Tuyển chọn 33 bộ đề luyện thi vào lớp 10 THPT môn Toán (có lời giải chi tiết)

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 MÔN THI:TOÁNVÒNG II Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Câu I.3 điểm Câu II.3 điểm 1Tìm số tự nhiên n để n 5 v

Đề 1

Bộ giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015-2016

y





Cõu 3 Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I Đường

thẳng AI cắt BC tại D Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1) Chứng minh rằng EF song song với BC.

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn.

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Cõu 4.

1) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015  Kớ hiệu ụ ,i j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j Ta viết cỏc số

nguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau :

i) Số 1 được viết vào ụ (1,1).

ii) Nếu số k được viết vào ụ i j,  , i 1 thỡ số k+1

được viết vào ụ i 1,j 1.

iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được

viết vào ụ  j 1,1 (Xem hỡnh 1.)

Khi đú số 2015 được viết vào ụ m n,  Hóy xỏc định

Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình

Nếu y 0 nhân hai vế của phương trình với y

X 2 – 1  (x -1) 2 ta có x+1  x-1 suy ra 2  x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3

3) Với x y, là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 2  2y  1 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 3xy1

Phương trình có nghiêm khi   0 suy ra 4 – 12p 2  0 3 p2  3 p 3

Vây max P = 3 khi 1

b) Ta có : BC FE  FED EDB BED    

mà APM  180   AEM BED  APM DEF

Tương tự : DFE APN

mà MJN MDNEDF  MJN MPN   180   MPNJ nội tiếp

c) Ta có : APM  DEF và JPM  JNM  JEM  JPM  APM  A PJ, thẳng hàng

D A

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I.(3 điểm)

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên n để n 5 và n 30 đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

1) Chứng minh rằng BNAC

2) Gọi Qlà điểm đối xứng với A qua N.Đường thẳng ACcắt BQtại D.Chứng minh rằng bốn điểm B D N C, , , cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là  O

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O tại G khác D.Chứng minh rằng NG

song song với BC

Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S

Câu 1: 1 Đặt

3 3 3

5 30

1

1

3 3

Q

N

H M A

 Tam giác PNB cân tại B BN = BP.

Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP

 Tứ giác ACPB là hình bình hành  AC = BP  AC = BN

b,Do tứ giác ACPB là hình bình hành  PACAPB

Mà tam giác PBN cân tại B  APBANB  ANBPAC  CAN BNQ

Có: AC = NB, NQ = AN

 BNQ CAN  NBDNCD  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

c, G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAGBQG

Mà GBQGCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA

 GA AC GQ QB  GA GQ

Mà BNCBDCAGQ  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ

 GQANCB NCBGDC  GC = NB  NG//BC

Câu 4 Giả sử trên mặt phẳng có n điểm thẳng hang thì tồn tại một đường thẳng

Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng Thay

n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng

Đề 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường đại học sư phạm Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi :TOÁN

( Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên ) Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức

2

2 2

2 2

1 1 1

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức 2 2  

0 0 5 0 0 10 0

Câu 3(1.5điểm )Cho a, b là các số thực khác o.Biết rằng phương trình a x a  2b x b  2 0

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Câu 4 ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC =

600 Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I

1> Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp

2 Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức 2 2  

m

vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một

nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02y02 5x0 y0 10 0  1

Cho a, b là các số thực khác o Biết rằng phương trình a x a  2b x b  2  0

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m

Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và   0 suy ra a b

Câu 4

1 1 120o 1 1 120o 60o 180

Mà hai góc này đối nhau

Nên tứ giác AB 1 IC 1 nội tiếp (đpcm).

2 Vì tứ giác BC 1 IK nội tiếp nên  

A

Và  

1

BIK BC K( góc nội tiếp cùng chắn BK )

Từ (1), (2) suy ra B 1 C 1 là đường trung trực của AK nên AK  B 1 C 1 (đpcm

Câu 5 ( 1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi: Toán ( Dùng cho học sinh chuyên toán và chuyên tin) Thời gian : 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm) 1 Cho a ≥ 0, a # 1 Rút gọn biểu thức

Tìm giá trị của biểu thức P x y   x2  xy y 2

Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một

cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách

từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax 2 với a < 0 là hình biểu diễncổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2 b2   1 2(ab a b  )

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC.

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giácABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt

là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng:

1 MX BF ; 2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng ; 3 EF BC

Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các

điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm

đó là các số nguyên).Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên.

Nếu xy> 1/3 Thì P = 2 ; Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy

Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một

cái cổng có hình parabol Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách

từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax 2 với a < 0 là hình biểu diễncổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn

1 Ta có BE, CF, AD là ba đường cao

Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp

Góc ACB = góc XFB = góc FBX

( cùng chắn cung AB, góc trong bằng góc ngoài đối diện)

Tam giác BXF cân suy ra XF = XB

Vì M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy XM là trungtrực BF hay MX BF

2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS

ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Vậy Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY đồngdạng tam giác ADC suy ra

Đề 5

Đề 6

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1 : (1 điểm) Tính: A 3x2 2x x 2 1 với x  2

12

Bài 4:(2,0 điểm) Cho phương trình x2  2(m1)x2m0 (m là tham số)

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC.

Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N Đường thẳng BM cắt đường tròn đườngkính MC tại D

1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn đó.2) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN

3) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC

4) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P Chứng minh ba điểm P M, N thẳng hàng

§Ò 7

Hải Phòng ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học: 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

I Phần 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.

1 Điều kiện xác định của biểu thức A = 2x21

6 Cho đường tròn (O) đường kính AC, hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (Trong

hình 2) Biết ACB 70 0 Số đo góc AMB bằng

R



C 33

R



D 53

b/ Tìm m để đồ thị (d) và (d’) của hai hàm số cắt nhau tại một điểm có hoành độ dương.

Bài 2 (2,0 điểm) 1 Cho phương trình x2 – (m – 3)x – m + 2 = 0 (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm.

A Hình.1

A

M

2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi ngược dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ 15 phút Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 60 km

và vận tốc dòng nước là 4 km/h

Bài 3 (3,0 điểm) Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH Gọi I và K lần

lượt là hình chiếu của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O).

a) CMR các tứ giác AHBI và AHCK nội tiếp đường tròn.

b) CMR  AHI và  AKH đồng dạng.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AI và AK  ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để

AH = AM + AN ?

Bài 4 (1,0 điểm) Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN

Phần 1 Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,25 điểm

Vậy điểm M(-1; -1) tọa độ giao điểm của (d) và (d’) 0,25đ

b/ Xét phương trình hoành độ giao điểm

dương  x = 1 4

3

m

 > 0  1 – 4m >  m < 1

x  loại Vậy vận tốc thực của ca nô là 20km/h 0,25đVận tốc ca nô xuôi dòng là x 4(km h/ ) , ngược dòng là x 4(km h/ )

Thời gian ca nô xuôi dòng là 60 ( )

0,25đ

b Tứ giác AHBI nội tiếp (cmt)  ABI  AHI (cùng chắn AI)

Tứ giác AHCK nội tiếp(cmt)  AKH  ACH (cùng chắn AH) 0,25đ

Mà ABI  ACB ( cùng chắn AB) hay ABI  ACH

Chứng minh tương tự AIH  AHK (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHIAKH (g.g)

0,25đ

N M

0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Đề 7

Sở giáo dục và đào tạo

Hng yên 2015 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học– 2016 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút

2) Tỡm m để đồ thị hàm số y mx 2 đi qua điểm (1; 2)P 

Cõu 3: ( 1,5 điểm ) Cho phương trỡnh x2  2(m1)x2m0(m là tham số)

1) Giải phương trình với m  1

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1; 2 x1  x2  2

Câu 4: ( 1,5 điểm )

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3cm BC, 6cm Tính góc C?

2) Một tàu hỏa đi từ A đến B với quãng đường 40km Khi đi đến B, tàu dừng lại

20 phút rồi đi tiếp 30km nữa để đến C với vận tốc hơn vận tốc khi đi từ A là 5km/h.Tính vận tốc của tàu hỏa trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hỏa xuấtphát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ

Câu 5: ( 2,5 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và

AB<AC Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) Kẻ BE và CF vuông góc với AD (E;

F thuộc AD) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC)

1) Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh HE//CD

3) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh ME MF

Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh:

MBO MEO ; MCO MFO

Tam giác BOC cân tại O nên MBO MCO

Suy ra MFO MEO hay tam giác FEM cân tại M

Câu 6

Ta có

2

4( 1) 4a1

F

E

D O

A

B

C

§Ò 9

§Ò 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH LONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (1.0 điểm)

a) Tính: A 2 5 3 45    500 ; b) Rút gọn biểu thức B  5 1 6 2 5   

Bài 2 (2.5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

Bài 4 (1.0 điểm) Một đội xe cần chở 36 tấn hàng Trước khi làm việc, đội được bổ sung

thêm 3 chiếc nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên mỗi xe như nhau.

Bài 5 (1.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15cm và AC = 20cm Tính độ

dài đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 6 (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, hai đường cao BD và CE cắt

nhau tại H (D thuộc AC; E thuộc AB).

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của AH và BC Chứng minh MI vuông góc ED.

Bài 7 (1.0 điểm) Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

Bài 2 a) Phương trình x 2  9x 20 0   có tập nghiệm S = {4; 5} (hs tự giải)

b) Phương trình x 4  4x 2  5 0  có tập nghiệm S   5; 5 (hs tự giải)

x y

O

y = x 2

x  x 3  Phương trình trên tương đương với: x 2 + 3x – 108 = 0 ⇔ x = 9 (nhận); x = - 12(loại)

Vậy: lúc đầu đội có 9 chiếc xe.

  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền nên: AM BC 12,5 cm 

2

Bài 6.

a) Tứ giác ADHE có:AD ⊥ DH (BD ⊥ AC – gt)

AE ⊥ EH (CE ⊥ AB – gt)Nên  AEH ADH 90    0

Do đó:  AEH ADH 180    0

Vậy tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Tứ giác BEDC có:

BEC BDC 90   (gt) nên cùng nội tiếp nửa đường tròn tâm I đường kính BC (1)

Tương tự, tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AH và E, D là giao điểm

của hai đường tròn tâm M và tâm I Do đó đường nối tâm IM là đường trung trực của dây

chung ED Suy ra: MI ⊥ AD (đpcm)

Bài 7 Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

C B

A

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn : TOÁN

Câu 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính 25  4 ; b) Tìm x để x  2 2

Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, Biết AB = 3cm; AC = 4 cm

a) Tính BC và chu vi tam giác ABC

b) Gọi H là chân đường cao từ A ( H thuộc BC) Tính AH

c) Tính diện tích tam giác AHC

Câu 5: (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC Trên (O) lấy A sao cho

cung AB lớn hơn cung AC; đường phân giác trong BACˆ cắt (O) tại D (D khác A) a) Tính BACˆ ; BCˆD

b) Kẽ DK  AC (K thuộc AC) Chứng minh rằng ODKC nội tiếp

c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp ODKC theo R

§Ò 12

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học: 2015 – 2016 Môn thi : TOÁN Ngày thi: 06/6/2015

Câu 1 a) Giải phương trình : x+2015=2016

b) Trong các hình sau : Hình vuông, Hình chữ nhật, Hình thang cân, Hình thang vuông Hình nào nội tiếp được đường tròn ?

Câu 2 Cho hệ phương trình 

) 2 (

my x

y x m

(I) ( với m là tham số)a) Giải hệ (I) với m=1

b) CMR hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m Tìm nghiệm duy nhất đó theo m

Câu 3 : Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) có pt : y=2(m+1)x-3m+2

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m=3

b) CMR (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m

Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A;B Tìm m để x12 + x22 =20

Câu 4 Cho (O;R) và dây DE< 2R Trên tia đối của tia DE lấy A, qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O), (B,C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểm DE K là giao điểm

BC và DE

a) CMR tứ giác ABOC nội tiếp

b) Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp ABOC CMR: H thuộc (I) và HA là phân giác góc BHC CMR : AK2 AD1  AE1

Câu 5 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn 7 12 12 12 6 1 1 1   2015

b a

y x

y x

 





 1 2

y x

y x

m m m

) 2 (

my x

y x m

3 2 5 9

2 2

m m

m y

m m

m x

Câu 3 : a) với m=3 thì (d) là : y=8x-7

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ 

2

x y x y

y y

b) Giao điểm của (P) và (d) phụ thuộc và số nghiệm pt : x2 = 2(m+1)x-3m+2

E

M

C B

O

b) Vì H là trung điểm của DE nên OH vuông góc DE => góc AHO = 900

Lại có góc ABO= góc ACO = 900 mµ H thuộc (I)

 Góc AHB = góc AOB ( cùng chắn cung AB của (I) ) (1)

 Và góc AHC = góc AOC ( cùng chắn cung AC của (I) ) (2)

Mà OA là phân giác góc BOC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm ở bên ngoài đường tròn) nªn góc AOB = góc AOC (3)

Từ (1) (2) (3) => góc AHB = góc AHC, hay HA là phân giác góc BHC

c) Gọi M là gioa điểm AO và BC => BC vuông góc AO tại M

 góc KMO = góc KHO =900 => KHOM nội tiếp

 AKO  AMH (g-g) => AH.AK= AM.AO = AB2

Lại có ADB  ABE (g-g) => AD.AE = AB2 nªn AD.AE=AH.AK

VËy 2 AD.AE = 2AH.AK= AK 2AH = AK.( AH+AH)= AK( AH+AD+HD)

=AK( AD+ AH+HE) < Vì HD=HE>

 2AD.AE= AK(AD+AE) Nªn AK2 AD AD.AE AE = AD1  AE1

Câu 5 Áp dung Bunhia cho bộ số (1;1;1) và (a;b;c) ta có 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2

 3(2a2 +b2 )  (2a+b)2 ;3(2b2 +c2 )  (2b+c)2 ; 3(2c2 +a2 )  (2c+a)2

a c c b b

a   2 

1 2

1 2

1

Ta có (x+y+z)( 1x1y1z ) 9 => 91 (1x1y1z )x y z



 1

a c c b b

a   2 

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3

1 1 1 3

1 1 1

c b

1 1 1

c b

2

1 1 1

1 1 1

c b

1 1 1

1 1 1

c b

3

1 1 1



2

1 1

1 1 1

1 1 1 3

b a

 a=b=c=

2015

3

§Ò 13

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: TOÁN Ngày thi: 06/06/2015

Bài 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức P = 2 3 6  2

Bài 3: (2 điểm) Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi trên các dãy

ghế có chỗ ngồi bằng nhau Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người thì vừa đủ chỗ

Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi

Bài 4: (2 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ các tiếp tuyến MA, MB

(A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O) Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

b) MC.MD = MA2 ; c) OH.OM + MC.MD = MO2

Bài 5: (2 điểm) Cho x, y, z là các số thự thỏa mãn điều kiện: 3 2 2 2

12

Câu 1 (2,0 điểm) 1) Với giá trị nào của x thì biểu thức x  1 x 3 xác định

2) Tính giá trị của biểu thức A x  3 3  x khi x 2 2

3) Tìm tọa độ của các điểm có tung độ bằng 8 và nằm trên đồ thị hàm số 2

2

y x .

4) Cho tam giác ABC vuông tại , A AB3,BC5 Tính cos ACB.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức 1 2 . 1

Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2 2m 1x m 2 6 0  (1) (với m là tham số).

a) Giải phương trình với m 3.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm x x thỏa mãn 1 , 2 2 2

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  , đường cao AH Đường.

tròn tâm I đường kính AH cắt các cạnh AB AC lần lượt tại ,, M N Gọi O là trung điểm

của đoạn BC D là giao điểm của MN và , OA.

1) Chứng minh rằng: a) AM AB AN AC . ; b) Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh rằng: a) ADI ∽ AHO ; b) 1 1 1 .

AD HBHC 3) Gọi P là giao điểm của BC và MN K là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn,

đường kính AH Chứng minh rằng  0

90

BKC 

Câu 5 (1,0 điểm) 1) Giải phương trình 3x2 6x 6 3 2    x5 7x 19 2  x.

2) Xét các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức1.

3) Hoành độ của điểm cần tìm là nghiệm phương trình 2x 2 8 0,25

 x  Vậy có hai điểm thỏa mãn là: (2;8) và ( 2;8)2  0,25

4) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AC BC2  AB2  5 2  3 2  4 0,25

Do đó cos 4

5

AC ACB

BC

Câu 2 (2,0 điểm)

1) (1,0 điểm) Với điều kiện x  và 0 x  , ta có 1

Xét AMN và ACB có A chung, AM AN

AC AB nên suy ra AMN ∽ ACB cgc 

0,25

Do đó AMN ACBBCN BMN ACB BMN AMN BMN       1800

Mà các góc BCN BMN ở vị trí đối diện nên suy ra tứ giác BMNC nội tiếp.,  0,25

2) (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm) Ta có tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên

OA OB OC   OAC cân tại O  OAC OCA    OAC BCN  

Mà AMN ACB BCN nên AMN OAC   AMN DAN

0,25

Vì AMN vuông tại A nên AMN ANM   90 0  DAN ANM    90 0  ADN  90 0

Mà MAN 90 0  MN là đường kính của đường tròn  I  I là trung điểm của MN

nên ADI 90 0.

0,25

D K

P

M

N I

H O

B

Xét AID và AOH có ADI  AHO 90 0 và A chung do đó ADI ∽ AHO gg( )

Vì tứ giác ANMK nội tiếp  PKM  ANM (2)

Từ (1) và (2) suy ra PBM PKM  180 0, do đó tứ giác PKMB nội tiếp

2 2

2

2 2

Vì x  1 3 nên x   1 0 3x2  6x 6 2  x do đó (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

§Ò 15

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016

Thời gian: 150 phút Ngày thi: 4/6/ 2015

Câu 1 (2 điểm) a) Cho biểu thức A = 1 1

b) Cho A = 2 1 2015  2 2015  n 2015 với n là số nguyên dương

Chứng minh A chia hết cho n(n + 1)

Câu 2 (2 điểm) a) Giải phương trình sau: 26 24 27 23 0

Câu 3 (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c là

độ dài ba cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn

2 2

1 2 2

Câu 4 (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M

a) Chứng minh AI = AK

b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động

Chứng minh đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A và B lần lượt vẽ các tiếp

tuyến d1 và d2 với (O) Từ điểm M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1

tại C và cắt d2 tại D Đường trịn đường kính CD cắt đường trịn (O) tại E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD

b) Chứng minh MI vuơng gĩc với AB và ba điểm E, I, F thẳng hàng

Câu 6 (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 y2 z2  9

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx)

§Ị 16

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPNĂM HỌC 2015 – 2016

Mơn thi : TỐN Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

Câu II(2,0điểm) 1) Rút gọn biểu thức A a 2 a 3     a 1 2 9a với a 0.

2) Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60km Hai người đi xe đạp cùng khởi hànhmột lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau Sau khi đi được 1 giờ thì xe của ngườithứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, cịn người thứ hai tiếp tục đi vớivận tốc ban đầu Sau khi xe sửa xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước4km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người đi lúc đầu

Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm các giá trị của m để phương trình x 2 m 1 x m 3 02     2 

cĩ nghiệm kép Tìm nghiệm kép đĩ

2) Cho hai hàm số y3m 2 x 5   với m  và 1 yx 1 cĩ đồ thị cắt nhau tạiđiểm A x;y  Tìm các giá trị của m để biểu thức P y 2 2x 3 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD

thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường trịn (O) cắt các đườngthẳng BC và BD lần lượt tại E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạnthẳng AE và AF