Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức 7

Luận văn thạc sĩ kho học ngành Giải Tích-Chuyên đề: Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức

CHUONG 4

DO DO BIEU DIEN CUA PHIEM HAM

§ 4.1.Độ đo biểu diễn

1 Khái niệm độ đo biểu diễn

Giả sử A là một đại số đêểu trên X và giả sử ọ e Mạ Độ đo biểu diễn của

phiếm hàm ọ là độ đo dương ku trên X sao cho

œ(f)= [fdụ feA

Tập hợp tất cả các độ đo biểu diễn của œ ký hiệu là Mụ

Mỗi một tu e Mụ thỏa mãn điểu kiện

|u|= [du =1

Tập hợp Mẹ là lỗi và compact theo tôpô yếu trong không gian liên hợp

Có thể kiểm tra rằng tập hợp các độ đo biễu diễn của phiếm hàm @ tring với tập hợp các thác triển của phiếm hàm ọ lên toàn C(X) giữ nguyên chuẩn Thật vậy, mỗi độ đo w e Mụ đều thác triển thành @ lên C(X) bằng cách đặt

ÿ(Œ)= [fdu ,feCŒ)

Rõ ràng thác triển này giữ nguyên chuẩn, Ngược lại, nếu là một thác triển của

œ lên CŒX) thì [ d|y|=1= | dy Do đó , y là độ đo dương và do đó ÿ e Mạ

Phiếm hàm o có thể xét trên Re(A) bằng cách đặt

q@(ReÐ = Reg(), f € A |

Khi đó o(u) = fudu với moi u € Re(A) va p € My, Diéu này chứng tỏ rằng @ liên tục trên Re(A) và @(u) > 0 nếu u >0, u e Re(A)

Nếu L là một thác triển đơn điệu dương của phiếm ham @ từ không gian

Re(A) lên Cp(X) thì mọi v € Cp(X) ta có

L(v) $L {iv lx) = lv lx

Do đó hàm L liên tục và có thể biểu diễn bởi một độ đo nào đó u € My

.Như vậy tập M, trùng với tập các thác triển đơn điệu của phiếmhàm œ từ không gian Re(A) lên không gian Cg()

Giả sử v e Cg(X) và B là một không gian con của Cg(ŒX) được sinh bởi

Re(A) và phần tử v, Chúng ta có thể thác triển lên B một cách dương bằng

cách đặt @(v) = c, ở đây c là một số bất kỳ thỏa mãn điều kiện

Sup {œ(u): u € Re(A), usv } <c < inf {@(u): u € Re(A), u2v }

Do bổ để Zom, phiếm hàm nhận được cho một thác triển dương lên toàn Cr(X) Do đó với mọi c, thỏa mãn điều kiện trên, tổn tại độ đo p € M, sao cho

fvdu =c

4.1.1 Định lý

Cho A là một đại số đều trên X và e Mạ nếu v e Cg(A) thì

Sup {ep(u):u eRe(A),usy } = inf{ [vdụ:u e Mẹ }

inf{@(u):ueRe(A), u2v}=sup{ | vdu:weM, }

Chifng minh

Ta còn phải kiểm chứng đẳng thức thứ hai

Do nhận xét trên, cận trên của @(u) bằng [vdpvei d6 do nao d6 weMy

Mặt khác néu p e Mụ, u e Re(A) và u < v thì @ (u) = fudp < [vdụ

Do vậy cận trên của các giá trị ọ(u) không thể vượt quá biên dưới của tập đã chỉ

ra,

Định lý được chứng minh

Độ đo biểu diễn phức trên X của phiếmhàm ọ là độ đo phức ¿ đối với nó

ọ()= [fdụ feA

Tập các độ đo biểu diễn phức của phiếm ham @ tring vé6i tap các thác

triển liên tục có thể của phiếm hàm này từ không gian A lên không gian CỢX)

4.1.2 Định lý

Cho A là một đại số đều và @ e Mạ, ụu là một độ đo biểu diễn phức của

ọ Khi đó tổn tại độ đo biểu diễn dương của phiếm hàm này, liên tục tuyệt đối đối với p

Chứng minh

Ký hiệu A„ là nhân của phiếm hàm ọ Ký hiệu qua HỶ và Hy’ là bao đóng

của các không gian A và A„ tương ứng trong L? ( | |) Nếu f € Ag thi

2 fh-#[ dyj> [đ—f2du=1

(Vi [a-£)'du=9(-f)")=(@0-f =1? =1)

Vậy 1 ¢ H,’ va vivay H,’ +H’ Ngoaira AFH’ CH’,, (vig eA, f eH

=> Ff, 6A déf, > f= og fr) — œ(g.0, do @(g.f,)= 0 với mọi n nên œ(g.f) = 0

hay gf e Ag)

Chọn F e HỶ sao cho nó trực giao đối với H„ trong Lˆ (|u|) và thỏa mãn

điểu kiện [|FÍdjù|=1 Nếu f e A„ thì £F e HẺ„ Vì vậy fF.LF, và như vậy

[IFIF[ 4|t| = 0 Do đó | FƑdịu| là độ đo cần tìm

Định lý được chứng minh

4.1.3 Định lý

Cho A là một đại số đều trên X và @ e Mạ Khi đó có độ đo biểu diễn

trên X có giá đóng cực tiểu Nếu độ đo tu có giá đóng cực tiểu thì giá này hoặc

là tập con hoàn chỉnh, hoặc chỉ gồm một điểm duy nhất Nếu f e A bằng 0 trên

một tập con mở khác rỗng của giá như vậy thì @()= 0

Chứng mỉnh

Tập Mụ có thể được sắp thứ tự bằng cách đặt v < rị nếu giá đóng của độ

đo v được chứa trong giá đóng của độ đo Tị

Theo bổ để Zorn và do tính compact yếu của tập Mụ, tổn tại độ đo pweMy

có giá đóng cực tiểu ( không nhất thiết là nhỏ nhất đối với tất cả )

Giả sử f e A với ọ() # 0 Bởi vì @(f)@(g) = [fgdụ ,g A nên độ đo

fdu⁄@(ƒ) là độ đo biểu diễn phức của phiếm hàm ọ Do định lý 4.1.2 và tính cực tiểu của độ đo u, hàm f không thể bằng 0 trên một tập con mở khác rỗng của giá

của độ đo k ( vì nếu có điều đó thì giá của fdi⁄(f) nhỏ hơn thực sự giá của k )

Trong trường hợp riêng, nếu x là điểm cô lập của giá cửa u thì @() = 0 với mọi f e A thỏa mãn điều kiện f(x)=0 Hiển nhiên trong trường hợp này độ

đo k tập trung tại điểm x

Định lý được chứng minh

2 Độ đo Jensen

D6 do p gọi là độ đo Jensen của phiếm hàm ọ nếu bất đẳng thức Jensen

được thực hiện, tức là

logle()|< [1og|flu ,f 6A

Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen với hàm eÊ và e, ta có

logeRe®®) < Hoge*°#dụ,

loge_ Re98) < [loge R°#qụ

hay

Req(g)< [Regdu,

- Req(g)< -Í Regdu

Do đó

Req(g) = | Regdu

Như vậy mọi độ đo Jensen đều là độ đo biểu diễn của phiếm hàm ọ Các tính chất của độ đo cực tiểu liệt kê trong định lý 4.1.3 đương nhiên là đúng cho độ đo Jensen Tuy nhiên sự tổn tại của độ đo Jensen là hoàn toàn không hiển nhiên,

4.1.4 Định lý

Giả sử A là một đại số đều trên X và giả sử e Mạ Độ đo Jensen trên X

của phiếm hàm ọ tổn tại

Chứng mỉnh

Giả sử Q là tập tất cả các hàm u e Cp(X) có tính chất sau đây '

Tổn tại hằng số c > 0 và f e A sao cho @(ƒ =1 và u > cloglf|

Nếu u e Q và b>0 thì bu e Q, Hơn nữa, Q chứa tất cả các hàm dương that

sự từ Cg(X) (Nó thỏa mãn định nghĩa với f=1 )

Giả sử, uạ và u; thuộc Q: u¡ >c¡ loglfj|, uạ > cạloglfs| Ta có thể coi cạ, c; là số

hữu tỷ, tức c¡ = p/Q¡ ; p, q; eN Khi đó

1

9192

MỊ + U2> loglfiPt92 4;Pz

do đồ u¡ + uy e Q và Q là tập lồi,

Hiển nhiên O # Q Theo định lý tách của tập lồi, tìn được độ đo k trên X sao cho [udu>0 với mọi u e Q Nhân 4 với một số dương, ta có thể coi

ƒdu=1

Giả sử hàm f e A thoả mãn điều kiện œ(f) = 1.Với mọi ø > 0 hàm

log (|f|+ e) thuộc Q, vì vậy [1og(| f | + e)dụ > 0 Cho s tiến tới 0, ta được

0< [log|f lu ,feA,gŒ)=1

Áp dụng bất đẳng thức này với hàm So: Ta có

logle(g)|< [1og|g dp

với mọi g có @(g) # 0 Vậy u là độ đo Jensen của g nếu @(g) # 0 Nếu @(g) = 0 thì log |ø(g)| = - © nên bất đẳng thức đúng với g e A

Định lý được chứng minh,

§.4.2.Đại số Dirichlet

1.Đại số Dirichlet.Bất đẳng thức Jensen cổ điển

Cho A là một đại số đều A được gọi là đại số Dirichlet trên X nếu

Re(A)trù mật đều trong CnŒX)

Đại số A là đại số Dirichlet khi và chỉ khi không tổn tại một độ đo thực

khác 0 trên X, trực giao đối với A

Nếu A là đại số Dirichlet thì X là biên Shilov của A Thật vậy, nếu xeX

thì tìm được hàm không âm ReŒ) e Re(A) sao cho tập không điểm của nó khác rỗng và gần x tùy ý Trong lân cận của điểm x, môđun sẽ đạt cực đại là e*,

Một đại số goị là đại số Dữichlet nếu nó là đại số Dirichlet trên biên

Shilov của nó,

Đại số P(A) giới hạn đều của các đa thức trên đĩa đơn vị đóng là đại số Dirichlet, Không gian Re((A)) lập nên từ các hàm liên tục trên A, điểu hòa

trong Int(A) và liên hợp điều hòa của nó cũng liên tục và có thác triển lên biên

bA Do đó thu hẹp Re(P(A)) trên bA chứa tất cả các hàm khả vi và chúng trù mật trong Cp(bA)

Gia st A 1a dai s6 Dirichlet trén X va p € Ma Hiéu ciia hai d6 do biéu diển cửa œ là thực, trực giao đối với A Do đó, mỗi đồng cấu e Mạ có duy

nhất một độ đo biểu diễn trên X Theo định lý 4.1.4 độ đo này nhất thiết là độ

do Jensen

Độ đo biểu diễn của điểm O e P(A) là mi trên bA, Trong trường hợp

7

riêng = là độ đo Jensen và chúng ta nhận được

T

2m

log) £(0)|< — fin| fed, fe P(A)

279

Bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức Jensen cổ điển

2 Dinh ly Walch-Lebesgue

Trước hết có định lý sau

4.2.1 Định lý

Giả sử A là đại số Dirichlet trên X Khi đó đại số A chứa các hàm đặc trưng của các tập con mở-đóng của X, Nói riêng, nếu X không liên thông thì

không gian Mạ các ideal cực đại cũng không liên thông

Chứng mình

Giả sử X là hợp 2 tập con đóng không giao nhau U và V, Bởi vì A là đại

số Dirichlet nên tìm được f e A sao cho | Re(f)— 1| < zien U va |Re(f)|< 4 trên V, Theo định lý 2.1.3, biên tôpô của tập f(MẠ) được chứa trong f(X) Do đó

tập f(Mạ) không giao với giải { 1⁄4 < Re(z) < 3⁄4 }

Gọi h là hàm đặc trưng của tập {Re(2) > 1⁄2 }(nữa mặt phẳng) Khi đó h giải tích trong một lân cận của tập f(Mạ).Theo định lý 2.2.1, họf là phần tử của

đại số A Nhưng hạf đồng nhất bằng 1 trên U, bằng 0 trên V

Định lý được chứng minh

Theo định lý 4.2.1, nếu K là tập con compact liên thông của mặt phẳng

mà R(K)l đại số Dirichlet (trên bK )thì bK là tập liên thông Do đó, nếu K là

một hình vành khăn trong mặt phẳng thì R(K) không là đại số Dirichlet,

Bây giờ ta muốn chứng minh rằng đại số P(K) với moi compact K bat ky

trong mặt phẳng phức là đại số Dirichlet Với mục đích này, chúng ta sử dụng một mở rộng của bài toán Dirichlet trong miễn phẳng với biên trơn Công việc của chúng ta cần đến kết quả sau đây

Nguyên lý Dirichlet

Giả sử K là một miền trên mặt phẳng với biên T là hợp của một số hữu

hạn đường cong đơn, đóng, Giả sử u là một hàm khả vi, liên tục trên ` Khi đó

u có một thác triển liên tục lên D U I', điêu hòa trên D Thác triển điều hòa này của hàm u đạt cực tiểu của tích phân Dirichlet

trong lớp các ham kha vi lién tuc v trén D U I, trang véiu trén T

Giả sử K là một compact trên mặt phẳng, Ta nói rằng điểm z € bK thỏa điều kiện Lebesgue nếu js =œ, ở đây S là tập tất cả các r, 0<r<l mà đối với

T

S

nó, hình tròn bán kính r, tâm z giao với phần bù của K.,

4.2.2 Bổ đề

Giả sử A là một tập compact của mặt phẳng phức Giả sử Kạ là một dấy

các compact của mặt phẳng phức có biên bK, là một số hữu hạn đường cong

œ

dong, tron sao cho K,,, c Int K, va OK, =K Giả sử u là một hàm khả vi liền

n=!

tục trên mặt phẳng phức và giả sử uạ là thác triển điều hòa trên Int (K,) cia

hàm u bK Nếu mỗi z e bK thỏa mãn điểu kiện Lebesgue thì dãy hàm u, hội tụ

đều trên bK đến hàm u

Chứng mỉnh

Ta chứng minh bằng phản chứng,

Giả sử uạ không hội tụ đều đến u trên bK Bằng cách chuyển

qua dãy con nếu cần thiết, ta có thể chọn dãy điểm zạ e bK sao cho với s>0,|un(Zn)—u (zn) | > 3e với mọi n Ta có thể giả thiết z„ hội tụ đến 0,

|Za | > | Za„i | với mọi n và u(0) = 0

Chọn õ >0 đủ bé sao cho | z | < ỗ thì | u(z) |< s ta có thể giả thiết | za | < ỗ với mọi n Khi đó | u,(Z,) | > 26 v6i moi n

Giả sử răng một hình tròn nào đó tâm 0, bán kính r, 0 < r < õ không giao

với K, Khi đó, hình tròn này với n đử lớn không giao với Kạ Vì | u |< s trên tập

b(K; (] {|Z|<r }) nên với n đủ lớn ta có | uạ | < ø trên Kzƒ] {|z| sr}

Diéu nay mau thudn véi | up(Zp) | > 2z Mâu thuẫn này, chứng tỏ rằng mọi hình tròn bán kính r, 0 < r < ö với tâm 0 đều giao với K,

Giả sử En là tập các r mà | zạ | <r < ồ và hình tròn bán kính r tâm 0 giao

với K¿" Hình tròn này nhất thiết giao với bKn

œ

Ho E, tạo thành một dấy tăng của các tập hợp Tập E = VE, 1A tap tat

n=l

car,0<r<6 dé hinh tron ban kinh r tam 0 giao với K°

Theo gid thiét [ —

T

E

Cố định r e E„ và xét tập F các điểm z e Kạ để với nó | z | < r Biên của

tập F lập nên từ một phần của bKạ nằm ở trong hình tròn { | z | < r }, và một cung nào đó của đường tròn { | z |=r }.Bởi vì uạ điều hòa trên tập Int(F) và bởi

vì | ua(Z„) | > 2e nên trong phần của tập bF thuộc hình tròn { | z | < r }ta có

|ua|<e do đó tổn tại o trên một cung nào đó thuộc bF ¬ { |z|=r} để với nó

| uz(@) | > 2e, Vì vậy cung chứa điểm này của bK có biến phân của hàm uạ dọc

theo nó không nhỏ hơn s Vay

° < du, tn) ôu,

= ko < 2n| 3)" 40

Ở đây tích phân lấy trên tập Kn ¬, { |z| = r } Theo nguyên lý Dirichlet ta

có

le ru for -f 1G —2)? + 1S X=

Ky

dr

2 1 sỹ dÔdr >g“ | —

Tích phân đầu tiên giẩm theo n, trong lúc đó tích phân cuối cùng tiến đến

i = +oo, Ta gap một điều mâu thuẫn

Bổ để đuợc chứng minh,

4.2.3 Dinh ly (Walch-Lebesgue)

Giả sử K là một tap con compact cia mặt phẳng phức có phần bù liên thông, Khi đó mọi hàm thực liên tục trên bK có thể xấp xỉ đều trên bK bởi một

đa thức điều hòa của biến x và y

Chứng minh

Ta biểu diễn K dưới dạng (]K,„ ở đây Kạ compact với phần bù liên

n=l

thông, Kạ„i C Int(Kạ) và bKạ lập nên bởi một số hữu han đường cong đóng, trơn

Giả sử u là một hàm thực khả vi liên tục trên mặt phẳng phức.Giả sử uạ là thác

triển điều hòa của hàm u bK, trén tap Int(K,), Theo định lý 4.2,1 dãy uạ hội tụ đều trên bK đến hàm u Bởi vì tập Int(Ka) liên thông , nên hàm vạ liên hợp điều hòa của uạ xác định duy nhất trên Int(K„) Do đó, hầm ưa + ivạ giải tích trong một lân cận nào đó của K Theo định lý Runge (Định lý 3.1.7) day u, + iv, có thể

xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức của biến z Phân thực của các đa thức này tạo

thành tập các đa thức điểu hòa của x và y hội tụ đều trên bK đến u„ Vì vậy, mọi hàm thuộc Cạ(bK) xấp xỉ đêu trên bK bởi các đa thức điều hòa P(K)là đại số Dirichlet ( trên biên ngoài của K )