đề thi thử toán chung khoa học tự nhiên lần 1 năm 2015 (có đáp án)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n To¸n chung Câu I.. Cho t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chung)

Câu I 1) Giải phương trình

√3 + 6 − √2 − = √2 + 2

2) Giải hệ phương trình

2 + 3 = 30 + 2 − 3 = 6.

Câu II 1) Tìm các cặp số nguyên ( , ) thỏa mãn

− − 2 + − 2 = 3

2) Với các số thực a,b thỏa mãn điều kiện + + = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AD là phân giác ∠ BAC với

D nằm giữa B, C AD cắt (O) tại E khác A EF là đường kính của (O) P là một

điểm nằm giữa A, D FP cắt (O) tại Q khác F Đường thẳng qua P vuông góc

AD cắt CA, AB lần lượt tại M , N

a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN , PQCM nột tiếp

b) Giả sử QN và PC cắt nhau trên (O) Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt nhau trên (O)

Câu IV Cho , , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

-HẾT -

ĐÁP ÁN Toán chung ( tóm tắt ) Câu I 1) Đk 2 ≥ ≥ 1 khi đó 3 + 6 ≥ 2 − nên pt tương đương 3 + 6 + 2 − −

2 (3 + 6)(2 − ) = 2 + 2 (0.5đ)

hay (3 + 6)(2 − ) = 3 (0.5đ)

Từ đó = ±1 ( thỏa mãn ) (0.5đ)

2) 2 + 3 = 30

+ 2 − 3 = 6 .Phương trình thứ hai tương đương ( − 3)( + 2) = 0 (0.5đ)

TH1 = 3 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3; 2) và (3; −2) (0.5đ)

TH2 = −2 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3; −2) và (−3; −2)

KL: (3; 2), (3; −2), (−3; −2) (0.5đ)

Câu II a) − − 2 + − 2 = 3 ⇔ ( − 2 )( + + 1) = 3 (0.5đ)

TH1 − 2 = 3, + + 1 = 1 ⟹ = 1, = −1

TH2 − 2 = 1, + + 1 = 3 ⟹ = , = loại (0.5đ)

TH3 − 2 = −3, + + 1 = −1 ⟹ = − , = loại

TH4 − 2 = −1, + + 1 = −3 ⟹ = −3, = −1

KL: (1; −1), (−3; −1) (0.5đ)

b) Ta có ( + 1) + ( + 1) + ( + ) ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (1.0đ)

Suy ra + ≥ 2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = 1 Vậy min ( + ) = 2 (0.5đ)

Câu III a) EF là đường kính của (O) nên AF ⊥ AE ⊥ MN do đó AF ‖ MN Suy ra

∠QPN = ∠AFQ = 180° – ∠ABQ suy ra PQBN nội tiếp Lại có ∠FPM = ∠AQF =

∠ACQ suy ra PMCQ nội tiếp

b) Gi ả sử QN và PC cắt nhau t ại R thuộc (O) Từ PQBN nội ti ếp t a thấy

∠NPB = ∠NQB = ∠BCP Từ tứ giác PMCQ ta có ∠PBC = ∠RPB – ∠PCB =

∠RPN + ∠NPB – ∠NPB = ∠RPN = ∠MPC = ∠MQC Từ đó nếu QM cắt BP tại

S dễ suy ra tứ giác SBQC nội tiếp hay S thuộc (O)

Câu IV =

( )≥ ( )+ ( )+ ( ) (0.5đ)

= + + ≥ 2 ( ) = + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = (0.5đ)