Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Đặt thì với Do đó đặt với... THPT Lê Hồng Phong – Tây NinhCho 3 số thực dương thoả mãn.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Cho a, b, c không â
Trang 1Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong
kỳ thi THPT QG sắp tới.
ĐỀ 1. THPT Quang Trung – Tây Ninh
Cho ba số thực dương
x,y,z thỏa mãn: xyz = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trong mp(Oxy),
gọi
và
Ta
có:
0,5
, dấu = xảy ra khi ba vecto cùng
hướng và kết hợp điều kiện đề
bài ta được x=y=z=
Vậy MinP= khi x=y=z=
0,5
ĐỀ 2. THPT Trần Phú – Tây Ninh
Cho ba số thực a, b, c thỏa:
Tìm giá trị
lớn nhất của
Mặt khác ( vì )
Với mọi số thực
x, y, z, ta có
0.25
P log32x 1 log23y 1 log32z 1
a (log ;1),3x b (log ;1),3y c (log ;1)3z
n a b c n (1;3)
a b c a b c log32x 1 log23y 1 log23z 1 12 32
a b c, , 3 3
10
3 3
0;1 , 0;2 , 0;3
P
0;1 , 0;2 , 0;3
b a c
b c a b c a0;1
Trang 2=>
Suy ra
Đặt t Xét hàm số
0.25
Do đó: Khi thì Vậy giá trị lớn nhất
của P là
0.25
ĐỀ 3. THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh
Cho là số thực thuộc đoạn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
Đặt thì với
Do đó đặt với Khi đó:
0,25
Xét hàm số với
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên
Vậy
0,25
2
2 2 2
3
2 2 2
ab bc ac
P
ab bc ac P
2 8 , 0;13
t
2 2
0 1; 6 16; 13 47 16 0;13
16 7
1; 2;
3
7
P 16
7
x 5
[ 1, ] 4
P
a a2a b ,4x b b209, x
[0, ] 2
a=3sin ,2b=3cos
3
2
a b P
( ) 2sin 2cos 4
f x
[0, ] 2
/
2
6 4sin 8cos
[0, ] 2
min ( ) (0) ;max ( ) ( )
min
1
1 3
Trang 3ĐỀ 4. THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh
Cho 3 số thực dương thoả mãn
Chứng minh rằng:
Giải
Ta có , do
Tương tự:;
Cộng các vế của các BĐT trên ta
có:
=
= (điều phải chứng
minh)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
ĐỀ 5. THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh
Cho a, b, c là các số
thực dương thoả mãn
a+b+c=3 Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
Áp dụng Bất đẳng thức ta có:
Ta có: Thật vậy:
0,25
Khi đó Đặt Vì nên
0,25
, ,
a b c1
abc
1
1
a ba
1 a 2 a
1 2
b bc
2
c ac
1
1
1
3
2
abc P
x y z 2 3xy yz zx ,x y z, ,
ab bc ca 2 3abc a b c 9abc 0
3
ab bc ca abc
1a 1b 1c 1 3abc3,a b c, , 0
1a 1b 1c 1 a b c ab bc ca abc
1 3 abc3 abc abc 1 abc
3 3
2
1 1
3 1
abc
abc abc
3
a b c abc
2 2 3
2
, t 0;1 1
3 1
t Q
t t
Trang 4Do hàm
số đồng biến trên nên
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy , đạt được khi và chỉ khi: 0,25
ĐỀ 6. THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh
Cho 3 số thực khác 0 thỏa mãn: §
và § Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: §
§
Ta có: §
0,25 Xét hàm số: §
Với: §
§
0,25 Lập bảng biến thiên đúng
Tính được:
§
0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
đạt tại:
hoặc
5
t t t
Q t
0;1
1 5 2
6
Q Q t Q
5 6
P
5 max
6
P 1
a b c
, ,
x y z
xx y z 1 .y z 1151
P
y z2 4yz 5 x2 4 x 0 3 2 2 x 4 x 3 2 2
x
5
y z
1 5 12 5 2x
x x x
2
1 4 2
x y z hay x z
x y z hay x z y
Trang 5ĐỀ 7. THPT Tân Châu – Tây Ninh
ĐỀ 8. THPT Lê Duẫn – Tây Ninh
Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có
0.25
0.25 Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta
được tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi
0.25
ĐỀ 9. THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh
Cho a, b, c không âm và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho a, b, c không âm và
Ta có
0,25đ
Đặt với
Nên
0,25đ
3
P
2 8 2 8 32
32 2
; 0
33 12; 0 1
min
3 2
P
16 21 1
4
21
21
x
x y z
z
2 2 2 3
P ab bc ca b c
2 2 2 3
P ab bc ca b c
2 2 2 2
2
t a b c t 3; 3
2 2 2 2 2
3
1 2 5
5
P t t t
Trang 6t 3
P’(t) +
P(t)
22
Vậy với
ĐỀ 10. THPT Trảng Bàng – Tây Ninh
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn và
Chứng minh rằng:
Ta có:
Do nên
Nếu ab+bc+ca<0 thì (đúng)
Nếu ab+bc+cathì đặt ab+bc+ca = x
Áp dụng BĐT Côsi :
0,25
Áp dụng BĐT
Bunhiacopski:
và
Từ (1) và (2) ta
có:
0,25
t P maxa b c 22
4 5 3 3
c b
a 2 2 5
2
a
4 ) )(
)(
)(
(a b b c c a abbcca
4 ) )(
)(
)(
(a b b c c a abbcca
4 ) )(
)(
)(
P a b b c a c ab bc ca
c b
4
0
P
0
0
4
) ( ) )(
(
2
c a c b b
) 1 ( 4
) ( ) )(
)(
(
3
c a c a c b b
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
2 2
2 2
2
(
4a b c ab bc ca a b b c a c
) 2 ( 3
5 2 5
0 ) ( 3 ) 5 ( 4
) ( 2 ) ( ) (
4
2
2 2
2 2 2
x c
a va x
c a x
c a c
a ca bc ab c b a
3 3
) 5 ( 9
3 2 4
) (
x x
x c a
0 ; 5
; ) 5 ( )
f
Trang 7Ta có:
Dấu "=" xảy ra
0,25
ĐỀ 11 THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
Tương tự ta có
(2) (3)
0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
0.25 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
ĐỀ 12. THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh
Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
Chứng minh rằng:
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
5
;
0 f x f x x x x
Max
0 ) 5 (
; 3 6 ) 2 (
; 0 ) 0
f
5
2 0
) ( '
; ) 2
5 5 ( 5 ) ( '
x
x x
f x
x x
f
4 3
6 9
3 2
0 2 5
2 2
5 2 2
2 2 2 2
2
b c
b a a c a b
ca bc ab c
b a c a
c b b a x
P
2
x y z
x yz x yz 2
x y z
y2 zx y zx
x y z
z xy z xy
2P 2 P1
b c2 c d2 d a2 a b2 2
1 1 1 1
2
b c
2
2 1
Trang 8Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
Từ
(1),
(2), (3), (4) suy ra:
0,25
0,25
Mặt khác:
Dấu "=" xảy ra
a+c = b+d
.
Dấu "="
xảy ra a = b = c = d
= 1.
Vậy ta có:
đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi
và chỉ khi a = b = c = d = 1.
0,25
2
c d
2
1
(2)
2 1
2
d a
2
1
(3)
2 1
2
a b
2
1
(4)
2 1
2 4 2
a b c d
abc bcd cda dab
2 4 2
b c2 c d2 d a2 a b2
4 4 4
4 4
1 1 1 1
b c2 c d2 d a2 a b2 2
Trang 9ĐỀ 13. THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh
Cho a,b là hai số thực dương thỏa
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
Bất đẳng thức Côsi cho :
Suy ra
0.25
đạt khi
0.25
ĐỀ 14. THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh
Cho x,y R và x, y > 1 Tìm
giá trị nhỏ nhất của
Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có 0,25 Do 3t - 2 > 0 và nên ta có
0,25
Xét hàm số f’(t) = 0 t = 0
v t = 4.
t 2 4 +
0,25
5 2
4
4
F
4
5
F
1
4b b
2
8a 8
5
MinF
2 8
1 1
4
1 5
4
a a
a b
b
b
a b
a b
( 1)( 1)
P
2 4
t
xy
3 2 (3 2)
1
P
xy t
2 4
t xy
2
3 2
2 2
(3 2) 4
2 1
4
P
t
2
4
Trang 10f’(t) - 0 +
f(t)
8
Do đó min P = = f(4) = 8 đạt
ĐỀ 15. THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh
Cho các số thực dương a,b,c đôi
một khác nhau thỏa mãn và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Theo giả thiết: ;
Vì nên Đặt thì
Xét hàm số Ta có:
, do đó đồng biến trên
Do đó GTLN của hàm số đạt tại , suy ra Đẳng thức xảy ra khi ,
chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6)
ĐỀ 16. THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh
Cho là các số dương và
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
Vì a + b + c = 3 ta có
Vì theo BĐT Cô-Si: , dấu
đẳng thức xảy rab = c
0,25
(2;min ( )) f t
2a c 2 2
ab bc a b c c P
a b b c c a
1
2 ên
2
a
a c n
c
1 2
a
4 3
b
c t b
3 0
4
t
2
2
1
1 1
P
3 '( ) 0, 0;
4
f t t
( )
f t3
0;
4
3 4
max
5
P
2 2
2
a c
, ,
a b c 3
a b c
2
bc
a b a c
Trang 11Tương tự và
0,25
Suy ra P,
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = khi a = b = c = 1 0,25
ĐỀ 17. THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh
Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Theo bất đẳng thức Côsi cho ba
số dương ta có:
Cộng từng vế của (1), (2) ta có
0,25
Mặt khác ta lại có nên
0,25
Theo giả thiết x = y = 4 nên
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy
0,25
2 3
c a c b
c ab
2 3
b a b c
b ca
3
3 2
3 3
3
1 14 1 4 1 1 4
3
2 3
1 7 1
2
2 4
x x
y
x y
x y
343 min
4
S
Trang 12ĐỀ 18. THPT Bình Thạnh – Tây Ninh
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
Ta có : (*)
Nhận thấy : x2 + y2 – xy
xy x, y R
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y
> 0 hay x, y > 0
0,25
Tương tự, ta có : y, z > 0
x, z > 0
0,25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 0,25 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = Vì vậy, minP = 2 0,25
ĐỀ 19. THPT Lộc Hưng – Tây Ninh
Cho thỏa mãn Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
+ Ta có
+Đặt
+ Ta
có
Nên
f(t)
đồng
biến
trên
0.25 điểm
0.25 điểm
x (y z) y (z x) z (x y) P
P
x y
x y
y x
y z
y z
z2 y2
z x
z x
x z
1 3
0, 0
x y
x y xy2 2 (1 2 )x y 2xy 3
2
xy
xy
x y xy x y xy
xy x y x y xy do x y n n x y
2
2 3
t
3
4
P f t f
Trang 13Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x = y = 2
0.5 điểm
ĐỀ 20. THPT Châu Thành – Tây Ninh
Cho x, y là hai số
thực dương thỏa
mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có
Ta có
và
Suy ra
0,25
Đặt ,
Ta có
Vậy hàm số f(t)
nghịch biến trên nữa
khoảng
Suy ra
V Vậy
0,25
ĐỀ 21. THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh
Xét các số thực không âm x, y, z
thoả mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+
71 4
2x3y7
2
2
2
5(x y ) 2x y 5(x y ) 2 x y
2 2
P2( xy x y ) 24 2( 3 x y xy 3)
, 0;5
t x y xy t( ) 2 24 23 6
2 3
/
(2 6) 8 24.2
t
0;5
min 10 48 2,
1
x
y
3 min ( )f t f(5) 10 48 2
x y 4 z
x y z
Trang 140.25 0.25 0.25 0.25
2
2
1 2
3 2
2
x y z
x y z
x y z
Ta có: xy + yz + zx =
=
Do đó P=
2
2 2
3 3
3 2
x y z
x y z
x y z
x y z
Vì 0 xy + yz + zx Nên 0
Suy ra
2
2
3
3 4 2
3 4
2
t t
t t
t t
t
Đặt t =x+y+z, P=
Xét f(t)= với f'(t)=
(loại)
4 3 3
3 13 3 3 13
3 13 3
13 3
13 3
f f
Nên f khi
Do đó P Khi x=y=z=1 thì P=
Do đó giá trị lớn nhất của P là