Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên trục Oy.. Tìm tọa độ A,B,C biết hoành độ điểm A dương.
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I
NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4điểm):Cho hàm số ( 1 )
1
1 2
x
x y
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b.Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x+y+3=0
Câu 2 (1điểm): Giải phương trình sin2x2sinx2cosx20
Cầu 3 (1điểm): Giải bất phương trình x 1 x
2 4
log
Câu 4 (2 điểm): Tính I = 1
0 2 2
4
) 4 ln(
dx x
x x
Câu 5 (2điểm):Từ tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7} lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số đôi
một khác nhau bé hơn 3045
Câu 6 (2điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(-1; 2; 1); B(2; -2; 4); C(0; -4; 1)
Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A,
B và có tâm I nằm trên trục Oy
Câu 7 (2điểm): Cho hình hộp ABCD ABCD có hình chóp A'ABD là hình chóp đều,
AB=AA'=a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng A B và AC
Câu 8 (2điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp
đường tròn (C) có phương trình x2 y2 10y 25 0 I là tâm đường tròn (C) Đường thẳng BI cắt đường tròn (C) tại M (5;0) Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C) tại N
5
6
; 5
17
Tìm tọa
độ A,B,C biết hoành độ điểm A dương
Câu 9 (2điểm): Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2
3
) 1 ( 1 ) 7 3 (
3 4
6 3
x y
x
y y x
x x
với (x, yR)
Câu 10 (2điểm): Cho các số dương a,b,c thoả mãn a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)
3 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1
1 1
1
c b a P
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu ,cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh…………
27
Trang 2TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I NĂM HỌC 2014 - 2015
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
1a
(2đ)
- Tập xác định D = R\1
- Sự biến thiên giới hạn
y
x 1
lim ;
x 1
lim đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng lim 2
x
; lim 2
x
đường thẳng y = -2 là tiện cận ngang
0,5
) 1 (
1 2 ) 1 ( 2
x
x x y
) 1 (
1
x
> 0 x1
hàm số đồng biến trên ( ; 1 )và ( 1 ; )
0,5 Bảng biến thiên
0,5
Đồ thị:
cắt Ox tại ( 0 ; -1); cắt Oy tại ( ; 0 )
2 1
và nhận giao điểm hai tiệm cận
I (1; -2) làm tâm đối xứng
0,5
1b
(2đ)
1
1 2
; (
0
0
x
x x
Tiếp tuyến của (C) tại M: 2
0) 1 (
1
x
y
(xx0)
0
0
1
1 2
x
x
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là
4
1
k
0,25
2
0) 1 (
1
x
= 4
1
2 1
2 1
0
0
x
x
3
1
0
0
x
x
0,5 Với x0 1PTTT:
4
5 4
1 2
3 ) 1 ( 4
1
Với x0 3PTTT:
4
13 4
1 2
5 ) 3 ( 4
1
x
y
y
'
-2
+
-
+
-
1
-2
O
y
x
2 1
I -2
1 -1
Trang 3Câu 2
(1đ) 2sin (cos 1) 2(cos 1) 0
0 2 cos 2 sin 2 2
sin
x x
x
x x
x
0 ) 2 sin 2 )(
1
1 sin
1 cos
x
x
0,25 cosx = 1x=k2
sinx = 1x= 2
2 k Nghiệm của phương trình là
2 2
2
k x
k
Câu 3
4
4 ( 3 3 ) log
log x
(1 31 x ) (1) điều kiện xác định
0 3 1
0 3 3
1 x
x
x>1
0,25
(1) 2log23x 3 2 log2( 1 31x)
log2( 3x 3 ) log2( 1 31x) 3x 3 x
3
3
32x 4 3x 3 0
3 3
1 3
x
x
0,25
1
0
x
x
Kết hợp điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là: S ( 1 ; ) 0,25
Câu 4
(2đ)
dx x
x x
I 1
0 2 2
4
) 4 ln(
đặt u = ln (x2 4 )du = dx
x
x
4
2
0
x uln4
1
5 ln
4 ln
2
4 ln
5 ln 4 2
= ln 5 ln 4
4
Câu 5
(2đ)
Gọi số cần lập là abcd
Do abcd<3045 và abcd là số chẵn nên d{0,2,4,6} và a3
Nếu a=1 thì d có 4 cách chọn và mỗi cách chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của 6
Có 4.A62 120 số
0,5
Nếu a=2 thì d có 3 cách chọn và mỗi cách chọn bc là một chỉnh hợp chập 2 của 6
Nếu a=3,b=0,c=4 thì d có một cách chọn có 1 số 0,25
nếu a=3,b=0,c=2 thì d có 2 cách chon có 2 số
0,25 Vậy tất cả có 120+90+1+3+2 = 216 số cần lập
0,25
Trang 4Câu 6
(2đ)
AB = (3; -4; 3); AC = ( 1; -6; 0)
Giả sử tồn tại số k sao cho AB = kAC (1)
k k k
0 3
6 4
3
Vô nghiệm
Không tồn tại k thõa mãn (1) A, B, C không thẳng hàng
0,5
Do I Oy nên I(0;a;0)
Mặt cầu đi qua A,B nên IA=IB 1+(a-2)2
+1= 4+(a+2)2
a2-4a+6 = a2+4a+24 8a = -18 a =
4 9
0,25
I(0;
4 9
;0) Bán kính của mặt cầu R=IA= 2) 1
4
9 (
1 2 =
4
Vậy phương trình mặt cầu là
16
321 4
2
Câu 7
là tâm ABD A/G (ABD)
A'G là chiều cao của lăng trụ Gọi
O là giao điểm của BD và AC.Ta có
AG =
3
2 AO=
2
3
a
3
2
= 3
3
a
Trong tam giác vuông A/AG ta có
G
A/ =
3
6 3
2 2 2
a AG
A
0,5
ABCD
S = 2SABD= 2
2
1 AO.BD =
2
3
2
a
D C B ABCD
V = A/G
S ABCD=
3
6
a
2
3
2
a
= 2
2
3
Gọi H là giao điểm của A'C' và B'D' Do A'C'// AC nên
) , (A B A C
d = d(AC , (AC B ))= d(H, (AC B ))
Từ H kẻ HE //A/G
) //(
) (
) (
ABCD D
C B
A
ABCD G
A
HE (ABCD) HE A'C' (1)
Do ABCD là hình thoi nên AC BD (2)
0,5
Từ (1) (2) AC(EBD) AC (EBD) (3)
Từ H kẻ HK B E
HK (AC B)
Từ (3) HK AC
HK= d (H, (AC B)
0.25
Trong tam giác B HE ta có :
2
1
HK = 1 2
H B + 2
1
HE = 42
a + 2 6
9
a = 2 2
11
a HK=
11
2
O
A
B
C
D
D’
A’
H
K
Trang 5Câu 8
(2đ)
Ta có I (0;5)
Do I là trung điểm BM B(-5;10)
0,25
Ta có:ABM ACN(cùng phụ vớiBAC) nên A là trung điểm cung MN 0,25
5
6
; 5
42
MN
Do IAMN nên đường thẳng AI nhận n=(7;1) làm véc tơ pháp tuyến 0.25 Phương trình đường thẳng AI là 7x + y - 5 = 0
Tọa độ A là nghiệm hệ :
0 25 10
0 5 7
2 2
y y
x
y x
0,25
50 ) 5 (
7 5
2 2
y x
x y
x2 49 2
x =50 2
x =1
) ( 1
1
loai x
x
x=1y=-2 A(1;-2)
0,25 Đường thẳng BI nhận véc tơ BI= (5;-5) làm véc tơ chỉ phương nên nhận
1
n =(1;1) làm véc tơ pháp tuyến.phương trình đường thẳng BI là x +y - 5 = 0 0,25
Do tam giác ABC cân tại B nên C đối xứng với A qua BI
ACBI nên đường thẳng AC nhận n BI
5
1
2 = (1;-1) làm véc tơ pháp tuyến
phương trình đường thẳng AC là x-1-(y+2) = 0x-y-3 = 0
0,25 Gọi H là giao điểm của BI và AC Tọa độ H là nghiệm hệ
0 5
0 3
y x
y x
1
4
y
x
H(4;1)
Do H là trung điểm AC nên C(7;4) Vậy A(1;-2) ,B(-5;10) ,C(7;4)
0,25
Câu 9
(2đ)
) 2 ( ) 1 ( 1 ) 7 3 (
) 1 ( 3 4
6 3
3 2 3
3 2
3
x y
x
y y x
x x
Từ (1) (x 1 )3 3 (x 1 ) y3 3y Xét hàm số f (t)= 3
t + 3t trên R 0,25
f ' t( ) = 3 2
t + 3 > 0 t R hàm số y = f(t) đồng biến trên R
Thay y = x + 1 vào (2) ta có 3
x (3x - 4) = 1- 2 3
) 1 ( x
3
x ( 3x - 4) =
2
2 2
2
1 1
) 1 1
1 (
x
x x
x
x2
0 1
1
1 2
4 3
2
2 2
x
x x
x
0,5
) 3 ( 0 1
1
1 2
4 3 0
2
2 2
2
x
x x
x x x
0,5
B
I
N
M
H
Trang 6(3)
3
4 3
2
1 1
1 2
2
2 2
x
x x
2
3
2
1 1 6
2 5 1 1
2
2 2 2
x
x x
(vô nghiệm)
Với x = 1 y = 1
Vậy hệ có nghiệm ( x; y) = ( 0;1)
0,5
Câu10
1
1 1 1
1 1 1
1 1 9
2
c
c b
b a
a
3
9
c b a P
0,5
giả thiết 2 2 2
c b
a - (a+b+c)
3
4
(1) Mặt khác 2 2 2
c b
3
1
c b
a nên nếu đặt t = a+b+c thì
3
4 3
1t2 t 0 < t 4 (do a,b,c dương)
0,5
Xét hàm số f(t)=
3
9
t trên 0,4ta có 0
) 3 (
9 )
t t f
=> hàm số f(t) nghịch biến trên 0,4
0,4
9 ( ) (4)
7
0,5
GTNN của P là
7
9
c b a c
b a
c b a
1 1
1
4
3
Hết