Phương trình Parabolic phi tuyến trong miền hình cầu 3

Luận văn thạc sĩ toán Giải Tích-Chuyên đề :Phương trình Parabolic phi tuyến trong miền hình cầu

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trang miJn hinh cdu

trang1

CHUaNGl PHA.N TONG QUAN

Trong lu~n van nay, chung toi nghien cUu phuO'ng trinh nhi~t phi tuySn trong mQt hinh c~u dO'llvi thuQc d~ng:

(1.1) Ut-a(t{urr+~Ur)+F(U)=f(r,t),O<r<l, O<t<T,

(1.2)

I

lim rur(r,t)

1

< +00, ur(1,t) + h(t)(u(l,t) - uo)=0,

r +O+

v6i diSu ki~n d~u

(1.3) u(r,O) = uo(r),

ho~c diSu ki~n T-tu~n hoan

(1.4) u(r,O) = u(r,T),

v6i

(1.5) F(u) =IIuP-2 u,

trong do, 2::;p < 3, lio la cac h~ng s6 cho tru6c, aCt),h(t), f(r,t), uo(r) la cac

ham s6 cho tru6c thoa mQts6 diSu ki~n mlo do ta se chi ro sau do

PhuO'ngtrinh (1.1) la phuO'llgtrinh nhi~t phi tuySn trong mQt hinh

c~u dO'll vi ~X,y,z): r = ~X2 + y2 + Z2 < 1~ trong do u(r,t) la nhi~t dQ t~i mQi

diSm tren m~t c~u 8r = {(x,y,z): x2 + y2 + Z2 = r2} t~i thai diSm t, v6i

r < 1, 0 < t < T,

f(r,t) - F(u) la ngu6n nhi~t,aCt)la h~ s6 truySnnhi~t

DiSu ki~n bien (1.2) tren m~t c~u 8] mo ta s\1'traG d6i nhi~t v6i moi

truang bell ngoai, ma moi truang bell ngoai co nhi~t dQkhong d6i la lio, 6 day h(t) la h~ s6 traG d6i nhi~t v6i moi truang bell ngoai Trong (1.2), diSu ki~n I!~~ rUr(r,t)1< +00 se t\1'dQng thoa nSu u(r,t) la nghi~m c6 diSn cua bai

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 2

toan, ch~ng h:;mnhu U E C2((0,1) x (O,T))n C1([0,1]x [O,T]} DiSu ki~n nay duQ'c dua vaG co lien quan dSn vi~c su d~mgkhong gian Sobolev co trQng va chuySn d6i bai toan vS bai toan biSn phan (xem [2, 6, 7, 9])

Thay vi kh~lOsat bai toan trong hinh c~u dan vi, trong [8] Minasjan dfinghien Clmphuang trinh nhi~t trong dia trim dan vi du6i day:

(1.6)

lien kSt v6i diSu ki~n bien

(1.7) Ur (O,t) = Ur(l,t) + h(t)u(1,t) = 0,

va v6i diSu ki~n T-tu~n hoan (1.4), 6 day cac ham a(t), h(t), f(r,t) la ham

T-tu~n hoan theo thai gian Y nghia v~t ly cua bai toan (1.4), (1.6), (1.7) la

mQtdong nhi~t tu~n hoan trong mQthinh tf\l vo h~n v6i gia thiSt r~ng hinh

tn:lphl,lthuQc vaGsl,l'trao d6i nhi~t mQt cach tu~n hoan 6 bS m~t (r = 1) v6i

moi twang bell ngoai co nhi~t dQ zero, phia trong hinh tf\l, ngu6n nhi~t d<3i xUng trl,lc thay d6i mQt cach tu~n hoan Minasjan [8] dfi tim mQt nghi~m c6 diSn cua bai toan nay b~ng cach dung biSn d6i Fourier Phuang phap nay d~n dSn mQt h~ gia chinh qui vo h~n cac phuang trinh d~i s<3tuySn tinh

Tuy nhien tinh giai duQ'ccua h~ nay khong duQ'cchUng minh chi tiSt trong

[8]

Trong [4] Lauerova dfi chUng minh r~ng v6i cac dfr ki~n T-tu~n hoan, bai toan (1.4), (1.6), (1.7) co mQt nghi~m ySu T-tu~n hoan theo t.

Trong truang hQ'p lio = 0, f = 0, FE cl(IR), F'(u) '? -/3 (fJ > ° du nh6), cac

tac gia trong [5] dfichung minh bai toan

(1.8) u,-a(t)(u~+ >,)+F(U)=O, O<r<l, O<t<T,

Khao sat phuang trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 3

lien kSt v6i diSu ki~n bien (1.7) va v6i diSu ki~n tuAn hoan (1.4) co duy

nh~t mQt nghi~m ySu T-tuAn hoan trong cac khong gian Sobolev co tn,mg

thich hqp Han mIa, nghi~m nay cling ph\l thuQc lien t\lC theo cac ham

aCt),h(t).

Trong lu~n van Th~c sy [10] da:xet bai toan v6i diSu ki~n dAti

u,-(u,,+ :U,)+F(U)=f(r,t), O<r<1, O<t<T,

(1.10)

I

hill Frur (r, t)

1

< +00, ur (1,t) + h(t)(u(l, t) - lio) = 0,

r-+O+

(1.9)

v6i diSu ki~n dAti (1.3) hay diSu ki~n tuAn hoan (1.4), trong do

I 1

112

F(u)=£u u, £>0.

Trong lu~n van nay, chung toi nghien Clm bai toan phi tuySn v6i diSu ki~n dAti(1.1)-(1.3) va bai toan diSu ki~n tuAnhoan (1.1), (1.2), (1.4)

IIP-2

F(u) =u u, 2'5,P < 3,

cho

a, hE wl.oo(o,r), aCt) ~ ao > O.

NQi dung lu~n van duQ'ctrinh bay theo thu t\1'sau:

Chuang 1 la phAngi6i thi~u bai toan va noi qua mQt s6 kSt qua da: cong b6 tru6c do va trinh bay b6 C\lCcua lu~n van.

Chuang 2 la phAn trinh bay mQt s6 cac ky hi~u, cong C\l, cac khong gian ham Sobolev co tn.mg,tinh ch~t cac phep nhung co lien quail

Trong chuang 3, chung toi trinh bay chUngminh bai toan diSu ki~n dAti(1.1)-(1.3) co nghi~m ySu duy nh~t trong cac khong gian Sobolev co trQngthich hqp b~ng phuang phap Galerkin

Trong chuang 4, chung toi trinh bay chUng minh S\1'tfm t~i nghi~m

ySu T-tuAn hoan cua bai toan (1.1), (1.2), (1.4), trong do bai toan x~p xi hltu h~n chiSu cho bai toan tim nghi~m T-tuAn hoan co thS tim duQ'cnha

vao bai toan diSu ki~n dAtithong qua dinh ly anh x~ co Cling trong chuang

Khao sat phuong trinh parabolic phi tuyin

trong miJn hinh cdu

trang 4

nay, tinh 6n dinh cua nghi~m ySu T-tufin hoan d6i v6i f, h, lio cling duQ'c

chUngminh

Phfin cu6i cling la phfin t6m luQ'ccae phfin da:trinh bay trong lu~n van va tai li~u tham khilO