Đề luyện thi vào lớp 10 -môn Toán(10-11)

b Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất... c Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên n

ĐỀ SỐ 1 Bài 1.

a) Chứng minh :

b) Giải hệ phương trình :

Bài 2.

Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính giá trị nhỏ nhất này

Bài 3

Gọi (P) là đồ thị của hàm số và (d) là đồ thị của hàm số

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0

Bài 4 Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M là một điểm di động trên cung AB(M khác A và B) Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C

và D

a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M di động trên cung AB

b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất

BÀI GIẢI Bài 1

Vậy hệ có nghiệm là : hoặc

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x f(x)

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm : =  x2 – x – 2 = 0

Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)

Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2Suy ra nghiệm của phương trình x2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2

Bài 4

2a) AC.BD không đổi

Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)

Và OC là phân giác của góc , OD là phân giác của góc

Mà và kề bù nên suy ra CO  OD

Mặt khác OM  CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi)Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) khi M di động trên cung ABb) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng vuônggóc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông

Diện tích = R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi

Nên nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất , CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD vuông góc với hai tiếp tuyến tại A và B

 M là điểm chính giữa của cung AB ,

3

ĐỀ SỐ 2 Bài 1.

a) Chứng minh AEDF là hình vuông

b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF

c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC

Bài 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

BÀI GIẢI Bài 1

a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt.

Nhưng do (1) có nghiệm x1 ; x2 khi và chỉ khi 1 ≤ m ≤

Giá trị lớn nhất của E là : 6 – (  3 )2 =

Giá trị nhỏ nhất của E là : 6 – (1 – 3)2 = 2

Bài 3.

a) Chứng minh AEDF là hình vuông

Ta có tứ giác AEDF có và đường chéo AD là phân giác của góc EAD nên AEDF là hình vuông

b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF

Áp dụng định lí Py ta go cho vuông ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2

   , mà AE = DF (cmt)

EF là đường chéo hình vuông cạnh DF , nên : EF = =

c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động trên nửa đường tròn có đường kính BC

+ Ta có : ABD AMC do :

(AD là phân giác)

(góc nội tiếp chắn cung AC)

Suy ra :  AB.AC = AM.AD

Khi A di động trên (O) thì tam giác ABC luôn là tam giác vuông, nên AEDF luôn là hình vuông và AB.AC = AM.AD

Do đó AEDF là hình vuông  AD  EF và AD = EF

Bài 4: Đk :

Vì và nên A đạt GTNN đạt GTNN,tức là x – 1 = 0 Khi đó A = Vậy với x = 1 thì minA =

-ĐỀ SỐ 3Bài 1.

a) Tìm x biết

b) Chứng minh đẳng thức :

với x > 0 , x ≠ 1

6

Bài 2.

Cho hàm số y = ax2 và y = – 2x + m có đồ thị lần lượt là (P) và (d) trên cùng một trục số a) Tìm a để (P) đi qua điểm A(1 ; ), tìm m để (d) cũng đi qua A

b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được

c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) tiếp xúc với (P)

Bài 3

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam giác,

M là điểm trên cung BC không chứa A

(P) đi qua A(1 ; )  = a.12  a =  y = x2

(d) đi qua A(1 ; )  = – 2.1 + m  m =  y = – 2x +

b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được

f(x)=-2*x+5/2 x(t)=t , y(t)=1/2

-2

2 4 6 8 10 12 14

x

c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) tiếp xúc với (P)

Lập pt hoành độ giao điểm :

Do đó AM là đường kính đường tròn tâm (O)

b) Ta có : E đối xứng của M qua AC

c) Theo cmt : BC = NE  NE lớn nhất khi và chỉ khi BC lớn nhất

tức là dây cung BC lớn nhất khi và chỉ khi BC là đường kính

khi đó tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng với A

và M là điểm đối xứng với A qua O

NE = 13.04 cm

N'E' = 13.91 cm

E' N'

-9

ĐỀ SỐ 4

Bài 1.

Cho các biểu thức P = và Q =

a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa

b) Với giá trị nào của x thì P = Q

c) Với giá trị nào của x thì P có nghĩa còn Q không có nghĩa

Bài 2

Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 1, rồi tìm nghiệm còn lại

Bài 3.

Một xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc 4km/h thì đến muộn hơn 1 giờ Tính vận tốc dự định và thời gian dự định lúc đầu

Cho các biểu thức P = và Q =

a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa

Ta có : P = có nghĩa khi và chỉ khi  (x + 3)(x – 3) ≥ 0

(Áp dụng xét dấu của tích hai thừa số không âm khi chúng cùng dấu)

 x ≤3 hoặc x ≥ 3

Q = có nghĩa khi và chỉ khi

b) Với giá trị nào của x thì P = Q

Ta có : P = Q  x ≥ 3

c) Với giá trị nào của x thì P có nghĩa còn Q không có nghĩa

Để P có nghĩa còn Q không có nghĩa khi và chỉ khi x ≤3

Bài 2

Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  = m2 – 4.3.12 > 0  m2 – 144 > 0

 (m – 12)(m + 12) > 0  m < – 12 hoặc m > 12

b) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 1, rồi tìm nghiệm còn lại 10(1) có một nghiệm x1 = 1  a + b + c = 0  3 + m + 12 = 0  m = – 15

Khi đó nghiệm còn lại : x2 =

Bài 3.

Một xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc 4km/h thì đến muộn hơn 1 giờ Tính vận tốc dự định và thời gian dự định lúc đầu

Gọi x là vận tốc dự định đi hết quãng đường AB (x > 0 , km/h)

a) Kẻ đường kính CE, vì AC  CE , mà BD // AC nên BD  CE

Vậy kẻ BD vuông góc CE cắt đường tròn tại D

b) Chứng minh : IC2 = IK.IB

Xét IBC và ICK có : góc I chung và

11

Ta có : = (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

= (góc nội tiếp chắn cung KC)

Nên

Do đó : IBC  ICK   IC2 = IK.IB

c) Khi = 60o thì cân BAC trở thành tam giác đều

Nên AB = AC = BC

Tứ giác ACOB nội tiếp được suy ra

= 120o  = 60o (góc nội tiếp chắn cung BKC)

Trùng với AO là phân giác

Vậy khi = 60o thì cát tuyến

AKD đi qua O

-12

I K

ĐỀ SỐ 5 Bài 1.

a) Tìm giá trị của m biết x = 1 và y = 5

b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Bài 4.

Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = – 5

b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M =

b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN

c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R Tính diện tích tam giác AMN

BÀI GIẢI Bài 1.

b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Ta có : y = ax2 nếu a > 0, nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Mà a = m2 – 6m + 9 + 3 = (m – 3)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị m

Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x >0

Bài 4.

Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = – 5

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H của đoạn

OB cắt đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của MN, vẽ AK vuông góc với MN, BI cắt

AK tại D

a) Tứ giác DMBN là hình gì ?

b) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN 14c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R Tính diện tích tam giác AMN

Giải :

c) Biết AM.AN = 3R2 và AN = R  AM = R = AN

suy ra tam giác AMN cân tại A

Trong tam giác vuông ABN có AN = R ; AB = 2R   = 60o

M

a) Ta có : AK  MN

Mà I là trung điểm MN nên OI  MN

Suy ra : OI là ĐTB của ADB  I là

trung điểm của DB, tứ giác MDNB có

hai đường chéo MN và DB cắt nhau tại

trung điểm I của mỗi đường , nên

MD, AK là hai đường cao của tam giác

AMN, nên D là trực tâm của tam giác

AMN

a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta đều có :

b) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình : 6x2 + 5y2 = 74

Bài 4.

Cho đường tròn (O ; R) Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Dây AE cắt CO tại F, dây DE cắt AB tại M

a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ?

b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp được trong đường tròn Tìm tâm đường tròn đó.c) Chứng minh các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy

Bài 5.

Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì :

BÀI GIẢI Bài 1

a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta đều có : (1)

(1)   (a, b dương)  (a2 – 2ab + b2) ≥ 0 : Đúng

Nhưng k = 2 thì v = 10 không là số chính phương, nên loại k = 2

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình cần tìm là (3 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2)Cách khác :

6x2 + 5y2 = 74  6(x2 – 4) = 5(10 – y2)

Suy ra : x2 – 4 = 5u và 10 – y2 = 6v do đó u = v 17

a) Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì ?

b) Chứng minh rắng tứ giác FCBM nội tiếp được trong đường tròn Tìm tâm đường tròn đó.c) Chứng minh các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy

a) Ta có

(góc nội tiếp chắn cung EBD) (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

mà (E là điểm chính giữa của cung BC)

Suy ra : =  ECF cân tại E

Chứng minh tương tự : EMC cân tại E

suy ra : hai góc BCF và BCM cùng nhìn FM đưới

một góc bằng nhau, vậy tứ giác BCFM nội tiếp

được trong đường tròn

EC = EF = EM = EB suy ra E là tâm đường tròn

ngoại tiếp tứ giác BCFM

+ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Từ đó suy ra : FK = KM và KB = KC nên K thuộc trung trực OE

E

D

C

B O

A

Tương tự bằng cách hoán vị vòng quanh, ta được : ;

Thay vào (1), áp dụng (2) , ta được :

M = 3 + + + = 3 + = 3 + = 3 + 6 = 9 (đpcm)

-

-19

ĐỀ SỐ 7

Bài 1.

Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P)

a) Chứng minh rằng điểm A nằm trên (P)

b) Tìm m để đồ thị (d) của hàm số : y = (m – 1)x + m , m   và m ≠ 1 cắt (P) chỉ tại một điểm

c) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 1 đồ thị (d) của hàm số y = (m – 1)x + m luôn đi qua một điểm cố định

b) Chứng minh : BC.AF = CH.CA

c) Gọi O là trung điểm của đường chéo AC Chứng minh tam giác EOF là tam gaíc cân và tính diện tích tam giác đó

a) vì tức là tọa độ điểm A thỏa mãn y = x2 có đồ thị (P) , A  (P)

b) Đồ thị đường thẳng (d) : y = (m – 1)x + m chỉ cắt (P) : y = x2 taị một điểm tức là

phương trình hoành độ giao điểm có duy nhất một nghiệm :

pt hoành độ giao điểm : x2 = (m – 1)x + m  x2 – (m – 1)x – m = 0 (1) với m ≠ 1(*)

(1) có nghiệm duy nhất   = 0  (m – 1)2 + 4m = 0  ( m + 1)2 = 0  m = – 1 (thỏa (*))c) Gọi M(xo ; yo) là điểm cố định mà (dm) đi qua với mọi m ≠ 1

Ta có : với mọi m ≠ 1 thì yo = (m – 1)xo + m  mxo – xo + m = yo  m(xo + 1) = xo + yo Với xo = 1  m.0 = 1 + yo  yo = 1

Vậy với mọi m ≠ 1 thì (d) luôn đi qua một điểm cố định M(– 1 ; 1)

Vậy với mọi m thì đường thẳng (d) : y = (m – 1)x + m luôn đi qua 1 điểm cố định , mà cụ thể điểm đó là M(– 1 ; 1)

Bài 2.

hoặc hoặc

b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn x2 – 2xy + 3 = 0

Ta có : x2 – 2xy + 3 = 0  x(x – 2y) = -3  x = - 1 , x – 2y = 3 hoặc x = 1 ; x – 2y = -3

Và nửa chu vi là 50 = x + y (1)

Chiều dài lúc sau : 2x , chiều rộng lúc sau : 3y

Và nửa chu vi lúc sau là ; 120 = 2x + 3y (2)

Nên ta có hệ phương trình :

 Vậy diện tích khu vườn ban đầu là : 30.20 = 600 (m2)

b) Chứng minh : BC.AF = CH.CA

c) Gọi O là trung điểm của đường chéo AC Chứng minh tam giác EOF là tam gaíc cân và tính diện tích tam giác đó

21

O I

H

F

E

C B

a) Ta có :  tứ giác BHCE nội tiếp được trong đường tròn đường kính BC

và AD // BC (ABCD là hình bình hành) mà FC  AD (gt) nên FC  BC tại tiếp điểm C

do đó : FC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

b) Chứng minh : BC.AF = CH.CA

Ta có : (so le trong) vuông BCH  vuông CAF

  BC.AF = CH.CA

c) Vì O là trung điểm của AC , AC là cạnh huyền chung của hai tam giác vuông ACF và ACE

nên hai trung tuyến OF và OE bằng nhau (cùng bằng nửa cạnh huyền AC)

Vậy EOF cân tại O

Hơn nữa, OF = OE = OA = OC = AC = 3 cm nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECF

Mà = 60o , và là góc nội tiếp chắn cung ECF suy ra góc ở tâm EOF bằng 120o

Nên trong tam giác cân OEF có = 30o

Gọi K là trung điểm của cạnh đáy EF của tam giác cân OEF , ta có :

Dấu bằng xảy ra khi x = 2008

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 tại x = 2008 22

ĐỀ SỐ 8Bài 1.

Cho biểu thức A = với điều kiện biểu thức có nghĩaa) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của A khi a =

Bài 2 Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 – 2mx + 2m – 2 = 0

a) Chứng minh rằng pt có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của pt Tìm m để biểu thức y = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM

c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A, B

BÀI GIẢI Bài 1 a) Ta có A =

x 1 0 1 2

vẽ đồ thị hàm số

f(x)=-(1/2)x^2 x(t)=-2 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-2 x(t)=2 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-1/2 f(x)=-(1/2)*x-1

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x f(x)

b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM

c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm A, B

CMB  CAP

(Góc C chung, cùng chắn cung AM)

Suy ra :  CM.CP = CA.CB

b) Theo gt : PQ vuông góc dây cung AB nên

Do đó : MQ là phân giác của góc

Mặt khác MQ  MP ( = 1v chắn nửa đường tròn)

C, M P thẳng hàng nên MQ  MC

Vậy MC là phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM

c) Khi (O) thay đổi nhưng luôn qua hai điểm A, B , suy ra O chạy trên đường thẳng PQvới do đó MQ luôn là phân giác trong của AMB

Suy ra MQ cắt AB tại K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có :

mà A, B, C cố định nên không đổi  K cố định Vậy MQ luôn đi qua điểm K cố định

ĐỀ SỐ 9 Bài 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức

Bài 3:(3,5 điểm) Cho (O;R) và dây cung AB Gọi C là điểm nằm chính

giữa cung lớn AB Từ C kẻ đờng kính CD trên tia đối của CD lấy điểm S Nối SA cắt đờng tròn tại M (M khác A) Nối MB cắt CD tại K, MC cắt AD tại H

a, Chứng minh tứ giác DKMH nội tiếp một đờng tròn

b, Chứng minh HK song song với AB

c, Chứng minh CK.CD = CH.CM

Bài 4:(1,5 điểm) Cho đờng thẳng d: y = ax + b và (P): y = kx2

a, Tìm a và b để đờng thẳng d đi qua 2 điểm A(2;3) ; B(3;9)

b, Tìm k (k khác không) sao cho (P) tiếp xúc với đờng thẳng d

Bài 5:(1,0 điểm) Cho x và y là 2 số thỏa mãn:

Tính B = x2 + y2

BÀI GIẢI Bài 1

Suy ra tứ giác DKMH nội tiếp một đờng tròn

b) Ta có ( tứ giác DMHK nội tiếp)

( tứ giác ABDM nội tiếp)

Từ đó suy ra , mà 2 gúc này ở vị trớ đồng vị suy ra HK song song với AB

a) Đi qua điểm A(2;3) thay x = 2 và y = 3 3 = 2a + b (1)

Đi qua điểm B(3;9) thay x = 3 và y = 9 9 = 3a + b (2)