Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện và khoảng cách là một trong những nội dung không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Rất nhiều học sinh còn chưa nắm vững nội dung này hoặc còn chưa tự tin trong bài toán về thể tích khối đa diện trong đề thi THPT Quốc Gia. Tài liệu này sẽ rất bổ ích cho các em học sinh trong việc ôn tập trong kì thi THPT Quốc Gia, chắc chắn các em sẽ tự tin hơn sau khi nghiên cứu tài liệu này

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

1) Một số định lý về quan hệ song song:

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng

a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)

Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt

mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

d

a (P)

d

a (Q)

(P)

b) Hai mặt phẳng song song:

Định lý 1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với

mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau

Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song

song với mặt phẳng kia

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P)

thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song

Q P

I b a

Q P

a

Q P

b a R

Q P

a) Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng:

Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng

nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuơng gĩc với mp(P)

Định lý 2: (Ba đường vuơng gĩc) Cho đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mp(P)

và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đĩ, điều kiện cần và đủ để b vuơng gĩc với a là

b vuơng gĩc với hình chiếu a’ của a trên (P)

a mp(P),b mp(P),a' là hìnhchiếucủaatrênmp(P).Tacó: b a b a'

b) Hai mặt phẳng vuơng gĩc:

Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng

khác thì hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau thì bất cứ đường thẳng

a nào nằm trong (P), vuơng gĩc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuơng gĩc với mặtphẳng (Q)

a'

a

b P

Q

P a

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm

trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)(P) (Q)

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảngcách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đườngthẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

P a

A

Q

P a

a

R

Q P

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từmột điểm nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm

bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d((P);(Q)) = OH ( O (P), H (Q),OH  (Q) )

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó

 Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b

O

H O

B

A

b a

b' b

a' a

h

 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a

và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900

 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với

B A

Q P

6 b c

B h

C

B A

C

C'

3) Các hệ thức trong tam giác và tứ giác:

a) Tam giác: Trong tam giác ABC, BC = a; AC = b; AB = c Ta có:

_A

a a a

 Công thức trung tuyến tam giác ABC: ma; mb; mc lần lượt là trung tuyến

kẻ từ A, B, C của tam giác ABC

2 2 2 2

a

2 2 2 2

b

2 2 2 2

c

b c a m

2 ( )

( Diện tích bằng dài nhân rộng)

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và

B NỘI DUNG CHỦ YẾU CỦA ĐỀ TÀI

Các bài toán về thể tích của khối đa diện thường gặp ở một số dạng khác nhau Qua nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT và Đại học, Cao đẳng tôi chia ra thành một số dạng sau đây và ôn tập cho học sinh để tạo cho các em cơ sở vững chắc khi làm dạng bài toán này

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG

THỨC.

1) Phương pháp giải:

+ Xác định chiều cao của khối đa diện: Có thể chiều cao được xác định ngay

từ đề bài hoặc phải dùng các định lý về quan hệ vuông góc để dựng chiều cao.( Nếu tính thể tích của tứ diện thì cần chọn đỉnh hợp lý để chiều cao được xác định thuận lợi nhất)

Chú ý: - Khối chóp đều hoặc khối chóp có các cạnh bên bằng nhau thì có đường cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

- Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì có đường cao là cạnh bên đó.

- Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì có đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên đó và đáy.

- Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì có đường cao là đoạn thẳng giao tuyến của hai mặt bên đó.

- Khối lăng trụ đứng (hoặc lăng trụ đều) thì có đường cao là cạnh bên.

- Khối lăng trụ xiên ( không phải lăng trụ đứng) thì có đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một điểm trong đáy trên xuống đáy dưới.

+ Tính chiều cao: Sử dụng định lý Pitago hoặc các hệ thức trong tam giác + Tính diện tích đáy của đa diện bằng các công thức diện tích liên quan đến tam giác hoặc tứ giác.

+ Tính thể tích khối đa diện theo công thức.

2) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC 120o, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

C

SA  (ABC) nên SA là đường cao của khối chóp SABC

Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau ( vì có SB = SC và SA chung)

 AB = AC  tam giác ABC cân tại A

Gọi M là trung điểm của BC  AM  BC; MAC 60   o

Xét tam giác vuông AMC có:  o

3 3 3 4 3 36 (đvtt)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010) Giải

O

S

A B

D

C

SA  (ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên

SC tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011) Giải:

a

S

A D

B

C

Ta có: SA  (ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD

AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)  SC ABCD ;  SCA 45   0

Xét tam giác vuông ADC có AC  AD DC 2 2 a 2

Xét tam giác vuông SAC có SA AC tan45 a 2  0

Diện tích hình thang ABCD là: SABCD 1AD AB CD   1a4a 2a 2

3 2 SABCD ABCD

B

C S

S.ABC là hình chóp tam giác đều, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M và N lần luợt là ABCD Gọi M và N lần luợt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện

ANIB

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006)

Giải:

a a

O I

N

M A

B

D

C S

Xét hai tam giác vuông BAM và CBA có: AMAB BABC 1

  và NO // SA  NO ABI VìSO  ABI 

ANIB N.ABI ABI

Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần luợt là hình chiếu vuông góc của A trên các đuờng thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp

A.BCNM

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006)

Giải

N H

Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK

Ta có: BC  AK (vì tam giác ABC đều) và BC  SA (vì SA(ABCD))

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP vàtính thể tích của khối tứ diện CMNP

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2007)

H I

Gọi I là trung điểm của AD, do tam giác SAD đều nên SI  AD

Do SAD  ABCD nên SI ABCD

Gọi H là giao điểm của AN và BI thì H là trung điểm của BI ( do tứ giác ABNI là hình bình hành )

 MH là đường trung bình của tam giác SIB  MH // SI

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2008)

Giải

a

P

N M

Gọi H là hình chiếu của S trên AD, vì SAB  ABCD nên SH  (ABCD)

Vì SA 2  SB 2  4a 2  AB 2  tam giác ASB vuông tại S

Gọi P là trung điểm AD, E là trung điểm AP, ta có:

ME là đường trung bình của tam giác ABP nên ME // BP mà BP // DN  ME // DN

 SM, DN  SM; ME  

Ta có AH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABCD mà AD  AH  AD SA 

( theo định lý 3 đường vuông góc)

Xét tam giác vuông SAE có 2 2 2 a2 a 5

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2009)

Giải

Kẻ IH  BC  SH  BC ( định lý ba đường vuông góc )  SBC ; ABCD     SHI 60   o

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC IN / /AB và IN AB CD 3a

Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông tại B và BA = BC = a Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC ) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)

Giải:

a B

A'

B'

C'

Ta có AA’  (ABC) nên AA’ là đường cao của lăng trụ

AB là hình chiếu của A’B trên mặt phẳng ABC  A 'B; ABC     A 'BA 60   o

Xét tam giác vuông A’AB có AA’=AB.tan60o = a 3

Ví dụ 12: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp

A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2008)

Xét tam giác vuông HA’B’ có: B'H  A 'B' 2  A 'H 2  2a

Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác B’BH ta có:

BÀI TẬP CHO HỌC SINH ÔN TẬP.

1) Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ Đáp số : V a 23

16

2) Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy(ABCD) một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật

Đáp số : V 2a 23

3

3) Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểmA' cách đều A, B, C biết AA' = 2a 3

3 .Tính thể tích lăng trụ Đáp số: V a 33

4

4) Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC

Đáp số: V h 33

3

5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o Tính thể tích của SABC

Đáp số: V a3

12

6) Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc

60o Tính thể tích khối chóp SABC Đáp số: V 3a3

16

7) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC

Đáp số: V a 33

24

8) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là

45o Tính thể tích khối chóp SABC

Đáp số : V a3

6

9) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB'

và mặt phẳng (ABC ) bằng 60o ;tam giác ABC vuông tại C và BAC 60   o Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a

Đáp số : V 9a3

208



( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2009)

10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =

a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP DỰA VÀO TỶ SỐ THỂ TÍCH

1) Công thức tỷ số thể tích: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm

tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC SA'B'C'

Khi đó có thể tính được thể tích các khối đa diện SA’B’C’ và ABCA’B’C’:

SA'B'C' SABC ABCA'B'C' SABC SA'B'C' SABC

V  k.V ; V  V  V   (1 k).V

* Hệ thức trong tam giác vuông thường sử dụng:

Trong tam giác vuông SAB đường cao AH thì ta có: 2 2

2

SH SA SH.SB SA

SB SB

H S

2) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2  ,

SA vuông góc với đáy ABC, SA= a

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Giải:

I

N S

A

B

C M

2 ABC

b) Gọi I là trung điểm BC

G là trọng tâm tam giác SBC, ta có :SG 2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đường thẳng qua

C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua Cvuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

O D

C S

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM) ( Vì AB // (SCD) và N là trung điểm SD

+ SABN

SABN SABCD SADB

V SD  2 4

SABCD SBCD

SBMN SBCD

SD

SN SC

1 4

1 2

1 2

8 5

Do đó : 53

.



ABCD ABMN

SABMN

V V

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh

bên tạo với đáy góc 60o Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F

a) Hảy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Giải

C

D S

3

SAMF SAC

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc đáy, SA a 2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh SC (AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Giải

B' D'

C'

O A

D

B

C S

a) Ta có:

3

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =

2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuônggóc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006)

Giải:

3 o SABC ABC

BÀI TẬP CHO HỌC SINH ÔN TẬP.

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính

tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diện ABCD Đáp số: k 1

4



Bài 2: Cho tứ diện ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đáp số : V = 2 m3

Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

AB2;AC'3 Tính thể tích tứ diện AB'C'D Đáp số: V a 23

36



Bài 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 m3 Gọi M, P là trung điểm của AB và CD

và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diện BMNP Đáp số: V = 1

m3

Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA

= a Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K Tính thể tích hình chóp SAHK Đáp số: V a 33

40



Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B', C', D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đáp số: V = 1 m3

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy

M trên SA sao cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N Tính thể tích khối

đa diện ABCDMN Đáp số: V = 4m3