Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức 3

Luận văn thạc sĩ kho học ngành Giải Tích-Chuyên đề: Đại Số banach và đại số đều trong giải tích phức

LOI NOI DAU

Luận văn bước đầu tìm hiểu về đại số Banach và đại số đều trong giải tích phức

Chương 1 đưa ra một số khái niệm cơ bản của đại số Banach giao hoán

được sử dụng trong các chương sau là phổ, giải thức, không gian các ideal cực

đại Cuối chương dành cho các ví dụ về đại số Banach Các khái niệm được đưa ra khá tổng quát nhưng định lý cơ bản về phổ (định lý 1.4.1) lại được chứng

minh khá đơn giản Một điêu đáng chú ý nữa là định lý quan trọng Wierner nói

về sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi Fourier (định lý 1.3.2) được suy ra một cách dễ

dàng từ các lý thuyết trình bày ở đây, Đó là một ví dụ về ích lợi của việc

nghiên cứu đại số Banach

Chương 2 tiếp tục xem xét một số khái niệm trong đại số Banach gồm biên Shilov, bao của ideal và hạch Các kết quả đáng chú ý là định lý 2.1.2 về

sự tổù tại cửa biên Shilov, định lý 2,1,3 về liên hệ giữa biên Shilov và biên

tôpô Định lý 2.2.1 cho phép tiếp cận một phần tử cuả đại số Banach với một

hầm giải tích Trong chương để cập đến B* - đại số và chứng minh định lý Gelfand - Naimark (định lý 2.4.1) Sử dụng định lý Gelfand - Naimark, định lý 2.4.5 đã cho sự tương ứng giữa một compact hóa của một không gian tôpô với một không gian hàm

Chương 3 nghiên cứu về đại số đều, là một lớp đại số Banach đặc biệt,

Trọng tâm cửa chương là nghiên cứu các đại số đều các hàm xác định trên các tập compact phẳng (tức là các tập compact trong mặt phẳng phức © ), gồm

+P(K) các hàm liên tục trên K xấp xỉ đều được bởi các đa thức

+ R(K) các hàm liên tục trên K xấp xỉ đều được bởi các hàm hữu tỷ có cực điểm ngoài K

+ A(K) các hàm liên tục trên K giải tích trên Int(K),

+ C(K) các hàm liên tục trên K,

Định lý 3.1.1 và 3.1.2 đã cho các ví dụ nói về sự khác nhau giữa các đại

số này Kết quả quan trọng là định lý 3.1.5 và 3.1.6 chứng tổ K = Mpạo,

ôR(K)=bK, p() = p(K)- R() Từ kết quả này nhận được định lý Runge

cổ điển về xấp xỉ hàm giải tích bởi các đa thức Một kết quả khác là định lý

Arens (định lý 3.2.3) Từ định lý này suy ra Maa = K

Chương 4 nói về độ đo biểu diễn cửa phiếm hàm Kết quả quan trọng

của chương này là cho các tính chất và sự tổn tại của định lý Jensen (định lý

4.1.3, 4.1.4) Trong chương còn đưa ra khái niệm đại số Dirichlet, Trong chương còn chứng minh định lý Walch - Lebesgue (định lý 4.2.3) cho điều kiện

một hàm thực liên tục trên bK có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức điểu hòa Định

lý Walch - Lebesgue cho ta khẳng định P(K) là đại số Dirichlet trên biên ngoài

của K

Để thực hiện bản luận văn chúng tôi đã thu thập, đọc các tài liệu có liên

quan và trình bày các vấn để lại theo để tài mà luận văn đã xác định

Đóng góp khiêm tốn của chúng tôi là đã viết bản luận văn một cách

hoàn chỉnh như một nhập môn về đại số Banach và đại số đều theo hướng giải

tích phức Đã chứng một cách chỉ tiết phần lớn các định lý mà trong tài liệu

trình bày rất cô đọng và vắn tắt Đã xây dựng một số ví dụ và nêu được ý nghĩa

của các kết quả trong luận văn,

Nhân dịp hoàn thành bản luận văn chúng tôi muốn được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đối với các thầy, cô giáo đã tận tâm truyền thụ các kiến thức cho tôi

trong thời gian học cao học Chúng tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn cửa

mình đối với phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại học Khoa học Tự

nhiên và Đại học Kinh tế đã động viên và tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học tập.

MOT SO DINH LY SU DUNG TRONG LUAN VAN

1 Bé dé Zorn

Giả sử X là một tập hợp và < là một thứ tự ( bộ phận ) trên X, tức là với

mọi x,y,z e X ta có x <x ; nếu x < y và y <x thì x = y và nếu x < y, y < z thì x <z ( phần xạ, đối xứng và bắc câu )

Một tập con A c X được gọi là sắp tuyến tính nếu moi x,y € A thixs y

hoặc y <x Phần tử a e X gọi là một biên ( cận ) trên của A nếu : x < a với mọi

x € A, Phan tt a € X được gọi là phần tử cực đại nếu moi x e X mà a< x thì

a=x

Bé dé Zorn

Cho tập X # Ø và < là một thứ tự trên X Nếu mọi tập con được sắp

tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại

2 Dinh ly Stone — Weiesstrass

Giả sử A là một tập các hàm xác định trên tập E khi đó ta nói

- A phân biệt các điểm của E nếu mọi xị, Xạ e E; xị # x; đều tổn tại f e A để

- A chứa các hằng số nếu các hàm hằng đều thuộc A,

Giả sử E là không gian mêtric compact và Cp(E), ( Cc(E) ) là không gian Banach các hàm thực ( phức ) liên tục trên E với chuẩn sup

Định lý Stone — Weiesstrass

Nếu đại số con A c Cạ(E) phân biệt các điểm của E và chứa các hằng số

thì A trù mật trong Cg(E)

Nếu đại số con A c Cc(E)phân biệt các điểm của E, chứa các hằng số và

f 6A kéo theo f e A thì A trù mật trong Cc(E).

3 Dinh ly Hahn - Banach

Cho E là một không gian vecto va p: E-> R 1a m6t ham thực Khi đó

- p goi 1A một sơ chuẩn nếu p ( ax) = op(x) với mọi œ > o, x e E và

p (x+y) Sp(x) + p(y) với mọi x,y e E,

- D gọi là một nửa chuẩn nếu p(x) > 0 với mọi x e E; p(œx) = | œ | p(&)

với mọi vô hướng œ ( [R hoặc C), x € E; p(x +y ) S p(x) + p(y) V6i mọi x,y cE,

Như vậy chuẩn là nửa chuẩn và nữa chuẩn là sơ chuẩn

Định lý Hahn ~ Banach cho không gian vectơ thực

Cho E là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian vectơ con F của E thỏa

mãn Í(x) < p(x) với mọi x e F thì tổn tại phiếm hàm tuyến tính F xác định trên

E sao cho fg =f va f(x)s p(x) v6i moi x € E,

Định lý Hahn-Banach cho không gian vectơ phức

Cho E là một không gian vectơ phức, p là một nửa chuẩn trên E, Nếu f là

một phiém ham tuyến tính trên không gian con F của E sao cho | f(x) |S p(x) véi

moi x e F thì tổn tại phiếm hàm tuyến tính F trên E sao cho fp =f va

| f (x) |< p(x) v6i moix e E

Hé qua

Giả sử F là một không gian vectơ con của không gian định chuẩn E và vectd v € E\F sao cho d(v,F) = ö >0 Khi đó tổn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho || f ||= 1, fir = 0 va f(v) = 6

Đặc biệt nếu F = {0} thì || f ||= 1 và f(v) = || v ||

4 Nguyên lý bị chặn đều

Cho E, E' là các không gian định chuẩn Một họ các ánh xạ tuyến tính

{f },< từ E vào E? gọi là bị chặn theo điểm nếu

sup| f„(x)|<« ,xeE

acl

gọi là bị chặn đêu nếu

supl| f„ |< œ

œel

Nguyên lý bị chặn đều

Nếu E là không gian Banach thì mọi họ ánh xạ tuyến tính bị chặn theo

điểm trên E là bị chặn đều

5 Định lý tách tập lôi

Cho f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn trên E,

Khi đó với mọi œ e R ta gọi : H = { x: f(x) = œ } là siêu phẳng thực trong E Xét

bốn tập lôi

Fu={x:Kœ)<Xœ}; : F={x:fœ)>œ},

G„={x:f&)<œ}; G’={x: f(x)>a}

Nếu f liên tục ( hay một cách tương đương H đóng ) thì F„„ F” là các tập đóng; G„, G7 là các tập mở

Hai tập A và B gọi là được tách ( tách thực sự ) nếu tổn tại siêu phẳng H

sao choA cF,, Bo F*(AcG,,BCG")

Định lý tách tập lỗi thứ nhất

Nếu A là tập lỗi trong không gian định chuẩn E sao cho int(A) # Ø và B

là một tập lỗi khác rỗng trong E không giao với int(A) Khi đó tổn tại một siêu

phẳng thực đóng H tách A và B, Nếu cả A và B đều mở thì nó tách thực sự

Định lý tách tập lôi thứ hai

Nếu A va B là các tập lỗi khác rỗng không giao nhau, A đóng, B compact Khi đó tổn tại một siêu phẳng đóng H tách thực sự A và B.

6 Dinh ly Alaoglu

Cho E là một không gian vectơ Không gian vectơ E” gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên E gọi là không gian liên hợp của E E” = (E)” gọi là không gian liên hợp thứ hai của E

Tôpô yếu nhất trên E để mọi f e E” liên tục gọi là tôpô yếu trên E

Nếu E là một không gian định chuẩn ánhxạ (:E->E” xác định bởi

(x)(f) = f(%) với Vx eE,f eE” là một phép nhúng,

Do vậy, ta có thể coi Ec E”

Tức là mỗi x e E được đồng nhất với một phiếm hàm trên E” Tôpô yếu nhất trên E` để các phiếm hàm xeE = g(Œ) c E” liên tục gọi là tôpô "yếu trên

*

E

Dinh ly Alaoglu

Nếu E là không gian định chuẩn thì hình cầu đơn vị đóng

B ={geE:|lg||< 1 } Ja tach Hausdorff và compact ” yéu

7 Dinh ly Fejer

Cho f là một hàm thực liên tuc, tuan hoan v6éi chu ky 2 x Dat

C

m

n

= = [fŒ ”*dx gọi là hệ số Fourier thứ m của hàm f Chuỗi

7 —T

f(x)= 5 Cạe'”" gọi là chuỗi Fourier ciia ham f(x) va s, (x) = > C,ei* goi

là tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier

So(X)+-::+s,(X)

là trung bình cộng của n +Í tổng riêng đâu

+

Đặt: Ø,(x)=

tiên.

Dinh ly Fejer

Néu f lién tục, tuần hoàn với chu kỳ 2z thì ta có lim o,(x)=f(x) đều

trên toần trục số

8 Dinh ly Liouville

Ham phức f xác định trên một tập chứa điểm z¿ của mặt phẳng phức được gọi là giải tích ( hay chỉnh hình ) tại zo nếu có một lân cận của điểm zọ để f

xác định và có đạo hàm phức Í”(z) tại mọi z thuộc lân cận này, Một cách tương đương, có một lân cận của điểm zo để mọi z trong lân cận này hàm f khai triển

£(m) =a +ay(n-z)+a(n-z) + +a(n-z)+

với bán kính hội tụ dương

Dinh ly Liouville

Nếu f là một hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức và bị chặn ( tức là

tốn tại M < œ sao cho |f(z) |<M với mọi z e € ) thì f = const.