Kiểu tô-pô của mầm đường cong giải tích bất khả qui tại điểm kì dị cô lập 4

Luận văn thạc sĩ -ngành hình học và tô pô- Chuyên đề :Kiểu tô-pô của mầm đường cong giải tích bất khả qui tại điểm kì dị cô lập

Chuong 1

1.1 Do tQPkha vi

Djnh nghja1.1.1.

Cho M la khong gian to-po Hausdorff Neu t~i m6i di~m x E M ton t~i Ian c~n U c M cua x va <P: U -+ V C JRmla dong phoi tu U len t~p mo V cua JRm,thi

M duQ'cg9i la mQt da tc;zpm-ehie'u.

Khi do, m6i c~p (U, <p)duQ'cg9i Ia mQt ban do (d~a phuong) tren M.

T~p A = {(Ui,<Pi),i E I} cac bim do cua M duQ'cg9i Ia mQtAtlas khd vi lOp

Ok (k 2: 1) neu:

(1) {UihEUIa mQtphil mo cua M.

(2) Cho hai ban do bat ki (Ui,<Pi)va (Uj,<Pi)cua M ma Uin Uj =I-0, thi anh X<;1<Pi0 <pj-ll<pj(UinUj) : <Pj(Ui n Uj) -+ <Pi(Uin Uj) la kha vi lOp Ok.

Hai Atlas kha vi lOp Ok: Al = {(Ui,<Pi),iE I} va Az = {(Uj,<pj),j E J} tren

M duQ'c g9i la tuang thieh neu Al U Az la mQt Atlas kha vi lOp Ok tren M Day la

mQt quail h~ tuong duong, m6i lOp tuong duong do duQ'c g9i la mQt edu true khd vi

lOp Ok tren M.

Da t<;1Pm chieu, M, cling v6i mQt Cali truc kha vi lOp Ok tren M duQ'Cg9i la mQt da tc;zpkhd vi lOp Ok Khi do, m6i ban do (Ui, <Pi)trong Atlas duQ'cg9i Ia mQt

ban do kha vi tren M Neu k = 00, M duQ'c g9i la mQt da tc;zptran.

Chu y1.1.1.

Trang d!nh nghia lIen, neu thay JRmbbi JRmva cac anh x~ <Pi0 <Pj-1 ICPj(U;nUj) Ia

giai tich lIen <Pj(Uin Uj), thl M cling vm "diu truc gidi tich" lIen M duQ'CgQi la rnQt

da tc;zpgidi tEch m chilLi.

Da t~p giai tich m chi~u, M, duQ'c xern la rnQt da t~p trOll 2m-chi~u th1!c vm

cling Atlas

D!nh ly 1.1.1.

Cho M c JRn. Cac phat bilu saLt za tlt(Jng dlt(Jng:

(1) M la da tc;zpkhd vi lOp Ok trong M c JRn,co so' chilLi d.

(2) TC;Zi mbi x E M, ton tC;Zi ldn c~n U c JRncua x va (n- d) ham: {Ii: U +

JRh=I, ,(n-d), l6p Ok saD cho:

{gradh (x'), , gradln-d(X')} dllCl(tp tuye'n tinh, 'Vx' E U, va:

n-l

M n U= n li-l (0)={x E UIIi (x) = 0, i = 1, , (n - d)}

i=1

(3) TC;Zimbi x = ((1, (n)E M, ton tc;zilan c~n U c JRncua x, mt}t lan c~n

V C JRdcua a = ((1, (d) va (n - d) ham hi : V +JR,(i = 1, , (n - d)), lOpOk saD

cho: M nV la do thi cua anh xc;zh = (hI, , hn-d) : V + JRn-d.

(4) TC;Zi mbi x E M, ton t{li lan c~n U c JRncua x, mt}t lan c~n n c JRdcua 0

va mt}t anh xc;zkhd vi 9 : n + JRn saD cho:

. g(O)=x

. 9 lamt}t dong phoi lOp Ok tit n VaGM n U.

. dgo : JRd + JRn la dan anh.

ChUng minh Xern ([2], p.56).

D!nh nghia 1.1.2.

Cho M la da t~p kha vi trong JRn.Vec-tO'v E JRnduQ'cgQi la tilp xuc vm M t~i

Xo E M neu ton t~i duang conga(t) lap 01 lIen M qua xo,a : 1 +M, I c JRchua 0,

sao cho:

a(O) = Xo va d(O) = v

T~p tat ea cae vee-ta trongJRn tier xue v6iM t~i Xo I~p thanh kh6ng gian

vec-ta trong JRn,kf hi~u TxoM, gQila kh6ng gian tilp xuc WYiM tc;ziXo. 0

Cho M la da t~p kha vi lap Ck trong JRn,codimM = p Neu t~i Xo EM, ton t~i Ian e~n U E JRneua Xo va p ham {Ii: U -+ JRh=I, ,plap Ck sao cho:

{gradh (xo), , gradlp(xo)} d<)eI~p tuyen tfnh, va:

p

M n U = n li-I(O)

i=1

Thi kh6ng gian tilp xuc WYiM tc;ziXo la:

TxoM = {v = (VI, ,vn) E JRnlt ;~i (xo).Vj =O,i = 1, ,p}

j=1 J

Djnh nghia 1.1.3.

Cho M va N 13.hai da t~p trail trong JRn,va di~m x E M n N Ta n6i, M hoanh

vai N tc;zix neu:

codim(TxM nTxN) =codimTxM +codimTxN Neu M va N hoanh nhau t~i x E M n N, thi M n N 13.m<)tda t~p trail, va:

codim(M n N) = codimM + codimN

Djnh nghia 1.1.4.

Cho M va N la hai da t~p kha vi, va anh x~ kha viI : M -+ N T~i m6i x EM,

anh x~ Txl : TxM -+ Tf(x)N duQ'Cxae dinh bm:

Cho v E TxM, 3p : I -+ M

t H p(t) saD cho:

v = p'(to), p(to) = x

Khi d6, Txl(v) = Txl(p'(to)) = (J0 p)'(to).

Djnh nghia 1.1.5.

Cho M 13.da t~p kha vi trong JRnva anh x~ kha vi I : M -+ R Di~m Xo E M duQ'cgQi 13.diem t6i h(;mcua I neu:

Txol : TxoM -+ JR

v H Txol(v) = 0

Khi do, f(xo) E JRduqc gQi la giG trf t6i h(;mcua f.

Nguqc l~i,Xo va f(xo) HinluQt la diim chinh qui va giGtrf chinh qui cua f.

Tacling co dinh nghia tuang duang sau:

Cho M la da t~pkha vi m chi~utrongJRnva f : M -+JRkha vi T~imoi di~m

x E M, ton t~i Ian c~n U c JRcua x, m(>tIan c~n D c JRmcua 0 va anh x~ 9 : D -+JRn

saG cho: g(O) = x va9 la dong phoi giii'a D va Un M

~

Di~mXo E M duqc gQila diim t6'ih{;mcua f lieU0 la di~m kl di cua f = fog,

nghla la:

~(O) = = of (0)=0

Dinh nghja 1.1.6.

Cho M va N la hai da t~p kha vi lOpCk anh x~ p : M -+N lOp Ck duqc gQi

la m(>t phil cua N lieU:

(1) p la toan anh.

(2) T~i moi di~m YEN, ton t~i Ian c~n U E N cua y saGcho:

p-I(U) = U ~

iEI vai ~ la t~pma trong M ma ply;:~ -+U lam(>tvi phoi, mQi i E I.

Ll!c luqng cua t~p p-I( {y}), YEN, lieUhii'uh~n, la m(>thang dia phuang va p duqc gQila m(>tphil hitu hc;m.

Neu ton t~i di~m yEN ma t~p di~m p-I ({y }), yEN co nhfing di~m ma b(>i

100han 1, thl p duqc gQila m(>tphil re nhanh Nguqc l~i, gQip la m(>tphil kh6ng re

nhanh.

M~nh de 1.1.1.

Cho melt phil hitu hc;mp : M -+N, va diem YEN M9i dUO'ngcong ,\ C N,'\ xac dfnh tren [0,1] ma '\(0) = '\(1) = y, co thi du(Yc nang thanh melt duO'ng di ,\* c M thoa,'

po,\* = ,\ saDcho: '\*(0) =XI E p-I( {y}) c M

va '\*(1) =Xi E p-I({y}) eM

Chung minh Xem ([5], p.56).

1.2 TQp dQi so

D!nh nghja 1.2.1.

Cho K Ia m9t truOng,d~t A = K[XI' , xn] Ia vanh da thuc theo n bien tren K M9t t~p X c Kn duQ'cg9i Ia t(lp d(li so'neu t6n t~i m9t t~p con T ~ A SaGcho:

x = Z(T) = {P E Knlf(P) = 0, Vf E A}

Khi T chi co m9t phan tir khac khong, T = {I}, thi X = Z(T) = Z(J) duQ'c g9i Ia m9t sieu m(lt d(li so:

M9t t~p d~i so khac trong X c Kn duQ'cg9i Ia khd qui neu t6n t~i cac t~p d~i

so khac trong Xl ~ X va X2 ~ X saG cho: X = Xl U X2 NguQ'c I~i, X duQ'c g9i Ia t(lp d(li so'bat khd qui T~p r6ng khong Ia t~p bat kha qui.

D!nh nghja 1.2.2.

Cho t~p d~i so X c Kn, duQ'cxac dinh b6i hi'i'uh~n da thuc:

p= maxrank(~(x)) xEX XJ

Di~m XO E X duQ'cg9i Iadiemchinh qui cua X neu:

iI, , Jr' D~t,

( oj- )

rank OX2.(XO) J =P

NguQ'c I~i, g9i XO Ia diem kl di cua X.

D~t ~(X) Ia t~p cac di~m ki di cua X, thi t~p cac di~m chinh qui cua X, M =

X - ~(X), I~p thanh m9t da t~p tran doi chi~u p trong Kn.

Di~m XO E X duQ'cg9i Ia dilm kl di co l(lp cua X neu t6n t~i Ian c~n U c Kn

cua XO saG cho:

{

rank(*(XO)) <p

rank(*(x)) = p,Vx E X n U va x =I XO

Cha hai t(LpdqzisO-V va W, v6'i W c V Khi do, t(LpV - W chi co m(Jt so' hitu hqznthanh lien thong.

Chung minh Xem ([4], p.ll).

1.3 TQpgiai tich

D!nh nghia 1.3.1

T~p con X cua t~p ma U c en duqc g9i la t(Lpgidi rich trang U neu t'ilidi~m bat kl P E U, ton t'iliIan c~n V c U cua P va t~p hiiu h'ilnT = {iI, , Ir}, cae ham Ii

giiii tich tren V sao cho:

X n V = {z E VIiI (z) = = Ir(z) = O}

Diftcbi~t, t~p T chi co mQtphan tv khac khong, thl X duqc g9i la sieu m(it gidi

rich trang U.

T~p giiii tich X trong U c en la khd qui neu ton t'ilicae t~p con giiii tich trong

U khac r6ng: Xl ~ X vaX2 ~ X sao cho: X = Xl U X2 Nguqc l'ili, X duQ'c g9i la

t(Lpgidi tich bat khd qui.

D!nh nghia 1.3.2

Cho t~p giiii tich X trong U c en, di~m x E X la chinh qui cua X neu ton t'ili Ian c~n V c U cua x sao cho: X nV lamQt da t~p giiii tich Nguqc l'ili,x la diem ki

Cho sieu mifttgiiii tich X trong U c en, xac dinh bOiham I giai tich tren U.

B(Jicua I tqzix EX, multx (J), la bQi cua nghi~m x cua thanh phan khac khong co

b~c nho nhat trong khai tri~n Taylor cua I t'ilix De thay rang, di~m x E X la chinh qui cua X neu multx(J) = 1 Nguqc l'ili,multx(J) > 1, x la di~m kl di cua X.

1.4 Mom cuo tQP giai tich tc;1idiem

r"" -~1:.1H J.<H,TlJ NHIEN

t T~6i~'~ci

D!nh nghia 1.4.1

ChoI vag la hai ham giiii tich trong Ian c~n di~m xOE en Ta noi I r'.jg neu

ton t~i Ian e~n U c en eua XO saDeho:

flu =glu

LOp tuang duang eua ham 1t~i XO E en duQ'egQi Ia mQt mdm ham gidi rich t(li XOxac dtnh b6i I.

T~p tat clt cae mam eua cae ham gilti tich XO E en I~p thanh mQt vanh, Oen,xO,

gQi Ia vanh CClemdm cua CCleham gidi rich t(li xo.

Djnh nghia 1.4.2.

Cho hai t~p giai tich X va Y trong Ian c~n di~m xOE en Ta noi X rv Y neu

ton t~i Ian c~n U c en cua XOsaDcho:

xnu=Ynu

LOptuang duang cua t~p gilti tich X t~i di~mXOduQ'cgQila mdm cua t(lp gidi

tich t(li XOxac dtnh bm X.

D~c bi~t, X la sieu m~t gilti tich trong Ian c~n di~mXO E en, lOp tuang duang

cua X t~i XOcon duQ'e gQi la mdm cua sieu m(lt gidi rich X t(li xo.

Mam cua t~p gilti tich X t~iXO E en, ki hi~u (X, xO), la khlt qui neu ton t~i hai

mam cua t~p giai tich khac r6ng (Xl,XO) va (X2,XO) saD cho: Xl ~ X, X2 ~ X va

X = XlUX2 NguQ'Cl~i, ta noi (X, XO)la mam cua t~p gilti tich t~ixOla bat khltqui.

Djnh nghia 1.4.3.

Cac mam cua t~p gilti tich t~iXO E en, (X, XO)va (Y,XO),duQ'cgQi la cung kiiu

to-po neu ton t~i Ian e~n U c en eua XOva dong phoi h : U -+ U saD cho:

h(U n X) = Y n U

Djnh nghia 1.4.4.

Ideal cua mam t~p gilti tich X t~i XOE en, ki hi~u Ixo(X), la:

Ixo(X) b {I E Oen,xolX n U = 1-1(0), U c en Iii m(JtIan c(m cua XO}

Khi do, mam cac ham gilti tich tren X t~iXOduQ'cdtnh nghla nhu vanh thuang:

b

Ox,xo = Oen,xo/lxo(X)

D!nh Iy1.4.1.

Cho X fa t(tp gidi tich trong U c en, xac dfnh bat cac ham gidi tich iI, ,IT

tren U D(lt p = rnaxrank(~(x)). xEX XJ Cho xO EX, cac phat biiu sau fa t!tO'ngd!tO'ng:

(1) (X, XO) chinh qui.

(2) (X, XO) ~ (en-p,o) c (en, 0), tuc fa ton tc;ziV c en va ddng cau

gidi tich q;: en t en, q;(0) = 0, saD cho: q;(U n X) = en-p nq;(U).

(3) Ox,xo ~ e{Zl,", zn-p}.

(4) rank(~(x))J = p,Vx EVe en, V fa m()t fan c(tn cua XO trong

en.

ChUng minh. Xem ([3], p.364)

1.5 Non tiep xuc cue mom cue sieu mQt

D!nh nghia 1.5.1.

Cho X Ia mall cua sieu m(lt giiH tich t(;li XO E en Non tie'p xuc cua mall

(X, xO), ki hi~u Cxo (X), duqc dinh nghia Ia:

Cxo(X) = {l c enll = lirn Xi, xi E X}

x'-+xo

Trang do, Xi t XO, Xi Ia duang thing qua XOva Xi, gioi h(;lnlirn Xi duqc hi~u

nhu Ia gioi h(;lncua day di~m trang eJP'n-l

D!nh nghia 1.5.2

Kh6ng mat tinh t6ng quat, gift su, di~m XO 0 E en Cho X Ia mall sieu m(lt

Z(f) t(;li0, vOiI Ia ham giai tich trong Ian c~mcua 0, duqc viet a d(;lng:

00

I = L Ik k=m Trang do, Ik Ia da thuc thuan nhat b~c k.

Non tie'p xuc dqziso' cua X t(;li0 Ia t~p:

C(X,O) = {x E enllm(x) = O}

Dinh ly 1.5.1.

Chitng minh Xem ([5], p.34).

Cxo(X) = C(X, XO).