Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si và bunhiacốpki

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIPhần một: Phần Mở Đầu Lí do chọn đề tài Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là hai

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ

BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKIPhần một: Phần Mở Đầu

Lí do chọn đề tài

Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là

hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán Chúng được sử

dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi

tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi Đề tài về hai bất đẳng thức này

là không mới Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến thức em

thích, em đã giải khá nhiều bài toán có ứng dụng hai bất đẳng thức này nhưng

bản thân em vẫn chưa tổng kết được các phương pháp sử dụng hai bất đẳng

thức trên trong giải toán Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này sẽ giúp em hệ thống

lại các kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức này một cách rõ ràng hơn Và sau

này khi trở thành giáo viên em sẽ thấy tự tin hơn khi giảng dạy về mảng kiến

thức này từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn Bên cạnh đó, em thấy đề tài này

cũng hợp với khả năng của mình, đặc biệt em thực hiện đề tài này với sự

hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn cùng với nguồn tài liệu không ít

nên em tin mình có thể hoàn thành tốt đề tài này

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu là chủ yếu

Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu

MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng

ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định

hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải

Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán

cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù

một số bài không yêu cầu trình bày phần này

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính

xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất

đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các

dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị

thường đạt được tại vị trí biên

Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ

ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Cho n số thực không âm a1,a2, ,a n, nZ, n 2, ta luôn có:

n

n

a a

1 2

1 2

1

.

d c b a

b a d c

d b a

b d

c

c b a a

d c

d b a

b d c

c b a

a d c b a

bd ac

       

1 1

2

1 1

2 1

2

1 2

1

.

c a

c b c

b

c b a

c a

c a b c

b

c b a

c a

c a b

c ab

c b

1 1

1 1

1 3 1

1 1 1 3

1 1

1 1

1 1

1 3 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

3 3

b a a

c

c b

b a

a c

b a

c

c b

b a

a c

b a c

b a

Chứng minh rằng:

ab a

2 2

2

2 4 2

4 4 4

4

3

3

abc ca

bc ab

abc c

b a

ca bc ab c b

a ab

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2

2 2

a a

b ab b

a ab a

b b

a ab

2

2

2 2

2

2 2

2

a

b b

a a

b ab b

a ab

(đpcm)

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 10 Tìm GTLN của:

5 3

2b c a

A 

Giải:

Ta có: hoctoancapba.com

337500 5

3 2 1

5

3

2

1 5

3

2

5

3

2

10 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 10

5 3 2 5 3 2 5

3 2 10

5 3 2

10

5 3 2

b a c

b a

c b a c

c c c c b b b a a c b a

2 1 10 5 3 2 10 5 3 2

c b

a c a c b a c a

c b a

Vậy GTLN của A là 337500

Kỹ thuật tách nghịch đảoBài 1: Chứng minh rằng:   , a,b 0

a

b b a

Giải:

Vì a,b 0 nên  0 , 

a

b b

a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 2   

a

b b

a a

1 1 1

a

, 1

2

2 2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 1

1 1 2

1

1 1 1

1 1 1

2

2 2

2 2

2 2

a a

1

34

Giải:

Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

13.3

12

13

3113

93

1

19

1

3

2 2

2 2 2

4 2

a a a

a a

2 2 2

1 1

2

1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 2 1

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

a a a

a

a a

a

a a a

a a A

132

.2.2

1.2

.2.32

.2.2

122

a a a

a

a a a a A

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 22

a b b a b b a b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1

1

2

1.2

1

4

12

12

1

12

12

11

b b

b a

b b b a

b b

b a b

a c c b b a c b a

2

2 2 2

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c

c

ab b

ca a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc c

.

2

1 2

1 2

1

Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:

c

a b

c a

b a

c c

b b

2 2 2

Giải:

Ta có:

c

a b

c a

b c

a b

c a

b b

a a

c a

c c

b c

b b a

b

a a

c a

c c

b c

b b

a a

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 2

b a

2

2 2

2

2 2

2 2

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a b

a c a

c b

Vậy       a b c 3

c

b a b

a c a

c b

Bài 4: Cho

2 ,

, ,

c p c b p b a p

a p c p c p b p b p a p

a p c p c p b p b p a p c p b p a p

8

1 2

2 2

2 2 2

2

2

2

, ,

1 1 1 2 1 1

1

Giải:

Ta có:

a p c p c p b p b p a p

a p c p c

p b p b

p a p

a p c p c

p b p b

p a p c

p b

p

a

p

1 1 1 2

2

1 2

1 2

1

1 1

1

1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

x x

x x x

1 2

1 2

1

1

1 1

x x x n x x x n x x

x x x

n

n

n n

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:       6

c

b a b

a c a

c b

1 1

c

b a c b

a c b a

c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

b c b a (Bất đẳng thức Nesbit)

3 1 1 1 2

1

3 1 1 1

3

3 1

1 1

b a a c c b c b a

b a

b a c a c

a c b c b

c b a

b a

c a

c

b c

b

a b

a

c a c

b c b a

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:

2

2 2

a c

b c b

a b a

b b c b

a a b a

c c a c

b c b

a b a

2 2

2 2

a b c

a c

b b c b

a a b a

b a c b c b

a c b a b a

c b a

b c b

a b a

c c b

b c b

a b a

c c b a Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:

b c b a

Do đó hoctoancapba.com

2

1 2

3

2 2

c b a a c

b c b

a b a

12

12

1

2 2

Do abc 1 ta có:

2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                       ab c ca b bc a ab c ac b bc a ab c ca b bc a ac bc ab c b a ab c ca b bc a c b a ab c ca b bc a Kỹ thuật đổi biến số Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn Bài 1: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR: bc aca bab cabc(1) Giải: Đặt: 

                  2 2 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

2 2 2 y z x y y z z x x     Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

x,y,z  0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy yz zx  xy. yz zx xyz 2 2 2 Hay bc aca bab cabc (đpcm) Bài 2: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR: 3          a b c c b a c b a c b a (1) Giải: Đặt: 

                     2 2 0 c x y x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành: y2x z z2y xx2z y Ta có: 3 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2                                  z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z y x y x z x z y Hay  3

        a b c c b a c b a c b a (đpcm) Bài 3: Cho ABC,AB c,BC a,CAb. CMR: c b a c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (1) Giải: Đặt: 

                     2 2 0 c x y x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:       x y z z y x y x z x z y         4 4 4 2 2 2 Ta có:

( ) ( ) ( )

y z z x x y yz zx xy x y z x y z yz zx zx xy xy yz x y y z z x yz zx zx xy xy yz z x y x y y z z x + + + + + ³ + + = æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷ ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷ ç ÷÷ ç ÷÷ çç ÷ ç ç è ø è ø è ø ³ + + = + + 2 2 2 4 4 4 1 1 1 2 2 2 Hay a b c c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (đpcm) Bài 4: Cho 2 , , , ,AB c BC a CA b p a b c ABC        CMR:       p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (1)

Giải: Ta có: 0

2 







 b c a a

p

Tương tự:

p pc b00

z c p

y b p

x a p































0 0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x12  y12 z12 xxyz yz Ta có:

xyz z y x zx yz xy x z z y y x x z z y y x z y x                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Hay       p ap p bp c c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (đpcm) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 2 3       a b c a c b c b a (1) Giải: Đặt: 

                  2 2 z y x c y x z b x z y a z b a y a c x c b

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: 2   2   2  12 z z y x y y x z x x z y Ta có: 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2                                   z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z z y x y y x z x x z y Hay

2 3       a b c a c b c b a (đpcm) Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa acbc 1 CMR:       4 1 1 1 2 2 2       b a c b c a (1)

Giải:

Đặt: 

                 y x a x y y x y b xy y c x a 1 1

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

  4 1 1 1 2 2 2     y x y x Ta có:

   

  . 2 2 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                           y x y x y x y x y x y xy x y x y x y x y x Vậy

      4 1 1 1 2 2 2       b a c b c a (đpcm) Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1  xyz Tìm GTNN của biểu thức:       y y x x y x z x x z z x z y z z y y z y x A 2 2 2 2 2 2          Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y y x x z z x x z z y y z z y y x x y y x x zxy z z x x z z yzx y y z z y y xyz x x y y x x xy z x x z z zx y z z y y yz x A 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2                   Đặt:                            c b a z z c b a y y c b a x x y y x x c x x z z b z z y y a 2 4 9 4 2 9 4 2 9 2 2 Khi đó  6 12 3 2 9 2 3 3 4 6 9 2

4 6 9 2

2 4

4 2 4

2 9 2

3

































































































c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

c b a b

c b a a

c b a A

Dấu “=” xảy ra  abc 1

Vậy GTNN của A là 2

Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong

bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại

tâm

Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại

biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ

thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1

a a

A 

Sai lầm thường gặp là:  1 2 1  2

a

a a a

2 3 1 4

3 1 4

2 4

3 1 4

a a a A

Dấu “=” xảy ra 1 hay 2

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật

chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt

GTNN khi a  2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2” Ta không

thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số avà 1

a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1

a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

4

3 4

 và ta có lời giải như trên

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số 

Bài toán 2: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 12

a a

A 

Sơ đồ điểm rơi:

8

4 1 2 4 1 1

2 2 2

Sai lầm thường gặp là:

4

9 8

2 7 2 2

1 8

7 2

1 8

7 1 8

2 8

7 1

8  2   2      

a

a a

a a a

a

2 

 a Vậy GTNN của A là

4 9

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

4

9

là đáp số đúng nhưng cáchgiải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “

2 2

1 2

2 6 4

3 8

6 1 8

8 3 8

6 1 8

8   2   3 2    

a

a a a

a

a a A

Sơ đồ điểm rơi:

16

1 4 4 1 4 1 4 1 4

Giải:

Ta có:

4 1 4

1 2

4

17 4

1 15 8 15 1 16 2 15 1

ab ab ab

Bài 2: Cho số thực a 6 Tìm GTNN của 2 18

a a

A 

Phân tích:

Ta có

a a

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a  6 Ta

có sơ đồ điểm rơi: hoctoancapba.com

24

2 3 36 2 3 6 9 9

36 6

Giải:

Ta có:

39 24

36 23 2 9

24

23 9 9 24

3 24

23 9 9 24

2 3

2 2

a a

a a

a A

c b a c b a

A     

Phân tích:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi

4 , 3 ,

2

2 3 3 2 3 2 9

4 1 4

1 4

Giải:

13 5 2 3 3

4

3 2 4

4

2 2

9 2 2 3 4

3 2

4

3 2 4

4 4 2

9 2

3 4 3

c b

b a a

c b a c

c b

b a

a A

bc ab

Chứng minh rằng:

12

121 8

1 1 1

bc ab c

b a

bc ab

,tại điểm rơi2

, 4 ,

9 3

2 6 9

2

1 2 24

18 3

2 24 18

3 3

c a

ab

b a ab

b a

3

4 8 12

6

9 4

8 12 6 9

4

3 2 8

16 3

2 8 16

4 3

b c a

bc

c b bc

c b

4

13 8 24

13 48

13 2 24

13 48

13 2 24

13 48

13

3

13 12 24

13 18

13 2 24

13 18

13 2 24

13 18

b

b a b

1 1 1

bc ab c

b

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

b a

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4   1 1 a b 1

b a b

Sơ đồ điểm rơi:

4

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2

b a b a

Lời giải đúng:

3 1 1 4 4 4 3 3 1 1 4

a b a b

Sơ đồ điểm rơi:

1 2 2 1 2 1 1 1

2 1 2

c b a c

b a

Giải:

2

13 2

9 12

3 1 1 1 4 4 4 6

3 3 3 1 1 1 4 4 4

c b a c b a c b a A

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

Sơ đồ điểm rơi:

2 8

4 1 2 1 1 1

4 1 2

1

2 2 2

Giải:

4

27 2 4

9 4 9

3

1 4

9 4

9 1 9 4 9

1 1 1 4

3 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 9

4

3 4

3 4

3 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8 1

3

2 2 2

c b a c

b a c b a c b a

c b a c b a c b a c b a A

Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của

b a

ab ab

b a A







Phân tích:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a  b

Sơ đồ điểm rơi:

4

2 1 2 2 1 2

2 2

Giải:

4

2 3

4

2 4

a

ab ab

b a ab

b a b a

ab ab

b a

A

Dấu “=” xảy ra  a 

Vậy GTNN của A là

2 5

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của

c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b a c a c b c b a c b a

a b

a b

c a

c a

b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a A

4

3 4

4

4 6

4

3 4 4 4

6

2

15 2

9 3 6 4

a b

a b

c a

c a b

Dấu “=” xảy ra  abc Vậy GTNN của A là

2 15

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của :

ab b

a

A

2

11

Sơ đồ điểm rơi:

2 2 1

2 2

2 1

Giải:

4 2

2

1

2 2

1 2

2

1 1

2 2

2 2

2 2

b a A

1 1

2

2 2

ab b a

Vậy GTNN của A là 4 Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab b

a

A

2

11

12

Sơ đồ điểm rơi:

2 3

3 2 2 2 1

3 2 1

a

Giải:

 

a b ab ab ab

ab b a

ab ab b a

ab ab b

a A

3

1 4 1

4 3

1 2

6 1

1

2

3

1 6

1

1 2

3

1 6

1 1

1

2 2

2

2 2

2 2

Do 2

3

1 2

4 1

2 2

2

b a ab b

a b

a b

a

4 1 2

4

2 2

b a b

4 1 1 2

ab b

a

Vậy GTNN của A là

3 8

Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab ab b

Sơ đồ điểm rơi:

2 4 2

4 1 2 1

1 4 1 4 4

1 4 2

a

Giải:

 

a b ab ab

ab b a

ab ab

ab ab

b a

ab ab

ab ab b a A

4

1 2

4 4

1 2 2

2

1 2

4

1 4

1 4 2 2

1 2

4

1 4

1 4 2

1 1

2 2

2

2 2

2 2

Do 2

4

1 2

2 2

b a ab b

a b

a

 

7 2 1 5

1 1

4 1 4

2

2 2

ab ab

ab b

a

Vậy GTNN của A là 7 Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

2 2 3 3

111

ab b a b a

Sơ đồ điểm rơi:

2 4 2

4 1 1 2 1

2 1

2 2

3 3

Giải:

5

2 2 2

2

1 5

2

1 2

1 2

1 2

1 1 5

2

1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

2 2

3 3

5

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

3 3

ab b a ab b a b a

ab b a ab b a b a

ab b a ab b a b a A

1 1 25

2

Do 4

) (

25

2 3

a b a

1 1

2 1 2

1 1

2 2

3 3

ab b a b a

Vậy GTNN của A là 20

Bài 9: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 111  4

z y

z y x z y x z

1 2

1 1 1 1

1 4

1 4

1 1

2

1

4 4

1 2

1 2

1 2

y x z y x z y x P

Dấu “=” xảy ra  1 1 134  xyz34

z y x Vậy GTLN của P là 1

Kỹ thuật nhân thêm hệ sốBài 1: Tìm GTLN của : 21  0 , 1



a -a a A

27

8 2

1 3

2 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

a.a a

a A

-Dấu “=” xảy ra

3

2 2

Bài 2: Tìm GTLN của : 32  , 0 , 2



a -a a A

3 6 3

1 3 6 3

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa 





 4 3

b a

Tìm GTLN của

 a b a b

A 3  4  2  3Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3

3 2 3 12 2 6 6

1 3 2 3 12 2 6 6

A

abc

c ab b

ca a

44412.644

.4.4.1264

12

933

336.93.3.69

6

222

22.22.22

2

4 4

4 4

4

3 3

3 3

3

abc abc

c ab c

ab c

ab

abc b

ca b

ca

b

ca

abc a

bc a

128

528

193

122

1126

ca a

12 3 6 2 2

c b c

b

Vậy GTLN của A là 3

93

128

5



Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Tìm GTLN của:

a c c b

3

a c c b b a c

b a

2

3

2

2 3

2

3

2

2 3

2

3

2

2

3 3

2 2

c

c b c

b

b a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

6 2

3

2 3 2

2

c c b b a A

3 3 3

3 2

3 2

1

a c

c b

b a

c b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

9

3

2 6 2

9

3

2 6 2

9 3

2 6

3

3 3 2 9

1 3 3 2 9

1 2

3 3

3 3

3 3

3 3 3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

3 3

3

93

31822

a c c b

b

Bài 7: Cho a, b, c  2 ; 2 thỏa abc 3 Chứng minh rằng:

3 3 4

3 4

3 4

1

2 2

c b c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

3 2

7

4

3 2

7

4

3 2

7 2

3 4

3

1 3 4 3

1

4

2 2

2 2

2 2

2 2

c c

b b

a a

a a

21 4

4

4

2 2 2 2

2

c b

2 2

2

2

2 2 2 2

c b a c

b

a

c b a c

23

214

44

2 2

2 2

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a2 b2 c2 và abc

gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a2 b2 c2 Nhưng ta cần

áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số

a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng

thức Cauchy lần lượt cho a2, b 2và c2cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a , b và c Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi abc, từ (*) ta có

a

3

2 9

1 2 9

3

2 9

3

2 9

2 3

2 3

2 2 2

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 3 3 1



b

a (*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A a b

Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số

bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a3 và

3

b cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a và b

Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi b

a  , từ (*) ta có

2

1

3 3



b

a Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có lời giải như sau:

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: a3 và 5 số

2 1

ta có: