Giải bài toán CLLX CLD thay đổi cơ hệ từ góc nhìn cơ năng

Các bài toán CLLX CLĐ trong chương trình thi đại học gần đây có dạng cơ hệ thay đổi cáu trúc khi hệ đang dao dộng. Ví dụ CLLX bị giữ khi đang dao động, vật đột ngột tích điện, vật chịu thêm tác dugng của ngoại lực, vật đang dáo động thì va chạm vật khác.... Đã có rất nhiều tài liệu xây dựng cách giải tuy nhiên mới chỉ hướng dẫn giải theo phương pháp động lực học. trong tài liệu này từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế tôi ddwwa ra cách giải từ góc độ cơ năng hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn HS có theemmootj cách giải mới

KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO – CON LẮC

ĐƠN THAY ĐỔI CẤU TRÚC - TỪ GÓC ĐỘ CƠ NĂNG

A – ĐẶT VẤN ĐỀ

Chương dao động cơ học có vị trí và vai trò rất quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 Với đặc điểm của chương trình có thể nói đây là phần chương trình có liên quan đến kiến thức lớp dưới nhiều nhất, đặc biệt là chương trình lớp 10, do vậy nó cũng là một trong vài phần khó nhất của chương trình, nó đã được minh chứng trong thời gian gần đây hầu hết những câu khó, câu có tính chất phân loại học sinh giỏi trong các đề thi đại học phần lớn thuộc phần dao động cơ học

Để gúp học sinh giải quyết tốt các bài tập chương dao động cơ học nói chung và bài tập phần con lắc lò xo, con lắc đơn nói riêng, giúp các em chuẩn

bị tốt cho kì thi THPT quốc gia Trong quá trình giảng dạy, tôi đã phân loại một số bài tập về con lắc lò xo con lắc đơn thay đổi cấu trúc cơ bản, hay và khó thường gặp, từ đó đưa ra phương pháp giải cụ thể để gúp các em có một cách hiểu cụ thể, hiểu sâu bản chất của vấn đề để có thể giải quyết tốt các dạng bài tập này

B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I – CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 – Cơ năng Con lắc lò xo:

E = Eđ + Et = 2 2

2

1 2

1

kx

mv  = Eđmax = 2 2 2

max

2

1 2

1

A m

mv   = Etmax = 2

2

1

kA

Một số vị trí đặc biệt

+ Khi x = 0 <=> v max <=> Et = 0 ; Eđmax = E

+ Khi x = A <=> v = 0 <=> Eđ = 0 ; Etmax = E

+ Khi x =

2

A

  v = 3

2

A



 <=> Eđ = Ewt + Khi x =

2

A

  v =

2

A



  Et = Eđ = E2 + Khi x = 3

2

A

  v =

2

A



  Et = 3Eđ + Khi x = A

n

  Et = 2

n

E

Eđ = E

n

n

2

2 1 ) ( 

2 – Cơ năng Con lắc đơn dao động điều hòa biên độ bé:

E = Eđ + Et = 2 2

2

1 2

1



mgl

mv  = Eđmax = 2

max

2

1

mv = Etmax = 2

0

2

1



mgl

3 – Đặc điểm cơ năng hệ dao động điều hòa:

- Động năng của hệ là động năng chuyển động của vật, gắn liền với vật, phụ thuộc khối lượng , vận tốc của vật

- Thế năng cuả hệ: Cơ bản phụ thuộc vị trí cân bằng ( thường được chọn làm mốc tính thế năng )

+ Con lắc lò xo: Là thế năng đàn hồi của lò xo Et  k, x (A)

+ Con lắc đơn: Là thế năng hấp dẫn của vật Et  m, g, l, α (α0)

- Cơ năng hệ bảo toàn khi trong hệ chỉ có lực thế sinh công : lực đàn hồi, trọng lực

- Cơ năng hệ không bảo toàn : + Trong hệ có lực cản sinh công âm

+ Hệ thay đổi cấu trúc

4 – Bài toán va chạm hai vật :

a) Va chạm mềm.

  '

mv MV  m M V  => V' mv MV

m M





 Nếu V = 0 => V' mv

m M





- Cơ năng con lắc nhận được sau va chạm : W’ = 1  2 1 2

'

2 M m V 2kx

- Biên độ mới : W’ = 1 2

'

2kA => A’ = 2 2

2

' '

V x



b) Va chạm đàn hồi (vật M gắn vào lò xo ; đạn là m)

- Áp dụng ĐLBT động lượng: mv MV mv' MV'

Giả sử các vec tơ cùng hướng mv + MV = mv’ + MV’

- Áp dụng ĐLBT động năng: mv2 + MV2 = mv’2 + MV’2

- Vận tốc của M sau va chạm : V’ = 2mv M m V

M m

 

của m sau va chạm : v’ = 2MV M m v

M m



* Nếu V = 0 => V’ = 2mv

M m ; v’ = M m v

M m







- Cơ năng con lắc nhận được sau va chạm :

W’ = 1 2 1 2

'

2MV 2kx (x là li độ của vật tại vị trí va chạm)

- Biên độ mới : W’ = 1 2

'

2kA => A’ = 2 2

2 '

V x





5 – Bài toán cắt, ghép lò xo :

a) Cắt lò xo

+ Cắt đều lò xo thành n phần bằng nhau : 0

0

;

l

n

+ Cắt không đều : l k0 0 l k1 1 l k2 2 

b) Ghép lò xo.

+ Hệ 2 lò xo ghép song song hoặc xung đối: k = k1 + k2;

+ Hệ 2 lò xo ghép nối tiếp:

1 2

k k k

6 Bài toán tính quãng đường đi được trong dao động tắt dần

- Xét vị trí cân bằng mới: x0 = mg

k



- Số nửa chu kỳ thực hiện được: n =

0 2

A x

  = a,b => lấy phần nguyên a + Nếu b  5 => n = a + 1

+ Nếu b < 5 => n = a

- ĐL bảo toàn cơ năng đến khi dừng: 2  2

0

2kA 2k A nx m g s

- Quãng đường đi được: s 2nA 2n mg2

k



7 – Phân loại bài toán :

- Hệ thay đổi cấu trúc nhưng không thay đổi vị trí cân bằng

- Hệ thay đổi cấu trúc và thay đổi vị trí cân bằng

8 – Phương pháp tiếp cận và định hướng giải bài toán :

- Năng lượng là một đại lượng vô hướng có tính cộng đại số

- Cơ năng hệ có thể bảo toàn hoặc không khi cấu trúc cơ hệ thay đổi Khi cơ năng hệ không bảo toàn, phải xác định phần cơ năng hệ mất đi hoặc nhận thêm ở đâu, được chuyển hóa từ phần năng lượng nào

- Tại thời điểm thay đổi cấu trúc cơ hệ phải xác định :

+ Cơ năng của hệ đang tập trung ở đâu, động năng, thế năng hay có cả hai

Từ đó xác định cấu trúc hệ thay đổi thì cơ năng hệ có thay đổi không

+ Đặc điểm hoặc các đại lượng vật lý biến đổi : Vị trí cân bằng, khối lượng vật, vận tốc vật, gia tốc trọng trường…từ đó xác định hệ có biến đổi cơ năng hay không

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TOÁN CON LẮC LÒ XO

II.1 – Con lắc lò xo thay đổi cấu trúc nhưng không thay đổi vị trí cân bằng

Bài toán 1 : Con lắc lò xo độ cứng k, khối lượng m dao động điều hòa biên độ A

trên mặt phẳng nằm ngang Một vật m1 = m/2 được dính nhẹ nhàng vào vật Tính biên độ dao động hệ mới nếu :

a/ Vật m1 được dính vào m lúc m đang ở biên

b/ Vật m1 được dính vào m lúc m đi qua vị trí cân bằng

c/ Vật m1 được dính vào m lúc m đang ở tọa độ x

Giải :

Trước hết xác định vật được dính nhẹ nhàng vào vật là bài toán va chạm mềm giữa hai vật cơ hệ ở đây thay đổi khối lượng của vật nhưng không thay đổi lò

xo và vị trí cân bằng

a/ Phân tích : Khi vặt ở biên cơ năng của hệ là thế năng đàn hồi cực đại trên

lò xo Vật không có động năng, nên khi dính nhẹ nhàng vật m1 không cấp thêm cơ năng cho hệ Vì vậy cơ năng hệ được bảo toàn và biên độ dao động hệ mới vẫn bằng A

Const kA

kA E

2

1 2

1

b/ Phân tích : Khi vật qua vị trí cân bằng, cơ năng hệ là động năng cực đại

của vật

2 max

2 max

2

1 2

1

mv kA

E

Khi dính vật m1 = m/2 , áp dụng bảo toàn động lượng :

max '

' 1

2 )

(m m v v v

mv     là vận tốc cực đại của hệ mới

3

2 2

1 3

2 ) 3

2 ( 2

3 2

1 ) (

2

max 2

' ' '















Như vậy hệ mới có cơ năng nhỏ hơn hệ cũ Phần cơ năng mất đi là năng lượng liên kết hai vật m và m1

c/ Phân tích : Khi vật ở tọa độ x, hệ có cả động năng ở vật và thế năng của

lò xo Khi dính vặt m1 một phần cơ năng hệ cũng mất đi chuyển thành năng lượng liên kết giữa hai vật

Tại tọa độ x hệ ban đầu : Eđ = E - Et

Khi dính vật : mv m m v v v

3

2 )



 suy ra E’đ = 32 Eđ Phần năng lượng bị mất đi : ΔEEđ = Ed – E’đ = 13Eđ = 31(E – Et )

Cơ năng hệ mới : E’ = E - ΔEEđ = E - 31 (E – Et ) = 32 E + 13 Et

3

1 3

2

x

A 

Nhận xét; Ở bài toán này nếu học sinh suy luận theo câu a/ khi dính nhẹ

nhàng vật ở biên thì cơ năng hệ không đổi lại áp dụng cho hai câu sau thì sẽ mắc sai lầm và dẫn đến suy luận A’ = A Sai lầm ở đây là chỗ khi dính vật có vận tốc và không có vận tốc

Bài toán 2: Con lắc lò xo độ cứng k, khối lượng M dao động điều hòa biên độ A

trên mặt phẳng nằm ngang Một vật m = M/2 chuyển động theo phương ngang với vận tốc v bằng vận tốc cực đại của m đến va chạm đàn hồi tuyệt đối xuyên tâm với

m Tính biên độ dao động hệ mới nếu :

a/ Va chạm vào lúc m đang ở biên

b/ Va chạm vào lúc m đi qua vị trí cân bằng

c/ Va chạm vào lúc m đang ở tọa độ x =

2

3

A

Giải:

Đây là bài toán va chạm đàn hồi tuyệt đối xuyên tâm, động lượng và động năng hệ hai vật m, m1 được bảo toàn trong va chạm Hệ con lắc lò xo không thay đổi vị trí cân bằng và khối lượng vật nhưng sẽ thay đổi cơ năng Định hướng cách giải là đi tính phần động năng m nhận thêm hoặc mất đi trong va chạm để suy ra cơ năng hệ sau va chạm Áp dụng phần lý thuyết bài toán va chạm ở trên:

a/ Phân tích: Khi vặt ở biên cơ năng của hệ là thế năng đàn hồi cực đại trên

lò xo Vật không có động năng : V = 0 Vận tốc m khi va chạm

v  vmax Với Mvmax2  kA2 E

2

1 2

1

Sau va chạm M có vận tốc: V’ = 2mv M m V

M m

 

max

3 2 2

0 ).

2

( 2

2

v M

M

M M v

M









Động năng hệ nhận thêm : ΔEEđ = MV M v E

9

4 ) 3

2 ( 2

1 2

max 2

'





Hệ mới sau va chạm : E’ = E + ΔEEđ = E

9

13

Suy ra Biên độ mới: A’ = A

9 13

b/ Phân tích: Khi vật ở VTCB : cơ năng của hệ là động năng cực đại trên

vật

V = vmax Vận tốc m khi va chạm

v  vmax Với Mvmax2  kA2 E

2

1 2

1

Sau va chạm M có vận tốc:

V’ = 2mv M m V

M m

 

max max

3 1 2

).

2

( 2

2

v M

M

v

M M v

M









Hệ mới sau va chạm : E’ = E’đmax = MV M v E

9

1 ) 3

1 ( 2

1 2

max 2

'





Suy ra Biên độ mới: A’ = A

3 1

c/ Phân tích : Khi vật ở tọa độ x, hệ có cả động năng ở vật và thế năng của

lò xo

2

3

A Et = E

4

3

, Eđ = E

4 1

Suy ra vận tốc vận M lúc va chạm : V = 2 max

1

v

Sau va chạm M có vận tốc:

V’ = 2mv M m V

M m

 

max max

2 1 2

2

1 ).

2

( 2

2

v M

M

v

M M v

M









= V

Sau va chạm vận tốc m không đổi nên biên độ hệ không đổi : A’ = A

Nhận Xét : Sau khi va chạm cơ năng của hệ có thể tăng giảm hoặc không đổi tùy

theo trạng thái động năng thế năng hệ lúc va chạm Đặc biệt học sinh cần chú ý trạng thái thế năng của hệ lúc va chạm

Bài toán 3 Một con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang có m = 100g, k

= 10 N/m, hệ số ma sát  và lấy g = 10 m/s2 Ban đầu vật được kéo đến vị trí lò

xo bị giãn 9,5 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Tính quãng đường mà vật đi được

kể từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng lại nếu:

a) Hệ số ma sát  = 0,01 rất nhỏ ( coi vật dừng lại tại vị trí cân bằng )

b) Hệ số ma sát  = 0,1

Giải :

Phân tích : Đây là bài toán dao động tắt dần có sự chuyển hóa cơ năng của

hệ thành nhiệt thông qua công của lực ma sát Tuy nhiên sự thay đổi cấu trúc hệ không phải tức thời mà diễn ra liên tục đến khi vật dừng lại Khi vật dừng lại tùy theo điều kiện đề bài phải xác định hệ còn thế năng đàn hồi hay không

a) Với  = 0,01 rất nhỏ ( coi vật dừng lại tại vị trí cân bằng )

Khi vật dừng lại hệ không còn cơ năng nên ta có :

S mg

KA02   2

1

suy ra S = 451,25 cm

b) Với  = 0,1

- Xét vị trí cân bằng mới: cm

k

mg

x0      1

- Số nửa chu kỳ thực hiện được: n =

0

2

A x

  = 4,75 => lấy phần nguyên n = 5

- ĐL bảo toàn cơ năng đến khi dừng: 2  02

- Quãng đường đi được:

2 2

k



- Khi vật dừng lại trong khoảng x M  mg k

Nhận xét: Trong câu b) bài toán học sinh có thể gặp sai lầm là dùng công

thức

KA02 mgs

2

1

suy ra S = 45,125 cm vì vật không dừng ở vị trí cân bằng

mà dừng ở vị trí có li độ trong khoảng x M  mg k , nghĩa là toàn bộ cơ năng dao động không chuyển hết thành nhiệt khi vật dừng lại mà một phần cơ năng vẫn còn

dự trữ ở dạng thế năng đàn hồi

Bài toán 4 ( Trích đề thi thử THPT Lương Đắc Bằng 2015)

Một thanh thẳng AB đồng chất, tiết diện đều, chiều dài L = 10cm, khối lượng m = 1kg được đặt trên một mặt phẳng ngang Mặt phẳng ngang có hai phần ngăn cách bởi một đường thẳng: một phần không có ma sát (phần I); phần còn lại

có ma sát, hệ số ma sát giữa thanh và phần này là μ = 0,21 (phần II) Người ta bố trí một hệ cơ học gồm: Một lò xo nhẹ, độ cứng k = 100N/m, một đầu gắn cố định vào tường tại O, đầu còn lại nối với đầu A của thanh Ban đầu trục của thanh và của lò

xo nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng phân cách phần I với phần II; lò xo không bị biến dạng; thanh nằm hoàn toàn trong phần I và điểm B của thanh vừa chạm vào đường phân cách đó Truyền cho thanh một vận tốc v0 có phương dọc theo thanh, có chiều hướng về phía phần II và có độ lớn là 0,55m/s Gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Tính độ dãn cực đại của lò xo

Giải :

Phân tích : Trong bài toán này có sự chuyển hóa từ động năng của vật

thành thế năng đàn hồi của lò xo và nhiệt năng thông qua công của lực ma sát Khi vận tốc của vật bằng không thì lò xo giãn cực đại Tuy nhiên cái khó trong bài toán này là lực ma sát tác dụng lên vật biến đổi nên học sinh gặp khó khăn khi tính công

Ta có: Eđ = Et + Ams

Khi vật dừng lại lò xo giãn cực đại đoạn là x thì vật đi vào miền II có ma sát đoạn là x

Để tính công ma sát có thể tính theo hai cách :

Cách 1 : Vì lực ma sát tăng đều từ F ms = 0 đến F ms  mg L x nên có thể lấy trung bình

L

x mg

2

1



Cách 2 :   

x x

ms

L

mg dx

L

x mg dx

f A

0

2





Khi đó ta có : Eđ = Et + Ams  2 2 2

0

2 2

1 2

1

x L

mg kx

suy ra xmax = v0

L

mg k

m



II.2 – Con lắc lò xo thay đổi cấu trúc và thay đổi vị trí cân bằng

Bài toán 1 : Một con lắc lò xo có khối lượng m và độ cứng K, nằm ngang.ban đầu

kéo vật khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn 8cm rồi thả nhẹ Khi vật đang dao động thì giữ

cố định điểm chính giữa lò xo Xác định biên độ dao động mới của vật nếu:

a) Cố định lò xo khi vật qua VTCB

b) Cố định lò xo khi vật ở biên

c) Cố định lò xo khi vật cách VTCB đoạn 4cm

d) Trong câu c) sau khi cố định lò xo, khi vật dao động đang ở vị trí biên lại thả điểm giữ lò xo Tính biên độ dao động của hệ sau cùng

Giải :

 O

  O’ M

Phân tích: Đây là dạng toán thay đổi chiều dài của lò xo khi vật đang dao

động, dẫn đến VTCB , độ cứng lò xo, và cơ năng hệ có thể biến đổi Vì giữ điểm chính giữa lò xo nên độ cứng lò xo hệ mới đều tăng lên gấp đôi: k’ = 2k

a) Khi vật qua VTCB toàn bộ cơ năng của hệ ban đầu

tập trung tại động năng của vật nên khi thay đổi chiều dài lò xo cơ năng hệ không mất đi Nhưng với hệ mới độ cứng đã thay đổi nên biên độ cũng thay đổi:

Theo ĐLBTCN: E E kA kA A A 4 2cm

2 ' 2

2

1 2

1













b) Khi vật ở biên toàn bộ cơ năng của hệ ban đầu tập trung tại thế năng đàn hồi của lò xo Nên khi giữ cố định một nửa lò xo hệ mới nhận một nửa cơ năng ban đầu:

cm A A kA kA

E

2

' 2

1 2

1 2

2

1 2

1













c) Cố định lò xo khi vật ở tọa độ x = 4cm

Cách 1: Theo cách giải cũ

Vận tốc của vật lúc giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó x = 2A Theo ĐLBTCN

2

2

2

2

2

2

2

2

kA -

4

1 2

2

4

3 2

2

Độ giãn lò xo là 4cm chia đều trên lò xo Khi giữ mỗi phần lò xo giãn 2cm

Vị trí cân bằng mới O’ cua hệ mới ( M) bị đẩy ra so với vị trí cũ đúng bằng

độ giãn của phần lò xo trong bị cố định Nên OO’ = 2cm

Tọa độ của vật khi đó cách vị trí cân bằng mới: x0 = MO’ = x – OO’ = 2cm Biên độ dao động mới của vật:

A’2 = x02 + 22

'



v

= x02 +

'

2

k

m v

= x02 +

k

m v

2

2 = x02 + 83

2

2

A

A’2 = 22 + 83 82 = 28 (cm2) > A’ = 2 7 (cm)

Cách 2: Theo sự biến đổi cơ năng hệ:

Khi vật ở tọa độ x= 4cm = A/2 hệ vừa có động năng và thế năng Dễ dàng ta có:

Et = 14 E và Eđ = 43 E Khi giữ chính giữa lò xo thì phần thế năng mất đi một nửa: ΔEEt = 81E Vậy hệ mới có cơ năng là: E’ = E - 81E = 87 E

4

7 ' 2

1 8

7 ' 2 2









d) Khi vật ở biên vật không còn động năng

Cơ năng của hệ tập trung trên thế năng đàn hồi của lò xo Khi thả lò xo hệ trở lại VTCB ban đầu nên biên độ dao động cuối cùng của hệ lại là:

A’’ = A’ + OO’ = 2 7 + 2 ( cm)

Nhận xét: - Trong bài toán này nếu tính theo phương pháp năng lượng ở

câu c) rõ ràng hiệu quả nhanh hơn so với phương pháp tọa độ khi tính độ dịch chuyển VTCB

- Trong câu d) nhận thấy A’’< A ban đầu chứng tỏ cơ năng của hệ bị mất đi Phần cơ năng này mất đi vì mỗi phần lò xo có độ giãn trên một đơn vị chiều dài là khác nhau nên khi ta thả lò xo cho hai phần nhập lại sẽ có một phần thế năng mất đi trên các phần tử của lò xo

Sai lầm học sinh có thể mắc ở đây nếu suy luận theo hướng năng lượng có tính cộng

Cơ năng hệ cuối E’’ = ΔEEt ( phần Lò xo phía trong ) + Et’ = E (ban đầu)

và khi đó A’’ = A

Bài toán 2: Con lắc lò xo dao động theo phương ngang không ma sát có =100N/m,

m=1kg Khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương với tốc độ v0=40 3cm/s thì xuất hiện điện trường đều có độ lớn cường độ điện trường là 2.104V/m và E cùng chiều dương Ox Biết điện tích của quả cầu là q=200C Tính cơ năng của con lắc sau khi có điện trường

Giải;

Phân tích: Con lắc lò xo nằm ngang thì VTCB khi lò xo không nén giãn.

Trước khi có lực điện cơ năng hệ đang tập trung tại động năng cực đại của vật, thế năng đàn hồi của lò xo bằng khồn Khi có điện trường vật chịu thêm tác dụng của lực điện làm VTCB dich chuyển đến O’ vì vậy cơ năng hệ sẽ thay đổi

Vị trí cân bằng mới O’ có lực đàn hồi '

dh

F cân bằng với lực điện trường FE

q E

k

Cách 1: Tính theo tọa độ

Trong hệ quy chiếu mới có gốc tọa độ O’ là vị trí cân bằng mới, theo dữ kiện lúc đầu:

x’=4cm, v’=v0=40 3cm/s với k 10(r d / )a s

m

Biên độ dao động mới là A’: 2 2

2

'



4

