Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2TRÀN QUANG HOÀN TRƯỜNG FERMION TRONG LỶ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT NHIÈU CHIÈU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2013 Trước

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRÀN QUANG HOÀN

TRƯỜNG FERMION TRONG LỶ THUYẾT TƯƠNG

ĐỐI TỔNG QUÁT NHIÈU CHIÈU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2013

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào VọngĐức, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi nhũng kiến thức nền tảng, trụctiếp đế tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càngtiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùngthầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tói các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật LíTrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạtcho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cún khoa họctrong thời gian qua.

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn

bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoànthiện luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013

rri f •

Tác già

Trần Quang Hoàn

Tên tôi là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên nghành Vật lí

lý thuyết & vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều

chiều”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài

là trung thực, không trùng với các tác giả khác Neu có gì không trung thực trong luận văn tôixin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013

rrĩ f

Tác giả

Trần Quang Hoàn

MỤC LỤC

Biến đổi tensor trong lí thuyết tương đối rộng

Biến đổi tống quát không thời gian - Tenson Rieman

Metric rienmain và liên thông affine

Tensor độ cong

Tác dụng bất biến tương đối rộng

LỜI CẢM ƠN

Phương trình Einstein

Trường spinor hiệp biến tổng quát Metric và vierbein

Vierbein

Vierbein và metric

Biểu thức của vierbein

Ma trận Dirac

Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều

Tương tác trường spỉnor - gause và hấp dẫn

Lagiangian tương tác

Tương tác spinor và trường gause U(l)

Tương tác trong mô hình Kluza-klein

Kết luận

Tàỉ liệu tham khảo

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Các hạt cơ bản nhất cấu tạo nên các hạt mọi thể loại là các Fermion thực hiện các biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng nội tại Chắng hạn, đó là các quark và lepton ba thế hệ

(u, d); (c, s) ; (t, b)

(v e , e") ; (v M, ụ ) ; (vt , X“)

Lagrangian mô tả hệ các hạt Fermion và các phương trình chuyên động tương ứng đã được nghiên cứu nhiều trong khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp và cũng đã được xét đến trong khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian 4 chiều thông thường, sử dụng hình thức luận Vierbein

Trường Fermion có ý nghĩa đặc biệt khi xây dựng các mô hình lý thuyết Đại thống nhất tương tác trên cơ sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian có các chiều phụ trội Lúc này các Vierbein tương ứng với các chiều phụ trội được gắn với các trường gauge dẫn xuất tương tác

Vì vậy tôi chọn đề tài ‘ Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều

chiều ”

2 Mục đích nghiên cửu

LỜI CAM ĐOAN

Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đốitổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận Vierbein, chú trọng đặc biệt đến tươngtác giữa trường này với trường gauge.

Nghiên cứu về tương tác giữa trường Spinor với trường Gauge trong không thời

gian với chiều phụ trội

4 Đối tượng và phạm vi nghiên eứu

Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tống quát nhiều chiều

5 Phương pháp nghiên cửu

Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán để khai triến tính toán

6 Cấu trúc luận văn.

Chương 1: Biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỐI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

1.1 Biến đổi tổng quát không thòi gian- Tenson Rieman

Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định rằng mọi quá trình đều điễn ra như nhautrong mọi hệ quy chiếu Có nghĩa là mọi hệ quy chiếu đều bình đẳng, mọi phương trình phảibất biến đối với phép biến đổi tổng quát:

f ^ (x) là hàm thực bất kì

Biến đổi Lorentz chỉ là một trường họp đặc biệt của (1.1) khi:

P(x) = A>v + a"

Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa:

Tensor đối biến hạng r là tập họp các thành phần T^2 Mr(x) biến đổi theo quy luật:

LỜI CẢM ƠN

Với vector đối biến ta có:

ỡx

Với vector hiệp biến ta có:

^ VÍ7X

Công thức biến đổi ngược với (1.4)

dx ' a ' dx '° 2 dx,ơf , , ,W2-^s ( x \ = o x o x o x Eù x _ ( x ( ]

ổxdx“=— dx' ổx

tx), đạo hàm bình thưÒTLg được viết:

5vF^(x) = ^^- và ỔVG (x) = —— khôngbiến đổi theo quy luâtcủa

LỜI CAM ĐOAN

một vecter tức là chưa phải là các tensor Đe tạo lêncáctensor từ chúng, taphải lập các đạo hàm hiệp biến Vv, với p (x) ta đặt

VvF (X) - õỵ (x) + r^(x)F(x) (1.11)trong đó rjjơ(x) được gọi là liên thông affine, được chọn sao cho VvP là tensor, tức là

Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine một cách đơn trị Đặc biệt nếu r^(x) và r^)M(x) là hai liên thông affine thì

r:T(x)=C1r^(x)+C2r[f(x), c,+c2=l (1.16)

cũng thỏa mãn điều kiện (1.13) và do đó cũng là một liên thông affine

Trong mục này ta tính liên thông affine khi thỏa mãn các điều kiện:

1 Điều kiện đối xứng rj!T (x) = PT V (x) (1.17)

2 Điều kiện tương thích metric V g =0 (1.18)

Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy rằng đại lượng

tức làg<,p-

Khác với đạo hàm bình thường, đạo hàm hiệp biến không giao hoán với

nhau, tức là [VM,Vv] = VMVv - VvVM * 0 Ta tính giao hoán

tủ’ này khi tác dụng lên G?

[v,, Vv] G, ( X) = V„VvGx (X) - VvVMG, (x)

Ta có:

v„ (V v G,) = ổ„ (V v G x ) - r; (V 0 G,_) - r" x (V v G 0 )

= ô, (Ỡ„G, - r^G„) - r;, (ỡaG, - r^Gp) - r’ (avG„ - rwGp) = 3,3,0, - ổ,r^G0 - n^Gơ r^„G, + r;r>,Gp

r^S>G0 + r^reBGp

Từ đây suy ra:

[v,,V v ]G,.(X) = (-3/:, + 0 v r”, )G„ + )G P

(1.27)(1.28)Trong đó R%.VM - ổvr; - ỡMr ^ + r ; - r^r được gọi là tensor độ cong

= R\v,Gc

(1.29)(1.30)

Bên cạnh R% vụ cũng thường dùng Rp-_V,M liên hệ với nhau bởi metric tensor

(1.31)

(1.32)Công thức (1.27) viết cho covariant vector, với contravariant vector ta có:

[V(l,Vv]p=[VM,Vv](g^)

được gọi là độ cong vô hướng

1.4 Tác dụng bất biến tương đối rộng

Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi Lagrangian bất biến L(x) thì tácdụng định nghĩa bởi A = Jd4xL(x) cũng bất biến

Trong lý thuyết tương đối tổng quát thì không như vậy Đe xây dựng tác dụng bất biếnthay vì d4x ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng

Từ quy luật biến đổi của metric g^v (x)

(1.36)

LỜI CAM ĐOAN

(1.33)

(1.34)(1.35)

Từ R% up lập đại lượng Riv = R\„ = gopRp).vo được gọi

là Ricci tensor

Có thể thử trực tiếp tính chất đối xứng R,v = Rv, Từ

Ricci tensor R(1V lập đại lượng R = g'lvRuv =

ta tìm quy luật biến đổi của định thức

trường hấp dẫn (thể hiện trong metric tensor g^vCx))

Einstein đã chọn là

L(x) = L(<p,g) = R+L(<p,V(l(p)

trong đó L(cp,v cp) mô tả hệ trường vật chất (p tương tác

với trường hấp dẫn thu được tò Lagrangian tự do của

trường (p như trong lý thuyết bất biến Lorentz trước đây

với sự thay thế ổ (p(x) bang V <p(x)

1.5 Phương trình Einstein

Phương trình trường hấp dẫn thu được từ nguyên lítác dụng tối thiểu áp dụng cho tác dụng (1.40) và (1.41)

(1.42)s* - Jd4x,/-gL(q>,V^(p)

Sg mô tả bản thân trường hấp dẫn, s mô tả trường vật chất

tương tácvới trường hấp dẫn

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí biến phân đối vói tác dụng (1.42): 5S = ÔSg+ ôScp = 0Tính lần lượt 6S„ và ÔSỌ Ta có:

5Sg = Jd4x ô g^, + JR„V +

V=Ig,,v(1.43)Tính các biến phân ở vế phải, ta có:

dang: S g

„ v

Từ dó suy ra:

Thay vào đâyvà sử dụng các đồng nhất thức

Đẻ tính ôRJiV ta dùng hệ quy chiếu quán tính định

xứ, tại đó liên thông Affine rj)ơ = 0 Lúc này ta có:

ôR (lvS ỏRV=ô ổ v r;-a ơ r; =

(1.45) 4 V r -V r = V ôrG -V ôrơ

tensor), và do đó ở vế phải

dgM„ =dg0„.glltg'0

của (1.46) ta có thể đưa gụv vào trong V và viết:

Jd 4 x^-gg ,lv SR llv = |d 4 x % /-g V v g>"’5r; -v„ g^sr;

(1.47)

Tiếp tục biến đổi vế phải

Xét VvFv với Fv = g^ôr", hoặc g^sr“,,

acr

rvH=^gVƠ ỔvgaH+^ểav-ỔagvH =

Các kết quả này dẫn đến kết luận sau:

Tính chất hình học của không - thời gian đượcquyết định bởi trường vật chất ở trong đó Ta cũng nhận

xét rằng vế trái phương trình Einstein (1.52) là phạm trù

hình học, còn vế phải là phạm trù vật lí Trong tinh thần

đó người ta diễn tả một cách hình ảnh phương trình

(1.53)

g,vT№)

(1.54)

' ị i v

CHƯƠNG 2 TRƯỜNG SPINOR HIỆP BIÉN TỐNG

QUÁT

Hệ thức (2.1) cho ta hiểu rằng V a (x) là những vector trực

giao với nhautrong một không - thời gian phang, không - thời gian

phang này được chọn là không - thời gian tiếp tuyến với

không - thời gian cong đang xét tại điểm M(x)

Cùng với các vierbein Va (x) ta cũng đưa vào vierbein v( }

(x) thỏa mãn điềukiện: V,,“ (x) v?b)(x) = 5

Các chỉ số a, b được gọi là các chỉ số vierbein Chú ý

thường được kí hiệu bởi Va (x), với các thành nhân V a ("xì

thỏa mãn điêu kiên:

( 2.2)

dưới tác dụng của phép biến đối tọa độ tống quát

(2.3)

Nhân hai vế phương trình (2.2) với v|'a)(x) ta có:

Như vậy các chỉ số vierbein có thể đưa lên xuống bằngmetric Minkowski

dxM = vja)dx(a>

(2.13)Tương tự nhu (2.12), ta định nghĩa thành phần vierbein của vector A11 như sau: A,a, = v‘a,AM

Đe tìm biểu thức tường minh của vierbein, ta xuấtphát tù’ hệ thức

(2.10) liên hệ vierbein với metric: gMV(x) = TỊ abv^a (x) V v

Tiếp theo ta diễn tả dt,d0,d(p,dr qua dx4 =

dt,dx,dy,dz , ta tính như sau: dt = dx° = dt

dr = —d( r 2 ) = — d X 2 + y 2 + z 2 = - xdx + y dy + z dz

( 2 25)

sin0 sin0

Đe diễn tả rsinOxkp ta dùng hệ thức X — rsinO.cosọ

dx = dr.sinG.cosọ + d0.rcos0.cosọ - dọ.r sin0.sin Ф

л , sinö.coscp , rcosö.coscp 1

г sin 0.dọ = — 1 dr dx

= -sin(p.dx1 4-

dx(3) = e,} sin9.coscp.dx1 + sin9.sinọ.dx2

+ cosB.dx3 (2.26) Từ (2.22) và (2.26) suy ra:

vỊ3) = ep sin0.cos(p,V23) = ep sin0.sinq),V33) =

dx2 = d 1' sin o.sincp = sin o.sincpdr +

rcos0.sin(pd9 + r sin 9.CO s (pdc p =

cos0.sincpdx(1) + cos(p.dx(2) + sin0.sincp.e

-pdx(3)

dx3 = d(rcos0) = cosG.dr- rsin9.d9 = -sin.dx(1) +

e_pcos0.dx(3)

v ỉ ) = COS0.COS(p

V Ỉ 2) = -sincp

V Ỉ 3) = e -13 sinG.coscp

v (

2 0 )

= -sin0 y

= e -(ỉ cos0Dưới dạng ma trận ta có:

Sử dụng các biểu thức (2.28) của có thể dễ dàng tính ra

tensormetric gụv(x) trong tọa độ Decartes theo công thức: gMV =

TlabvJla)vJ,b)

hoặc dưới dạng ma trận:

(g,v) = (vr)T(nab)(vtb)) =

trong đó ta đã sử dụng các hệ

thức liên hệtọa độ Decarter với tọa độ cầu X = rsinG.coscp, у = rsin9.sin(ị),

Z = rcos0

ООО

0COS0COS(P -sincp epsin0.coscp

0cos0.sin(p -coscp epsin0.sinọ

0

-cos9.sin(p-coscp

/ 0

sin9

X

—COS0COSỌ

0

sinọ,0

-ep sinG.cosọ

Va

00

-1+ l-e2p

-0

J_e» 3«

1'0

V

1 - e2|! Щ r

-1+ ]-e 2|i 3Ç

r

Chẳng hạn, ta có:

g, J

=

cos

-2

0.cos

2

(p

-sin

2

Ф

-e

2 p

sin

2

0.cos

2

(p

=

l

-+

2

9.cos

2

(p

=

1

-+

(1

2 p

)

sin

2

0.cos

2

(p

= _l + ( l _ e » ) 4

rKet quả trên có thể viết gộp lại

này trùng với kết quả tính theo

-T/r-g (x)

ỡx ỠXF

2.2 Ma trận Dirac

1Trường Fermion tương ứng với

hạt có spin — Lý thuyết về

trườngspinor trong không - thời gian

cong phức tạp hơn nhiều so với

các trường tensor Trường

Fermion mô tả bởi hàm sóng

M;

ra(x) bốn thành phần đánh

dấubởi bốn chỉ số Dirac a = 1, 2, 3,

4, có thể viết dưới dạng ma trận

4 X1

•gip(x)

v 2 ( x )

M'3(x)

lv4(x)

Nhắc lại rằng trong lý thuyết

tương đối hẹp với không - thời

gian phang thì I|/(x)v|/(x) = \|/

o 0 0 -l v- 0 0 0,'o 0 0 -

cụ thể là: r „= y 0 , Y-=-Ỵ;, YỈ

= U yf = — ], i= 1,2,3

Các ma trận Dirac không phụthuộc X và hệ thức (2.36) chứametric Minkowski đặc trưngcho không thời gian phắng

Trong lý thuyết tương đối tổngquát thay vì metric T| ta phảidùng metric Riemann gMV (x),

và đế tương ứng ta phải dùngcác ma trận y^(x) phụ thuộc X vàthỏa mãn hệ thức giao hoán

y„(

=2g

(lv(x)

(2.39)

Đe có sự nhất quán, ta dùng cácchỉ so Latin a, b, cho các đạilượng gắn với không - thời gianphang (chỉ số vierbein), các chỉ

số Hylap ỊẦ,V cho các đạilượng gắn với không - thời giancong, các ma trận Dirac được kíhiệu lại là y(J), a =1, 2, 3 và(2.36) được viết lại Ỵ(a),Ỵ(b) =2r|ab

Nhân hai vế (2.40) với vjla,

(x).vj,b>(x) (và lấy tổng theo a,b) ta có ngay (2.39), trong đó:

Yii( x )- v , l , a, ( x )Y(a) >

g 11 v( x ) = n» b v, 1

(x)vt b, (x)

Chú ý rằng vì v<a)(x)

là các vectornên Y M (x) địnhnghĩa bởi (2.41) cũng là

ma trận- vector, tứclà biến đổitheo quy luật

r,«^7M(x)=|

V v y„ (X

(x) (x)y„ (x

■n ab

v (< a)

.V v

v£Y (x)

(2.4 4)

) =

VvF

G +F.Vv

G

Từ (2.41) ta cũng thấy ngayrằng nếu thừa nhận tiên đềvierbein Vvv[la) = 0 thì

VvYM(x) = 0

2.3 Ma trận Dirac

trong không - thòi gian

D > 4 chiều

Trong không thời

gian D chiều, spinor Dirac

Ta häy thir lai cäc tinh chät

(2.48) cüa TA dinh nghTa bai

(2.49) vä (2.50) Truöc het, tir

tinh chät v* = riv suy ra ngay

y s ®i CT , = -r.

°

(2.50)(2.49)

r„r v =

y t l ,y v «1 = 2^,

^» r i =

Y M Y S = 0

tinh chät (2.50) Ta häy minh

hoa qua cäc vi du vöi D = 5,

“ Y s 0

0 r.

0 0 0 0

V ụ

0 0 0 0

( 0 0

r =y =

0

cc

r 5 = y 5 ® lơ, = -y5 ® rị6) =

ở đây phần tủ’ 0 được hiểu là ma trận 4x4 với tất cả các phần tử bằng

0 Tiếp tục như vậy ta sẽ tính được các ma trận Dirac cho các trường họp D=

12, 13,

г„ = Y ® ic, = -у, ® г'6) = i

Г ю = У5®' а б = -У5® Г б 6 , =

r = Ỵ ® i o = -Y ®r ( 6) = i

CHƯƠNG 3 TƯƠNG TÁC TRƯỜNG SPINOR - GAUGE VÀ HẤP DẪN

3.1 Lagiangian tưong tác

Đe đưa ra được Lagrangian tương tác giữa các trường (spinor - gauge,spinor - trường hấp dẫn, ) ta xuất phát từ dạng Lagrangian đầy đủ:

L Ọ,AM = L0 cp -1F MV X F/V + Lint Ọ.A,

Ví dụ, ta tìm biếu thức của Lagrangian tương tác giữa trường hấp dẫn và các trường khác trong khuôn khố lý thuyết trường với không - thời gian phẳng, ta xuất phát từ tácdụng bất biến (1.40) và (1.42):

Tiếp theo ta tính yị-g Ta có:

và do đó:

trong đó ta đã sử dụngtính chất đối xúng của liên thông affine

Thay vào (3.8)các giá trị gần đúng của gụ}', gvp vàs j - g , ta được kết quả là:

SA = Jd4x L0(A) + Lim(h,A)với

Lint(h,A) = VXíhvp-Vph |ад, (3.9)4

1 + hoQ — l+h|| — 1 + h22 — 1 "I” h^3

- 1+Tf4v

V

Các trường hợp khác cũng làm tương tự Lúc đó nói chung cần tính liênthông affine xuất hiện trong đạo hàm hiệp biến Trong gần đúng bậc nhất theo h

ta có:

(3.10)

vơ 2 " V pơ ơ vp p vơ

3.2 Tương tác spinor và trưòng gauge U(l)

Trường spinor tương ứng với hạt Spin — Lagrangian mô tả trường spinor

tự do có dạng:

i — t —

L = —\ựy ụ d ụ \\J - mv|A[/ (3.11)Xét phép biến đổi gauge đơn giản nhất - tương ứng với nhóm gauge mộtthông số U(l), chẳng hạn phép biến đổi điện tích

Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường cp(x) ứng với hạt mangđiện tích q biến đổi theo quy luật:

(р(х)^-ф (x) = e_i4í!4p(x) (3.12)trong đó co là thông số của phép biến đổi

Trong trường hợp co = co(x), ta có phép biến đối

ф(х) —» Ф (x) = e~iqíft(x)(p(x) (3.13)được gọi là U(l) gauge

Đưa vào trường A (x), gọi là trường gauge, lập đạo hàm hiệp biến