HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN I... HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ
Trang 1HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
2 2 3
1
3
: 2
y x y
x x y xy y
( đáp số : D=1 )
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
x x y xy y
3 13 1
x y x y
b/
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a b a b
a b a b
1 -1
1
ax 4
a x a x
B xa
a x a x
Giải
2 2
4
A
1 -1
2
ax
x a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
1 2 a b :
b a
Trang 2Giải
2 2
2
2 2
2
2
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
3 a 3 b a3 b3 3 ab
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
a b
b a
Giải
3a 3b a3 b3 3ab 3 a 3b 3a 3 a b3 3b 3 a 3b a b
b/
: 2
2
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
3
2
1 1
3 2
4 4
b
2 2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
Giải
a/
3
b a a b
2
2
4
a a
B
a a
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
2
b
5 3
3
5 2
10 5
2 27
2 3
y
y
Với y = 1,2
Trang 3HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Giải
1
3,92x 3,92 4 x 0, 082 4x 0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
2 27
2 3
y y
y
y
2 2 3y 3 y 3.2 y 2 3 y y
2
1, 44
y
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
a ab b
ĐS: A=0
b
6
B
a b a a b b
Giải
3
3
3
8 8
a
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
0 8
a b
a a b a b a b a b b
b/
1 1 2 2
3 3 3 3
2
B
2
2 2
3 3
2
b a
Bài 6 Rút gọn biểu thức sau
Trang 4a
1
A=3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
1 2
4
B
Giải
a/
1
2
3 5 2 5 2 3 3 5 15 A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
b/
3
B
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
1 1
1
1 1
2 2
4 4
:
b
1 1
2 2
Giải
a/
1
1 1 1
2 2 2
a
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :
1
2
1 1
2 2
ax
C
x a
(đáp số C=1)
a a b b b a a b
Giải
Trang 5HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a x x a a
x a
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
a a b b b a a b
Bài 9
a Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : 3 847 3 847
( đáp số : =3 )
b Chứng minh rằng : 8 8 4 4
8 8
1
Giải
3
3 125
27
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5 3
a A b B a a a a a: 1116 a0
c 4 2 3
0
C x x x d D 5 b 3 a ab 0
a b
Giải
3 1 3
a A
Trang 6b/
1
1 1
11 16
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
2 1
.
a
a
2 4 4
:
a a a c 3
3
:
a a a
Giải
a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
.
a
1 1 2
2 4
a
c/ 3
2 1,3 3
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
a
2 2 2 3
2
1
4 3 3
1
3
1
a )
c
5 7
2 5 3 7 2 7
a b
a a b b
(đáp số :
a b ) d 1
2
4
(đáp số : a b
Giải
a/
2
a b a b
a b
a b
3
1
a
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
5 7
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
Trang 7HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
d 413 5 23 e
4 4
Giải
30 20 Ta có
3
15 3 15 3 5
b/ 45 37 Ta có :
3 12
4 12
c/ 17 328 Ta có :
6 3 6
3
6 2
d/ 413 523 Ta có :
20 5 20 4
5 4
20 4
13 13 371.293
23 23 279.841
e/
Vì
4 4 ; 7 54 4
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 1,7 0,8
1,7 0,8
d
5
2
5
1
7
2,5
12 1 2
2
0, 7 0, 7
Giải
2 2 ; vi:1, 7 0,8 2 2 b/
1,7 0,8 1, 7 0,8 1,7 0,8
2
do
c/
2
do
d/
0
5 0
7
do
;
Trang 8e/ 2,5 2
2,5 6,25
f/
5 5 4 1
6 36 36 3
0 0, 7 1
do
Bài 3 Chứng minh : 20 30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20 30 30
30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y3 x x b sin 2
0,5 x
y
Giải
a/ 3 x x
y
Do vậy :
1
4
y GTLNy
b/ sin 2
0,5 x
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
a y 2x 2x b 1 3
2x 2 x
y c sin2 os2
5 x 5c x
x x
ye
Giải
GTNNy
b/
1 3
1 3
c/
sin os sin os
x c x
1
ye e e e x
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a
1
yx y x b 5 5
yx y x c
1
yx y x
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Trang 9HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2
y
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
1 2
1 2
1 2
y x y x
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a
3
x
y
x
y e
x
1 3
x x
y
Giải
a/
3
x
y
Do 1
x
y
b/ 2
x
y
e
x
y
x
x
d/
3
3
x
x x
x
y
là một hàm số đồng biến ( 3 23 )
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
2
5
1 log log
3
x y
x
3 log
1
x y
x
2 0,3 3
2 log log
5
x y
x
2
1
1
x
x
2
1
6
x x
1 log
x y
x
Giải
2
1 log
5
x y
x
Điều kiện :
1 2
1 1
0 0
1 1
x
x
x x
x x
Vậy D=1;
Trang 10b/
2
5
1 log log
3
x y
x
Điều kiện :
2 3
2
1
3
3
x
x
3; 2 2;7
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a
9
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
1
log 9 log 6 log 4
2
log 5 1 lg 2 log 36
Giải
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
4
1 log 3 3log 5 2 1 log 5
log 3 6log 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 4
36 16
d/36log 56 101 lg 2 3log 369 6log 256 10log5 25 5 30
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
6
1 log 2 log 3
2
4
log log 4.log 3
D
Giải
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
c/ Clog 236 1log 31 1log 26 1log 36 1log 2.36 1
Trang 11HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
Bài 2 Hãy tính
a log2 2sin log2 os
c log tan 4 log cot 410 10 d D log4 1log 216 2 log 10 4 log 34 4 4
3
x
Giải
a/ log2 2sin log2 os log2 2sin os log2 sin log2 1 1
c/ C=log tan 4 log cot 410 10 log tan 4.cot 4 log1 0
d/
log log 216 2 log 10 4 log 3 log 6 log 10 log 3 log
Bài 3 Hãy tính :
b Chứng minh :
log log log
1 log
a
bx
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
Giải
a/
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011!1
b/ Chứng minh : ax
log log log
1 log
a
bx
x
log
log ax 1 log
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
log log log 1 2 3 log
2log
k
a
x
Bài 4 Tính :
loga
loga
B a a a a c
5 3 3 2
log
a
a a a
a a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
Trang 12Giải
a/
1 1 3
2 5 10
A a a a a
b/
1
1 1
2
3
c/
3 2 1
2 4
a a
a a
a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0
tan 89 cot1 tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả
e/ log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16 log 15.log 14 log 4.log 3.log 216 15 5 4 3 log 216 1
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a.Nếu : 2 2 2
a b c a b c c b , thì :
logc b a logc b a 2 logc b a.logc b a
b Nếu 0<N 1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
, , 1
a b c
c Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2 log log
log log
b
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7
a b ab Chứng minh : ln ln ln
a b a b
Giải
2 loga loga
a c b c b c b c b c b
logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
b ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
2 log log log
( đpcm )
c/ Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng thì logx alogz c2logy b
2 log log
log
b
y
Lấy lê be 2 vế ta có :
Trang 13HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
ln ln
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A log 166 Biết : log 27 12 x
b B log12530 Biết : log 3 a; log 2 b c C log 1353 Biết: log 52 a; log 32 b
d D log 356 Biết : log 527 a; log 78 b; log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 142 a
Giải
a/ A log 166 Từ : 3
(*)
Do đó :
4
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
Thay từ (*) vào ta có : A=
2
log 3
C
d/ Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
b a b D
e/ Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
Vậy :
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga blogb a2 log a blogab blogb a1
b 2 log log2 1 2 4
1
2
B x x x x
c C loga plogp a2 log a plogap p loga p
Giải
log
a
a
b
b
a
b
b
a
2 2 2
1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x1
Trang 14c/ 2 2
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b 3; loga c 2:
a 3 2
xa b c b
4 3 3
a b x
c
2 4 2 4 3
a bc x
ab c
Giải
2
a b
c
c/ Ta có :
2 4 2 4 3
a bc
ab c
Bài 4 Chứng minh
2
a b a b ab
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
loga b loga c
c b ; loga b.logb c.logc a 1
loga ;logb ;logc
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a b a b aba ab b ab a b ab
2
a b a b a b a b
b/ Chứng minh : 2 2
loga b loga c
c b
* Thật vậy :
loga b loga c loga c loga b loga c loga c
* loga b.logb c.logc a 1 loga b.logb a loga a 1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
loga logb logc loga logb logc 1
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Trang 15HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : log 43 log4 1
3
Ta có :
log 4 log 3 1; log log 4 1 log 4 log
Ví dụ 2 So sánh : log 1,1 6 log 0,99 6
3 7 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a log0,4 2 log0,20, 34 b 5 3
log log
1 log log 3 2
2 3 d log 23 log 32
e log 32 log 113 f
2 1 2 2log 5 log 9
5 log 3 log 11
h
3 1
9
8
log 2 log
9
1 log 2 log 5 2
3
1
18 6
Giải
a/ log0,4 2 log0,20, 34 Ta có : 0,4 0,4
0,2 0,4 0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2 0,3 1 log 0,3 log 1 0
log log
4 5 Ta có :
log log
1 log
log 3 2
2 3 Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/
2 1
2
2log 5 log 9
Ta có :
2 1
2 2
25 2log 5 log 9 log
9
2
2
g/ 2 4
5
log 3 log
11
9 11 5
log 9 log log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11
81.11 891 90
Trang 16h/
3 1
9
8
log 2 log
9
Ta có :
3 9 9
log 2 log 2log 2 log log 2 log log
8
k/
1
log 2 log 5
2
3
1
18 6
Ta có :
6
1
log 2 log 5 log 10 10 3 3
Bài 2 Hãy so sánh :
a log 102 log 305 b log 53 log 47 c 3 1
2 lne 8 ln
e
Giải
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 53 log 47 Ta có : 3 3 3 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2 lne 8 ln
e
Ta có :
3
3
2 ln 2.3 6
1
8 ln 2 ln 1
8 ln 8 1 9
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1 log 3 log 2
2
b log 7 5 log 4 5
4 7 c log 7 log 33 7 2
d log 5 2 log 3 2
2 f log5 7 log 5 log 7
Giải
2
1 log 3 log 2
2
2
b/ log 7 5 log 4 5
log 7 log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7 Vậy 2 số này bằng nhau c/ log 7 log 33 7 2 Ta có : 3 3 7 3
3
1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
3 5 Ta có : 2
log 5 log 3 log 5.log 3
Trang 17HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
e/ 1 log 3 log19 log 2
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
361 1 log 900 log log 3 log19 log 2
f/ log5 7 log 5 log 7
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
a log36 log3 5
log elog d
Giải
a/Ta có :
log log
6 5
log log
5 6
3 1
log 9log 17 Ta có : 1 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log elog Ta có : 1 1
1
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
2 2 x
s inx-cosx x
e e y
e e
x
Giải
y x x e y x e x x e x e
s inx-cosx x ' cosx+sinx x 2 s inx-cosx x 3sin osx x
4 '
e e
2
2
1
x
x
Trang 18Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
yx x b 2
2
ln
y x
d log2 4
4
x
y
x
2 3
9 log
5
x y
x
1 log 2
x y
x
Giải
2 1
1 ln 2
x
x x
3
d/
2
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x
0
ln 3 1 lim
sin 2
x
x x
0
ln 4 1 lim
x
x x
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
e
0
1 lim
1 1
x x
e x
0
ln 1 lim
2
x
x x
Giải
x
ln 3 1 3
sin 2
2 2
x x
x x
x x
4
5
3
x x
e
e
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
b
2 3 0
lim 5
x
e e x
c
3 0
1 lim
x x
e x
Trang 19HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d
1
sin 3 lim
x
x x
0
1 os5 lim
x
c x x
Giải
ln 2 1 2
tan tan
x x
x
x
5
2
c/
3
d/
1
1
1
x
e
x
e/
3
2 2 2
5
2 sin
2
4 5
25 2
x
c x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
b
2
1
os
lim 2 sin
x
d
4
2 2 cos lim
sin
4
x
x x
Giải
2sin 2 sin
b/
2
1
os
cos 2
c
t
2
2 sin
2 sin os
t
t t
c
0 2
tan
2
t x
t
t
lim 2 sin
x
lim 2 sin lim 6 3 3
Trang 20d/
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
2 2 cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
c x
t x
t
Vậy :
4
2 2 cos
2 sin
4
t o x
x