Tổng hợp các đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên trên cả nước môn toán năm 2015 - 2016

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 MÔN THI:TOÁNVÒNG II Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Câu I.3 điểm Câu II.3 điểm 1Tìm số tự nhiên n để n 

Bộ giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015-2016

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)

Thời gian làm bài :120 phút

1) Tỡm cỏc số nguyờn x y, khụng nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x1 y1

2) Với x y, là những số thực thỏa món đẳng thức x y2 22y 1 0.Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1

xy P y





Cõu 3

Cho tam giỏc nhọn ABC khụng cõn cú tõm đường trũn nội tiếp là điểm I Đường thẳng

AI cắt BC tại D Gọi E,F lần lượt là cỏc điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1) Chứng minh rằng EF song song với BC.

2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng DE,DF,EF Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEM cắt đường trỡn ngoại tiếp tam giỏc AFN tại P khỏc A Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cựng nằm trờn một đường trũn.

3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

Cõu 4.

1) Cho bảng ụ vuụng 2015 2015 Kớ hiệu ụ ,i j là ụ ở hàng thứ i , cột thứ j Ta viết cỏc sốnguyờn dương từ 1 đến 2015 vào cỏc ụ của bảng theo quy tắc sau :

i) Số 1 được viết vào ụ (1,1)

ii) Nếu số k được viết vào ụ i j,  , i 1 thỡ số k+1

được viết vào ụ i1,j1

iii) Nếu số k được viết vào ụ 1, j thỡ số k+1 được

viết vào ụ  j 1,1 (Xem hỡnh 1.)

Khi đú số 2015 được viết vào ụ m n,  Hóy xỏc định

Câu 1 a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn

Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình

Nếu y 0 nhân hai vế của phương trình với y

X2 – 1  (x -1)2 ta có x+1 x-1 suy ra 2 x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3

3) Với x y, là những số thực thỏa mãn đẳng thức x y2 22y 1 0.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

3 1

xy P y

Phương trình có nghiêm khi  0 suy ra 4 – 12p2 0 3p2  3 p 3

Vây max P = 3 khi 1

b) Ta có : BC FE  FED EDB BED  

mà APM 180  AEM BED  APM DEF

Tương tự : DFEAPN

mà MJN MDN EDF MJN MPN  180  MPNJ nội tiếp

c) Ta có : APM DEF và JPM JNM JEM  JPM APM  A PJ, thẳng hàng

2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4abc ab bc ac   44a b c3 3 3  1abc

3 2 2 2 3

TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

MÔN THI:TOÁN(VÒNG II)

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I.(3 điểm)

Câu II.(3 điểm)

1)Tìm số tự nhiên n để n 5 và n 30 đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên)

Câu III.(3 điểm)

Cho tam giác ABCnhọn không cân với AB AC Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM.Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN 2MH

1) Chứng minh rằng BN AC

2) Gọi Qlà điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng ACcắt BQtại D.Chứng minh rằng bốn điểm B D N C, , , cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là  O

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O tại G khác D.Chứng minh rằng NG

song song với BC

Câu IV.(1 điểm)

Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất 2015đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

G D

Q

N

H M

a P là điểm đối xứng của A qua M.

 HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN

 H là trung điểm của NP.

Mà BH NP  Tam giác PNB cân tại B BN = BP.

Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP  Tứ giác ACPB là hình bình hành 

AC = BP

 AC = BN

b,Do tứ giác ACPB là hình bình hành  PACAPB

Mà tam giác PBN cân tại B  APBANB  ANBPAC  CANBNQ

Có: AC = NB, NQ = AN

 BNQCAN  NBDNCD  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

C, G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAGBQG

Mà GBQGCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA

 GA AC GQ QB  GA GQ

NB NC

Mà BNCBDCAGQ  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ

 GQANCB NCBGDC  GC = NB  NG//BC

Câu 4 Giả sử trên mặt phẳng có n điểm thẳng hang thì tồn tại một đường thẳng

Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng Thay

n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường đại học sư phạm Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi :TOÁN

( Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên )

Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức

2

1 11

2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b  ab 1 Tìm min P

Câu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trình.

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức 2 2  

x y  x y  

Câu 3 ( 1.5điểm )

Cho a, b là các số thực khác o Biết rằng phương trình a x a  2b x b  2 0

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Câu 4 ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC =

600 Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.

1> Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp

2 Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức 2 2  

2 Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ phương trình chứn minh đẳng thức x02y02 5x0 y010 0 1

Cho a, b là các số thực khác o Biết rằng phương trình a x a  2b x b  2 0

Có nghiệm duy nhất Chứng minh a b

Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m

Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và  0 suy ra a b .

Câu 4

B IC BIC  B IC BAC    Mà hai góc này đối nhau

Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm)

2 Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên 

BIK BC K( góc nội tiếp cùng chắn BK )

KCB BIK  Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm)

3 Vì BIC1BAC60o  Tứ giác ACKC1 nội tiếp  KAC 1 KCC1(cùng chắn cung KC1)

Và AKC1ACC1(cùng chắn cung AC1) Mà ACC1 KCC 1(GT)

Suy ra  

KAC AKC  Tam giác C1AK cân tại C1 C1A = C1K (1)

CMTT: B1A = B1K (2)

Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK B1C1 (đpcm

Câu 5 ( 1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015

Môn thi: Toán

( Dùng cho học sinh chuyên toán và chuyên tin)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a2b2 1 2(ab a b  )

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) M là trung điểm của cạnh BC O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên.

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y ax2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua Chứng minh a = -1

2 Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

1 Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2

4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x2

2 Thay x= 1.2 ta có y = 1.44

Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được

1 MX BF

2 Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 EF BC

FY CD

1 Ta có BE, CF, AD là ba đường cao

Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp Góc ACB = góc XFB = góc FBX ( cùng chắn cung AB, góc trong bằng góc ngoài đối diện) Tam giác BXF cân suy ra

XF = XB Vì M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy

XM là trung trực BF hay MX BF

2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS

ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau).

Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Vậy Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng

3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY đồng dạng tam giác ADC suy ra

3 EF BC

FY CD

Y X

S

F

H E

D M

O A

Câu 5: (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên).

Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Đặt A(x2,y2) B(x3,y3) C(x1,y1) Thì P có hoành độ là x1 D có hoành độ x2, N có hoành

độ là x3 R có tung độ y2 S có tung độ là y1 T có tung độ là y3.

SABC = SCBNP- SABND- SADPC

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ

NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

Câu I (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

2) Rút gọn biểu thức:

1

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 1 1 1 1

3x1 2 x4 9x 2 5 4  x

2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: x y z3 3 2

 







Câu III (2,0 điểm)

Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút

Câu IV (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung

AN, M khác A, N khác B) Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K

1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB

2) Chứng minh rằng: AK AN BK BM  AB2

3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất

Câu V (1,0 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

2) Cho 0, 0, 0

1

xyz







x y  y z  z x  

Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:

Giám thị 1 (Họ và tên, chữ ký):

Giám thị 2 (Họ và tên, chữ ký):

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ

x

x

y y

y

y

x x

Câu III (2,0 điểm)

Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0) 0.25đ1

Thời gian B đã chạy là 6

Vì AEK∽ ANB nên AK AN AE AB 0.25đ

Tương tự vì BEK∽ BMAnên BK BM BE BA 0.25đ

Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB),

khi đó I nằm chính giữa cung chứa góc 60 dựng trên đoạn AB tương ứng với MN 0

song song với AB

Từ (1) và (2) suy ra  p(p2) 12 (đpcm)

2

Đặt

3 3 3

* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (1,5 điểm)

Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab 1, a b 0 Tính giá trị của biểu thức:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O ( ) Gọi M là trung điểm của

cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O Đường thẳng qua A vuông góc với

AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D Kẻ đường kính AE Chứng

minh rằng:

a) Chứng minh BA BC 2BD BE

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC

Câu 6 (1 điểm)

Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt Cứ hai người trong họ chơi với

nhau đúng một trận Người thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, người thứ hai thắng

x2 trận và thua y2trận, , người thứ mười thắng x10 trận và thua y10trận Biết rằngtrong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa Chứng minh rằng:

x12x22 x102 y12y22 y102

HẾT Câu 1

 x  x  x   x  x   x 

2 2

2b Method 1:solved brieftly by aristotle pytago

bài toán phụ chứng minh được số lập phương chia 7 dư 0,1,6

xét 2 trường hợp

th1 :3 số dư khác nhau ⇒abc⋮7⇒dpcm

Method 2 by hoicmvsao

Nếu cả 3 số đều không chia hết cho 7,

Xet 3 so a3,b3,c3 chia 7 có số dư là 1 hoặc -1 theo nguyên tắc Dirichlet

Câu 3: solved by aristotle pytago

1 2

1 1

1

1 2

ΔKBE∼ΔKCF⇒KE/KF=BE/BF

gọi giao BD và AC là O vậy O là trung điểm AC

giao của AB và OE là T

giao của AF và BD là J

ΔABE∼ΔAJO⇒góc BAE=góc JAO

tứ giác DJCF nội tiếp

tứ giác AOBE nội tiếp

⇒CFAˆ=JDCˆ=ABDˆ=AEOˆ⇒ΔATE∼ΔACF⇒ET/CF=AT/AC⇒ET/AT=CF/AC

mà ET/AT=BE/AO⇒CF/AC=BE/AO⇒KE/KF=BE/CF=1/2

Câu 4: solved by hoaadc08

Ta lại có: DAB BAE EAN  90 , 0

và BEM BAE MEO  900

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của  ABC

 Gọi F là giao của BDvà CA

 Từ (3), (4) và (5) suy ra TA TH T là trung điểm AH

Câu 6:C1:trình bày tắt bởi hxthanh

∑xi=∑yi=10.9/2=45

Nên ∑y2 i=∑(9−xi)2=10.92−18∑xi+∑x2 i=∑x2 i+810−18.45=∑x2 i

Do chỉ có trận thắng hoặc thua nên số trận thắng bằng số trận thua

H

E F

T

Ta có mỗi người dấu với 9 người khác nên x1+y1=9⇔ 2

1

x =81−18y1+ 2

1

y ⇒ 2 1

NINH BÌNH NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI CHINH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1

Câu 3.(2,0 điểm )

Câu 3.1

Câu 4.(3,0 điểm )

Câu 5:

Đề thi TS lớp 10 THPT Chuyên Hoàng Lê Kha (Tây

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 3: (1 điểm )

Câu 4: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên x, y thoả điều kiện:

Câu 1/

Câu 4 : (3x+2y)(2x+3)=16 => giải hpt nghiệm nguyên

Câu 5 : a3=10+3a đặt a = t => phương trình t3−3t−10 nhận a là nghiệmCâu 6/

Câu 8/

Câu 5:

Câu 1/

Câu 2/

Câu 3

Câu 4c/

Câu 4c chứng minh S,T,O bằng cách lấy điểm T' rồi chứng minh T' trùng T

tứ giác MNQP nội tiếp nên OM.ON=OP.OQ

Từ ON.OM=OP.OQ thì ta dễ chứng minh được O,S,T thẳng hàng

Tam giác BHO vuông tại H nên H di dộng trên đường tròn đường kính OB

Câu 5a/

câu 3:

Bài 5:

Chuyên toán Bắc Ninh

Câu 2:

Câu 3/

Câu 5:

Bài 2

Bài 4/

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016

Đề thi chính thức Môn: Toán (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a Chứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8

b Tìm nghiệm (x; y) của phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại

B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F

a Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp

b Gọi K là trung điểm của FE Chứng minh rằng AK vuông góc với MN

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho d không cắt đoạn BC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên d Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BHKC

Hướng dẫn giải đề tuyển sinh lớp 10 Môn Toán Bạc Liêu

Câu 1.

a n² + 4n + 5 = (n + 2)² + 1

Vì n là số lẻ suy ra n + 2 = 2k + 1, k là số nguyên

Ta có (n + 2)² + 1 = 4k² + 4k + 2 không chia hết cho 4

Vậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8

b x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y

<=> x² + 2xy + xy + 2y² – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0

<=> x(x + 2y) + y(x + 2y) – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương