Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Thường Xuân 3

Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m.. Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu.. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 h

SỞ GD&ĐT THANH HểA

Mụn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

Cõu 1: (2,0 điểm)

Cho hàm số: yx33x2mx 1 (1)

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0

2 Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu Gọi ( ) là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực

tiểu Tỡm giỏ trị lớn nhất của khoảng cỏch từ điểm I 1 11;

2 4

đến đường thẳng ( )

Cõu 2: (1,0 điểm)

Giaỷi phửụng trỡnh : 2

3cosx2 3(1cosx).cot x

Cõu 3: (1,0 điểm)

Giải bất phương trỡnh sau: 2log (4 x 3)+log2(x1)3

Cõu 4: (1,0 điểm) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra

5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó

có ít nhất một học sinh nữ

Cõu 5: (1,0 điểm)

Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và

( SBD ) cựng vuụng gúc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC  2 3a , BD  2 a , khoảng cỏch

từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 3

4

a Tớnh thể tớch khối chúp S ABCD theo a

Cõu 6: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(3; -4) Phương

trỡnh đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phỏt từ C lần lượt là x  y1 0

và 3x  y90 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B , C của tam giỏc ABC

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trũn ( C ) cú phương

trỡnh x2 y2 2x4y80 và đường thẳng (  ) cú phương trỡnh : 2x  y3 10

Chứng minh rằng (  ) luụn cắt (C ) tại hai điểm phõn biệt A, B Tỡm toạ độ điểm M trờn đường trũn ( C ) sao cho diện tớch tam giỏc ABM lớn nhất

Cõu 7: (1,0 điểm)

Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hệ sau cú nghiệm thực:

2 2

2

4

5

x x

x











Cõu 8: (1,0 điểm)

Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

P



trong đú a là tham số thực và 5

1

4

a

  

……… Hết………

( Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

28

Hướng dẫn chấm môn toán

I

1 Cho hàm số: 3 2

1

Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số yx33x2 1 1,0

* Tập xỏc định: .R

* Sự biến thiờn:

xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx

+ Bảng biến thiờn:

y 3x 6x 3x(x 2), y 0

x 2





 Bảng biến thiờn:

x  0 2 

y + 0 - 0 +

y 1 



 -3 0,25

+ Hàm số đồng biến trờn khoảng ; 0 và 2;  

+ Hàm số nghịch biến trờn khoảng 0; 2 

+ Hàm số đạt cực đại tại x0, yCé y(0) 1

đạt cực tiểu tại x2, yCTy(2) 3 0,25

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt

Ta cú y6x6; y0x 1

y  đổi dấu khi x qua x = 1

Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tõm đối xứng

f(x)=x^3 -3x^2 +1

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

0,25

2 Tỡm m để hàm số cú cực đại,cực tiểu 1,0

I

2

Ta cú y 3x 6xm

Hàm số cú cực đại, cực tiểu khi phương trỡnh y  cú hai nghiệm phõn biệt 0

Chia đa thức y cho y , ta được: y y x 1 2m 2 x m 1



        

Giả sử hàm số cú cực đại, cực tiểu tại cỏc điểm x ; y , x ; y1 1  2 2

Vỡ y (x ) 1 0; y (x ) 2  nờn phương trỡnh đường thẳng 0   qua hai điểm cực đại, cực tiểu

là: y 2m 2 x m 1

    

hay y m2x 1 2x 1

3

0,25

Ta thấy đường thẳng   luụn đi qua điểm cố định A 1; 2

2



  Hệ số gúc của đường thẳng IA là k 3

4

 Kẻ IH   ta thấy   d I;  IH IA 5

4

   

0,25

Đẳng thức xảy ra khi IA   2m 2 1 4 m 1

          (TM)

Vậy max d I;  5

4

  khi m 1

0,25

3cosx2 3(1cosx).cot x +ĐK : x  m

x

x x

2

sin

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos











x

x x

2

cos 1

cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3

0 2 cos cos

6 cos 1

cos 3 2 cos

2

















x

x x























































2 ) 3

2 arccos(

2 3 3

2 cos

2

1 cos

k x

k x

x

x

(Thỏa cỏc ĐK)

Cõu 3

Giải bất phương trỡnh sau: 2log (4 x 3)+log2(x1)3

Đk: x > 3

0.25

Khi đú phương trỡnh tương đương log2(x-3)(x-1)  3

Câu 4 Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5

học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có C cách 355 0,25

Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’

Suy ra A là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào”

Ta có số kết quả thuận lợi cho A là C 205

0,25

  205

5

C

P A

C

    20

5 35

2273

2387

C

C

C5

(1 đ)

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) nờn

giao tuyến SO vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD)

VSABCD =

3

1

SO.S ABCD

Diện tớch đỏy 2 3 2

1

1

a BD

AC

-.Ta cú tam giỏc ABO vuụng tại O và AO = a 3; BO = a , do đú ABD 600

 tam giỏc ABD đều

Do tam giỏc ABD đều nờn với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta cú

DH  AB và DH = a 3; OK // DH và 1 3

a

OK  DH   OK  AB  AB  (SOK)

Gọi I là hỡnh chiếu của O lờn SK ta cú OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là

khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giỏc SOK vuụng tại O, OI là đường cao  12 12 12

2

a SO

Đường cao của hỡnh chúp

2

a

SO 

Thể tớch khối chúp S.ABCD:

3

a

0,25 đ

0,5 đ

0,25 đ

C6 1 (1 điểm)

Gọi C = (c; 3c - 9) và M là trung điểm của BC  M(m; 1-m)

Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)

-

Gọi I là trung điểm của AB, ta cú I(

2

3

2m  c

;

2

3 2

7 m  c

)

Vỡ I nằm trờn đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nên ) 9 0

2

3 2 7 ( ) 2

3 2

(

3 mc   m c  

 m = 2  M(2; -1)

Phương trình BC: x – y - 3=0

-

Tọa độ của C là nghiệm của hệ:



















0 3

0 9 3

y x

y x











 0

3

y

x

Tọa độ của C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

2 (1 điểm)

Đường trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = 13

Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng (  ) là

13

9

) , (I  

d < R Vậy đường thẳng (  ) cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt

0,25 đ

S

A

B

K

H

C

O

I

D

3

a

a

-

Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ( , )

2

1



S

Trong đó AB không đổi nên SABM lớn nhất khi d(M,) lớn nhất

-

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với (  )

PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0

Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm

của hệ phương trình:























0 1 2 3

0 8 4 2

2 2

y x

y x y x

 

















5 , 3

1 , 1

y x

y x

 P(1; -1); Q(-3; 5)

Ta có

13

4

) , (P 

13

22

) , (Q 

d

-

Ta thấy d(M,) lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5)

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

* Giải BPT:

2 2

2

4

5 (1) ( 2)

x x

x

 Với x   , (1) tương đương với 2

2 2

2

1

5 2

x

x

x







 

 



1

* Giả sử x là một nghiệm của PT: 0 4 2 2

x  x  mx m  m  (2)

x  x  mx  m  m  phải có nghiệm m

16m 16(x 2)mx 8x 160 phải có nghiệm m Do đó

' 64(x 2) 16(x 8x 16) 0 16 (x x 2)(x 2x 8) 0 0 x 2

Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0

1

Do đó hệ (1), (2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm x=2

Thay x=2 vào (2) ta được: 2

m  m  m 

Vậy với m  2 thì hệ (1), (2) có nghiệm

0,5

Đặt A 5 4 ; a B 1a thì 2 2

A  B  A B

Do đó tồn tại 0; : 3sin ; 2 3cos

2

0, 5

3 3sin cos

2sin cos 2

2 6 3sin 3cos 6 2sin 2 cos 4

P



Xét hàm số ( ) 2sin cos

2sin 2 cos 4

f x





  , với 0;

2

x  

  

 

Ta có '( ) 6 4sin 8cos 2 0

(2sin 2 cos 4)

f x

2

x  

  

 

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn 0;

2

x  

  

  Do đó:

min ( ) (0) ; m ax ( )



 

 

1

Vậy min 1

6

P   , khi 5

4

a  ; Vậy m ax 1

3

P  , khi a  1

0,5

Chú ý: Có thể xét trực tiếp hàm số theo biến a: ( ) 5 4 1

f a



4

a

  

Tính đạo hàm trực tiếp suy ra hàm f(a) nghịch biến trên đoạn 1;5

4



 , từ đó thu được kết quả như trên

HẾT