật Như vậy, trong tổ hợp xuất hiện một vấn

đề rất quan trọng là xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp với các tínhchất cho trước Các bài toán thuộc dạng này được gọi là các bài toán tồntại tổ hợp

Một bài toán tồn tại tổ hợp xem như giải xong nếu chỉ ra một cách xâydựng cấu hình hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại Tuy nhiên, cảhai khả năng đều không phải dễ Để thấy rõ được sự phức tạp của vấn đề,dưới đây xin được xét một số bài toán tồn tại cổ điển nổi tiếng

a, Bài toán về bẩy cây cầu của Euler

Thành phố Konigsberg thuộc Thổ (bây giờ gọi là Kaliningrad thuộccộng hoà Nga), được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel.Các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof và một miền nằmgiữa hai nhánh sông Pregel Vào thế kỉ XVIII, người ta xây bẩy chiếc cầunối các vùng này với nhau Hình 1, vẽ các vùng và các cầu qua sông của

thành phố.

Vào chủ nhật người dân ở đây thường đi bộ dọc theo các phố Họ tựhỏi không biết có thể xuất phát tại một điểm nào đó trong thành phố điqua tất cả các cầu, mỗi chiếc cầu đúng một lần, rồi trở về điểm xuất phátđược không Nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler, đã giải bài toán này.Lời giải của ông công bố năm 1736 có thể là một ứng dụng đầu tiên của

lý thuyết đồ thị Ông đã chứng minh được rằng không có được đường đinào thoả mãn yêu cầu bài toán (lời giải chi tiết của bài xin được trình bày

rõ ở chương IV)

b, Bài toán bốn màu

Có những bài toán mà nội dung của nó có thể giải thích cho bất kì ai,tuy lời giải của nó thì ai cũng có thể tự tìm nhưng mà khó có thể tìm được.Ngoài định lý Fermat thì bài toán bốn màu là một trong những bài toánnhư vậy Bài toán có thể phát biểu trực quan như sau: Chứng minh rằngmọi bản đồ trên mặt phẳng đều có thể tô bằng bốn màu sao cho không

có hai nước láng giềng nào được tô bởi cùng một màu Chú ý rằng ta xemmỗi nước là một vùng liên thông và hai nước gọi là láng giềng nếu chúng

có chung biên giới là một đường liên tục

Con số 4 không phải là ngẫu nhiên, người ta đã chứng minh được rằngmọi bản đồ đều được tô với số màu lớn hơn 4, còn với số màu ít hơn 4 thìkhông tô được, chẳng hạn bản đồ gồm bốn nước ở hình dưới đây khôngthể tô được với số màu ít hơn 4

Bài toán này xuất hiện vào khoảng những năm 1850 - 1852 từ một nhàbuôn người Anh là Gazri, khi tô bản đồ hành chính nước Anh đã cố gắngchứng minh rằng có thể tô bằng 4màu Sau đó, năm 1952, ông đã viết thưcho De Morgan để thông báo về giả thuyết này Năm 1878, Keli trong mộtbài báo đăng ở tuyển tập các công trình của Hội toán học Anh có hỏi rằngbài toán này đã được giải quyết hay chưa? Từ đó bài toán này trở thànhnổi tiếng và trong hơn một thế kỉ, có rất nhiều người làm toán nghiệp

dư cũng như chuyên nghiệp đã cố gắng chứng minh giả thuyết này Tuynhiên, mãi đến năm 1976 hai nhà toán học Mỹ là K.Appel và W.Hakenmới chứng minh được giả thuyết này bằng máy tính điện tử

c, Bài toán chọn 2n điểm trên lưới n × n điểm

Chọn một lưới ô vuông gồm n × nđiểm Hỏi có thể chọn trong số chúng

2n điểm sao cho không có ba điểm được chọn nào thẳng hàng hay không?hiện nay người ta biết lời giải của bài này khi n 6 15 Hình dưới đây chomột lời giải bài toán với n = 12

1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại

1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng

Phương pháp chứng minh phản chứng có lẽ là một trong những phươngpháp chứng minh sớm nhất mà loài người đã biết đến, đặc biệt trong nghệthuật diễn thuyết và tranh luận Trong toán học, phương pháp chứng minhphản chứng thường được sử dụng, đặc biệt khi cần chứng minh tính duynhất của một đối tượng T nào đó thoả mãn điều kiện cho trước (mà sự tồntại của T đã được chứng minh trước đó) ta thường giả sử còn ∀T0 6= T ; T0

cũng thoả mãn điều kiện đó, từ đó suy ra một điều vô lý Vậy điều giả sửcủa chúng ta là sai, tức là T duy nhất

a, Cơ sở lý thuyết

Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề có dạng P =⇒ Q với P là giảthiết, Q là kết luận Ta tiến hành như sau:

Bước 1: Giả sử Q sai

Bước 2: Từ giả sử Q sai và từ P ta dùng các lập luận, suy diễn để dẫnđến một điều vô lý

Bước 3: Từ đó ta suy ra Q đúng

Chú ý 1.1 Ta có thể dùng phương pháp chứng minh phản chứng đểchứng minh nguyên lý Diriclet Do đó, với nhiều bài toán ta có thể chứngminh bằng nguyên lý Diriclet hoặc phương pháp chứng minh phản chứng

b, Phương pháp giải toán qua các ví dụ

Ví dụ 1.1 Một lớp học có 43 em, gồm các em họ Nguyễn, họ Phạm, họTrần Chứng minh rằng lớp có ít nhất 19 em họ Nguyễn hoặc ít nhất 14

(THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hoá 2011-2012)

Lời giải Với mỗi tập B = {a1; a2; a3; a4; a5} ⊂ A ta có tất cả 10 tổng:

a1+a2; a1+a3; a1+a4; a1+a5; a2+a3; a2+a4; a2+a5; a3+a4; a3+a5; a4+a5.Giả sử chữ số hàng đơn vị của10 tổng trên đôi một khác nhau, khi đó tổngtất cả các chữ số hàng đơn vị của chúng là:0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 =

45 Do đó, tổng S của 10 tổng trên là một số lẻ.(1)

Ta lại có:

S = (a1+ a2) + (a1+ a3) + (a1 + a4) + (a1+ a5) + (a2+ a3) + (a2+ a4) +(a2+ a5) + (a3+ a4) + (a3+ a5) + (a4+ a5) = 4(a1+ a2+ a3+ a4+ a5) =⇒ S

Chứng minh rằng trong 441 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

Lời giải Giả sử441 số đã cho không có hai số nào bằng nhau, không mấttính tổng quát, giả sử: 16 a1 < a2 < < a441

Ta chứng minh bổ đề sau: Với mọi số nguyên dương n ta có:

Điều này trái với giả thiết Do đó tồn tại ít nhất hai số bằng nhau

Ví dụ 1.4 Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tuỳ ý được lấy từtập hợp A = 1; 2; 3; ; 20062007 có ít nhất hai số x; y thoả mãn:

0 < 2007

√

x − 2007√

y < 1

[(THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2006-2007)

Lời giải Gọi 2007 số đã chọn là:

Lời giải Chú ý rằng điều kiện cần và đủ để ba đoạn thẳng có thể ghépthành một tam giác là tổng độ dài của hai đoạn nhỏ phải lớn hơn độ dàicủa đoạn lớn Ta sắp xếp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài

a1; a2; ; a7 và chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm được ba đoạnliên tiếp sao cho tổng của hai đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối Giả thiết điềunày không xảy ra, tức là đồng thời xảy ra các bất đẳng thức:

a1 + a2 6 a3; a2 + a3 6 a4; a3 + a4 6 a5; a4 + a5 6 a6; a5 + a6 6 a7

Từ giả thiết a1; a2 có giá trị lớn hơn 10 ta nhận được a3 > 20 Từ a2 > 10

và a3 > 10 ta nhận được a4 > 30; a5 > 50; a6 > 80; a7 > 130 Bất đẳngthức cuối cùng mâu thuẫn với giả thiết các độ dài nhỏ hơn 100 Từ đóchứng minh kết luận của bài toán

Ví dụ 1.6 Các đỉnh của một thập giác đều được đánh số bởi các sốnguyên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 một cách tuỳ ý Chứng minh rằng luôn tìmđược ba đỉnh liên tiếp có tổng các số lớn hơn 13

Lời giải Gọi x1; x2; ; x10 là các số gán cho các đỉnh của 1; 2; ; 10 củathập giác Giả sử ngược lại là không tìm được ba đỉnh nào thoả mãn đềbài Khi đó ta có:

k1 = x1 + x2 + x3 6 13

k2 = x2 + x3 + x4 6 13

Vậy giả sử trên là sai Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Chú ý 1.2 Bài toán có nhiều cách phát biểu khác nhau và có thể phátbiểu dạng tổng quát hơn Chẳng hạn ta có bài toán sau:

Một đội bóng có 21 cầu thủ gồm cả chính thức và dự bị mang các áo từ 4

đến 24 Mỗi cầu thủ mang một số áo khác nhau Họ đứng một cách tuỳ ýthành một vòng tròn Chứng minh rằng luôn tồn tại 4 cầu thủ đứng cạnhnhau mà tổng các số trên áo của họ không nhỏ hơn 52

Ví dụ 1.7 Cho đa giác lồi n cạnh (n> 4) trong đó tất cả các đường chéobằng nhau Tìm giá trị lớn nhất của n

Ví dụ 1.8 Trên mặt phẳng xOy, A(x; y) được gọi là điểm nguyên nếu

x; y ∈ Z Giả sử A1A2 An là n- giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên.Biết rằng miền đa giác đó (bao gồm các điểm thuộc miền trong và thuộc

cạnh) không chứa bất kì điểm nguyên nào ngoài các đỉnh Chứng minhrằng n 6 4.

(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 1994 - 1995)]

Lời giải Giả sử n> 5, toạ độ các đỉnh có các dạng: (chẵn; chẵn); (chẵn;lẻ);(lẻ; chẵn);(lẻ; lẻ) Do đó tồn tại hai đỉnh có toạ độ cùng dạng trên,nên trung điểm của hai đỉnh đó có toạ độ nguyên, trái với giả thiết Vậy

n6 4

Ví dụ 1.9 Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho M ABC có diệntích > 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của

M ABC

(THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2009- 2010)

Lời giải Giả sử O nằm ngoàiM ABC Trước hết ta chứng minh:"Nếu O

nằm ngoài M ABC thì có đường thẳng chứa cạnh tam giác mà O và đỉnhcòn lại của tam giác nằm khác phía nhau đối với đường thẳng này".(*)Giả sử (*) sai Do đó, O và A nằm cùng nửa mặt phẳng với bờ là đườngthẳng BC nên O không thuộc miền (III) Tương tự O không thuộc miền(I) và (II) Vì vậy, O thuộc miền trong hoặc trên các cạnh của M ABC.Điều này là mâu thuẫn với điều kiện ban đầu là O nằm ngoàiM ABC nênđiều giả sử là sai Vậy (*) đúng

Không mất tính tổng quát ta giả sử O và A nằm ở hai nửa mặt phẳngkhác nhau với bờ là đường thẳng chứa cạnh BC Suy ra đoạn OA cắt BC

tại K Vẽ AH ⊥ BC tại H suy ra: AH 6 AK < OA < 1 hay AH < 1.Khi đó :

Ví dụ 1.10 Chứng minh rằng một tam giác có hai đường phân giác bằngnhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải Cho M ABC có hai đường phân giác AM ; BN bằng nhau Tachứng minh M ABC cân tại C

Giả sử M ABC không cân tại C với BC < AC hay \ABC > \BCA ⇔

1.2.2 Nguyên lý Diriclet

Nguyên lý Diriclet là phương pháp chứng minh sự tồn tại mà học sinhđược làm quen từ rất sớm (từ bậc tiểu học) và là một trong những phươngpháp thể hiện rõ cái đẹp của Toán học, làm cho học sinh thêm yêu thíchmôn Toán Lập luận của phương pháp Diriclet thường được sử dụng trongcác bài toán cho học sinh giỏi và dùng để chứng minh sự tồn tại một khảnăng nào đó mà không cần chỉ rõ khả năng đó tồn tại khi nào, ở đâu và

có bao nhiêu khả năng như vậy tồn tại Phương pháp chứng minh như vậycòn được gọi là phương pháp chứng minh không kiến thiết

a, Cơ sở lý thuyết

Nguyên lý Diriclet được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học người ĐứcPeter Gustav Lejeune Diriclet (1805 − 1859) Nguyên lý Diriclet (hay cònđược gọi là nguyên lý chuồng thỏ)

Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồngnhốt ít nhất hai con thỏ

Nguyên lý Diriclet tổng quát:

Nếu nhốt n con thỏ vào k chuồng

+ Nếu n chia hết cho k thì tồn tại ít nhất một chuồng chứa không ít hơn

n

k con thỏ

+ Nếu n không chia hết cho k thì tồn tại ít nhất một chuồng chứa không

ít hơn nk+ 1 con thỏ.

Dùng nguyên lý Diriclet ta chứng minh được nhiều kết quả hết sức sâusắc của Toán học Với nguyên lý này ta dễ dàng chứng minh sự tồn tại màkhông đưa ra phương pháp tìm cấu hình, nhưng trong thực tế nhiều bàitoán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đã đủ rồi!

b, Phương pháp giải toán qua các ví dụ

Ví dụ 1.11 Chứng minh rằng trong 100 người có ít nhất 9 người sinhcùng một tháng

Lời giải Xếp những người sinh cùng một tháng vào một nhóm, có 12

nhóm Theo nguyên lý Diriclet tồn tại một nhóm có ít nhất 10012 + 1 =

8 + 1 = 9(người)

Ví dụ 1.12 Một hội nghị có 52 đại biểu được ngồi vào 10 dãy nghế.Chứng minh rằng tồn tại một dãy ghế có số đại biểu ngồi lớn hơn hoặcbằng 6

Lời giải Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại một dãy ghế có số đại biểu ngồilớn hơn hoặc bằng 5210+ 1 = 6

Ví dụ 1.13 Có 5 loại học bổng khác nhau Hỏi phải có ít nhất bao nhiêusinh viên để chắc chắn rằng có ít nhất là 6 người cùng nhận học bổng nhưnhau

Lời giải Số sinh viên ít nhất cần có để đảm bảo chắc chắn có 6sinh viêncùng nhận học bổng như nhau là số nguyên nhỏ nhất n sao cho n5 > 5 Dễthấy rằng n = 26 thỏa mãn đề bài

Ví dụ 1.14 Một nhóm6người đôi một thân nhau hoặc ghét nhau Chứngminh rằng trong nhóm có 3 người hoặc cùng thân nhau hoặc cùng ghétnhau

Lời giải Giả sử 6 người trong nhóm là A; B; C; D; E; F A có quan hệthân hoặc ghét với 5 người còn lại Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại ít nhất

3 người cùng thân hoặc cùng ghét A Giả sử B; C; E cùng thân A

Nếu B; C; E có ít nhất một cặp thân nhau thì cùng với A tạo thành bộ

ba người đôi một thân nhau

NếuB; C; E không có cặp nào thân nhau thì ta có nhóm ba người đôi một

ghét nhau.

Chú ý rằng ví dụ trên còn được phát biểu theo cách khác như sau: " Trongmặt phẳng cho 6 điểm được nối với nhau từng đôi một bởi các cung màuxanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm sao cho cáccung nối chúng có cùng một màu"

Ví dụ 1.15 Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượtquá 2n, luôn tồn tại hai số sao cho số này chia hết cho số kia

Lời giải Giả sử có n + 1 số nguyên dương a1; a2; ; an+1 Số nguyêndương ai có dạng ai = 2ki.qi với ki ∈ N; qi là số nguyên lẻ nhỏ hơn 2n Dochỉ có n số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n nên theo nguyên lý Diriclet, tồntại hai số bằng nhau: qi = qj = q Khi đó, ai = 2ki.q và aj = 2kj.q Giả sử

ki 6 kj thì aj chia hết cho ai

Ví dụ 1.16 Trong một tháng có 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấumỗi ngày ít nhất một trận và cả tháng thi đấu không quá 45 trận Chứngminh rằng tồn tại một số ngày liên tục đội bóng đó thi đấu đúng 14 trận.Lời giải Gọi ai là tổng số trận mà đội đã thi đấu liên tục từ đầu thángđến ngày thứ i Khi đó,

1 6 a1 < a2 < < a30 6 45

và

15 6 a1 + 14 < a2 + 14 < < a30 + 14 6 59

Các sốa1; a2; ; a30 đôi một khác nhau nên các số a1+ 14; a2+ 14; ; a30+

14 đôi một khác nhau 60 số nguyên dương a1; a2; ; a30; a1 + 14; a2 +14; ; a30 + 14 chỉ nhận không quá 59 giá trị nên tồn tại ai; aj sao cho:

aj = ai+ 14 Nghĩa là từ ngày thứ i + 1 đến ngày thứ j đội thi đấu đúng

14 trận

Ví dụ 1.17 Cho 5 số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho mỗi sốkhông có ước nguyên tố nào khác 2 và 3 Chứng minh rằng trong 5 số đótồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương

(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2012 - 2013)

Lời giải Gọi các số đã cho là a1; a2; ; a5 với ai = 2xi.3yi(xi; yi ∈ N).Năm cặp số (x1; y1); ; (x5; y5) mà mỗi cặp số thuộc một trong bốn dạng:(chẵn; chẵn); (chẵn; lẻ); (lẻ; chẵn); (lẻ; lẻ) Do đó tồn tại hai cặp số cùngdạng Giả sử (x1; y1); (x2; y2) là hai cặp số cùng dạng Khi đó, x1 + x2

và y1 + y2 đều là số chẵn nên a1.a2 = 2x1 +x2.3y1 +y2 ⇒ a1.a2 là số chínhphương

Ví dụ 1.18 Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng không lớn hơn

2004 Chứng minh rằng luôn tìm được 6 số trong 53 số đã cho thoả mãnđiều kiện: 6 số này chia được thành 3 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổngbằng 53

Chia 52 số nguyên dương nhỏ hơn 53 thành 26 cặp, mỗi cặp có tổng bằng

53 như sau: (1; 52); (2; 51); ; (26; 27) Khi đó với ít nhất 29 số nhỏ hơn

53 ta luôn tìm được 3 cặp mà các phần tử của chúng thoả mãn đề bài

Ví dụ 1.19 Cho tập X gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau,mỗi số không lớn hơn 2006 Chứng minh rằng trong tập X luôn tìm đượchai phần tử x; y sao cho x − y thuộc tập E = {0; 6; 9}

cũng đôi một khác nhau nên theo nguyên lý Diriclet ta có ai = aj+ 3 hoặc

ai = aj + 9 hoặc ai + 3 = aj + 9 Từ đó suy ra ai + x = aj + y với

x; y ∈ {0; 3; 9} ⇒ ai − aj = y − x hay |ai − aj| = |y − x| ∈ {0; 6; 9}

Ví dụ 1.20 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k có tậncùng bằng 001

Lời giải Ta biết rằng khi chia một số tự nhiên cho 1000 thì số dư chỉ

có thể là 0; 1; ; 999 Xét 1001 số là 3; 32; ; 31001, theo nguyên lý Diriclettồn tại hai số khi chia cho 1000 có cùng số dư

Giả sử hai số đó là 3m và 3n, (1 6 n < m 6 1001) Khi đó: 3m − 3n =

3n(3m−n − 1) 1000 Mà 3n 6 1000 nên (3m−n− 1) 1000 Do đó 3m−n cótận cùng là 001

Ví dụ 1.21 Trên đường tròn cho 16 điểm, mỗi điểm được tô bởi mộttrong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng Mỗi đoạn thẳng nối hai trong 16 điểmđược tô bởi màu tím hoặc nâu Chứng minh rằng với mọi cách tô ta luôntìm được một tam giác có 3 đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu

(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội, 1997 - 1998)

Lời giải Trên đường tròn cho 16 điểm tô bởi 3 màu nên theo nguyên lýDiriclet có ít nhất 6 điểm cùng màu Giả sử 6 điểm đó là A; B; C; D; E; F

có cùng màu đỏ Xét 5 đoạn thẳng AB; AC; AD; AE; AF được tô bởi 2

màu nên theo nguyên lý Diriclet thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu.Giả sử AB; AC; AD có cùng màu nâu

+ Nếu một trong ba đoạn thẳngBC; BD; CD có màu nâu ta có điều phảichứng minh

+ Nếu cả 3 đoạn thẳng BC; BD; CD được tô màu tím, ta có điều phảichứng minh

Ví dụ 1.22 Cho (xi; yi) ; i = 1, 5 là một tập hợp gồm 5 điểm khác nhau

có các toạ độ nguyên trên mặt phẳngOxy Chứng tỏ rằng điểm chính giữacủa đường nối ít nhất một trong các cặp điểm này có toạ độ nguyên

Lời giải Điểm chính giữa của đoạn nối các điểm(a; b)và(c; d)là a+c2 ; b+d2
.Các toạ độ của điểm chính giữa này là nguyên nếu và chỉ nếu a và c cùngtính chẵn lẻ; b và d cùng tính chẵn lẻ Vì có 4 cặp có tính chẵn - lẻ khácnhau nên theo nguyên lý Diriclet có ít nhất 2 trong số 5 điểm có tính

chẵn - lẻ như nhau Khi đó điểm chính giữa của cặp điểm này có toạ độnguyên.

Ví dụ 1.23 Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay nằm trên cạnh củatam giác đều có cạnh 6cm Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm trong số

13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá √

3cm.(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, 2008 - 2009)

Lời giải Gọi D; E; F tương ứng là trung điểm các cạnh AB; AC; BC.Khi đó tồn tại 4điểm trong các điểm đã cho nằm trong tam giác đều cạnh

3cm Giả sử 4 điểm đó thuộc tam giác ADE Gọi P ; Q; K là trung điểmcác cạnh,O là tâm đường tròn ngoại tiếpM ADE Khi đó tồn tại hai điểmcùng thuộc một tứ giác và khoảng cách giữa chúng không lơn hơn √

3cm

Ví dụ 1.24 Một hình chữ nhật kích thước 3 × 4 được chia thành 12 hìnhvuông đơn vị bởi các đường thẳng song song với các cạnh Chứng minhrằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật ta luôn có thể chọn ra haiđiểm có khoảng cách không vượt quá √

5 Chứng minh rằng kết luận củabài toán vẫn đúng khi số điểm là 6 và sai khi số điểm là 5

(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội, 1996 - 1997)

Lời giải a) Ta chia hình chữ nhật 3.4 thành 6 hình chữ nhật 1.2 Theonguyên lý Diriclet, với 7 điểm bất kì trong hình chữ nhật 3.4 luôn tồn tạihai điểm thuộc một hình chữ nhật 1.2, khoảng cách giữa hai điểm nàykhông vượt quá √

5 là độ dài đường chéo của hình chữ nhật 1.2

b) Kết luận trên vẫn đúng với n = 6, ta chia hình chữ nhật thành 5 hìnhnhư hình Theo nguyên lý Diriclet, với 6 điểm bất kì trong 5 hình đượcphân chia nói trên thì luôn tồn tại hai điểm cùng thuộc một hình, khoảngcách của chúng không vượt quá √

12 + 22 = √

5

c) Kết luận trên không đúng với5điểm trong hình chữ nhật Giả sửABCD

là hình chữ nhật 3.4; AB = 4; AD = 3 O là tâm đối xứng của hình chữnhật Ta có 4 điểm M ; N ; P ; Q lần lượt thuộc các cạnh OA; OB; OC; OD

A0; B0; C0; D0 lần lượt là các điểm nằm trong các đoạn thẳngM A; N B; P C; QD

thì trong 5điểm O; A0; B0; C0; D0 khoảng cách giữa hai điểm bất kì lớn hơn

√

5

BÀI TẬP

Bài tập 1.1 Số học sinh của một trường THCS là 1200 em Một ngườiđưa ra nhận định: "Số học sinh khối 6 của trường không ít hơn 300, hoặc

số học sinh khối 7 không ít hơn 302, hoặc số học sinh khối 8 không ít hơn

303, hoặc số học sinh khối 9 không ít hơn 295".Nhận định trên đúng haysai? Tại sao?

Bài tập 1.2 Chứng minh rằng trong 57 số nguyên dương khác nhau cótổng không vượt quá 2370, luôn tìm được hai số có tổng bằng 57

Bài tập 1.3 Cho 4 số x; y; z; t thoả mãn: 06 x; y; z; t 6 4 Chứng minhrằng các số x(4 − y); y(4 − z); z(4 − t); t(4 − x) không đồng thời lớn hơn

Bài tập 1.6 Tồn tại hay không số tự nhiên có tổng các chữ số là 19, số

đó chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị, hàng chục đều là chữ số 5.Bài tập 1.7 Trong lưới ô vuông kích thước99×99mỗi ô vuông được điền

số 1 hoặc −1 Kí hiệu ai; bj tương ứng là tích các số ở hàng thứ i và cộtthứj(1 6 i; j 6 99) Chứng minh rằng:a1+ b1+ a2+ b2+ + a99+ b99 6= 0.Bài tập 1.8 Trên đường tròn ta viết 200 số tự nhiên sao cho mỗi số làtrung bình cộng của số liền trước và liền sau nó Chứng minh rằng tất cảcác số đó bằng nhau

Bài tập 1.9 Trong một giải bóng đá có 12đội tham dự thi đấu vòng trònmột lượt (hai đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận)

a) Chứng minh rằng sau 4vòng đấu (mỗi đội thi đấu 4trận) luôn tìm được

ba đội đôi một chưa thi đấu với nhau

b) Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu 5 trân

(vòng 2, THPT Chuyên Hưng Yên 2012 - 2013)

Bài tập 1.10 Cho tứ giác lồi ABCD có độ dài 4 cạnh đều là các sốnguyên dương Chứng minh rằng nếu độ dài mỗi cạnh đều là ước của chu

vi tứ giác thì tứ giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau

Bài tập 1.11 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều mà toạ độcủa các đỉnh là các số nguyên

Bài tập 1.12 Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểmnào thẳng hàng Người ta dựng một số đoạn thẳng có đầu mút là điểm đãcho Bậc của một điểm là số đoạn thẳng đã dựng có đầu mút là các điểm

đó Chứng minh rằng số điểm bậc lẻ luôn là một số chẵn

Bài tập 1.13 Một hội nghị có n người tham dự (n > 2) Chứng minhrằng luôn tồn tại hai người có số người quen bằng nhau

Bài tập 1.14 Chứng minh rằng trong 103 số nguyên dương khác nhauluôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 100

Bài tập 1.15 Cho11 số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai trong

số các số đã cho mà hiệu của chúng chia hết cho 30

Bài tập 1.16 Cho (xi; yi; zi); i = 1; 9 là một tập hợp gồm 9 điểm khácnhau có các toạ độ nguyên trong không gian Oxyz Chứng minh rằngtrung điểm của đường nối ít nhất một trong các cặp điểm này có toạ độnguyên

Bài tập 1.17 Một đội tuyển có 9 bạn đi thi học sinh giỏi, mỗi bạn đềulàm ba bài thi là Toán, Tiếng Anh và Văn Điểm của các bài thi là các

số tự nhiên Chứng minh rằng luôn có hai bạn mà trung bình cộng điểmToán, trung bình cộng điểm Tiếng Anh và trung bình cộng điểm Văn củahai bạn đều là các số tự nhiên

Bài tập 1.18 Cho 50 số nguyên dương không lớn hơn 98, chứng minhrằng trong 50 số đó luôn tìm được ba số mà một số bằng tổng của hai sốkia

Bài tập 1.19 cho 40 số nguyên dương a1; a2; ; a19 và b1; b2; ; b21 thoảmãn đồng thời:

(i) 1 6 a1 < a2 < < a19 6 200

(ii) 16 b1 < b2 < < b21 6 200

Chứng minh rằng tồn tại bốn số ai; aj; bk; bq sao cho: ai < aj < bk < bq và

aj − ai = bq − bk

Bài tập 1.20 Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 và các số đó chia cho 12

có các số dư khác nhau Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 số mà tổng củachúng chia hết cho 12

Bài tập 1.21 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương được viết bởitoàn chữ số 0 và 2 mà số đó chia hết cho 3019

Bài tập 1.22 Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên ta luôn tìm được 27

số mà tổng của chúng chia hết cho 27

(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội, 2010 - 2011)

Bài tập 1.23 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n thoả mãn:

(13579n− 1) chia hết cho 313579

(Thi HSG Toán 9, TP Hà Nội 2006 - 2007)

Bài tập 1.24 Chứng minh rằng nếu ta lấy ra 17 số bất kì trong 30 sốnguyên dương đầu tiên thì luôn tồn tại 4 số có tổng chia hết cho 62.Bài tập 1.25 Cho 10 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng ta luôn chọnđược 4 số trong các số đã cho mà tổng của 4 số đó chia hết cho 25

Bài tập 1.26 Chứng minh rằng nếu ta lấy ra 18 số bất kì trong 30 sốnguyên dương đầu tiên thì luôn tồn tại 6 số có tổng chia hết cho 93.Bài tập 1.27 Trên mặt phẳng cho 9 điểm sao cho không có 3 điểm nàothẳng hàng Các điểm đó được nối với nhau đôi một bởi các đoạn thẳngmàu xanh hoặc màu đỏ sao cho trong 3 điểm bất kì bao giờ cũng có haiđiểm được nối với nhau bởi một đoạn màu đỏ Chứng minh rằng luôn tồntại 4 điểm trong các điểm đã cho có các đoạn nối chúng đều màu đỏ.Bài tập 1.28 Tập hợp P gồm10 điểm trong đó có một số cặp điểm đượcnối với nhau bởi các đoạn thẳng Số các đoạn thẳng nối A với các điểmkhác trong P gọi là bậc của A Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểmcủa tập hợp P có cùng bậc

(Vòng 2, THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2002 - 2003)

Bài tập 1.29 Hình vuông ABCD có cạnh AB = 14cm Trong hìnhvuông ta đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một

đường tròn bán kính 2cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong 76 điểm đãcho.

(Vòng 2, THPT Chuyên ĐHSP Vinh 2005 - 2006)

Bài tập 1.30 Cho 30 điểm được đặt vào tam giác đều cạnh 12√

3cm.Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng khôngquá 4cm

Bài tập 1.31 Lấy 4 điểm ở miền trong của tứ giác để cùng với 4đỉnh tađược 8 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Biết diện tích tứgiác là 1 Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm

đã cho có diện tích không vượt quá 101 Tổng quát hoá bài toán chon−giáclồi với n điểm nằm trong đa giác

(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội 2003 - 2004)

Bài tập 1.32 Cho lưới ô vuông kích thước 5.5, người ta điền vào mỗi ôcủa lưới một trong các số −1; 0; 1 Xét tổng các số được tính theo từngcột, theo từng hàng và theo từng đường chéo Chứng minh rằng trong tất

cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau

(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội 2007 - 2008)

Bài tập 1.33 Cho 2025 điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong3điểm bất

kì luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 Chứngminh rằng có thể dựng được một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 1013

điểm trong các điểm đã cho

Bài tập 1.34 Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thoả mãnđồng thời hai điều kiện:

(i) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông

(ii) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần tỉ số diện tíchbằng 12

Chứng minh rằng trong2005 đường thẳng trên có ít nhất502đường thẳngđồng quy

(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội 2005 - 2006)

Bài tập 1.35 Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong

6 đỉnh bất kì của (H) luôn tồn tại 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang.(Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội 2005 - 2006)

Bài tập 1.36 Người ta dùng các số1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 để gán cho các đỉnhcủa một hình lập phương, hai đỉnh khác nhau thì gán các số khác nhau.Sau đó tính tổng ở hai đỉnh kề nhau Chứng minh rằng có ít nhất 2 tổngbằng nhau.

Bài tập 1.37 Cho 5 điểm nằm trong hình vuông ABCD cạnh 40cm,chứng minh rằng có thể tìm được 1 điểm trong hình vuông mà khoảngcách từ điểm đó đến 5 điểm đã cho đều lớn hơn 10cm

Bài tập 1.38 Trong hình vuông cạnh 70cm có 100 điểm tuỳ ý Chứngminh rằng có ít nhất 3 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong 3

điểm đó nhỏ hơn 15cm

HƯỚNG DẪN GIẢI

1.1 Giả sử nhận định trên là sai Gọi x; y; z; t tương ứng là số học sinhkhối6; 7; 8; 9 của trường Khi đó ta có:x < 300; y < 302; z < 303; t < 295

Do đó: x + y + z + t < 1200(vô lý) Vậy nhận định trên là đúng

1.2 Xét 28 cặp số (1; 56); (2; 55); (28; 29) Giả sử trong 57 số đã chokhông tìm được hai số nào có tổng bằng 57 Khi đó, trong mỗi cặp số trênkhông có quá 1số trong các số đã cho Do đó, tổng của 57 số đã cho khôngnhỏ hơn:

(1 + 2 + + 28) + (57 + 58 + + 84) = 2380 > 2370, vô lý Từ đó suy

ra điều phải chứng minh

1.3 Giả sử các số: x(4 − y); y(4 − z); z(4 − t); t(4 − x) đồng thời lớn hơn

Vì a là số hữu tỉ nên a2 là số hữu tỉ ⇒ a22−5 là số hữu tỉ (vô lý vì √

6 là số

vô tỉ) Vậy điều giả sử trên là sai hay √

2 +√

3 là số vô tỉ

1.5 Chú ý rằng nếu các số dương a; b; c thoả mãn a > b > c và b + c > a

thì a; b; c là độ dài3 cạnh của một tam giác.Ta sắp xếp 8số nguyên dươngtheo thứ tự không giảm:

Vậy điều giả sử trên là sai Từ đó ta có điều phải chứng minh

1.6 Gọi số đã cho là A = anan−1 a155, không mất tính tổng quát giả sử

Vì B; C > 0 nên không tồn tại các số nguyên dương thoả mãn hệ thứctrên Vậy không tồn tại số tự nhiên thoả mãn đề bài.

1.7 Giả sử a1 + b1 + a2 + b2 + + a99 + b99 = 0 (1)

Vì mỗi ô vuông đều được điền số1hoặc−1nên:ai ∈ {−1; 1} ; bi ∈ {−1; 1}

kết hợp với (1) ta có 99 số hạng của tổng bằng −1 và 99 số hạng của tổngbằng 1

b) Kết luận trên không đúng Ta chỉ cần đưa ra một trường hợp làm phản

ví dụ Chia các đội thành hai nhóm, mỗi nhóm 6 đội, các đội trong nhómđôi một đã thi đấu với nhau Khi đó với 3 đội bất kì luôn có hai đội thuộccùng 1 nhóm nên đã thi đấu với nhau

1.10 Giả sử có tứ giác thoả mãn yêu cầu đề bài mà không tồn tại haicạnh nào của tứ giác bằng nhau Khi đó không mất tính tổng quát ta sắpthứ tự: a > b > c > d > 1

Vì độ dài mỗi cạnh đều là ước số của chu vi tứ giác nên:

AP C;M BN C đều là các số hữu tỉ nên diện tích M ABC là số hữu tỉ (1)Gọi AB = a thì SMABC = a2

√ 3

4 là số vô tỉ (2)

Từ (1) và (2) ta thấy vô lý Vậy giả sử trên là sai Từ đó ta có điều phảichứng minh

1.12 Mỗi đoạn thẳng đã dựng có hai đầu mút nên tổng số bậc của 100

đỉnh bằng 2 lần tổng số đoạn thẳng vừa dựng Vậy tổng số bậc của 100

đỉnh là số chẵn (1)

Giả sử số điểm bậc lẻ là một số lẻ nên tổng số bậc của các điểm này là số

lẻ Tổng các bậc của các điểm bậc chẵn là số chẵn suy ra tổng các bậc của

có thể nhận n − 1 giá trị Theo nguyên lý Diriclet suy ra có ít nhất mộtnhóm phải có không ít hơn2 người, tức là luôn tìm được ít ra là 2 người

có số người quen là bằng nhau

Chú ý: Trên mặt phẳng có n điểm không thẳng hàng (n > 2), giữa haiđiểm bất kì có thể được nối bởi một đoạn thẳng Số các đoạn thẳng đượcnối có đầu mút là A được gọi là bậc của điểm A Chứng minh rằng luôntồn tại hai điểm trong các điểm đã cho có cùng bậc

1.14 Khi chia một số cho 100, các số dư chỉ có thể là 0; 1; 2; ; 99 Do đótheo nguyên lý Diriclet tồn tại hai số của tập hợp đó chia cho 100 có số

dư là như nhau nên hiệu của hai số đó chia hết cho 100

1.15 Do có 11 số nguyên tố lẻ nên có ít nhất 9 số nguyên tố lớn hơn 5

Do các số nguyên tố lớn hơn 5 chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 1 hoặc 2

nên tồn tại 5 số chia cho 3 có cùng số dư, ta chọn 5 số này Trong 5 số đãchọn có 2 số, giả sử là a và b, chia cho 5 có cùng số dư (vì số nguyên tốchia 5thì số dư chỉ có thể là 1; 2; 3; 4) Mặt khác, a; b đều lẻ nêna − b chiahết cho 2 vậy

có cùng tính chẵn lẻ Vì có 8 bộ ba có tính chẵn lẻ khác nhau nên theonguyên lý Diriclet có ít nhất hai trong chín điểm có cùng tính chẵn - lẻ.Trung điểm của cặp điểm này có toạ độ nguyên

1.17 Điểm các bài thi Toán, Tiếng Anh và Văn của các bạn có 8 dạngsau: kí hiệu c là chẵn; l là lẻ

Khi đó dãy số b1; b2; ; b49(2) cũng là dãy tăng

Dãy (1) và (2) có tổng cộng 99 số, nhận các giá trị nguyên dương khôngvượt quá 98, nên phải tồn tại hai số bằng nhau

bj = ai ⇔ aj+1− a1 = ai ⇔ aj+1 = a1 + ai

1.19 Ta có399 tổngai+ bj vớii ∈ {1; 2; · · · ; 19} ; j ∈ {1; 2; · · · ; 21} thoảmãn: 2 6 ai + bj 6 400

Nếu tồn tại hai tập bằng nhau ta có điều phải chứng minh

Nếu các tổng trên khác nhau đôi một nhận 399 giá trị từ 2 đến 400 Khiđó: a1 = b1 = 1 và a19 = b21 = 200, suy ra: a1+ a21 = b1+ a19(mâu thuẫnvới giả thiết trên)

Từ đó ta có điều phải chứng minh

1.20 Dễ thấy rằng khi chia số nguyên tố lớn hơn 3 cho 12 thì các số dưchỉ có thể là 1; 5; 7; 11 Gọi A là tập các số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho

12 dư 1 hoặc 11 B là tập các số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 dư 5

hoặc 7 Khi đó, trong ba số nguyên tố đã cho tồn tại hai số cùng thuộc A

hoặc cùng thuộc B Tổng của hai số này chia hết cho 12

đó chia hết cho 3019 và được viết bởi chữ số 2 và 0

Chú ý: Bài toán tổng quát: Chonlà số nguyên dương bất kì Chứng minhrằng luôn tồn tại số nguyên dương được viết bởi toàn chữ số 0 và chữ số

a(a 6= 0) mà số đó chia hết cho n

1.22 Trước hết ta chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên luôn tìm được 3

số có tổng chia hết cho 3 Thật vậy, một số chia cho 3 thì số dư chỉ có thể

là 0; 1; 2 Nếu tồn tại 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng của 3 sốnày chia hết cho 3, ta có điều phải chứng minh Nếu không tồn tại 3 số

có cùng số dư khi chia cho 3 thì chia tập 5 số này thành 3 tập gồm: chiahết cho 3, chia 3 dư 1, chia 3 dư 2 thì mỗi tập con này sẽ có số phần tử

> 1;6 2 Lấy mỗi tập con 1 phần tử thì tổng của ba số này 3 Do đó

từ 53 số tự nhiên ta chọn được 3 số có tổng là S1 3 Tiếp tục như vậy

ta có 17 số S1; S2; ; S17 ta chọn được 5 bộ ba số có tổng tương ứng là:

A1; A2; ; A5 chia hết cho 9 Từ 5 bộ ba số A1; A2; ; A5 ta chọn được 3

số có tổng chia hết cho 27 Tổng của 3 số này là tổng của 27 số trong 53

số đã cho

1.23 Đặt a = 313579 có (a; 13579) = 1

Xét a + 1 số:

13579; 135792; ; 13579a+1

Theo nguyên lý Diriclet tồn tại hai số khi chia các số đó cho a có cùng số

dư, nên hiệu hai số này chia hết cho a

Giả sử 13579m và 13579p(1 6 p 6 m 6 a + 1) có cùng số dư khichia cho a Do đó: (13579m − 13579p) a ⇒ 13579p(13579m−p− 1) a mà

(13579p; a) = 1nên (13579m−p− 1) a Đặt n = m − p thì(13579n − 1) a.1.24 Chia30số nguyên dương đầu tiên làm15cặp:(1; 30); (2; 29); ; (15; 16),mỗi cặp có tổng bằng 31 Theo nguyên lý Diriclet, nếu ta lấy ra 17 số thìchắc chắn có hai cặp mà các số của chúng đều được lấy ra Tổng của 4 sốnày bằng 62 nên tổng của 4 số này chia hết cho 62

1.25 Trước hết ta chứng minh với 4 số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được

2 số có tổng chia hết cho 5 như sau: Ta chia các số dư khi chia một số cho

5 thành 3 nhóm: (0; 0); (1; 4); (2; 3) Có 4 số mà chỉ có 3 nhóm nên theonguyên lý Diriclet thì tồn tại ít nhất hai số thuộc cùng một nhóm và hai

số này có tổng chia hết cho 5 Từ 10 số đã cho ta chọn được 2 số có tổng

S1 chia hết cho 5 Từ 8 số còn lại ta chọn được 2 số có tổng S2 chia hếtcho 5 Tiếp tục như vậy ta chọn được 4 tổng là S1; S2; S3; S4 chia hết cho

5 Tương tự từ 4 số chia hết cho 5 là S1; S2; S3; S4 ta chọn được 2 số cótổng chia hết cho 25 Tổng của 2 số này là tổng của 4 số ban đầu

1.26 Chia30số nguyên dương đầu tiên làm15cặp:(1; 30); (2; 29); ; (15; 16),mỗi cặp có tổng bẳng 31 Theo nguyên lý Diriclet nếu ta lấy ra 18 số bất

kì trong 30 số nguyên dương đầu tiên thì chắc chắn có ba cặp mà các sốcủa chúng đều được lấy ra Tổng của 6 số được lấy ra bằng 93 nên chiahết cho 93

1.27 Gọi các điểm đã cho là A; B; C; D; E; F ; G; H; I Nếu tồn tại mộtđiểm, giả sửA, là đầu mút của ít nhất4đoạn màu xanh, giả sửAB; AC; AD; AE

mà xanh Khi đó 4 điểm B; C; D; E là 4 điểm cần tìm

Nếu mỗi điểm là đầu mút của nhiều nhất 3 đoạn thẳng màu xanh Tuynhiên9 điểm đã cho không thể đồng thời là đầu mút của đúng3đoạn màuxanh, nên tồn tại một điểm, giả sử I là đầu mút của ít nhất của 6 đoạnmàu đỏ Chẳng hạn IA; IB; IC; ID; IF màu đỏ, theo ví dụ 1.14, trong 6

điểm A; B; C; D; E; F tồn tại 3 điểm mà các đoạn nối chúng cùng màu,theo giả thiết các đoạn đó không thể là màu xanh, nên chúng là màu đỏ.Điểm I và 3 điểm còn lại là 4 điểm thoả mãn đề bài

TH3: Đồ thị không có đỉnh bậc 0 và đỉnh bậc n − 1, khi đó bậc của cácđỉnh chỉ có thể là: 2; 3; ; n − 2 Số các bậc khác nhau nhiều nhất cũng là

1.30 Chia tam giác ban đầu thành 9 tam giác đều cạnh 4√

các cạnh AB; AC; BC Tồn tại hai điểm nằm trong tứ giác, giả sử BP IK

khoảng cách giữa hai điểm này không vượt quá 4cm

1.31 Lấy điểmM trong tứ giácABCD ta có 4tam giác đôi một không cóđiểm trong chung Lấy điểm N trong M CDM ta được 6 tam giác không

có điểm trong chung Như vậy với 4 điểm trong tứ giác ta có 10 tam giácđôi một không có điểm chung trong Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại mộttam giác có diện tích 6 101

Tổng quát: Nếu bổ sung n điểm vào n - giác, số tam giác đôi một không

có điểm chung trong là 3n − 2 Do đó tồn tại một tam giác có diện tích

6 3n−21

1.32 Có 12 tổng gồm 5 tổng theo hàng, 5 tổng theo cột, hai tổng theođường chéo, mỗi tổng có 5 số hạng Giá trị của tổng Si là số nguyên thoảmãn: −5 6 Si 6 5 Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại hai tổng bằng nhau.1.33 Do số điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại hai điểm mà khoảng cáchgiữa hai điểm đó là lớn nhất Giả sử hai điểm đó là A; B Nếu AB 6 1

thì đường tròn tâm A hoặc tâm B, bán kính bằng 1 chứa tất cả các điểm

đã cho Nếu AB > 1, gọi C là một trong các điểm còn lại thì AC < 1

hoặc BC < 1 Vẽ các đường tròn tâm A; B bán kính bằng 1 Khi đó, theonguyên lý Diriclet tồn tại ít nhất 1012 điểm nằm trong một đường tròn,

kể cả tâm A hoặc tâm B thì đường tròn này chứa ít nhất 1013 điểm.1.34 GọiM N ; EF là các đường trung bình của hình vuông Giả sử đườngthẳng d1 cắt AB; CD; M N tương ứng tại P ; Q; I Ta có:

1.35 Các đỉnh chia đường tròn ngoại tiếp thành 14 cung bằng nhau, mỗicung có số đo α = Π4 Các dây nối hai đỉnh của (H) chắn cung nhỏ có số

đo α; 2α; ; 7α nên độ dài các dây cung chỉ nhận 7 giá trị khác nhau.Với 6 đỉnh của (H) ta có 15 dây cung nên tồn tại 3 dây có độ dài bằng

nhau Trong 3 dây này nếu 2 dây có chung đỉnh thì 3 dây tạo thành tamgiác đều nên số đỉnh của (H) chia hết cho 3, vô lý Do đó, 3 dây đang xét

có 2 dây không có đỉnh chung, và 4 đầu mút của 2 dây này là các đỉnhcủa hình thang cân

1.36 có 12 tổng và mỗi tổng nhận giá trị thuộc tập {3; 4; ; 15} Tachứng minh trong 12 tổng này không đồng thời nhận các giá trị 3; 4; 5; 6

và không đồng thời nhận các giá trị 12; 13; 14; 15 Giả sử đỉnh Ai đượcđiền số i(i = 1; 8) Ta có: 3 = 1 + 2 và 4 = 3 + 1 nên đỉnh 1 kề với cácđỉnh 2 và 3, suy ra 2 và 3 không kề nhau Do 5 = 1 + 4 hoặc 5 = 2 + 3,

vì 2 và 3 không kề nhau nên 1 kề với 4 Do đó đỉnh 1 không kề với đỉnh

5, đỉnh 2 không kề với đỉnh 4 Vậy không xuất hiện đỉnh 6 Chứng minhtương tự cho các giá trị 12; 13; 14; 15 Theo nguyên lý Diriclet có 12 tổngchỉ nhận 11 giá trị nên có hai tổng bằng nhau

1.37 Gọi P ; Q tương ứng là trung điểm của AB và CD Lấy E; F thuộc

P Q sao cho P E = QF = 8cm Dễ thấy AE; BE; CF ; DF ; EF đều lớnhơn 20cm Do đó các đường tròn tâm A; B; C; D; E; F bán kính 10cm

không có điểm chung Có 6 đường tròn mà có đúng 5 điểm nên tồn tạimột hình tròn không chứa điểm nào trong 5 điểm đã cho Tâm của hìnhtròn này cách các điểm đã cho lớn hơn 10cm

1.38 Chia hình vuông ban đầu thành 49 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗihình vuông nhỏ có cạnh 10cm Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại ít nhất

3 điểm cùng thuộc một hình vuông, do đường chéo của hình vuông bằng

2cm < 15cm nên khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong 3 điểm đónhỏ hơn 15cm

Chương 2

Bài toán liệt kê

2.1 Giới thiệu bài toán

Trong nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hìnhthoả mãn các tính chất cho trước là chưa đủ Trong nhiều tình huống tacòn phải chỉ rõ cấu hình tổ hợp đó là những cấu hình tổ hợp nào Bài toánđưa ra danh sách tất cả cấu hình tổ hợp có thể có được gọi là bài toánliệt kê tổ hợp Vì thế khác với bài toán tồn tại, bài toán liệt kê lại cần xácđịnh một thuật toán để theo đó có thể lần lượt xây dựng được tất cả cáccấu hình đang cần quan tâm Có rất nhiều cách liệt kê tuy nhiên phải đảmbảo 2 nguyên tắc:

+ Không được lặp lại một cấu hình

+ Không được bỏ sót một cấu hình

Có thể nói rằng phương pháp liệt kê là cách cuối cùng để có thể giải đượcmột số bài toán tổ hợp hiện nay Khó khăn chính của phương pháp này là

sự "bùng nổ tổ hợp" Để xây dựng chừng 1 tỉ cấu hình và giả thiết rằngmỗi thao tác xây dựng mất khoảng 1giây ta phải bỏ ra quãng 31năm mớigiải xong Tuy nhiên với sự phát triển của máy tính điện tử, bằng phươngpháp liệt kê nhiều bài toán tổ hợp đã tìm thấy lời giải Mặt khác, chính sự

nỗ lực tìm kiếm những giải pháp hữu hiệu cho những bài toán khó thuộclĩnh vực này, đã thúc đẩy mạnh mẽ sự phát triển của nhiều ngành Toánhọc Trong chương này, sau khi giới thiệu thuật toán, chúng ta sẽ trìnhbày 2 phương pháp liệt kê thường sử dụng nhất, đó là thuật toán sinh vàthuật toán quay lui

2.2 Thuật toán và độ phức tạp tính toán

Như đã giới thiệu ở trên, việc giải bài toán liệt kê là xây dựng một thuậttoán để theo đó có thể lần lượt xây dựng được tất cả các cấu hình cầnquan tâm Vậy ta cần hiểu thuật toán là gì và các khái niệm liên quan

2.2.1 Khái niệm thuật toán

Thuật toán được hiểu như là các quy tắc thực hiện các phép tính sốhọc với các con số được viết trong hệ cơ đếm thập phân Cùng với sự pháttriển của máy tính, khái niệm thuật toán càng được hiểu theo nghĩa rộnghơn và chính xác hơn Ta sẽ định nghĩa thuật toán một cách trực quannhư sau

Định nghĩa 2.1 Thuật toán giải bài toán đặt ra là một thủ tục xác địnhbao gồm một dãy hữu hạn các bước cần thực hiện để thu được lời giải củabài toán

Thuật toán có các đặc trưng sau đây:

+Đầu vào (In put): Thuật toán nhận dữ liệu vào từ một tập nào đó.+Đầu ra (Out put): Với một tập các dữ liệu đầu vào, thuật toán đưa racác dữ liệu tương ứng với lời giải của bài toán

+Chính xác (Precision): Các bước của thuật toán được mô tả chính xác.+Hữu hạn (Finiteness): Thuật toán cần phải đưa được đầu ra sau một sốhữu hạn (có thể rất lớn) các bước với mọi đầu vào

+Đơn trị (Uniqueness): Kết quả trung gian của từng bước thực hiện thuậttoán được xác định một cách đơn trị và chỉ phụ thuộc vào đầu vào và cáckết quả của các bước trước

+Tổng quát (Generality): Thuật toán có thể áp dụng giải một bài toán códạng đã cho

Ví dụ 2.1 Cho ba số nguyên a; b; c Mô tả thuật toán tìm số lớn nhấttrong ba số đã cho

Bài toán đặt ra là rất đơn giản nhưng mục đích của chúng ta là dùng nó

để giải thích khái niệm thuật toán Thuật toán gồm các bước sau:

Bước 1: Đặt x := a

Bước 2: Nếu b > x thì đặt x := b

Trong nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hìnhthoả mãn tính chất cho trước chưa đủ Trong nhiều tình tacịn phải rõ cấu hình tổ hợp cấu hình tổ hợp Bài tốnđưa danh sách tất cấu hình tổ. .. Có 12 tổng gồm tổng theo hàng, tổng theo cột, hai tổng theođường chéo, tổng có số hạng Giá trị tổng Si số nguyên thoảmãn: −5 Si Theo nguyên lý Diriclet, tồn hai tổng... thiết

a, Cơ sở lý thuyết

Nguyên lý Diriclet phát biểu nhà toán học người ĐứcPeter Gustav Lejeune Diriclet (1805 − 1859) Nguyên lý Diriclet (hay cònđược gọi nguyên lý chuồng thỏ)