- Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn.. - Giúp GV dạy lớp 4 hệ thống được các phương pháp so sánh phân số.- Giải quyết nhữn
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ LÝ LUẬN
Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục, căn cứ vào thực trạng dạy và học toán hiện nay, cần có hướng đổi mới phương pháp dạy toán ở Tiểu học là tích cực hoá hoạt động học tập của HS, tập trung vào việc rèn luyện khả năng tự học,
tự phát hiện và tự giải quyết vấn đề, nhằm hình thành ở HS tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo Để đạt được điều đó, trong giảng dạy bộ môn Toán, người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo
Trong môn Toán 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan trọng Ở mảng kiến thức này có một số vấn đề HS sẽ mắc phải khó khăn trong đó có vấn đề "So sánh phân số" Vậy để khắc phục khó khăn phần nào cho
HS ,trong quá giảng dạy tôi luôn rèn cho HS khả năng định hướng và tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán, đồng thời giúp HS nhận dạng, phân loại bài tập Trong mỗi dạng, mỗi bài toán, tôi cố gắng cung cấp cho HS một số phương pháp, cách thức nhất định để giải
II CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1 Với học sinh: Vướng mắc khi gặp:
- Một số bài toán so sánh phân số không được quy đồng
- Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn
- Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách
- Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số
- Một số bài tập yêu cầu lựa chọn cách làm hợp lí nhất
- Việc lựa chọn phương pháp nào để giải học sinh còn rất lúng túng
2 Với giáo viên.
Nhằm giúp cho HS có cách giải nhanh, gọn, hợp lý, đồng thời phát triển tư duy lôgíc cho HS Từ đó nâng cao chất lượng môn Toán nên tôi đã mạnh dạn
nghiên cứu và hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm " Nâng cao hiệu quả dạy so
sánh phân số ở lớp 4"
III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trang 2- Giúp GV dạy lớp 4 hệ thống được các phương pháp so sánh phân số.
- Giải quyết những khó khăn, những lỗi cơ bản trong việc tiếp thu kiến thức
về "So sánh phân số" của học sinh
- Rèn cho HS kĩ năng giải toán, tư duy lô gíc, khái quát hoá
- Rèn cho HS các năng lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thân, sáng tạo
- Rèn cho HS khả năng phân tích, xem xét bài toán
Mặt khác, khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để tập cho HS nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Để hình thành và viết chuyên đề sáng kiến, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp tra cứu tập hợp hồ sơ, tài liệu
- Phương pháp tổng hợp so sánh, phân tích kết quả
- Phương pháp thực nghiệm
V PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Thực hiện ở lớp 4A của trường
- Dạy toán 4 phần "So sánh phân số"
B PHẦN NỘI DUNG
I Tình hình nghiên cứu:
Đối với HS phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải các bài toán về so sánh phân số Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách giải (căn
cứ vào cách phân dạng và phương pháp GV cung cấp) và nhờ đó tư duy sáng tạo phát triển rõ rệt
II Nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm
- Đưa ra một số phương pháp so sánh phân số.
- Chọn ra các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với từng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số ở lớp 4
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trang 3Trước khi bắt tay vào việc dạy học sinh các phương pháp so sánh phân số, tôi đã hệ thống, bổ sung cho các em các kiến thức có liên quan đến việc so sánh phân số
1 Khái niệm về phân số.
Phân số là số chỉ một hoặc một số nguyên phần đơn vị thường được viết
dưới dạng
b
a
; a gọi là tử số, b gọi là mẫu số trong đó b # 0
Ví dụ:
2
1
; 4
3 .là những phân số
2 Quy đồng mẫu số.
Ví dụ: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau:
a
3
1
và
5
2
b
3
2
và 6 5
Bài giải
a Ta có:
3
1 = 5 3
5 1
x
x
= 15 5
15
6 3 5
3 2 5
x
x
= 3 5
3 4
x
x
= 15 12
b Vì 6 : 3 = 2
nên 3
2 = 2 3
2 2
x
x
= 6 4
Kết luận: Quy đồng mẫu số là quá trình ta đưa 2 phân số khác mẫu số về hai phân số có cùng mẫu số
b
a
và
d
c
(b, d # 0)
b
a
=
bxd
axd
d
c
=
dxb cxb
3 Quy đồng tử số.
Ví dụ: Quy đồng tử số các cặp phân số sau:
a
7
3
và
9
2
b
7
3
và 8 6
Trang 4Bài giải: a Ta có:
7
3 = 2 7
2 3
x
x
= 14 6
9
2 = 3 9
3 2
x
x
= 27 6
b Vì 6 : 3 = 2
Nên
7
3 = 2 7
2 3
x
x
= 14 6
Kết luận: Quy đồng tử số là quá trình ta đưa hai phân số khác tử số về hai phân số có cùng tử số
b
a
và
d
c
(b, d # 0)
b
a
=
bxc
axc
d
c
=
dxa cxa
4 Tính chất của phân số.
Ví dụ: Viết phân số bằng phân số
14
6 bằng cách
a - Nhân cả tử và mẫu với 3
b - Chia cả tử và mẫu cho 2
a
14
6
=
3 14
3 6
x
x
= 42
18
b
14
6 =
2 : 14
2 : 6 = 7 3
Tính chất: Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho
b
a
=
bxc
axc
(b, c # 0)
b
a
=
c b
c a
:
: (b, c # 0; cả a và b đều chia hết cho c)
5 Rút gọn phân số:
a Rút gọn phân số là gì?
Rút gọn phân số là đưa phân số đó về một phân số mới có tử số và mẫu số
bé đi mà phân số mới ấy vẫn bằng phân số đã cho
Ví dụ: Rút gọn phân số :
2525 1313
Bài làm:
2525
1313 =
101 : 2525
101 : 1313
= 25 13
b Cách làm:
Trang 5- Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
- Chia tử số và mẫu số cho số đó
Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ
Sau khi đã hệ thống các kiến thức liên quan tôi bắt tay vào việc dạy từng phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh
A Học sinh đại trà
1 So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số:
a - So sánh hai phân số cùng mẫu số
Ví dụ 1: So sánh hai phân số
7
2
và 7 3
Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên
7
2 <
7 3
Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại
b
a
và
b
c
(b # 0)
- Nếu a > c ⇒
b
a
>
b c
- Nếu a < c ⇒
b
a
<
b c
- Nếu a = c ⇒
b
a
=
b c
b- So sánh hai phân số khác mẫu số (thường dùng cho bài toán có mẫu số
nhỏ).
Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a,
4
3
và 7
5
; b,
12
5
và 6 4
Bài giải: a, Ta có:
4
3 = 7 4
7 3
x
x
= 28
21 ;
7
5 = 4 7
4 5
x
x
= 28 20
Trang 6Vì
28
21
>
28
20 nên
4
3 >
7 5
b, Vì 12: 6 = 2 nên
6
4 = 2 6
2 4
x
x
= 12
8 ; ta thấy
12
8 >
12
5 nên 6
4 >
12 5
* Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu
số hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau
2 So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số:
a - So sánh 2 phân số cùng tử số.
Ví dụ 3: So sánh 2 phân số
8
3
và 11 3
Bài giải: 8 < 11 nên
8
3 >
11
3
Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số
đó lớn hơn và ngược lại
b
a
và
d
a
(b, d # 0)
+ Nếu b > d⇒
b
a
<
d
a
+ Nếu b < d⇒
b
a
>
d a
+ Nếu b = d⇒
b
a
=
d a
b - So sánh hai phân số khác tử số
(Thường dùng cho các bài toán có tử số nhỏ)
Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a,
7
3
và 8
5
; b,
7
3
và 8 9
Bài giải :a,
7
3 = 5 7
5 3
x
x
= 35
15 ;
8
5 = 3 8
3 5
x
x
= 24 15
Vì
35
15 <
24
15 nên 7
3 <
8 5
b,
7
3 = 3 7
3 3
x
x
= 21
9
Vì 21
9 <
8
9 nên 7
3 <
8 9
Trang 7Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy
đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau
3 So sánh phân số với đơn vị.
Ví dụ 5: So sánh phân số sau với 1.
a,
5
3
; b,
2
7
c,
4 4
Bài giải:
a, Ta thấy
5
3 <
5
5
mà
5
5 = 1 nên
5
3 < 1
b, Ta có:
2
7 >
2
2
mà 2
2 = 1 nên
2
7 > 1
c, Ta có
4
4 = 1
Kết luận:
- Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1
b
a
nếu a < b thì
b
a
< 1
- Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1
b
a
nếu a > b thì
b
a
> 1
- Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1
b
a
nếu a = b thì
b
a
= 1
4 So sánh các phân số dựa vào các tính chất cơ bản của phân số.
Ví dụ 6: Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ
nhất:
507
307
;
507507
307307
; 507507507 307307307
Bài giải: Ta thấy
507507
307307
=
101 507
1001 307
x
x
= 507 307
Trang 8307307307
=
1001001 507
1001001 307
x
x
= 507
307 Vậy 507
307 = 507507
307307
= 507507507 307307307
*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân
số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh Nhưng điều bất ngờ là các phân số đó lại bằng nhau Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể) Sau đó sẽ so sánh.
B Học sinh khá, giỏi
5 So sánh phân số dựa vào phân số trung gian.
Ví dụ 7: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng.
a,
23
16
và 29
15
b, 9
2
và 12
5
c, 9
7
và 10 13
Bài giải:
a, + Cách 1: Ta có:
23
16 >
29
16
và 29
16 >
29
15 nên 23
16 >
29 15
+ Cách 2: Ta thấy
23
16 >
23
15
và 23
15 >
29
15 nên 23
16 >
29 15
b, + Cách 1:
9
2 <
9
3 ;
12
5 >
12
4
mà 9
3 = 12
4 = 3 1
Vậy
9
2
<
3
1 <
12
5 nên 9
2 <
12 5
+ Cách 2:
9
2 <
8
2
mà 8
2 = 4
1 = 12
3 ;
12
3 <
12
5 nên 9
2 <
12 5
c, Ta có:
9
7 < 1 và
10
13 > 1 Vậy
9
7 < 1 <
10
13 hay 9
7 <
10 13
*Kiến thức cần nhớ:
So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia
Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian
Trang 9Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã
cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách chọn
Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là mẫu
của phân số thứ hai
Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là tử
của phân số thứ 2
Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai (như ví dụ 7a)
Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai
phân số (Ví dụ 7 phần b)
Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị (Ví dụ 7 phần c) áp dụng với các bài
toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại nhỏ hơn đơn vị
6 So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.
Ví dụ 8: So sánh hai phân số:
1999
1998
và 2000 1999
Bài giải: Ta thấy: 1-
1999
1998 = 1999
1 ; 1-
2000
1999 = 2000 1
mà
1999
1 >
2000
1 nên 1999
1998 <
2000 1999
* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn
thì phân số đó bé hơn và ngược lại
1 -
b
a
< 1 -
d
c
thì
b
a
>
d
c
; 1 -
b
a
> 1 -
d
c
thì
b
a
<
d c
Nhận xét: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số
mà mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau
7 Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi
so sánh hai tích.
Ví dụ 9: So sánh hai phân số:
128
3
và 207 5
Trang 10Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621
5 x 128 = 640
mà 621 < 640 nên
128
3 <
207 5
Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này
nhân với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại
Thật vậy
b
a
=
bxd
axd
d
c
=
dxb
cxb
(Với b, d # 0)
b
a
<
d
c ⇔
bxd
axd
<
dxb cxb ⇔ a x d < c x b
b
a
>
d
c ⇔
bxd
axd
>
dxb cxb ⇔ a x d > c x b
b
a
=
d
c ⇔
bxd
axd
=
dxb cxb ⇔ a x d = c x b
Nhận xét: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân
số bằng cách quy đồng mẫu số Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau.
8 So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Ví dụ 10: So sánh hai phân số
4
1
và 5 2
Bài giải: Ta có sơ đồ:
Từ sơ đồ trên ta thấy
4
1 <
5 2
*Chốt kiến thức: Ta có thể so sánh hai phân số bằng việc biểu diễn từng
phân số trên các đơn vị độ dài như nhau rồi so sánh độ dài biểu thị từng phân số với nhau Phân số nào có độ dài biểu thị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
Lưu ý: Cách này chỉ dùng để so sánh các cặp phân số có tử và mẫu của
mỗi phân số đều nhỏ đủ để có thể biểu thị trên sơ đồ.
Trang 119 So sánh nhiều phân số:
Có những bài toán không chỉ so sánh 2 phân số mà yêu cầu so sánh 3; 4;
5 phân số Khi đó ta sẽ phối hợp nhiều phương pháp để giải
Trên đây là một số phương pháp so sánh phân số có thể dùng cho học sính lớp 4 mà tôi đã nghiên cứu đưa vào thực nghiệm giảng dạy cho học sinh Tổng quát lại tôi dưa về các dạng điển hình sau:
CHƯƠNG III BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Giải bài toán so sánh bằng nhiều cách
Học sinh đại trà
Bài toán 1: So sánh 2 phân số sau:
9
2
và 10 4
Bài giải:
Cách 1: Quy đồng mẫu số
Ta có :
9
2 = 10 9
10 2
x
x
= 90
20 ;
10
4 =
9 10
9 4
x
x
= 90 36
mà
90
20
<
90
36 nên 9
2 <
10 4
Cách 2: Quy đồng tử số:
Ta thấy
9
2 = 4 9
4 2
x
x
= 36
8 ;
10
4 =
2 10
2 4
x
x
= 20 8
Vì
36
8 <
20
8 nên 9
2 <
10 4
Cách 3: Dùng tính chất cơ bản của phân số:
Ta có:
10
4 =
2 : 10
2 : 4 = 5
2
mà 9
2 <
5
2 nên 9
2 <
10 4
Cách 4: Dùng so sánh "phần bù" tới đơn vị.
Ta có 1-
9
2 = 9
7
và 1-
10
4 = 10 6
Trang 12mà
9
7
>
10
7
và 10
7 >
10
6 nên 9
7 >
10
7 >
10
6
Vậy
9
2 <
10 4
Học sinh khá giỏi làm thêm các cách:
Cách 5: Phân số trung gian:
Ta có:
9
2 <
9
3
mà 9
3 = 3
1 nên 9
2 < 3 1
10
4
=
30
12
mà 30
12 >
30
10
và 30
10 = 3
1 nên 30
12 > 3
1 hay 10
4 > 3 1
Vậy
9
2
< 3
1 <
10
4 nên 9
2 <
10
4
Cách 6: Dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Ta có sơ đồ:
Từ sơ đồ trên ta thấy:
9
2 <
10 4
Nhận xét: Như vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải nên yêu cầu học
sinh phải nhìn bài toán với nhiều góc độ để tìm được các cách giải nhanh và hợp
lí nhất.
Dạng 2: So sánh bằng cách hợp lí nhất.
Bài toán 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp hợp lí
nhất a
1000
200
và
5
2
; b
7778
7772
và 88889
88881 ; c
9999
1000
và 8000 2222
Bài giải:
a Ta có:
1000
200 =
100 10
100 2
x
x
= 10
2
Vì 10
2 <
5
2
nên 1000
200 <
5 2
Trang 13(Dùng tính chất phân số)
b Ta thấy: 1 -
7778
7772 = 7778
6
; 1 -
88889
88881 = 88889
8
mà 7778
6
= 77780 60
nhưng
77780
60
>
77780
8 >
88889
8 Vậy
7778
6 >
88889
8 nên
7778
7772 <
88889 88881
(Phương pháp so sánh phần bù tới đơn vị)
c Vì
9999
1000 <
8000
1000
và 8000
1000 <
8000
2222 nên 9999
1000 <
8000 2222
(Phương pháp dùng phân số trung gian)
Bài toán 2: So sánh các phân số sau bằng nhiêù cách khác nhau.
a,
111
3
và
333
5
b, 332
333
và 997
999
c, 315
214
; 321
214
; 321
205
d, 104
105
; 1000
705
; 999 705
Bài giải:
a,
111
3
= 333
9 >
333
5 vậy 111
3 >
333 5
b,
332
333
= 996
999
mà 996
999 >
997
999 vậy
332
333 >
997 999
c, Ta thấy
315
214 >
321
214 nhưng
321
214 >
321
205 .Vậy
315
214 >
321
214 >
321 205
d,
1000
705
<
999
705
mà 1000
705
và 999
705 đều < 1
Mà
104
105
> 1 Vậy
104
105 >
999
705 >
1000 705
Nhận xét: Như vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải song ta cần phải
biết quan sát, phân tích để chọn cách giải dễ dàng, hợp lí nhất.
Dạng 3: Phối hợp các phương pháp ( Học sinh khá - giỏi)
Có những bài toán không chỉ sử dụng một phương pháp để giải mà cần biết phối hợp , lựa chọn các phương pháp để giải Ví dụ:
Bài toán 1: Viết các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.