Đề minh họa kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2015 (3132015). Có đáp án và thang điểm chi tiết. Nhằm tạo thuận lợi cho thí sinh dự thi, Bộ Giáo dục giới thiệu các đề thi minh họa, kèm theo đáp án để giáo viên và học sinh tham khảo. Các đề thi minh họa sẽ không được sử dụng làm đề thi chính thức, nhưng qua đó học sinh sẽ hình dung được mức độ yêu cầu của đề thi chính thức để ôn tập. Các em download về làm để xem mức độ mình được bao nhiêu điểm để chọn ngành cho phù hợp với “sức khỏe” của mình nhe.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC
ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C , biết tiếp điểm có hoành độ x =1
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho góc a thỏa mãn
2 x
p< <p và sin 3
5
a = Tính tan 2
1 tan
+ a . b) Giải phương trình log3x2 1 log3x
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2 3
1
2 ln
I x x dx
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (1+i z) (+ -3 i z) = -2 6i Tính môđun của z.
b) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC=2 , a ACB· =300 Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH a= 2 Tính theo a thể tích khối
chóp S ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB )
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;0;0) và B(1;1; 1- ) Viết phương
trình mặt phẳng trung trực ( )P của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với ( )P
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng : 4x 3y 12 0
D + - = và điểm K( )6;6 là tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C là điểm nằm trên D sao cho
AC=AO và các điểm C B, nằm khác phía nhau so với điểm A Biết điểm C có hoành độ bằng 24
5 , tìm tọa độ các đỉnh A B, .
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình x2+ +x x- 2³ 3(x2- 2x- 2)
Câu 9 (1,0 điểm) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( )
2
P
Trang 2
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1
(2,0 điểm) a.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 2 1
1
x y x
♥ Tập xác định: D \ 1
♥ Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên:
2
3 '
1
y x
; ' 0,y x D Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và (- 1;+¥ )
0.25
ￚ Giới hạn và tiệm cận:
limx y xlim y 2
®- ¥ = ®+¥ = Þ tiệm cận ngang: y = 2 lim( )1 ; lim( )1
® - =+¥ ® - =- ¥ Þ tiệm cận đứng: x =- 1
0.25
ￚ Bảng biến thiên:
x - ¥ - 1 +¥
'
y + +
y +¥ 2
2 - ¥
0.25
b.(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , biết tiếp điểm có hoành độ x =1
0.25 0.25 0.25 0.25
2
(1,0 điểm) a.(0,5 điểm) Cho góc a thỏa mãn
2 x
p< <p và sin 3
5
a = Tính tan 2
1 tan
+ a .
Trang 30.25 0.25
b.(0,5 điểm) Giải phương trình log3x2 1 log3x
0.25
0.25
3
(1,0 điểm) Tính tích phân
2 3
1
2 ln
I x x dx
0.25
0.25
0.25 0.25
4
(1,0 điểm) a.(0,5 điểm) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (1+i z) (+ -3 i z) = -2 6i Tính môđun của z.
0.25
0.25
b.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất
để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau
0.25
Trang 45
(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC=2 , a ACB· =300 Hình chiếu
vuông góc H của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH a= 2 Tính theo a thể
tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB )
0.25
0.25
0.25
0.25
6
(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;0;0) và B(1;1; 1- ) Viết phương trình
mặt phẳng trung trực ( )P của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với ( )P
Trang 50.25
0.25 0.25
7
(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc đường thẳng
: 4x 3y 12 0
D + - = và điểm K( )6;6 là tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C là điểm nằm trên D sao cho AC=AO và các điểm C B, nằm khác phía nhau so với điểm A Biết điểm C có hoành độ bằng 24
5 , tìm tọa độ các đỉnh A B, .
0.25
0.25
Trang 6CÁCH KHÁC
♥ Vì CÎ D: 4x+ -3y 12 0= và 24
5
C
x = nên 12
5
C
y =- Suy ra 24; 12
Cæççç - ö÷÷÷÷
Gọi ( )T là đường tròn bàng tiếp góc O, bán kính của ( )T là:
( , ) 4.6 3.6 122 2 30 6
5
4 3
+
0.25
♥ Do OA OB, tiếp xúc với ( )T nên OA OB, là các tiếp tuyến với ( )T kẻ từ O
Gọi ( )D là đường thẳng qua O và nhận nr=( )a b; với a2+ ¹b2 0 là VTPT thì
phương trình ( )D có dạng: ax by+ = 0 0.25
Trang 7♥ ( )D là tiếp tuyến với ( )T Û d K AB = ( , ) 6
6
0 0
0
a ab
b
+
+
é = ê
Û = Û ê =ë · Với a =0 thì b ¹ 0, ta chọn a=0; b=1 Phương trình tiếp tuyến là y = 0
· Với b =0 thì a ¹ 0, ta chọn a=1; b=0 Phương trình tiếp tuyến là x =0
0.25
Tọa độ A B, là nghiệm của các hệ phương trình:
0 4
0
x y
y
éìï = ïêíê ï
ïê = ïîë Giả sử ta chọn A( ) ( )3;0 , 0;4B thì 3
5
AC=- AB
uuur uur
nên C B, nằm khác phía so với A
♥ Vậy A( ) ( )3;0 , 0;4B .
0.25
CÁCH KHÁC
♥ Vì CÎ D: 4x+ -3y 12 0= và 24
5
C
x = nên 12
5
C
y =- Suy ra 24; 12
Cæççç - ö÷÷÷÷
Do A AB xÎ : 4 + -3y 12 0= nên A(- 3 ;4 4t + t) , ta có
AC OA= Û AC2=OA2
3 24 2 4 4 12 2 ( 3 ) (2 4 4 )2
Û -çç - ÷÷+ + +çç ÷÷= - + +
Û =-t 1
Suy ra: A( )3;0
♥ Giải tương tự cách trên tìm B
8
(1,0 điểm) Giải bất phương trình x2+ +x x- 2³ 3(x2- 2x- 2)
0.25
0.25
0.25 0.25
CÁCH KHÁC
♥ Điều kiện: x ³ +1 3
Khi đó: ( )1 Û (x2- 2x x)( + ³1) x2- 2x- 2(x+ (2)1)
0.25
♥ Do x + >1 0 nên chia hai vế của (2) cho x +1 ta được: 0.25
Trang 8( )2 2 2 2 2 2
-+ + (3) Đặt
1
t
x
-=
+ với t ³ 0, bất phương trình (3) trở thành
t2- -t 2 0£ Û 0£ £ t 2
♥ Với 0£ £t 2 thì
2
2
1
x
+
0.25
♥ Do điều kiện x ³ +1 3 nên tập nghiệm của bất phương trình là
S é= +ê1 3;3+ 13ùú
0.25
9
(1,0 điểm)
Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( )
2
P
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 9CÁCH KHÁC
♥ Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản trong SGK ĐS10 NC
♦ Với a b >, 0 ta có 1 1 4
a b+ ³ a b+ (1) ♦ Với hai cặp số thực ( )a b và , ( )x y ta có ; ( )2 ( 2 2)( 2 2)
ax by+ £ a +b x +y (2)
Ta có
2
P
( )
2
+ - + + + + + [do (1)]
0.25
Mặt khác
2x2+ -(3 3)x+ +3 2x2+ +(3 3)x+ £3 2 4( x2+6x+ [do (2)] 6)
Suy ra:
( )
2
2
P
( )
2
2
Q
(Do 2 4( x2+6x+ £6) 2.3 2( x2+2x+ + ) [chú ý bảo đảm điểm rơi 1) 6 x =0]
0.25
♥ Đặt 3 2( 2 2 1) 6 1 2 3
t= x + x+ = æçççx+ ö÷÷÷÷+
çè ø với
6 2
t ³ Xét hàm số:
( ) 3 24
t
f t
t
= +
+
Ta có: ( )
'
t
f t
t
=
-+ ; ( ) ( 2 )3 ( 2 ) ( )3 2
Û 8(t2- 3)(t4+12t2- 9)= 0
2 2
3
3
6 3 5
t
t t
é = ê
ê =- ± ê
0.25
♥ Bảng biến thiên
t 0 3 +¥
( )
'
f t - 0 +
( )
f t
3
Dựa vào BBT ta suy ra: Q ³ 3 khi t = 3
Do đó: P ³ 3 khi x =0 Vậy minP = 3
0.25
Trang 10BÀI VIẾT CÓ LIÊN QUA ĐẾN CÂU BPT VÔ TỶ
GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
Đề thi thử Đại học Vinh lần 1 năm 2015 có bài toán sau
Bài toán: Giải bất phương trình
2+5 <4 1+ 3+2 2- 4
Bài giải
x
x
é- - £ £ ê
ê ³ - + ë
Khi đó: ( )1 Û 4 x x( 2+2x- 4) >x2+5x- 4
Û 4 x(x2+2x- 4) >3x+x2+2x- 4 (2)
♥ Trường hợp 1: Với x ³ - +1 5 thì
( )2 4 x2 2x 4 3 x2 2x 4
-Û > + (3)
Đặt t x2 2x 4
x
+
-= (t ³ 0) thì (3) trở thành:
t2- 4t+ < Û < <3 0 1 t 3
Suy ra:
1 x2 2x 4 3
x
+
2 2
4 0
ìï + - >
ï
Û íï
- - <
< <
♥ Trường hợp 2: Với - -1 5£ £ thì x 0 x2+5x- 4 0< nên (2) luôn thỏa
♥ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 1 5;0 1 17 7; 65
S= - -éê ùú çÈæçç- + + ö÷÷÷
÷
Trang 11
GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN
.P x Q x P x Q x 0
a +b +g = (a ba ¹ 0) (*)
Phương trình (*) gọi là phương trình đẳng cấp đối với P x và ( ) Q x( )
CÁCH GIẢI
1) Xét Q x( )= Þ0 P x( )= 0
2) Xét Q x ¹ Chia hai vế của phương trình cho ( ) 0 Q x ta được phương trình dạng( )
( )
( )
( ) ( )
a +g +b= (1)
Đặt ẩn phụ ( )
( )
P x t
Q x
= , phương trình (2) trở thành: a +g +b= (2)t2 t 0
3) Giải phương trình (2) tìm t Từ đó sẽ suy ra được nghiệm của phương trình (*)
Chú ý:
Hoàn toàn bình đẳng ta có thể chia hai vế của phương trình cho P x hoặc ( ) P x Q x ( ) ( )
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Giải phương trình 2(x2- 3x+ =2) 3 x3+ (1)8
Bài giải
♥ Điều kiện: x3+ ³8 0Û x³ - 2
♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) về dạng (*)
Ta có: (1) Û 2(x2- 3x+ =2) 3 (x+2) x2- 2x+4)
Û 2(x2- 2x+4) (- 2 x+2)=3 (x+2) x2- 2x+4) (2)
♥ Do x =- 2 không phải là nghiệm của (2) và x + >2 0 nên chia hai vế pt (2) cho x +2 ta được
2 2. 2 2 3 2 2
- + - + (3)
♥ Đặt 2 2
x t
+
=
- + với t ³ 0, phương trình (3) trở thành
Trang 122 2
1
2
t
t
é ê=
ê
ê ê=-ë
♥ Với 1
2
t = ta được phương trình: 2
2
+
♥ Vậy S = ±{3 13} Ä
HƯỚNG DẪN
Cách phân tích biểu thức 2(x2- 3x+ =2) 2(x2- 2x+4) (- 2 x+ thực hiện như sau:2)
Đặt 2(x2- 3x+ =2) a(x+2)+b(x2- 2x+4) và biến đổi để cân bằng hệ số đồng bậc tìm ,a b
LƯU Ý
Từ VD 1 ta có thể tạo ra bài toán giải bất phương trình sau
Bài toán: Giải bất phương trình 2(x2- 3x+ >2) 3 x3+ (1)8
Cách giải: (Sử dụng cách giải tương tự VD 1 với vài thay đổi nhỏ)
♥ Điều kiện: x3+ ³8 0Û x³ - (*)2
♥ Biến đổi tương đương bất phương trình (1) về dạng
2(x2- 2x+ -4) (2 x+ >2) 3 (x+2) x2- 2x+ (2) 4)
♥ Với x =- 2 thì (2) thỏa, suy ra x =- 2 là một nghiệm của bpt (1)
♥ Xét x >- 2 Û x + >2 0 , chia hai vế bpt (2) cho x +2 ta được
2 2. 2 2 3 2 2
- + - + (3)
♥ Đặt 2 2
x t
+
=
- + với t ³ 0, bất phương trình (3) trở thành
2 2 2 3 2 2 3 2 0 0 1
2
- > Û + - < Û £ <
♥ Với 0 1
2
t
£ < ta được bất phương trình:
2
2
+ < Û - - > Û < - Ú > +
♥ Vậy S é= -ê 2;3- 13ù éú êÈ +3 13;+¥ )
NHẬN XÉT:
Dựa vào cách đã giải phương trình ta có thể áp dụng để giải bất phương trình tương ứng.
Bài thi thử của Đại học Vinh được giải quyết theo phương pháp như phương pháp giải phương trình (*).
Trang 13BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau
1) 2x2- 5x+ =2 5 (x+4) x2- 4x- 5)
S=ìïïïí ± - üïïïý
2) 2x2+5x- =1 7 x3- 1
Đáp số: S = ±{4 6}
3) x2+8x+ =3 6 x3+3x
Đáp số: S = ±{8 61}
3
x - x+ =- x + + x
Đáp số: S ={ }1
5) x2+ -x 6 3+ x- -1 3x2- 6x+19 0=
Đáp số: 23 341
2
S=íìïïï ± üïïïý
Trang 14MỘT CÁCH GIẢI KHÁC
ĐẶT HAI ẨN PHỤ CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN DẠNG TÍCH SỐ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2(x2- 3x+ =2) 3 x3+ (1)8
Cách giải
♥ Điều kiện: x3+ ³8 0Û x³ - 2
♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) về dạng (*)
Ta có: (1) Û 2(x2- 3x+ =2) 3 (x+2) x2- 2x+4)
Û 2(x2- 2x+4) (- 2 x+2)=3 (x+2) x2- 2x+4) (2)
♥ Đặt hai ẩn phụ x2- 2x+ = và 4 a x+ = với 2 b a b ³, 0 , phương trình (2) trở thành
2a2- 2b2=3abÛ 2a2- 3b a- 2b2= (Xem vế trái là một tam thức bậc hai theo 0 a)
( ) 0 2
2
2
b
a
æ ö÷
- ç + ÷
é = ê ê
ê
=-çè
ë
÷
ê
(phân tích tam thức ra thừa số)
♥ Với a=2b ta được phương trình: x2- 2x+ =4 2 x+ Û2 x2- 6x- 4 0= Û x= ±3 13
♥ Vậy S = ±{3 13} Ä
ÁP DỤNG CÁCH GIẢI TRÊN CHO CÁC BÀI SAU
Giải các phương trình
1) 2x2- 6x- 4+ (x+1) x2+ = 1) 0
8
S=íìïïï ± üïïïý
2) 6x2- 28x+ =2 11 (x- 2) x2- 1)
Đáp số: 37 1641
8
S=íìïïï ± üïïïý