Các bài toán tìm MIN, MAX điển hình của hàm số bằng phương pháp hàm số

Chủ đề 11 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN A.. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thông thường t

Chủ đề 11 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN

CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phương pháp hàm số, thông thường ta

thực hiện theo các bước sau :

 Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau

 Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên

 Xét hàm số f (t) theo biến t Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với t∈D

 Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t)với t∈D

 Chú ý : trong trường hợp không thể xây dựng trực tiếp được hàm số f (t)với t∈D, ta có thể đi tìm

• f (t)với t∈Dthỏa P≥ f (t) đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

• f (t)với t∈Dthỏa P≤ f (t) đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất.

B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f t( ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ:

Phương pháp chung:

 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t

thích hợp.

 Có thể biến đổi được về hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức.

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được.

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối B và D.

Thí dụ 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1

>

1

0,

y x

y x

nên

4

10

f = −

ta thấy f'( )t <0 với mọi  



∈16

1

;0

t , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng

• Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là ( )

16

28916

1min

min

] 16

1

; 0 (

3 3

2 3

3

2 2 3

y x y

x

xy y x y

x

xy y x y x y

x

y x A

• Xét hàm số với t< − ∨ ≥3 t 1, ta có /( )=− 32 <0

t t f

11

)(3)(

11

1

3 3

−

=++

−

−

=++

=

4

12

31

1)

3)

(

t t t

)(

;3

33212

)(

f/(x)=3x2 +6x−9⇒ f /(x)=0⇔ x=−3; x=1hoctoancapba.com

• Vậy GTLN P=20 khi x=−3,y=−6 hoặc x=3,y=0

≥

≥

20

20

0

x y

)2(3

3)

2()2(

2

2 2

2

++

+

−

=+

−

−

−+

−+

−+

=

x x

x x x

x x

x x x

x x

P

2 /

)1(

22++

−

=

x x

x P

Lời giải.

• Từ giả thiết

• Đặt t =x+y, ta có 2

3

20

4434

)(x+y 2 ≥ xy⇔ t2 − t− ≤ ⇔− ≤t ≤ Khi đó

1

12+

)2(

2)

t

t t t xy y

+

−+

)(

2 3 2

2+

t t xy

y x P

• Xét hàm số t< − 2 ∨ 2 ≤t với

2 2

2 /

)2(

443)(

+

−

++

−

=

t t

t t t

3

20

)(

• Vậy GTLN P=2 khi x= y=1.

Thí dụ 9 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện 1−y2 =x x y( − )

)(

342)

f

2

1)1( =

1(− =

a a

b b

a a

b b

a ab

b a a

b b

a

2222

12

)2(1112

• Đặt = + ⇒2t+1≥2 2 t+2⇒4t2 −4t−15≥0⇒t ≥ 25

a

b b

a t

• Ta có =4t3 −9t2 −12t+18

• Xét hàm số f(t)=4t3−9t2 −12t+18với ≤t

2

5

f /(t)=12t2 −18t−12 ; 2

2

10

)(

• Vậy GTNN P=−234 khi a=1, b=2 hay a=2, b=1.

Thí dụ 11 Cho các số thực thay đổi x y, thỏa điều kiện 2(x2+y2)=xy+1

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 4 4

x y P

xy

+

= +

7'

2 2 1

t t P

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu P 4 a64 b62 2 4 b64 c62 2 4 c64 a62 2

2 4 4

2 2 4 4 2 2 2

2 4 4

2 2 4 4 2

(

a c a c

a c a c a c c

b c b

c b c b c b b

a b a

b a b a b a P

++

−++

++

+

−++

++

+

−++

x y xy

=+ + với x,y > 0

• Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t x

y

= ta được 2

2

11

t t A

t t

− +

=+ + với t > 0

• Xét hàm số

1

1)

( 22

++

+

−

=

t t

t t t

f với 0 <t ⇒ / 2 2 2

)1(

22)(

++

−

=

x x

x t

f

3

2)(

3

1)(

3

1)(

Thí dụ 13 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x≥1, y≥1 và 3(x y+ ) 4 = xy

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

• Suy ra x, y là nghiệm của phương trình 0

1+ =

y x

• Suy ra

xy y

x y

x xy y

9 2

=

a a a

• Xét hàm số , 3 4.

3

1684

9)

( = 3− 2 − + ≤a≤

a a a a f

2

3(3

82

93)(' = 2− + 2 = − + 2 > ∀a∈

a a

a a a a a f

4)(

• Dựa vào BBT ta suy ra

3,14

y x

y x

Thí dụ 14 Cho các số thực không âm x y z, , thoả mãn x2+y2+z2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xy yz zx 5

(23

2

zx yz xy zx

yz xy

2

≤

≤

−+

t

t t f

f vì t≥ 3

• Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3,3] Do đó

3

14)3()(t ≤ f =

Thí dụ 15 Cho hai số thực x thỏa mãn 0< ≤x 1, 0< ≤y 1 và x y+ =4 xy

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =x2+y2−7 xy

Lời giải.

• Đặt xy=t⇒x+y=4t. Theo định lí Viet đảo x, y là nghiệm của phương trình

031)1(.1

0)0(.1

04

' 2

t s

t h

t h

t t

3

14

132

90

932)(

• Suy ra: Mmax

Thí dụ 16 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2+y2+xy=3

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= 4+y4+4xy x y− 3 3

=+

a v u

⇒u, v là nghiệm của phương trình ( ) 0

2

22

0.1

1613

x y xy

x= y z= = − thì dấu bằng xảy ra

• Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6

⇒ GTNN của F là: 5

2đạt được tại: 1 2

1

x t

x y xy

=+

Lời giải hoctoancapba.com

• Cho x y z, , thuộc [ ]0;2 và x y z+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất của A x= 2+y2+z2

• Vậy maxA=5 khi x=0;y=1;z=2

II XÂY DỰNG GIÁN TIẾP HÀM SỐ f t( ) BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC:

Phương pháp chung:

 Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t

thích hợp.

 Khả năng biến đổi được về hàm f(t)là khó buộc phải sử dụng bất đẳng thức.

 Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức điều kiện dấu bằng xảy ra phải đúng

 Cần thuộc một số bất đẳng thức phụ để có thể đưa về theo một đại lượng thích hợp nào đó theo ý

mong muốn.

 Hàm f(t) tương đối khảo sát được.

 Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)

 Thích hợp cho các đề thi khối A và B.

Thí dụ 1 (Khối B 2009) Cho các số thực thay đổi thỏa (x y+ )3+4xy≥2.

Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải.

• Ta có

2 2 2 2

2)

(

2 2 2 2 2

1()

≥ f t f P

• Đặt t =ab+bc+ca , điều kiện

3

13

)(

0≤t =ab+bc+ca≤ a+b+c 2 =

• Xét hàm số , ta có

2'( ) 2 3

=++

ca bc ab

ca bc ab

0<a≤b≤c⇒ ≤c<

• Ta có =3(3−c)2 +3c2 −2(3−c)ab

2 2

2

2)3(23)3(

−

2 2

2

2

3)3(23)3(

t t

t f

3

1()

≥ f t f P

Thí dụ 5 (Khối A 2003) Cho các số đương x y z, , thỏa x y z+ + ≤1

Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải.

• Ta có

2 3

2 3

2

3)3(3111)(







+

≥

xyz

xyz z

y x z

y x P

t t

t f

9

1()

0)(

c a a

b a a







≤+

−

≤+

−

c c ac a

b b ab a

30

3

c b a

c b a

• Vậy GTLN P=12 khi a =0;b=1; c=2 và các hoán vị. 

Thí dụ 7 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc [ ]0; 2

a c

20

20

2

)2(

1)

(

1)(1

b c

b

a c

22

)(

b b

b f

−+

≥ f P

a

+

≥+

x

x x

x f

−

−

=

12

12

1)(/

0

2

f x = ⇔ =x

• Suy ra ) 2

2

1( =

≤ f P

f

3

10

)(

3

3

3)

1)(

1)(

x

• Suy ra ( 3)3

541

2

+++

−+++

≤

z y x z

y x P

• Đặt t =x+y+z+1>1

( 2)3

542

+

−

≤

t t P

542

)(

+

−

=

t t t

f với 1<t

/

)2(

1622

)(

++

−

=

t t t

f

2 2 2 2

2 2 2

2 3

2 2 3

2 2 3

>

++

≥++

≥+

≥+

a c c b b a c

b a a

c ca c

c b bc b

b a ab a

1)

( = − + với 3 ≤t / 2

2

91)(

t t

f/(t)=3[64t2 −(1−t)2]

9

10

)(

y x

x

2

12

12

2 2

t t t

f = −

• Vậy GTNN P= 29 khi x= y=z =1.

Thí dụ 15 (Khối A 2011)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x y x z≥ , ≥ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x3 y z

x y z y z x

Lời giải.

• Ta có +a + +b ≥1+ ab

21

11

t P

+

++

≥

1

23

2 2 2

• Xét hàm số

t t

t t f

+

++

=

1

232)

9)12(3)34(2)

++

+

−+

−

−

=

t t

t t t

t t

• Vậy GTNN P= 3334 khi x=4; y=1; z=2.

Thí dụ 16 (khối D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn ( ) (2 )2

x− + −y + xy≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= +3 y3+3(xy−1) (x y+ −2) .

t − t − +t ⇒ f’(t) = 3t2− −3t 3 f’(t) = 0 khi t = 1 5

Bài 2: Cho các số dương x ,,y z thỏa x+ y+z=3 Tìm GTNN của biểu thức

Hướng dẫn :

Xét hàm số f(t)=−t2 +3t với 0 ≤t ≤ 3

)(max22

)(12)(

42

72

1422

722

117

2

14227

2

141442

−

++

−++

=

−

++++

+

≥

ab a a a

ab a

a ab

a a a b a a

b a

a a b a

(

t t

t t

f = + + +

Bài 5: Cho các số thực x ,,y z không đồng thời bằng 0 thỏa Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Hướng dẫn :

Đặt

z y

x

x

a

++

z y x

y b

++

z y x

z c

++

32

++

−

=++

++

z y x

zx yz xy

++

z y x

zx yz xy

9

17

1)(

2

++

−

++

zx yz xy

zx yz xy

z z

xy (1 )9

,,

,,

z

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể hiện trong các tính chất sau

1 Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của G f và G g

2 Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía trên G g

3 Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía dưới G g

Nhận xét 1

1 Phương trình (1) có nghiệm ⇔ G f và G g có điểm chung

2 Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ G f và G g không có điểm chung

3 Phương trình (1) có k nghiệm ⇔ G f và G g có k điểm chung

4 Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt ⇔ G f và G g có k điểm chung khác nhau.

Nhận xét 2

1 Bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc G f nằm ở phía trên G g

2 Bất phương trình (2) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía trên G g

3 Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi x D∈ ⇔ toàn bộ G f nằm ở phía trên G g

Nhận xét 3

1 Bất phương trình (3) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc G f nằm ở phía dưới G g

2 Bất phương trình (3) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía dưới G g

3 Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi x D∈ ⇔ toàn bộ G f nằm ở phía dưới G g

thì G g có phương trình y m= nên G g là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ (0;m)

• Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ G g trên D bằng việc lập BBT của hàm số y= f x( )

trên D Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”

Thử lại, ta thấy x=0không thỏa (2) Vậy f x'( ) = 0 vô nghiệm

Do f x'( ) = 0 vô nghiệm ⇒ f x'( ) không đổi dấu trên ¡ , mà f ' 0( ) = > 1 0

• Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ − < <1 m 1 

• Lập BBT của hàm số trên trên D Ta có: ( )

4 3 '

• Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x∈¡ ⇔ 1< <m 10.

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Thí dụ 3 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

1

;2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9

Bảng biến thiên

x 0 2 6f’(x) + 0 ̶̶

f(x) 6 3 2+

4

2 6 2 6+ 412 2 3+

• Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình ( )1 có nghiệm trên [ ]0;6 ⇔ 2 6 2 6+ 4 ≤ <m 3 2 6+ 

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Thí dụ 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

t + 0 ̶̶

t 3

3 6

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D' =   3;3  

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: t2− + =4t 4 m (2)

Phương trình (1) có nghiệm x∈[ ]1; 4 ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈   3;3  

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo

ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ tìm được Cụ thể

• Khi đặt t u x x D= ( ), ∈ , ta tìm được t D∈ ' và phương trình f x m( ; ) = 0 (1) trở thành g t m( ); = 0 (2) Khi đó (1) có nghiệm x D∈ ⇔ (2) có nghiệm t D∈ '

• Để tìm miền giá trị của t ta nên lập BBT của hàm số t u x= ( ) trên D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số)

• Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t Tức là mỗi

giá trị t D∈ ' thì phương trình u x( ) =t có bao nhiêu nghiệm x D∈ ? (có thể xem là một bài toán nhỏ về xét sự tương giao)

Thí dụ 6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

t + 0 ̶̶

t 5

2 5 5

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D' =   5;5  

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: t2−14t mt= ⇔ t 14 m

t

− = (2) Phương trình (1) có nghiệm x∈ −[ 2;3] ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈   5;5  

• Xét hàm số y f t( ) t 14

t

= = − với t∈   5;5   Phương trình ( )2 có nghiệm t∈   5;5   ⇔ đường thẳng y m= có điểm chung với phần đồ thị

t ̶̶ 0 +

t 2 2

0

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D' =   0; 2  

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: ( ) 2

m x

y f t t

t

= = − − + với t∈( )0;1 Phương trình ( )2 có nghiệm t∈( )0; 2 ⇔ đường thẳng y m= có điểm chung với phần đồ thị

≤ < ⇒ ≤ <

+ Tập giá trị của t là: D' =[0;1)

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: −3t2+ =2t m (2)

Phương trình (1) có nghiệm x∈ +∞[1; ) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈[0;1)

• Đặt 2

3log 1

t= x+ với x∈   1;3 3  Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x∈ 1;3 3

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: t2 + − =t 2 2m (2)

Phương trình (1) có nghiệm x∈   1;3 3   ⇔ phương trình (2) có nghiệm t∈[ ]1; 2

t + 0 ̶̶

t 3 2

3 3

• Dựa vào BBT ta suy ra:

x -2 1 4'

t + 0 ̶̶

t 3

0 0

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D' =[ ]0;3

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: m t≥ − +2 4 10t (2)

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2; 4] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t∈[ ]0;3

4 10

y= f t = − +t t với t∈[ ]0;3 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t∈[ ]0;3 ⇔ đường thẳng y m= nằm hoàn toàn ở phía trên phần đồ thị hàm sốy= f t( ) vẽ trên [ ]0;3

• Dựa vào BBT ta suy ra:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2; 4] ⇔ m≥10 

Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈¡

m.4x+(m− 1 2) x+ 2 + − >m 1 0 (1)

Lời giải.

• Tập xác định của phương trình : D= ¡

• Đặt t=2x với x∈¡ Tập giá trị của ẩn phụ t khi x∈¡ là D' =(0; +∞)

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành:

• Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: ( )

2 2 2

• Dựa vào BBT ta suy ra:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x∈¡ ⇔ m≥1 

Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

1

;4

∈ − +∞÷  Phương trình ( )2 có nghiệm 1;

m( x2−2x+ + +2 1) x(2− ≤x) 0 ĐS: 2

3

m≤5) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈¡

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x 3 x 1− ) ( − +) 4x x− 2 −2m 1 0+ =

( 2 )2 ( ) ( 2 )

x +2x − m 1 x+ +2x + + =m 1 0

2) Bất phương trình f x( )≥a có nghiệm x D∈ ⇔ ≤a M

Bất phương trình f x( ) ≤a có nghiệm x D∈ ⇔ ≥a m

3) Bất phương trình f x( )≥a nghiệm đúng với mọi x D∈ ⇔ ≤a m

Bất phương trình f x( ) ≤a nghiệm đúng với mọi x D∈ ⇔ ≥a M

Bài 4: Cho phương trình x+ 2 x− 2 +x 2 x− 2 −5m 1 0− = (1)

Bài 7: Cho bất phương trình (x 4 6 x+ ) ( − ) ≤x2−2x m+ (1)