CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI
Nguyễn Thành Bửu
Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng
2
Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng p ax b cx d ( x + + + = α + β ) 2 trong đó
2
2
p a c
p b d
− = α
− = β
(*)
Theo các sách tham khảo, cách giải như sau:
Đặt p ax b + = α + β y , khi đó ta có hệ
2
α + β = α + β + +
α + β = +
Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách trừ hai phương trình của hệ cho nhau
Ví dụ 1: Phương trình x 2 + x 5 5 + = ⇔ − x 5 5 x + + = 2
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt − x 5 y + = và có hệ
2 2
= +
= +
Ví dụ 2: Phương trình 2x 1 x − + 2 − 3x 1 0 + = ⇔ − 2x 1 x (x 1) − + = − 2
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt − 2x 1 y 1 − = − và có hệ
2 2
− = − +
− = −
Ví dụ 3: Phương trình 4x 2 + 3x 1 5 13x + + = ⇔ − 3x 1 x 4 (2x 3) + + + = − 2
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt − 3x 1 2y 3 + = − và có hệ
2 2
− = + +
− = +
Ví dụ 4: Phương trình 32x 2 + 32x = 2x 15 20 + + ⇔ 8x 60 56 (8x 4) + + = + 2
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 8x 60 8y 4 + = + và có hệ
2 2
+ = +
+ = +
Ví dụ 5: Phương trình 2 x 3
2
+
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 2x 6 2y 2 + = + và có hệ
2 2
+ = +
+ = +
Ví dụ 6: Phương trình 2 4x 9
28
+
+ + = +
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 28x 63 7y 7
+ = +
và có hệ:
2
2
+ = +
÷
+ = +
Tổng quát, ta thử giải tiếp hệ (a) Từ hệ (a), lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai theo vế ta có:
( x α + β − α + β = α + − ) ( y ) y (c p a)x + β + − d p b
Trang 2⇔ ( x α − α α + α + β + α − α = y)( x y 2 ) x y 0
⇔ ( x α − α α + α + β + = y)( x y 2 1) 0
⇔ α + α + β+ =α − α =xx y 0y 2 1 0
⇔
α +β+ = α +β+
α +β + = −α −β −
⇔ x 1 2 y 1 2
α + β + = α + β +
+ + = α + β +
Trở lại các ví dụ trên, ta có:
Ví dụ 1: x 2 + x 5 5 + = ⇔ x 5 1 2 x 1 2
− + + = +
x 5 x 1
+ = −
+ = +
Ví dụ 2: 2x 1 x − + 2 − 3x 1 0 + = ⇔ 2x 1 1 2 x 1 2
− − + = −
2x 1 x
− = −
− =
Ví dụ 3: 4x 2 + 3x 1 5 13x + + = ⇔ 3x 1 1 2 2x 5 2
− + + = −
⇔ 3x 1 2x 3
3x 1 2x 2
+ = − +
+ = −
Ví dụ 4: 32x 2 + 32x = 2x 15 20 + + ⇔ 8x 60 1 2 8x 9 2
+ + = +
+ = +
+ = − −
Ví dụ 5: 2 x 3
2
+ + = ⇔ 2x 6 1 2 2x 5 2
+ + = +
+ = +
+ = − −
Ví dụ 6: 2 4x 9
28
+
2
2
7x 4
+ = +
7x
7x
+
= +
+
= − −
Ghi chú:
2 2
p a c
p b d
− = α
− = β
là khó nhất, các em học sinh phải “khéo léo” biến đổi ở bước này.
2) Khi trình bày bài toán bằng cách thứ hai, chỉ cần viết trực tiếp:
+ + = α + β +
2
p ax b cx d ( x + + + = α + β ) )
3) Nhớ khai triển ngược
+ + = α + β +
4) Các bạn đồng nghiệp có thể dựa vào dạng
+ + = α + β +
loạt bài khác.