Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức 4

Luận văn thạc sĩ kho học ngành Giải Tích-Chuyên đề: Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức

CHUONG 1 DAI SO BANACH GIAO HOAN Đại số Banach là một không gian Banach phức, cùng với một phép nhân ( kết hợp, phân phối ) thỏa mãn

lfgiisifiligt fg eA

Đại số Banach gọi là giao hoán nếu fg = gf với mọi f,g e A; gọi là có đơn vị nếu 3 Í e A sao cho || 1 ||= 1 và 1.f = f.1 = f với mọi f e A

Trong chương này chỉ xét đại số Banach giao hoán, có đơn vị và chỉ gọi đơn giản là đại số Banach

§ 1.1 Phổ và giải thức

1.1 Phổ và giải thức

Phần tử f e A gọi là khả nghịch nếu tổn tại g e A sao cho f g = 1 Phân tử

g ( gọi là nghịch đảo của f ) là duy nhất, ký hiệu là f ˆ' hoặc 1# Tập các phần tử

khả nghịch của đại số A ký hiệu là A”

Số phức 2 gọi là thuộc giải thức của fe A nếu ^ - f khả nghịch Trong

trường hợp ngược lại ^ gọi là thuộc phổ của f Phổ của phần tử f ký hiệu là

o(f)

1.1.1 Định lý

Với mọi f e A phổ của nó là một tập con compact khác rỗng của mặt

phẳng phức

Chứng mỉnh

eo

Nếu | ^ | > || f || thì chuỗi >ứ" /2*°)_ hội tụ đến hàm g ( ^.) giải tích tại

n=0

vô cùng Bởi vì

g090.-£) =M > y'(A-£)=(A-f)1(A-f)=1

nên g(^À.)=(^.-f} `

Như vậy o(f) nim trong hình tròn đóng tâm O, bán kính || f |

Giả sử ^Ào là một giá trị thuộc giải thức của f

Chuỗi 5 "(Aạ —)*(Äạ —f)?” hội tụ đến hàm h(A) giải tích trong hình tròn

n=0

{Í^-Ao|<1/|(Ao—f)” ||}

vì

l(Ao- 2)" (Ao_ry “* II=[Ae- ^^ PIIAo—£)"??

Tỉnh toán trực tiếp ta có

hQ) = 5”(Ag —A)°(Xạ —£) @19

n=0

=(l~(-*)(Ao—f)ˆ}! Aa-f£)1

=((^s_f)_(Ao-A))"=(A-f£}Ì

Do đó tập giải thức của f là mở và ( 2 - f ) ˆ” giải tích trên tập này

Đối với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục L trén A, ham L (A - f) ˆ) là

giải tích theo ^ trên tập các giải thức của f, hơn nữa hàm này tiến đến O khi

x—> œ, Giả sử trái lại, tập o(f) = Ø thì hàm L ((^ - f} Ì ) là giải tích và bị chặn trên ©, do đó theo định lý Liouville L ((A - f)” ) = const,

Bởi vì L((^ - ?” ) — 0 khi A—> s nên L ((- £f)”)=0,

Theo dinh ly Hahn — Banach, nếu (^ - f)” # 0 thì tổn tại L e A” để L((A-f}}”) = 1 Vậy theo chứng minh trên (2 - f}” = 0 là một điều mâu thudn

vì phân tử này khả nghịch Vậy ơ(f)z+ Ø

Định lý được chứng minh,

Từ chứng minh định lý 1.1,1,1 ta được 2 kết quả sau đây

1.1.2 Định lý

Nếu ^ e ơfŒ) thì | ^ | < || f ||

1.1.3 Định lý

Nếu ^ thuộc giải thức của f thì d (^„ ø(f))> 1/ || (^ - f}” ||

ở đây d(^,ø(f)) là khoảng cách từ ^ đến tập o(f)

1.1.4 Dinh ly ( Gelfand — Mazour )

Nếu đại số Banach giao hoán là một trường thì nó đẳng cấu, đẳng cự với

trường số phức ©

Chứng mỉnh

Một đại số Banach có đơn vị bất kỳ đều chứa trường con 1.©,Iđẳng cấu, đẳng cự với trường số phức Vì vậy chỉ cân chứng mỉnh rằng nếu đại số A là trường thì mọi fe A đều có ^ e C để f = 1, =^

Giả sử fƒ e A, theo định lý 1.1.1, tôn tại A e ơ(f) tức là A - f khong khả

nghịch., Vì A là trường nên chỉ có duy nhất phân tử 0 là không khả nghịch, tức

là - f=0 hay f= 2

Định lý được chứng minh

$ 1.2 Không gian các ideal cực đại

1 Ideal cực đại và đại số thương

Ideal J của đại số A gọi là cực đại nếu J không trùng với A và J không

chứa trong một ideal chân chính nào của đại số A Tập hợp tất cả các ideal cực

đại của A gọi là không gian các ideal cực đại của đại số A, ký hiệu My

Bổ dé sau day hoàn toàn sơ cấp và đúng cho một đại số giao hoán có đơn

vị bất kỳ

1.2.1.Bổ đề

Moi ideal chân chính của đại số A đêu chứa trong một ideal cực đại Ideal J cực đại khi và chỉ khi đại số thương A/1 là một trường,

1.2.2 Dinh ly

Mọi ideal cực đại của đại số A đều đóng Nếu J là ideal cực đại thì A/J đẳng cấu, đẳng cự với trường số phức

Chứng mỉnh

Trước hết ta kiểm chứng rằng nếu feA và || 1-f || < 1 thì f khả nghịch Thật vậy, nếu || 1-f ||< 1 thì theo định lý 1.1.2, 1 thuộc giải thức của 1 - f, và do

đó 1 — (1 - f) =f là khả nghịch,

Nếu I là ideal chân chính và f e I thì f không kha nghịch Theo điểu đã kiểm chứng ở trên thì || 1 - f || > 1 Bất đẳng thức này cũng đúng với mọi f thuộc bao đóng Ï của I Vậy bao đóng của một ideal chân chính là ideal chân chính Đặc biệt một ideal cực đại là đóng

Giả sử J là ideal cực đại của A Bởi vì J đóng nên A/J là không gian

Banach với chuẩn

lJf+7 l|= mf { |Ìf+ gl|: øg eJ}

Dễ dàng kiểm tra

llfg+JlI<llf+JlI.lls+Jll,£g A

do đó A/J là một đại số Banach giao hoán Bởi vì || l + g ||> 1 với mọi ge J nên

||1 +1 ||= 1 Do vậy A/ là đại số Banach giao hoán với đơn vị là 1+J

Theo bổ để 1.2.1 A/J là một trường, do đó theo định lý Gelfand — Mazour

A/1 đẳng cấu, đẳng cực với ©,

Định lý được chứng minh,

2 Không gian các ideal cực đại

Với mọi đồng cấu phức khác không : @: A —> Ö

Ta đặt Ae= kerp

Bởi vì A/A„ đẳng cấu với C là một trường nên A, là ideal cực đại

1.2.3 Dinh ly

Ánh xạ @ —> A„là một song ánh giữa tập các đồng cấu phức khác không của đại số A và tập các ideal cực đại của A

Chứng mỉnh

Ta còn cần phải chứng tổ mọi ideal cực đại J của A tổn tại duy nhất đồng cấu phức khác không @ sao cho A, = J Theo định lý 1.1.4, A/J đẳng cấu với trường số phức C, do đó ta có thể đồng nhất A/J với C Anh xạ chính tắc

p:A>AN=C

có kere=l VớimọifeA, f+J=^A.+], ở đây 11a 86 phitc duy nhất

để f - ^ e J, do đó œ là duy nhất,

Định lý được chứng minh,

Ký hiệu Mạ là tập tất cả các ideal cực đại của A Để cung cấp tôpô cho

Mạ ta còn cần đến các kết quả sau đây

1.2.4 Bổ để

Cho là một đồng cấu phức khác không khi đó ọ liên tục và || @||= 1 Chứng mỉnh

Bởi vì: @(1Y = @ (1.1) = G1) © ø@(1) (@(1)~ 1) =0, do đó @(1) = 1 hoặc

œ@(1) = 0 Vi @(1) =0 thì @() = @(1.f ) = @(1).@( = 0 với mọi f, nghĩa là œ = 0,

do đó ta có @(1) = 1

Nếu f e A và |^.| > || f || thì ^ - f khả nghịch

Từ hệ thức @œ( ^.- f)@((À- f)”)= @(1) = 1

Ta có ((^ - £) # 0 hay @ (0 # À |

Ti do suy ra | q@(Œ) | < ||f ||( Thật vậy : nếu | p(f) | > || f || thi dat 7 = pf) ta c6

|r| > || f || diéu nay din dén — (f) #A, ta gap mau thudn) Vay o lién tuc va

|| @ || < 1 Bởi vì @ (1) = 1 nên || @ ||= 1

10

Bổ dé được chứng minh

Do bổ để 1.2.4 và định lý 1.2.3 ta sẽ đồng nhất MẠ với một tập con của mặt cầu đơn vị trong không gian liên hợp A” của A, tôpô trên Mạ là tôpô cảm

sinh bởi tôpô yếu trên A”, Đối với tôpô này lưới { @„ } các phần tử thuộc Mạ

hội tụ đến phần tử œ khi và chỉ khi @„( > @ (f) v6i moi feA Co sd lân cận

của điểm W e Mạ là các tập hợp có dạng :

N(M,ft,, ,fn;£)={œ@ceM¿:|q@G;)- Wđ)|<e.1<j<n}

ở đây s >0, n là số tự nhiên, Ít f, f›, ,fn e A

1.2.5 Định lý

Không gian Mẹ các ideal cực đại của đại số A là Hausdorff compact

Chứng mỉnh

Xét lưới{ @„ } c Mạ, @„—> @ vì @„(1) = l với mọi œ nên @„(1) —q(1) = 1

Từ đó œ là đồng cấu nhân khác 0, tức ọ e Mạ Vậy M, là tập con đóng của hình cầu đơn vị Theo định lý Alaoglu, hình câu đơn vị compact trong tôpô yếu,

do đó Mạ cũng compact yếu,

3 Phép biến đổi Gelfand

Cho fe A Ta gọi phép biến đổi Gelfand của f là hàm Ê trên không gian

Mạ xác định bởi hệ thức Ÿ(@)= @()

1.2.6 Định lý

Phép biến đổi Gelfand là một đồng cấu của đại số A lên một đại số Â

của các hàm liên tục trên Mạ Đại số A phân biệt các điểm của Mạ và chứa các hằng số Phép biến đổi Gelfand không làm tăng chuẩn, tức là

^

Iflu, <|fl ›f =A

Chứng mỉnh

Dễ thấy rằng ánh xạ f -> Ÿ là đồng cấu đại số Tính liên tục trên Mạ của

hàm e  suy ra từ định nghĩa của tôpô trên Mạ

11

ọeN(;f,s)=| Ÿ (@)|=|eŒ)|<s

Bởi vì || ||= 1 nên với mọi f e A, @ e Mẹ

| I=I@@ I<IIell IfII<lI£I

Do đó

^

f <iif

Iflu„ <|*l

Bởi vì phép biến đổi Gelfand của phần tử đơn vị của đại số A là hàm đồng nhất bằng 1 trên Mạ, Vì  là đại số nên c.1 =c e  với mọi ce C

Nếu Ÿ (@;) = Ê(q@;) với mọi f € A thi @, (f) = ® (f) v6i moi feA, do d6

@¡= @; Như vậy đại số Â phân biệt các điểm của Mạ ( tức với mọi @ị # @ € Ma

tôn tại Ÿ e  để Ÿ (@i) # Ÿ (@))

Định lý được chứng minh

1.2.7.Định lý

Với mọi fe A phổ ơ(f) của nó trùng với tập Ÿ (Mạ) các giá trị của hàm

Ÿ trên Mạ

Chứng mỉnh

Giả sử 2X € o(f) Boi vi A - f khéng khả nghịch nên ( ^ - f )A là ideal chân chính trong A Do bổ để 1.2.1 tổn tại ideal cực đại J chứa ( 2 - f )A, do đó À- f e IJ Nếu J là hạt nhân của đồng cấu @ thi o( A - f ) = ^A - ọ() = 0, do đó

A=Ê(@) e (Mạ)

Ngược lại, giả sử A e Ÿ (Mạ), chọn e Mạ sao cho Ê (@) = A Khi đó g(f) =A,

œ(^.-f) =0 Vì @ khác không nên ^ - f không kha nghich Vay A € o(f)

Định lý được chứng minh,

12

§.1.3 Ví dụ

1 Đại số C(X)

Dai s6 C(X) tat ca cfc ham phifc trén khéng gian Hausdorff compact X 1A

đại số Banach với chuẩn sup

lÌfllx= sup |fŒ«)| , f e CŒ)

xeX

Với mọi xeX ta có đồng cấu @, e Mcoo xác định bởi công thức

œ@() =f{x), f e CŒ)

1.3.1 Định lý

Với mọi e Mcạo, tồn tại xeX để @ = œ

Chứng minh

Giả sử trái lại, tổn tại œ e Mcœ để @ # @ với mọi x e X tìm được

f, € C(X) sao cho f,(x) z# 0, @Œ,) = 0 ( Vì ộ # @, => kerg \ kerg, # OD =>

df, € kerg, f, ¢ ker œ,, tức là @(f,) = 0 và @,(f,) = £,(x) # 0) Ham | f,| dương thật sự trong một lân cận nào đó của điểm x Do tính compact của X ta tìm được

X1, Xo, X, Sao cho

g=|f,, r THAI + +|f,,

khác 0 khắp nơi trên X Do đó g là phần tử khả nghịch của C(X)

Bởi vì œ( | f, P) = of, £,) = @đ„@( Ÿ,) = 0 với mọi x nên @(g)=0, Vì

g khả nghịch nên œ@(f) = @(f.g ”)g(g) = 0 với V f e A Ta gặp mâu thuẩn vì ọ #0 Định lý được chứng minh

2 Đại số con của đại số C(X)

Mọi đại số con đóng A của đại số C(X) chứa các hằng số là đại số Banach giao hoán với chuẩn sup Nếu A phân biệt các điểm của X thì ánh xạ

X > @, là một phép nhúng X vào không gian Mạ như một tập con đóng

13

Trường hợp đặc biệt sau đây chứng tỏ sự kiện không gian các ideal cực

đại không vét cạn các điểm của X

Ký hiệu A là đĩa đơn vị đóng {| z |< 1} trên mặt phẳng phức Biên của bA

của A là đường tròn {| z |= 1 } Đại số con của đại số C(bA ) lập nên bởi các hàm xấp xỉ đều trên bA bởi các đa thức của biến z ký hiệu là P(bA)

Hệ số Fourier thứ k của f C(bA) xác định bởi công thức

1 28

C¿=—— |f(e°k-°.d6

2 ọ

= + ff (z)z*"" dz

2m bA

Do định lý Fejer, f là giới hạn đều của dãy hàm

s _ fy te tf

ở đây

k=-m k=-m Nếu các hệ số Fourier âm của f bằng 0 thi fn va do d6 o, 1a da thifc của

biến z, Vì vậy fc P(bA) Theo nguyên lý cực đại, dấy các đa thức ơ, hội tụ đều trên A đến một hàm liên tục f , gidi tich trén Int(A) và trùng với f trên biên,

Ngược lại, nếu f e C(bA) có thể thác triển đến một hàm trên A, giải tích

trên Int(A) thì theo định lý Cauchy các hệ số âm trong khai triển Fourier của f

bằng 0 Nói riêng, hệ số Fourier âm bằng 0 đối với mọi feP(bA)

Như vậy ta đã chứng minh được các điểu kiện sau đây của một hàm

fƒ eC (bA) là tương đương

1/feP(bA)

2/ f thác triển liên tục được lên A một hàm giải tích trên Int(A)

14

3/ Hệ số Fourier 4m cilia ham f bằng 0,

Mọi ÀeA xác định một đồng cấu phức trên P(bA) Đồng cất @; này đặt tương ứng thác triển giải tích của f trên A với giá trị của nó tại À Tương ứng

À— œ cho một phép nhúng A thành một tập con đóng trong không gian Mpasa

Giả sử ceMpa„; là một đồng cấu tùy ý Đặt 2 = g(z), ở đây z tọa độ trong đĩa Bởi vì || z |b, = 1 nên | ^ | < 1 nghĩa là A A Hơn nữa @(p(2)) = p(A) = @a(p) đối với mọi đa thức p Vì vậy œ trùng với q, vì các đa thức trù mật trong P(bA)

Như vậy không gian các ideal cực đại của đại số P(bA) trùng với A, Phép biến đổi Gelfand Ê của f e P(bA) là thác triển liên tục của f trên A đến hàm giải tích trên tập Int(A)

3 Dai sé C [0,1]

Với mỗi số nguyên dudng n, C [0,1] 1A khéng gian vecto c4c ham phifc liên tục trên [0,1], có đạo hàm liên tục đến cấp n Không gian C [0,1] 1a dai s6 Banach với phép nhân theo điểm và chuẩn

k« = Sa; sp|f®9@)

k= =ok Ì0<t<l

lf

Không gian các ideal cực đại của CÍ[0,1] là đoạn [0,1]

4 Không gian Lip„[0,1]

Với 0< œ < 1, ký hiệu Lip„[O,1] là tập các hàm phức liên tục trên khoảng

[0,1] thỏa man diéu kién Lipschitz bac a

Chuẩn trong Lip„[0,1] xác định bởi

0<s<t<l |S§— tƑ

Không gian Lip„[0,I] là đại số Banach với phép nhân điểm, Không gian các ideal cực đại của đại số này là [0,1]

15

5 Không gian các dãy hai phía

Giả sử £' là tập các dãy hai phía a = {a, ee có chuẩn

|al= ®)|a;| hữu hạn Tích chập c = a*b của a,b e /! xác định bởi hệ thức

n=-œ

+0

Ca = D)an-kby

k=—00

Không gian £Ì là đại số Banach giao hoán với tích chập là phép nhân

Giả sử e„ e £Ìlà đấy ở vị trí n bằng 1, các vị trí còn lại bằng 0 Khi đó

sọ là đơn vị trong đại số /Ì, Mỗi phần tử ae #Ì có thể biểu diễn dưới dạng

+00

a= a,

n=—œ

Với mọi - œ<n,k< œ ta có: sạ *£v =£a¿¿ Do đó mọi e„ đều khả nghịch và

có e,! =£_n VÀ 6, =£j ,-so€n<œ

Vì vậy ta lại có biểu diễn

oO a= Ð ae

n=

Nói riêng các phân tử e¡„e;` sinh ra đại số £Ì

Mỗi số phức ^ có | ^ |= 1 xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục @; trên

£` theo công thức

@,(a)= Dia,"

Dễ dàng kiểm tra œạ là phiếm ham da nh4n tinh nén g, € M 2

16