Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độtrong hình học tổ hợp và số học" nhằm cung cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LẠI TIẾN ĐẨU

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP

VÀ SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LẠI TIẾN ĐẨU

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP

VÀ SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi (từ tháng 9năm 2014 đến tháng 3 năm 2015), trên cơ sở tham khảo các tài liệu, tham

dự các buổi hội thảo các chuyên đề Toán học và kinh nghiệm qua các nămcông tác

Mục lục

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 41.1.1 Véctơ và tọa độ trên đường thẳng 51.1.2 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng 51.1.3 Véctơ và tọa độ trong không gian 61.2 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 71.2.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ 71.2.2 Dạng bài toán đã cho trước hệ trục tọa độ 151.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian 181.3.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ 181.3.2 Bài tập tương tự 26

2 Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học 302.1 Dạng toán hình học tổ hợp 302.2 Dạng toán mạng lưới ô vuông 36

3.1 Đề toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không

gian 523.2 Đề toán hình học tổ hợp và mạng lưới ô vuông 55

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Chuyên đề về phương pháp tọa độ có vị trí quan trọng trong toán họcbậc trung học phổ thông Nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâmcủa hình học mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của giải tích,đại số, lượng giác và các ứng dụng khác

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán quốc tế thìcác bài toán liên quan đến các dạng toán rời rạc trong hình học tổ hợp và sốhọc cũng hay được đề cập và được xem như là những dạng toán thuộc loạikhó Các bài toán dạng này thường ít được đề cập trong chương trình toán

ở bậc trung học phổ thông

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi

về chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độtrong hình học tổ hợp và số học" nhằm cung cấp một số phương pháp cótính hệ thống để tiếp cận các dạng toán từ hình học tổ hợp và số học liênquan

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập Hình học tổ hợp và

Số học bằng phương pháp tọa độ đồng thời nắm được một số kỹ thuật tínhtoán liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán Hình học tổ hợp và Số học giải theo phương pháptọa độ, bài toán liên quan đến lưới ô vuông

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo các chuyên

đề bồi dưỡng HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ sách chuyên Toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng HSG

Tham gia các buổi seminar: Các chuyên đề toán phổ thông, Các trường

hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi các kết quả đangnghiên cứu

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn là một chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trunghọc phổ thông Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡnghọc sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học vàdạy các chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạotrong việc dạy và học toán

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đềcập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 trình bày về phương pháp tọa độ và các tính chất liên quan.Chương 2 trình bày phương pháp tọa độ giải các bài toán trong hình học

tổ hợp và số học

Chương 3 trình bày một số đề toán thi Olympic

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình

và nghiêm túc của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp này tác giả xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư

- người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cùng với kinh nghiệmnghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đềtài

Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo, Khoa Toán

- Tin, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7N (Khóa 2013-2015) - trườngĐại học Khoa học; Ban giám hiệu Trường THPT Trần Nhân Tông - NghĩaHưng - Nam Định và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên tácgiả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Lại Tiến Đẩu

Chương 1

Phương pháp tọa độ và các tính chất liên quan

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong

OI = −→e thì tia OI (có gốc O và đi qua I) gọi là tia dương của trục Ta ký

hiệu tia đó là Ox Tia đối của tia Ox là tia âm của trục và ký hiệu là Ox0.Trục nói trên được ký hiệu là trục x0Ox

b) Trên mặt phẳng cho hai trục x0Ox và y0Oy cắt nhau tại O Các véctơđơn vị −→e

Trong trường hợp các trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một (ở O)

và các véctơ đơn vị trên các trục có cùng độ dài, nghĩa là |−→e1| = |−→e2| = 1

(trong mặt phẳng) hoặc |−→e1| = |−→e2| = |−→e3| = 1 (trong không gian), thì hệtrục tọa độ Oxy (hay Oxyz) được gọi là hệ tọa độ Đề-các vuông góc hay hệtọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng (hay trong không gian)

1.1.1 Véctơ và tọa độ trên đường thẳng

Trên đường thẳng có định hướng và gốc ở O, một điểm M được gắn vớitọa độ là x thì ký hiệu là M = (x) Giả sử hai điểm A, B nằm trên đườngthẳngOx và có tọa độ làA = (a), B = (b)thì số b − agọi là tọa độ của véctơ

−→

AB, ký hiệu −→

AB = (b − a) Độ dài của véctơ −→

AB, ký hiệu |−→AB| = |b − a|.Với ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường thẳng, ta có

(a) −→

AB +−→

BC = −→

AC;(b) |−→AB| + |−→

BC| ≥ |−→

AC|.Dấu đẳng thức trong (b) xảy ra khi và chỉ khi hai véctơ −→

AB và −→

BC cùnghướng, tức là tồn tại số k > 0 sao cho −→

AB = k−→

BC hoặc có một trong haivéctơ là véctơ không

1.1.2 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng

Trên mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Đề-các vuông gócx0Ox, y0Oy với−→e

Tích vô hướng của hai véctơ −→a và −→b , ký hiệu −→a −→b được định nghĩa:

Trong không gian xét hệ trục tọa độ Đề-các vuông gócOxyz với−→e

1; a2; a3),−→

b =(b1; b2; b3) Ta có

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng là −→a −→b = a

1.b1 + a2.b2 + a3.b3

−

→a vuông góc với −→b khi và chỉ khi a

1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.Công thức tính góc giữa hai véctơ:

1.2.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ

Ví dụ 1.1 (Xem [7]) Cho tam giác đều ABC, gọi d là đường thẳng bất kỳ.Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa d và các đường thẳng BC, CA, AB Chứngminh rằng sin2α sin2β sin2γ + cos2α cos2β cos2γ = 1

hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm BC, các điểm A, B, C có tọa

2 , sin β =

1

2,cos γ =

(k√

3 + 1)24(k2 + 1)

Lời giải

Chọn hệ trụcOxy, chiều dương theo hướng tia Ox, Oy, đặt tọa độA(a; 0),

C(0; c), khi đó B(a; c) với a > 0, c > 0 Vì chu vi hình chữ nhật không đổinên a + c = b không đổi Ta có phương trình đường thẳng AC là:

Suy ra phương trình đường thẳng 4 đi qua B(a; c) và vuông góc với AC

có dạng a(x − a) − c(y − c) = 0 Thay c = b − a vào ta có phương trình

ax+(a−b)y +b2−2ab = 0 Giả sử4 đi qua điểm cố địnhD(x0; y0)với mọi a

dương (vìbdương không đổi), khi đó phương trìnhax0+(a−b)y0+b2−2ab =

0 đúng với mọi a khi và chỉ khi a(x0 + y0 − 2b) + b2 − by = 0 đúng với mọi

a Điều này xảy ra khi

Vậy 4 luôn đi qua điểm cố định D(b; b)

Ví dụ 1.3 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của AB, G

là trọng tâm tam giácACM, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh GI vuông góc với CM

Hình 1.3:

Lời giải

Cách 1 Theo phương pháp tọa độ

Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BC Dựng hệ trục tọa độ Oxy có điểmgốc là O, trục Ox chứa BC, trục Oy chứa OA Giả sử cạnh đáy BC = 2a,chiều caoAO = h Khi đó ta có A(0; h), B(−a; 0), C(a; 0), M−a

2;

h2

, tọa

độ trọng tâmGa

6;

h2

 Gọi tọa độ điểmI(0; y0), suy ra−→

, suy ra −→

IG = a

6;

a22h



, suy ra−→

Cách 2 Theo phương pháp véctơ

Gọi N là trung điểm AC, K là giao điểm của M N với AO Xét tích

Ví dụ 1.4 Cho hai hình vuôngABCD và BKM N có chung đỉnh B, trong

đó đỉnh M nằm trên DB kéo dài, gọi E là trung điểm AK Chứng minh

BE ⊥ N C

Lời giải

Cách 1 Theo phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc có gốc O trùng điểm B, trục Ox

chứaBC, trục Oy chứaBA Khi đó B(0; 0), C(1; 0), A(0; 1), D(1; 1) Giả sử

 Ta có−→



,−−→

N C = (1; n).Suy ra −→

Ví dụ 1.5 Cho bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Chứng minh AC

vuông góc với BD khi và chỉ khi AB2 + CD2 = AD2 + BC2

Hình 1.5:

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho AC nằm trên trục hoành, trục tung là đườngthẳng đi quaB và vuông góc với AC Giả sử trong hệ trục đó tọa độ các điểmlà:A(a; 0), B(0; b), C(c; 0), D(m; n), a 6= c Khi đóAB2+CD2 = AD2+BC2

⇔ (a−0)2+(b−0)2+(m−c)2+(n−0)2 = (m−a)2+(n−0)2+(c−0)2+(0−b)2

⇔ 2m(a − c) = 0 ⇔ m = 0 (vì a 6= c) Do đó D(0; n), tức là D nằm trêntrục tung Vậy 2m(a − c) = 0 ⇔ AC ⊥ BD

Ví dụ 1.6 Cho tam giácABC vuông cân tại C Trên các cạnhBC, CA, AB

lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho M B

Cách 1 Theo phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy sao cho O trùng với C, tia

Oxtrùng với tia CA, tia Oy trùng với tia CB Khi đó ta có tọa độ các điểm

là C(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) Từ giả thiết M B

M N −→

CP = k

(1 + k)2 − k

(1 + k)2 = 0 ⇒ M N ⊥ CP.b) M N2 =  k

1 + k

2

+

Cách 2 Theo phương pháp véctơ

4ABC cân tại C nên CA = CB do đó −−→

M N −→

CP = 0 ⇒ M N ⊥ CP.b) Ta có

CA)2 = (−→

CB)2 suy ra M N = CP

Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm di động trên cạnh CB Kẻ

M N ⊥ AB, M Q//AB, điểm N thuộc đường AB, điểm Q thuộc AC; gọi I

là tâm hình chữ nhật M N P Q, P thuộc đường AB Tìm quỹ tích của điểm

I khi M chạy trên cạnh CB

Hình 1.7:

Lời giải

Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB Chọn hệ trục tọa độ Đề-cácvuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ là O, trục hoành chứa cạnh AB, chiềudương từ A sang B, chiều dương của trục tung hướng từ O đến C Giả sửtrong hệ tọa độ này ta có A(a; 0), B(b; 0), C(0; h), h > 0, a 6= b; a, b khác 0.Khi đó đường thẳng AC có phương trình x

a +y

h = 1 Đường thẳng BC có

phương trình x

b +

y

h = 1 Giả sử đường thẳng M Q có phương trình y = m,

khi đó 0 ≤ m ≤ h Giải các hệ phương trình để tìm giao điểm, ta được tọađộ

2 ⇒ m = 2.yI Thế vào (1.1) ta được

2h.xI = (a + b)(h − 2.yI) ⇔ 2hxI + 2(a + b)yI = h(a + b)

VậyI nằm trên đường thẳng(d)có phương trình là2hx+2(a+b)y−h(a+b) =

O là trung điểm AB

Nếu a + b 6= 0 thì phương trình đường thẳng (d) trở thành

x

a + b2

+ yh2

= 1

Ta thấy đường(d)cắt trục tung tạiH0; h

2

, cắt trục hoành tạiKa + b



Ta có −−→

HK =a + b

2 ; −

h2



= h − m

h .

−−→HK

Mà 0 ≤ h − m

h ≤ 1 nên suy ra điểm I thuộc đoạn HK

Kết luận quỹ tích I là đoạn HK, trong đó H là trung điểm OC, K là trungđiểm AB

Nhận xét 1.1 Ta thấy phương pháp tọa độ thể hiện lợi thế trong bài toánnày, lời giải không cần xét các trường hợp đặc biệt của tam giác ABC

Ví dụ 1.8 Cho đoạn thẳng AD cố định, dựng hình bình hành ABCD saocho AC

AD =

BD

AB Tìm quỹ tích của B và C.

Lời giải

AD biếnB thành C Vậy quỹ tích C là ảnhcủa đường tròn tâm I(−1; 0), bán kính r = √

2qua phép tịnh tiến theo −→

AD

1.2.2 Dạng bài toán đã cho trước hệ trục tọa độ

Ví dụ 1.9 (Đề thi ĐH Khối B - 2004) Cho hai điểm A(1; 1), B(4; −3) Tìmđiểm C thuộc đường thẳng (d) : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C

Trường hợp 1.



x − 2y − 1 = 04x + 3y − 37 = 0 ⇔

Vậy C

−43

11 ;

−2711



Ví dụ 1.10 (Đề thi ĐH Khối A - 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N

là điểm thuộc đoạnAC sao cho AN = 3N C Viết phương trình đường thẳng

4 Suy ra, M N

2 = AM2 + AN2 −2AM.AN.cosM AN =\ 5a

y = −65

Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) và −→

IM = (0; 4) Đường thẳng CD điqua I có véctơ pháp tuyến là −→

IM nên có phương trình y + 2 = 0.Vớix = 17

 Đường thẳng

CDđi quaI có véctơ pháp tuyến là−→

IM, nên có phương trình3x−4y−15 = 0

Ví dụ 1.11 (Đề thi ĐH Khối B - 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy,cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3; 0) là trung điểm của cạnh AB,điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G4

3; 3

làtrọng tâm của tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B và D

EF làm vectơ chỉ phương, nên BC có phương trình

x − 2y + 8 = 0 Đường thẳng BH đi qua H và nhận −→

EF làm vectơ pháptuyến, nên BH có phương trình 2x + y = 1 = 0 Tọa độ điểm B thỏa mãn

hệ phương trình



x − 2y + 8 = 02x + y + 1 = 0 Suy ra B(−2; 3) Do M là trung điểm

của AB nên A(−4; −3)

Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra −→

GA = 4−→

GI Do đó I0;3

2



Do I là trung điểm của đoạn BD nên tọa độ D(2; 0)

Ví dụ 1.12 (Đề thi ĐH Khối D - 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm

D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − 9 = 0, tiếp tuyến tại

A của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC có phương trình x + 2y − 7 = 0.Viết phương trình đường thẳng BC

ra A(1; 3) Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và

E là giao điểm của d với đường thẳng BC (do AD không vuông góc với d

nên E luôn tồn tại và ta có thể giả sử EB < EC) Ta có \EAB = ACB\

và \BAD = \DAC, suy ra \EAD = EAB +\ BAD =\ \ACB +DAC =\ ADE\

Do đó, ∆ADE cân tại E Do E là giao điểm của d với đường trung trựccủa đoạn AD, nên tọa độ điểm E thỏa mãn hệ



x + 2y − 7 = 0

y − 1 = 0 Suy raE(5; 1)

Đường thẳng BC đi qua E và nhận −−→

DE = (4; 2) làm vectơ chỉ phương,nên phương trình BC là x − 2y − 3 = 0

Ví dụ 1.13 (Đề thi ĐH Khối A - 2005) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độcác đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ (d1), C ∈ (d2), với phương trình

(d1) : x − y = 0, (d2) : 2x + y − 1 = 0 và các đỉnh B, D thuộc trục Ox

Ví dụ 1.14 (Đề thi ĐH Khối A - 2006) Cho đường thẳng(d1) : x + y + 3 =

0, (d2) : x − y − 4 = 0 và (d3) : x − 2y = 0 Tìm M thuộc (d3) để khoảngcách từ M đến (d1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến (d2)

Ví dụ 1.15 (Đề thi ĐH Khối B - 2007) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chođiểm A(2; 2) và các đường thẳng: (d1) : x + y − 2 = 0, (d2) : x + y − 8 = 0.Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc (d1) và (d2) sao cho tam giác

ABC vuông cân tại A

Ví dụ 1.16 (Đề thi ĐH Khối A - 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2), C(4; −2) Gọi H là chân

đường cao kẻ từ B; gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Ví dụ 1.17 (Đề thi ĐH Khối D - 2007) Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 +(y + 2)2 = 9 và đường thẳng (d) : 3x − 4y + m = 0 Tìm m để trên (d) códuy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến P A, P B tới

(C), (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác P AB đều

Ví dụ 1.18 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x2 + y2 − 2x +4y + 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C2) có tâm K(5; 1), biết đườngtròn (C2) cắt đường tròn (C1) tại hai điểm M, N sao cho M N = √

5

Ví dụ 1.19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD

có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình: y − 3 = 0 Tìm toạ độ củacác đỉnh còn lại của hình vuông đó

Ví dụ 1.20 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng(d) : 2x+y−4 =

0 và hai điểm M (3; 3), N (−5; 19) Kẻ M K vuông góc với (d) tại K và gọi

P là điểm đối xứng với M qua (d)

1.3.1 Dạng bài toán phải chọn hệ trục tọa độ

Đối với một số loại hình chóp, hình lăng trụ trong một số bài toán ta cóthể sử dụng việc đặt một hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giảihình học không gian tổng hợp (mà việc này có thể gặp nhiều khó khăn trongdựng hình, tính toán với các em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa

độ Cách giải bài toán như vậy còn gọi là phương pháp tọa độ hóa

Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán có thể sẽ dài dòng và phứctạp hơn phương pháp tổng hợp Nhưng cách giải này thực sự rất hữu ích chonhiều bạn học sinh mà việc nắm vững những phương pháp trong cách giảihình học không gian tổng hợp còn yếu hoặc trong những bài toán hình khônggian về xác định GTLN, GTNN; các bài toán về quỹ tích điểm

Để có thể làm tốt được các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa thìhọc sinh phải nắm chắc các công thức của phần “Phương pháp tọa độ trongkhông gian” và những kiến thức cơ bản nhất của hình học không gian.Sau đây tôi trình bày một số lưu ý với học sinh trong việc chọn hệ trụctọa độ.

Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ nhật Ta chọn gốc tọa

độ là một đỉnh của hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật, chọn các tia

Ox, Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó

Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều

Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông

Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy

là hình vuông, hình chữ nhật

Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy

có yếu tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc: Ví dụ như hìnhthang vuông, tam giác vuông, tứ giác có hai cạnh vuông góc

Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều

Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta

có thể tọa độ hóa một cách đơn giản

Lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ Chỉ cầnchúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên

lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao(trục Oz) là đường cao, sau đó ta dựng hai tia còn lại Nhưng trong thựchành giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục miễn sao chúng

ta có thể tìm các tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính có thểtìm được một cách dễ dàng hoặc không quá phức tạp

Ví dụ 1.21 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy,tam giác SAB cân tại S Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cáchgiữa hai đường thẳng SA, BC

Lời giải

Ở đây chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này Trướchết ta cần lưu ý xác định chiều cao của hình chóp này như thế nào? Tahãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, trong mặt này dựng mộtđường thẳng vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt

Hình 1.9:

phẳng kia” Gắn vào hình chóp này ta thấy mặt phẳng(SAB) vuông góc vớimặt đáy, mà giao tuyến của hai mặt phẳng này làAB Ta cần tìm chiều caocho nên từ S dựng SH vuông góc với AB, H thuộc AB, vì tam giác SAB

cân tại S cho nên H là trung điểm AB Ta đã xác định được chiều cao vàchân đường vuông góc Vậy chúng ta có thể đặt được hệ trục tọa độ Tínhtoán tọa độ các điểm ta có: O(0; 0; 0), A0; −a

2; 0

, B0; a

2; 0

, C(a; 0; 0),

h−→

SA,−→BC

i

.−→

AB

|h−→SA.−→

BCi|

ta thu được kết quả cần tính

Ví dụ 1.22 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh là a Gọi N làtrung điểm của B0C0

a) Chứng minh rằng AC0 vuông góc với (A0BD)

độ Như đã nói ở phần trước, với hình lập phương và hình hộp chữ nhật thìviệc chọn hệ trục tọa độ là rất dễ dàng Ta chọn hệ trục sao cho: A0(0; 0; 0),

AC0 = (a; a; −a).Mặt khác [−−→

A0B,−−→

A0D] = (−a2; −a2; a2) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(A0BD) Ta thấy hai véctơ này cùng phương Vì thế ta có AC0 vuông gócvới mp (A0BD)

b) Tính thể tích tứ diện AN BD0 Ta có công thức tính thể tích tứ diệnlà:

3

12.

c) Để tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng

ta sử dụng hai công thức sau:

cos(a, b) = | cos(−→u , −→v )| = |−→u −→v |

|−→u |.|−→v |.d(a, b) = |[−→u , −→v ].−→AB|

|[−→u −→v ]| .

Với−→u , −→v là các véctơ chỉ phương của đường thẳng a và b Đường thẳng a, b

lần lượt đi qua hai điểm A và B Do đó ta có góc giữa hai đường thẳng AN

và BD0 là cos(AN, BD0) =

√3

9 Khoảng cách giữa hai đường thẳng này làd(AN, BD0) = a

√26

26 .

d) Viết phương trình mp(AC0D), mặt phẳng(AC0D)có véctơ pháp tuyếncùng phương với [−−→

AC0,−→AD] = (−a2; 0; −a2) Ta chọn véctơ pháp tuyến củamặt phẳng(AC0D)là −→n = (1; 0; 1) Vì thế phương trình mặt phẳng(AC0D)

là: x + z − a = 0 Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặtphẳng ta có khoảng cách là: d(C, (AC0D)) = √a

2.

Ví dụ 1.23 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có cạnh AB = 1,

AD = 1, AA0 = a√

2.a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0C và BD

b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A vuông góc với A0C Tính diện tích củathiết diện của hình chóp A0.ABCD cắt bởi mặt phẳng (Q)

Ví dụ 1.24 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh BD = 2√

2 Mặtbên tạo với mặt đáy góc 600

a) Tính thể tích khối chóp, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếphình chóp

b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

d) Gọi I là trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến các mặtphẳng (ABCD) và (SCD)

M là trung điểm của cạnh SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

b) Mặt phẳng (AM B) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABM N.Lời giải

Hình 1.12:

Cách 1 Theo hướng không sử dụng tọa độ

a) Ta có SO ⊥ BD, AC ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ OM.Tam giác BM O vuông tại O suy ra OM = SA

2 =

√

3.Đặt OB = x, OC = y Áp dụng định lý Pitago ta có

2 ⇒ BM O = 30\ 0.Tính khoảng cách giữa SA và BM: Kẻ OH ⊥ SA tại H, suy ra OH ⊥

M O mà BD vuông góc với (SAC) suy ra BD vuông với OH Do đó OH

vuông với mp(BM D), ta có SA//(BM D) nên d(SA, BM ) = OH

OH = OA.OS

SA =

2.2√2

2√

3 =

2√6



= 3

4.

4√2

3 =

√

2.Cách 2 Theo phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (gốc O, S thuộc trục Oz, A

thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy) Ta có tọa độ các đỉnh như sau: O(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2√

2), D(0; −1; 0), C(−2; 0; 0), M (−1; 0;√

2)

2 Do đó góc giữa hai đường

Ví dụ 1.27 Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H của cạnh

AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết góc giữa hai mp (SAD) và mặtđáy bằng 600

a) Tính SH và khoảng cách từ H đến (SCD)

b) Tính góc giữa hai mp(SBC) và(SCK)biết K là trung điểm của cạnh

AD

Lời giải

Hình 1.14:

Cách 1 Theo hướng không sử dụng phương pháp tọa độ

a) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) có giao tuyến là AD, mà

AD ⊥ SH, AD ⊥ AB suy ra AD ⊥ (SAB), do đó (SAD, ABCD) =\

\

SAH = 600, suy ra SH = AH.tan600 = a

√3

+ 1

a2

suy ra HN = a

√21

7 .

b) Ta có4ABK = 4BCH suy ra \ABK =BCH\ Gọi I là giao điểm của

HC với BK ta có [BHI +HBI =[ BHI +[ BCH = 90\ 0 Vậy HC ⊥ BK ⇒

2 , SH =

a√3

2 , SC = a

√

2, BE = a

√2

2 .

CK = a

√5

2 .

SK = a

√5

2 , E là trung điểm SC, EC =

a√2

2 , EK =

a√3

2 .

Từ các kết quả đó, ta thấy BE2 + KE2 = BK2, suy ra \BEK = 900

Ví dụ 1.28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I

cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuônggóc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy một góc α sao cho tanα = 2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ I đến (SCD)

c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

Lời giải

a) Gọi H là trung điểm AB, vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

theo giả thiết ta có tanSAH = 2 ⇒ SH = AH.tan\ SAH =\ a

3a2

Suy ra d(I, SCD) = HE = a

√21

7 .

Việc tính khoảng cách này rất phức tạp, nếu ta dùng phương pháp tọa độ sẽđơn giản hơn (ĐS: b)d = a

√21

14 , c) d =

2a√57

19 )

1.3.2 Bài tập tương tự

Bài tập 1.1 (Đề thi ĐH khối A- 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a

2 , hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo a thể tích khốichóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

Bài tập 1.2 (Đề thi ĐH khối B- 2014) Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy làtam giác đều cạnha Hình chiếu vuông góc của A0 trên mặt phẳng(ABC) là

trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A0C và mặt đáy bằng 600.Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (ACC0A0)

Bài tập 1.3 (Đề thi ĐH khối D- 2014) Cho hình chópS.ABC có đáyABC

là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặtphẳng SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp

S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Bài tập 1.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, AB = a, SA = a√

2, gócACB = 300 GọiM là trung điểm củaAB Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC (ĐS: d(SM, BC) = a

√2

3 ).

Bài tập 1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông,đường cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc với đáy Biết SC vuônggóc với BD

Tìm x để khoảng cách trên đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài tập 1.7 (Đề thi ĐH Đà Nẵng khối A năm 2001) Cho tứ diện S.ABC

có SC vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M, N

lần lượt thuộc SA và BC sao cho AM = CN = t(0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn M N , tìm t để độ dài đoạn M N nhỏ nhất

b) Khi M N nhỏ nhất, chứng minh M N là đường vuông góc chung của BC

và SA

Bài tập 1.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,các cạnh bên của hình chóp bằng nhau Biết khoảng cách từS đến mp(ABC)

bằng h Tìm điều kiện của h để hai mp (SAB) và (SAC) vuông góc Khi

đó hãy tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài tập 1.9 (Đề thi ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương

ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D

b) Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1.Tính góc giữa M P và C1N

Bài tập 1.10 (Đề ĐHSP TPHCM năm 1992) Cho hình lập phương

ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD

và CD Lấy P trên cạnh BB1 sao cho BP = 3P B1

Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng

(M N P ) (ĐS: S = 7a

2√6

16 )

Bài tập 1.11 Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A1B1C1D1, cóAB = a, AD =2a, AA1 = a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD1 và B1C

b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM

M D = 3 Hãy tính khoảng cách

từ M đến mặt phẳng (AB1C)

c) Tính thể tích khối tứ diện AB1D1C

Bài tập 1.12 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác ABC

vuông cân tại B, biết BA = a, cạnh bên AA0 = a√

2 Gọi M là trung điểmcủa cạnh BC

Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B0C

Bài tập 1.13 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên là 2a,đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3, hình chiếu vuônggóc của A0 lên mp(ABC) là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối

chóp A0.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA0 và B0C0.

Bài tập 1.14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

2a, SA = a, SB = a√

3 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD vàcosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Chương 2

Phương pháp tọa độ trong hình học

tổ hợp và số học

2.1 Dạng toán hình học tổ hợp

Hình học tổ hợp là một nhánh mới của hình học, nó được phát triển mạnh

mẽ trong những năm gần đây

Các bài toán hình học tổ hợp không đòi hỏi nhiều về kiến thức và kỹ năngtính toán, chủ yếu đòi hỏi về sự chặt chẽ, sáng tạo, linh hoạt trong khi giảitoán Chính vì vậy, trong các kỳ thi HSG quốc gia và quốc tế, hình học tổhợp là một trong những nội dung thường gặp trong các đề thi

Để giải loại toán này, người ta thường dùng các phương pháp như: phảnchứng, nguyên lý Dirichlet, quy nạp toán học, tạo đa giác bao, tạo dải songsong, nguyên lý cực hạn, Một trong những công cụ để giải các bài toánhình học tổ hợp một cách có hiệu quả, cho lời giải trong sáng, gọn gàng màmọi người ít nghĩ đến đó là phương pháp tọa độ

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Bài toán 2.1 Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm của AB Lấy 2n

điểm của đoạn thẳng sao cho chúng gồm n cặp điểm đối xứng với nhau qua

O Người ta đánh dấu đỏ n điểm bất kỳ và đánh dấu xanh n điểm còn lại.Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A đến n điểm đỏ bằng tổng cáckhoảng cách từ B đến n điểm xanh

Lời giải

Xét đường thẳng định hướng có chiều dương hướng từA đếnB Gọi O là gốccủa đường thẳng Ta giả sử trên đường thẳng đó điểmA có tọa độ A = (−1)

Hình 2.1:

và tọa độ B là B = (1) Giả sử X1, X2, , Xn là n điểm đánh dấu đỏ vàtọa độ của Xi là Xi = (xi) với i = 1, 2, , n Gọi Y1, Y2, , Yn là n điểmđánh dấu xanh và tọa độ của chúng là Yi = (yi) với i = 1, 2, , n

Theo giả thiết có n cặp điểm đối xứng qua gốc O nên ta có

Lời giải

Ta định hướng cho đường thẳng và chọn gốc cho đường thẳng ấy Khi ấymọi điểm M của đường thẳng sẽ ứng với một số mà ta gọi là tọa độ của nó.Giả sử AiBi, i = 1, 2, , n2 + 1 là n2 + 1 đoạn thẳng đã cho, trong đó cácđầu mút Ai, Bi có tọa độ là Ai = (ai), Bi = (bi) với ai < bi Ta nói rằngđoạn thẳngAkBk nằm bên trái đoạn thẳngAiBi nếu ak < ai Mỗi đoạn thẳngđược gán cho một số tương ứng 1, 2, , n theo cách sau đây:

Bước thứ nhất: Chọn đoạn thẳng ở tận cùng bên trái, tức là chọn đoạnAi0Bi0

sao cho ai0 = min

1≤i≤n 2 +1ai (vì số đoạn thẳng là hữu hạn nên tồn tại giá trị bénhất) Nếu giá trị bé nhất ấy đạt tại nhiều giá trị thì chọn một giá trị bất

Chương 2

Phương pháp tọa độ hình học< /h2>

tổ hợp số học< /h2>

2.1 Dạng tốn hình học tổ hợp< /h3>

Hình học tổ hợp nhánh hình học, phát triển mạnh

mẽ...

√

2.Cách Theo phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ (gốc O, S thuộc trục Oz, A

thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy) Ta có tọa độ đỉnh sau: O(0; 0; 0),

A(2;...

Các tốn hình học tổ hợp khơng địi hỏi nhiều kiến thức kỹ năngtính tốn, chủ yếu địi hỏi chặt chẽ, sáng tạo, linh hoạt giảitốn Chính vậy, kỳ thi HSG quốc gia quốc tế, hình học t? ?hợp nội dung