Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

Đề tài về : Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT

KHI GIẢI TOÁN

Sinh viên thực hiện BÙI THỊ ĐỨC

Giảng viên hướng dẫn PGS TS TRẦN VUI

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật toán bất di bất dịch Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn

toàn không đúng với bản chất của toán học Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.

Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học,

cần phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của

HS để HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này Tìm kiếm quy luật

là một phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là

nghệ thuật của toán học (art of maths).

Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy các em đã được rèn luyện và phát triển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để dạy cho HS

Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán, để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong giải toán

Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lý luận

1 Tư duy toán học

2 Phương pháp giải quyết vấn đề

3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán

Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề

1 Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hằng ngày

2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán

3 Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán

2 Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải

= 3 = 3 = 3

Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ liệu

để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn Trong bài toán này, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho 1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau:

Công việc này mất khá nhiều thời gian Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trường hợp tích lớn nhất thoã mãn:

• Không có nào lớn hơn 4;

Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích bằng

5 Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1

Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán Tuy nhiên đây

không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình Chúng ta hãy quan

sát một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán:

Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong của

hình đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tìm

biểu thức liên hệ giữa A, N, T.

N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau:

Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn

bài toán Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường

hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn

1

2  

N T A

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày

Bài toán 1 : Bản đồ của một khu vực thành

phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để

tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn

Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên

Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn

là đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường

thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5 Trang

sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và

đường Mai Thúc Loan Nhi sống tại vị trí

giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh

Công Tráng Nhi quyết định một lần tới

thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến

đường khi cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến

đường khác nhau để tới nhà Trang Cô ấy chỉ

được đi về phía hướng Đông và hướng Bắc

Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi

tới nhà Trang?

5 4

3 2

1

Hình vẽ 1.1

Lời giải:

Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem

có bao nhiêu tuyến đường như thế Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót

Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con đường phía Bắc là đi được Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con đường B và 4 con đường Đ Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; …

Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp

Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc

sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này

cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp

Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải bài toán đơn giản hơn Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta

“chuyển” nhà của Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ

có hai con đường

! 5

! 4

! 9

“Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3

và đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng

giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí

giao nhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí

Diễu) Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường

mà Nhi có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển”

lần lượt tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình

vẽ)

1 1

1 1 1

1 1

1 3

1

6

35 15

5

20 10

4

5

70 35

15 10

4 3

2

126

Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác

Pascal (Hình vẽ 1.2) Khi chúng ta nhận ra quy luật

này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có

126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới

2.5 Một số bài toán khác

2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán

2.2.

Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học

2.4

Bài toán tìm tổng

2.3.

Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật

2.1

Tìm quy

luật của

dãy số

Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số:

1; 5; 14; 30; 55; 91; …

Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số như sau:

Sai khác 1Sai khác 2

13 2

2 2

Thực ra, chúng ta đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số

hạng thứ n có dạng (n + 1)2 và ta tìm được số hạng thứ sáu là 72 = 49 Do đó, số hạng tiếp theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140 Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; …

Từ sai khác thứ 3, ta tìm được số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác này là 2 Suy ra,

số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ 2 là 2 + 11 = 13 và do đó, số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ nhất là 13 + 36 = 49

Vậy số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 49 + 91 = 140

Chúng ta có thể biểu diễn dãy số đã cho bởi mô hình sau, số hạng thứ n của dãy chính bằng số quả cầu nằm trên hình thứ n.

Quan sát mô hình chúng ta thấy các hình được sắp xếp theo quy luật: hình thứ n có được bằng cách ghép vào hình thứ n – 1 một mảng hình chữ nhật bao gồm n2 quả cầu Như vậy số quả cầu trong hình thứ 7 sẽ bằng: 91 + 72 = 140

Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để tìm số hạng tiếp theo của một dãy số cho trước không phải luôn luôn dẫn tới một “số hạng” duy nhất Thường thì quy luật của một dãy số là không duy nhất Với một bài toán chúng ta có thể khám phá ra

nhiều quy luật khác nhau, với các quy luật tìm được có thể cho các kết quả khác nhau nhưng cũng có thể chúng đều đưa đến cùng một kết quả Chúng ta xét bài toán sau:

Bài toán 2.1.6: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau:

1; 2; 4; 6; 8; 16; …

Lời giải:

Số tiếp theo, theo hầu hết mọi người đó là 32 Quy luật được nhận ra ở đây là số hạng đứng sau gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó Ta cũng có thể nhận thấy số hạng

tổng quát của số hạng thứ n trong dãy là 2 n - 1 Sử dụng công thức tổng quát này chúng

ta có thể viết các số hạng tiếp theo của dãy số đã cho

1 = 1

1 1 = 2

1 2 1 = 4

1 3 3 1 = 8

1 4 6 4 1 = 16

1 5 10 10 5 1 = 31

1 6 15 20 15 6 1 = 57

1 7 21 35 35 21 7 1 = 99

1 8 28 56 70 56 28 8 1 = 163

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 = 256

Tuy nhiên, chúng ta có thể lý luận

theo toán học một cách hợp lý và chính

xác rằng số hạng tiếp theo có thể là

(hoặc phải là) 31 và tiếp đến là 57 và

99 Dãy số này được gắn vào tam giác

Pascal như hình vẽ

Chúng ta cũng có thể mô tả dãy số này tương ứng với số miền của một hình tròn được chia bởi số điểm liên kết trên đường tròn (hình vẽ).

2 điểm 3 điểm 4 điểm 5 điểm 6 điểm

2 miền 4 miền 8 miền 16 miền 31 miền

Bài toán 2.2.6: Tính số đo của góc được ký hiệu là x ở trong Hình vẽ 2.2.6.a, trong đó bốn hình vuông được vẽ là các hình vuông đơn vị.

Lời giải: Có nhiều cách để giải bài toán này, trong đó, chúng ta có thể giải bằng

phương pháp lượng giác

x

z z

y

y x

y = (63,434949…)0.

tan z = 31

Vậy: x y  z 450

13

121

3

12tan

tan1

tantan

)tan(

z y

z y

Chúng ta có thể tìm ra lời giải của bài toán này đơn

giản hơn nếu chúng ta sử dụng phương án tìm kiếm một

quy luật từ hình vẽ ban đầu của bài toán

Hãy quan sát Hình vẽ 2.2.6.c, hình vẽ này được xem

là hình được trải rộng của Hình vẽ 2.2.6.a x

x

Hai góc được ký hiệu x là bằng nhau, vì chúng là

2 góc so le trong Góc x mới tạo ra là góc được tạo

bởi một cạnh hình vuông và một đường chéo của nó

N J

Chúng ta có thể chứng minh kết quả này theo một cách khác như sau:

J N

K L

3 Thu thập

và phân tích

dữ liệu

2 Quá trình thực nghiệm

+ Thu thập dữ liệu để kiểm tra, đánh giá sự phát triển tư duy toán của HS thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán.

PHÂN TÍCH DỮ LIỆU

Mức độ 1: Không hiểu nội dung bài toán

Mức độ 2: Hiểu nội dung bài toán nhưng

không có ý tưởng thực hành đo đạc

trên dụng cụ GV đã chuẩn bị (quấn

trục số quanh đường tròn, lăn đường

tròn trên trục số) để lấy số liệu, tìm

quy luật để giải toán

Mức độ 3: Có ý tưởng, nhưng không tìm

được quy luật từ các số liệu đo được

(khả năng tổng quát hoá)

Mức độ 4: Tìm ra được quy luật từ các số

liệu đo được, đưa ra đáp án chính xác

cho bài toán

29

0 10 20 30 40

Bài làm của học sinh trên giấy thu được

QUÁ TRÌNH THỰC NGHIỆM

QUÁ TRÌNH THỰC NGHIỆM

Phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh

Đối với học sinh Đối với giáo viên

KẾT LUẬN SƯ PHẠM

KẾT LUẬN CHUNG

1 Về mặt lý luận

Khóa luận đã phân tích làm rõ: những lý luận cơ bản về tư duy, về phương

án tìm kiếm một quy luật trong các phương án giải quyết vấn đề Qua những ví

dụ cụ thể, khóa luận đã cho thấy tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật đối với sự phát triển tư duy toán của học sinh, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo

2 Về mặt vận dụng

Khóa luận đã giới thiệu nhiều bài toán mà học sinh thường bắt gặp trong quá trình làm toán (tìm quy luật của dãy số, giải hệ phương trình, tìm tổng) với nhiều cách giải khác nhau để qua đó cho học sinh thấy được ưu thế của phương

án tìm kiếm một quy luật trong giải toán Tác giả đã cố gắng đưa vào các mô hình minh họa để giúp học sinh dễ nắm bắt quy luật hơn

3 Về mặt thực nghiệm

Khóa luận đã kiểm chứng tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán Dữ liệu thu được nói lên rằng phương án này thực sự thu hút được học sinh và giáo viên và nó tác động rất lớn tới sự phát triển tư duy của học sinh (tư duy của học sinh vốn rất tốt, sáng tạo nhưng do chưa được khai thác)

Lời kiến nghị

+ Để việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán được phổ biến và thật sự có tác động tích cực tới sự phát triển tư duy của học sinh, chúng ta nên phát huy tính độc lập suy nghĩ của học sinh, tạo điều kiện để các em có môi trường học toán tốt

+ Cần tăng cường hướng dẫn học sinh cách tìm kiếm quy luật của một bài toán, cần

để học sinh luyện tập nhiều

+ Vì hạn chế về mặt thời gian của một tiết học GV có thể thiết kế các đồ dùng dạy học để hỗ trợ quá trình tìm kiếm được thuận lợi hơn, mặt khác còn làm cho tiết học sinh động hơn

Hướng mở rộng đề tài

+ Mặc dù phương án tìm kiếm một quy luật được giáo viên và học sinh sử dụng khá rộng rãi nhưng chưa có nghiên cứu lý luận nào về sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm kiếm một quy luật khi giải toán một cách hoàn thiện Đề tài có thể đi sâu theo hướng này

+ Phần vận dụng có thể mở rộng nghiên cứu các bài toán có thể giải bằng phương

án tìm kiếm một quy luật trong chương trình SGK của các cấp học

+ Quá trình thực nghiệm của đề tài chỉ diễn ra ở một trường THPT, trên các đối tượng HS tương đối đồng đều Do đó, đề tài có thể mở rộng nghiên cứu trên nhiều đối tượng HS khác nhau của nhiều trường khác nhau

Mặc dù bản thân đã có rất nhiều cố gắng nhưng khoá luận chắc chắn không tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn.

Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn.

2 Phương pháp giải quyết vấn đề

Trong giáo dục toán người ta thường dùng các thuật ngữ như câu hỏi, bài tập, bài toán (vấn đề) Các thuật ngữ này được phân biệt như sau:

Câu hỏi: một tình huống mà ta có thể giải bằng cách tái hiện lại kiến thức hoặc trí nhớ;

Bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để cũng cố những kỹ năng và thuật toán đã được học trước đó;

Bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức

đã được học trước đó để giải Khi đứng trước một bài toán HS không thấy được ngay các phương pháp hoặc con đường thu được lời giải

Về cơ bản, GQVĐ là quá trình tìm tòi “phương án” (strategy) để giải bài toán không quen thuộc Phương án khác với thuật toán (algorithm) Có

phương án tốt chưa chắc đã giải đúng Còn thuật toán nó có tính chất quy

trình giải toán (procedure), nếu áp dụng đúng bảo đảm có lời giải đúng.

Các bước để giải một bài toán (vấn đề):

1 Đọc hiểu bài toán;

2 Lên phương án giải toán;

3 Giải toán;

4 Xem lại (kiểm tra, mở rộng bài toán)