Báo cáo khoa học phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

Nội dung chính - Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu; - Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trêncơ sở chọn tham số hiệu ch

Bộ giáo dục và đào tạo

Đại học Thái Nguyên

Nguyễn Thị Thu Thủy

Phương pháp hiệu chỉnh lặp

giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ

Mã số: B2009-TN07-03

Thái Nguyên - 2010

Danh sách những người tham gia thực hiện đề tài

1 Nguyễn Thanh Mai Tổ chức Seminar, xây dựng chuyên đề

2 Nguyễn Tất Thắng Dịch tài liệu, xây dựng chuyên đề

3 Trương Minh Tuyên Tổ chức Seminar, xây dựng chuyên đề

4 Nguyễn Thanh Hường Xây dựng chuyên đề

Đơn vị phối hợp chính

STT Tên đơn vị Nội dung phối hợp nghiên cứu

1 Viện Công nghệ Thông tin Thảo luận, Seminar

Viết chung bài báo khoa học

2 Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trao đổi, Thảo luận

Trường ĐHKHTN Hà Nội

3 Khoa Công nghệ Thông tin Trao đổi, Thảo luận

Đại học Thái Nguyên

Mục lục

Chương 1 Bài toán đặt không chỉnh và hệ phương trình toán tử 15

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 15

1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh 15

1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 18

1.2 Hệ phương trình toán tử 23

1.2.1 Phát biểu bài toán 23

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm 25

1.2.3 Phương pháp giải trong trường hợp đặc biệt 26

Chương 2 Hiệu chỉnh hệ phương trình với toán tử đơn điệu 28 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 28

2.1.1 Phương trình hiệu chỉnh 28

2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 31

2.1.3 Tham số hiệu chỉnh 35

2.1.4 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 38

2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không 40

2.2.1 Mô tả phương pháp 40

2.2.2 Sự hội tụ 43

3.1 VÝ dô 3.1 473.2 VÝ dô 3.2 50

Tóm tắt kết quả nghiên cứu

1 Thông tin chung

- Tên đề tài: Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn

điệu

- Mã số: B2009-TN07-03

- Thời gian thực hiện: 2009-2010

- Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thị Thu Thủy

Điện thoại: 0912211858; E-mail: thuthuy220369@gmail.com

- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên

2 Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu một số phương pháp giải ổn định hệ phương trình toán tử đơn

điệu

- Nâng cao năng lực nghiên cứu cho nhóm thực hiện đề tài

- Phục vụ cho công tác NCKH, đào tạo ĐH và SĐH chuyên ngành Toánứng dụng của Đại học

3 Nội dung chính

- Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu;

- Nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trêncơ sở chọn tham số hiệu chỉnh;

4 Kết quả chính đạt được

- Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu dựatrên một đề xuất của Nguyễn Bường;

- Đưa ra cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm theo nguyên

lí độ lệch suy rộng; Đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh ứng vớitham số hiệu chỉnh đã chọn;

- Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp, chứng minh sự hội tụ của phươngpháp;

- Đưa ra ví dụ số minh họa cho kết quả nghiên cứu

5 Sản phẩm của đề tài

5.1 Sản phẩm khoa học

• Các kết quả của đề tài được công bố trong các công trình

[1] Ng Buong, Ng T T Thuy and L T Duong (2009), "Regularizationfor common fixed points of non-self strictly pseudocontractive mappings

in Hilbert spaces", Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên,49(1), pp 27-31

[2] Ng Buong, Ng T T Thuy and T M Tuyen (2009), "Regularizationfor common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", Tạpchí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 49(1), pp 32-36

[3] Ng T T Thuy (2010), "An iterative method to a common solution ofinverse-strongly problems in Hilbert spaces", Advances and Applications inMathematical Sciences, 3, pp 165-174

[4] Ng T T Thuy (2010), "Convergence rates of the Tikhonov larization for ill-posed mixed variational inequalities with inverse-stronglymonotone perturbations", Nonlinear Functional Analysis and Applications,(Đã nhận đăng năm 2010)

regu-[5] Nguyễn Thị Thu Thủy, Đặng Tú Hồi (2010), "Kết quả số của phươngpháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu", Tạp chí Khoa học vàCông nghệ Đại học Thái Nguyên, 70(8), pp 61-64

• Các kết quả của đề tài đã được báo cáo tại:

1 The 8th International Spring School/ Workshop on Optimization and ItsApplications, Nha Trang, March 1-3, 2010

2 Trường toán CIMPA-UNESCO-VIETNAM, "Bất đẳng thức biến phân vàcác vấn đề có liên quan", Hà Nội, 10-21/05/2010

3 Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 8, Ba vì, 20-23/04/2010.5.2 Sản phẩm đào tạo

1 Hướng dẫn 05 luận văn thạc sĩ, trong đó 02 luận văn đã bảo vệ thànhcông năm 2009; 03 luận văn sẽ bảo vệ vào tháng 11/2010

2 Hướng dẫn 03 sinh viên NCKH, đã bảo vệ và đạt kết quả tốt, trong đó

có 01 sinh viên được giải khuyến khích trong cuộc thi "Sinh viên nghiêncứu khoa học toàn quốc 2009", 01 sinh viên được đề cử dự thi "Sinh viênnghiên cứu khoa học toàn quốc 2010"

3 Hướng dẫn 03 sinh viên làm khóa luận tốt nghiệp đã bảo vệ và đạt điểmxuất sắc

4 Đề tài góp phần phục vụ cho việc giảng dạy chuyên đề "Bài toán đặtkhông chỉnh" cho sinh viên và học viên Cao học Toán trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên

- Project manager: Doctor Nguyen Thi Thu Thuy

Tel: 0912211858; E-mail: thuthuy220369@gmail.com

- Implementing institution: College of Sciences, Thainguyen University

2 Objective The purpose of this project is to study some regularizationmethods for system of monotone operator equations

of choosing the regularization parameter;

- Giving an iterative regularization method for system of monotone operatorequations;

- Giving some numerical examples.

• Scientific publications:

[1] Ng Buong, Ng T T Thuy and L T Duong (2009), "Regularizationfor common fixed points of non-self strictly pseudocontractive mappings inHilbert spaces", Journal of Science and Technology Thai Nguyen University,49(1), pp 27-31

[2] Ng Buong, Ng T T Thuy and T M Tuyen (2009), "Regularization forcommon fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces",Journal

of Science and Technology Thai Nguyen University, 49(1), pp 32-36

[3] Ng T T Thuy (2010), "An iterative method to a common solution ofinverse-strongly problems in Hilbert spaces", Advances and Applications inMathematical Sciences, 3, pp 165-174

[4] Ng T T Thuy (2010), "Convergence rates of the Tikhonov larization for ill-posed mixed variational inequalities with inverse-stronglymonotone perturbations", Nonlinear Functional Analysis and Applications,(to apear)

regu-[5] Ng T T Thuy, § T Hoi (2010), "Numerical results in regularizationmethod for ill-posed of monotone operator equation", Journal of Scienceand Technology Thai Nguyen University, 70(8), pp 61-64

Sci-Một số ký hiệu và chữ viết tắt

H không gian Hilbert thực

X∗ không gian liên hợp của X

Rn không gian Euclide n chiều

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

xk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới x

xk * x dãy {xk} hội tụ yếu tới x

Mở đầu

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liênhợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, Aj : X → X∗ là cáctoán tử đơn điệu đơn trị và fj ∈ X∗ Ta xét bài toán tìm nghiệm chung cho

hệ phương trình toán tử

Aj(x) = fj, j = 1, , N (0.1)Nếu N = 1 thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử

Do tính không ổn định của bài toán này nên việc giải số của nó gặp khókhăn Lí do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đếnmột sai số bất kỳ của nghiệm Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụngnhững phương pháp ổn định sao cho khi sai số của các dữ kiện càng nhỏthì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuấtphát Năm 1963, A N Tikhonov [15] đưa ra một phương pháp hiệu chỉnhnổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triểnhết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế Nội dung chủyếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trìnhtoán tử (0.2) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực

tiểu xh,δ

α của phiếm hàm Tikhonov

Fαh,δ(x) = kAh(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 (0.3)trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tửcho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f).Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu xh,δ

α(h,δ) củaphiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp đểphần tử cực tiểu xh,δ

α(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.2) khi h

và δ dần tới không

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khókhăn trong trường hợp bài toán phi tuyến Đối với lớp bài toán phi tuyếnvới toán tử đơn điệu A : X → X∗, F Browder [4] đưa ra một dạng kháccủa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phương pháp

do F Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chấthemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Us, ánh xạ đốingẫu tổng quát của X, là một toán tử có tính chất như vậy Bằng phươngpháp này, Ya I Alber [1] đã nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αUs(x − x∗) = fδ (0.4)cho bài toán (0.2)

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệuchỉnh (0.4) khi Ah ≡ Ađã được nghiên cứu trong [1] ở đó người ta chỉ rarằng tham số α phụ thuộc vào δ được xác định bởi phương trình

ρ(α) = ˜Kδp, 0 < p < 1, ˜K ≥ 1,với ρ(α) = αkxδ

αk Phương trình hiệu chỉnh (0.4) cùng cách chọn tham số

α = α(δ) như trên là một thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trìnhtoán tử không chỉnh (0.2)

Năm 2005, Nguyễn Bường [5] đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham

số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng trên cơ sở giải phương trình

ρ(α) = δpα−q, 0 < p ≤ q

cho bài toán (0.2) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.4) trong trường hợp

Ah ≡ A Dựa vào "điều kiện nguồn" (hay điều kiện trơn của nghiệm), tốc

độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đã được đánh giá ở công trình nêu trên.Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân hỗn hợp,một mở rộng của bài toán (0.2), được đưa ra trong [18] khi toán tử nhiễu

Ah có tính chất ngược đơn điệu mạnh

Một mở rộng khác của (0.2) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phươngtrình toán tử (0.1) Nếu Aj = I − Tj, Tj là các toán tử không giãn trongkhông gian Hilbert thực H, thì (0.1) tương đương với việc tìm điểm bất

động chung cho một họ toán tử không giãn Tj Bài toán này đang thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới (xem [12], [14], [22],[23]) Bài toán hiệu chỉnh cho điểm bất động chung của họ ánh xạ khônggiãn, họ ánh xạ giả co chặt được nghiên cứu trong [8], [9], [24]

Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu một số phương pháp giải ổn định

hệ phương trình toán tử (0.1) Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.4) đểhiệu chỉnh cho mỗi phương trình trong (0.1) và đề xuất của Nguyễn Bường[6], chúng tôi hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.1) trên cơ sở xâydựng một phương trình phụ thuộc tham số trong không gian Banach phảnxạ thực X:

Đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở lựa chọntham số hiệu chỉnh hậu nghiệm cũng như tiên nghiệm Chúng tôi cũng đưa

ra một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Hilbert thực H với

phần tử zn+1 được sinh bởi dãy lặp

ở đây {αn} và {βn} là các dãy số dương Sự hội tụ của dãy lặp (0.6) đượcthiết lập với các giả thiết đặt lên cho toán tử Aj và các dãy {αn}, {βn}.Nội dung của đề tài được trình bày trong ba chương Chương 1 giới thiệumột số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh và hệ phương trìnhvới toán tử đơn điệu

Chương 2 trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình với toán

tử đơn điệu Hai phương pháp cơ bản được đề cập ở chương này là: phươngpháp hiệu chỉnh dạng phương trình toán tử phụ thuộc tham số và phươngpháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert thực H

Chương 3 trình bày một số kết quả số minh họa cho thấy tính hiệu quảcủa phương pháp

Chương 1

Bài toán đặt không chỉnh và hệ phương trình toán tử

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày khái quát về bài toán đặt khôngchỉnh và hệ phương trình với toán tử đơn điệu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này duy nhất;

3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán(1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (hay bài toán không chỉnh) Đốivới các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai gần như không thoả mãn.

Do vậy hầu hết các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơnnữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, nên ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2 (xem [2]) Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian

X vào không gian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnhnếu nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữkiện ban đầu

Trong nhiều áp dụng, thay cho giá trị chính xác (A, f), ta chỉ biết đượccác xấp xỉ (Ah, fδ) của chúng Trong toàn bộ mục này, chúng tôi trình bàycác kết quả cho bài toán đặt không chỉnh (1.1) trong trường hợp Ah ≡ A,còn vế phải được cho bởi fδ thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ Gọi xδ là nghiệm củaphương trình (1.1) với f được thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại).Khi δ → 0 thì fδ → f, nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chungkhông hội tụ đến nghiệm x0 của bài toán (1.1), nghĩa là xδ là xấp xỉ tồi chonghiệm của bài toán này

Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử A mà (1.1) là bài toán đặtkhông chỉnh

Ví dụ 1.1 Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.1) (vô hạn chiều)nói chung là bài toán đặt không chỉnh Thật vậy, giả sử {xn} là một dãychỉ hội tụ yếu đến x, xn * x, xn 6→ x và yn = A(xn), y = A(x) Khi đó,

do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trìnhA(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán

tử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) củatoán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tínhcompact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh.

Ví dụ 1.2 Một ví dụ khác với A là toán tử đơn điệu, nghĩa là toán tử Athoả mãn

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A)

Cho X = Y = R5, A là một toán tử được xác định bởi ma trận vuông cấp5

∈ R5thì phương trình Ax = f vô nghiệm Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ sốtrong phương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.1), nên ta cầnphải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng nghiệm

x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn

A(x0) = fvà

thì thậm chí ngay cả khi tồn tại A−1, xδ := A−1fδ vẫn có thể là một xấp xỉtồi cho nghiệm của bài toán này Để nhận được nghiệm ổn định ta phải sửdụng các phương pháp hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.3 (xem [2]) Cho A : X → Y là một toán tử từ không gianBanach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α), phụ thuộc vàotham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh chophương trình (1.1), nếu

- Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (fδ, α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y thoả mãn

Từ Định nghĩa 1.3 ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban

đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh phụthuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm việc xây dựng toán tử hiệuchỉnh và cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin củabài toán về sai số và dữ kiện ban đầu Với cách chọn giá trị của tham sốhiệu chỉnh α thì sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδ

α đến nghiệm x0 của bài

toán (1.1) có thể chậm tùy ý Để nhận được đánh giá sai số, nghĩa là đánhgiá kxδ

α − x0k, người ta phải sử dụng thêm thông tin về nghiệm Một giảthiết thông dụng là "điều kiện nguồn" (hay điều kiện trơn của nghiệm): tồntại z ∈ X sao cho

x0 − x∗ = A0(x0)∗z

• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Giả thiết rằng X và Y là các khônggian Hilbert thực Nội dung của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov [15] làxây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việctìm phần tử cực tiểu xδ

α của phiếm hàm Tikhonov

Fαδ(x) = kA(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 (1.3)Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt cho toán

tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu xδ

α làxấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1)

• Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev: Tư tưởng chủ yếu của thuật toán màLavrentiev [13] đề xuất là thay phương trình đang xét bằng phương trình xấp

xỉ giải được với mọi vế phải và nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải trongkhông gian Hilbert thực H Bằng phương pháp này, nghiệm hiệu chỉnh củabài toán (1.1) được xây dựng trên cơ sở phương trình

A(x) + α(x − x∗) = fδ (1.4)

• Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov

Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại các định nghĩa sau(xem [3], [10], [21])

Browder-Định nghĩa 1.4 Cho A : X → X∗ là một toán tử đơn trị với miền xác định

là D(A) ≡ X

i) Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hAx − Ay, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X

A là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y.

ii) Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t)không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ X

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn

điệu mạnh

iii) Toán tử A được gọi là ngược đơn điệu mạnh nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ mAkAx − Ayk2, mA > 0

iv) Toán tử A được gọi là hemi-liên tục trên X nếu A(x + ty) * Ax khi

t → 0+ với mọi x, y ∈ X, và A được gọi là demi-liên tục trên X nếu từ

Định nghĩa 1.5 ánh xạ Us : X → X∗ (nói chung đa trị) được định nghĩabởi

Us(x) =



x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗ks−1kxk = kxks

, s ≥ 2 (1.5)gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X Khi s = 2 thì Us được viết là U

và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề sau.Mệnh đề 1.1 (xem [3]) Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R;

2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt Trongtrường hợp X là không gian Hilbert thì U = I-toán tử đơn vị trong X

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồntại trong mọi không gian Banach

Định lý 1.1 (xem [3]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt, thì ánh xạ

đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liêntục Hơn nữa nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử

đơn điệu chặt

Với X = Lp(Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của không gian

Rn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U có dạng

Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu (xem [20])

Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợpcủa X, f ∈ X∗ và A : X → X∗ là một toán tử hemi-liên tục Khi đó nếutồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đươngvới

tử M : X → X∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phầnhiệu chỉnh Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát Us của

X Bằng phương pháp này, Alber [1] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình

A(x) + αUs(x − x∗) = fδ, (1.8)khi Ah ≡ A

Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực có tính chất Stechkin (hay tính chất E-S), nghĩa là trong X sự hội tụ yếu các phần tử

Ephimov-xn * x
và sự hội tụ chuẩn kxnk → kxk

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

kxn− xk → 0

, X∗ là không gian lồi chặt Ta có kết quả sau (xem [1])

Định lý 1.2 Cho A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục Khi

đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm xδ

α.Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {xδ

α}hội tụ đến nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhấtcủa bài toán (1.1)

1.2 Hệ phương trình toán tử

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về hệ phương trình toán tử với toán

tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ thực X

1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho Aj là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục từ không gian Banachphản xạ thực X vào X∗ Hãy tìm x0 ∈ X sao cho

Aj(x0) = fj, ∀j = 1, , N (1.9)

Đặt Sj = {¯x ∈ X : Aj(¯x) = fj}, j = 1, , N.Nếu Aj là đạo hàm Gâteauxcủa một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới ϕj : X → R ∪ {+∞} thìtập Sj trùng với tập nghiệm của bài toán cực trị

Bằng cách tiếp cận này thì bài toán tìm điểm bất động chung của họ cáctoán tử thế năng không giãn được viết lại dưới dạng hệ phương trình toán tử(1.9) Bài toán tìm điểm bất động chung của họ các toán tử thế năng khônggiãn được miêu tả như sau: cho Tj, j = 1, , N, là các toán tử không giãntrong không gian Hilbert thực H, nghĩa là

kTj(x) − Tj(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H,

Pj = F (Tj) là tập các điểm bất động của toán tử Tj, nghĩa là

Pj = F (Tj) := {x ∈ H : Tjx = x},hãy tìm x0 ∈ P = ∩N

j=1Pj.Bài toán này đã được nghiên cứu với điều kiện

P = F (TNTN −1 T1) = F (TN −1 T1T2) = = F (T1T2 TN)

trong không gian Hilbert và sau đó kết quả này được mở rộng cho khônggian Banach nói chung (xem [12]) Điều kiện nêu trên có thể đạt được bởitính chất thế năng của các toán tử Tj, nghĩa là tồn tại hàm fj(x) sao cho

fj0(x) = Tj(x) với mỗi j = 1, , N Khi đó

Khi đó, bài toán inf

x∈XF (x)có ít nhất một nghiệm Ngoài ra, nếu hàm F lồichặt trên X thì bài toán có nghiệm duy nhất

1.2.3 Phương pháp giải trong trường hợp đặc biệt

Như đã biết nếu Aj = I − Tj, Tj là các toán tử không giãn trong khônggian Hilbert thực H, thì (1.9) tương đương với việc tìm điểm bất động chungcho một họ toán tử không giãn Tj, j = 1, , N Để giải bài toán này, taxuất phát từ u1 ∈ H và xây dựng dãy lặp

um+1 = αmum + (1 − αm)Tmum, m = 1, 2,

ở đây Tm+N = Tm và 0 < αm < 1

Zeng và Yao [22] nghiên cứu phương pháp lặp với toán tử nhiễu F :

H → H cho bài toán này bởi

um = αmum−1 + (1 − αm)Tmum − λmàF (Tmum), m = 1, 2,

ở đây Tm+N = Tm, u0 ∈ H cho trước Định lý về sự hội tụ yếu và hội tụmạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của họ toán tử không giãn{Tj}, j = 1, , N, được chứng minh với các điều kiện đặt lên cho toán tửnhiễu F , và các dãy số {αm} và {λm}

Xu [24] nghiên cứu bài toán này trên cơ sở giải bài toán cực trị toànphương

Sự hội tụ của phương pháp này phụ thuộc vào điều kiện của các toán tử Aj

và dãy số {αm} (xem [24] và tài liệu dẫn)

Kết luận

Trong chương 1 chúng tôi giới thiệu một số nét cơ bản nhất về bài toán

đặt không chỉnh và hệ phương trình với toán tử đơn điệu Các bài toán này

sẽ được xét ở chương tiếp theo Cụ thể, chúng tôi giới thiệu bài toán đặtkhông chỉnh thông qua một phương trình toán tử, trình bày ví dụ về phươngtrình toán tử không chỉnh và một vài kết quả về phương pháp hiệu chỉnhgiải loại bài toán này Phần cuối của chương giới thiệu hệ phương trình vớitoán tử đơn điệu Một số phương pháp giải hệ phương trình với toán tử đơn

điệu cũng được giới thiệu trong chương này

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

2.1.1 Phương trình hiệu chỉnh

Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợpcủa X, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu Ngoài định nghĩa đã đượctrình bày ở Chương 1, khái niệm về toán tử đơn điệu còn được mô tả dựatrên đồ thị Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X ì X∗, trong đótheo định nghĩa

Gr(A) = {(x, y) : y = A(x)}

Định nghĩa 2.1 (xem [3]) Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y)

Tập Gr(A) được gọi là tập đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.Nếu Gr(A) không bị chứa trong một tập đơn điệu nào khác trong X ì X∗,thì A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại

Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của mộthàm lồi Cụ thể ta có định lý sau

Định lý 2.1 (xem [3]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗

là không gian liên hợp của X Nếu F : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chínhthường, nửa liên tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán

tử đơn điệu cực đại từ X vào X∗

Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A + λU là toàn

bộ không gian X∗, đó là nội dung của Định lý 2.2

Định lý 2.2 (xem [3]) Cho X, X∗ là các không gian Banach phản xạ thực

và lồi chặt, U : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, A : X → X∗

là một toán tử đơn điệu Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉnếu với mọi λ > 0, R(A + λU) là toàn bộ X∗

Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục

và bị chặn nào từ X vào X∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại

Định lý 2.3 (xem [3]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, B :

X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : X → X∗

là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệucực đại

Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của

nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau