Nghiệm một số bài toán uốn tấm nhiều lớp 5

Luận văn Thạc sĩ toán học-ngành Giải Tích-Chuyên đề :Nghiệm một số bài toán uốn tấm nhiều lớp

ChlidDg 1

Nghi~m ye'u cua bai toaD I

Trong chudng nay, bai loan I du<jc phat biSu duai d~ng bie"n phan b~ngcach dua vao khong gian ham thich h<jp Sv t6n t~i va duy nhfft nghi~rncua bai loan bie"nphan (nghi~rn ye"ucua bai loan I) du<jcchung rninh Cu6icling la ke"tqua vS tinh trdn cua nghi~rn

1.1 Phat biiu bie'n phan

Dua vao khong gian ham

r 82u 82v r 82u 82v r 82u 82v r

(u,v)v = in ax28x2dx+ in 8xay8x8ydx+ in 8y28y2dx+ in uvdx (19) vai rnQiu, v E V Tich va huang nay sinh ra chuftn

Ch 1 Nghi?m ytu cila hili toan I 17

M~nh d'e 3 Trang khang gian V, chudn (20) va chuiln thea H2 ia tl1(jflg

Tli cac ba't d~ng thuc (21), (22) ta nh~n duqc di~u phiii chung minh 0

M~nh d'e 4 V ia khang gian Hilbert tach dl1f/Cvdi tich va hl1dng (19).

Chang minh Ta chung minh V Ia kh6ng gian con dong trong H2 nHJ Cho {vn} Ia day trong V sao cho Vn -+ V trong H2 nHJ- Ta chung

minh ding v E V.

Vi c;; E HI vac;; = 0Ir nell, theo dinh 19 vSt, t6n t£;liffiQth~ng s6

C > 0 (ph\! thuQc [2) sao cho

Ch 1 N ghi?m ytu Gila bili loan I 19

Tim w E V thoa

voi mQi v E V.

1.2 811fon t~i va duy nha't nghi~m

Dinh Iy 1 V6'i f E L2 thl hili loan I co nghi?m ytu duy nh({t w E V.

Chang minh Tli cong thuc (26), voi mQi w, v E V, ta c6

Ch 1 Nghi?m yeu Guahili loan I 20

Cling tu cong thuc (26), voi ffiQiv E V, ta co

Ch 1 Nghi~m ytu cua bili toan I 21

vdi mQi u E V, lien tl}c tren V.

Vdi cac tinh chfft tren, nha Dinh 19 Lax - Milgram, ta co di~u phai

1.3 Tinh trdn cua nghi~m ye'u

Gia sli' w la nghit:;m cua bai toaD 1 Trong ml}c nay, chung t6i khao sat tinh

tron cua nghit:;m ye'u ma slf t6n tc;tiva duy nhfft nghit:;m dii duQc chung minhtrong ml}c trudc Ke't qua chinh duQc phat biSu trong dinh 19 dudi day

Djnh Iy 2 Ntu f E L2 thl w E H4.

Chang minh Dlfa tren khai nit:;m tl sai phan, chung minh cua dinh 19 2

duQc tie'n hanh Hin luQt cho cac truang hQp D = R2, D = R~ va D la t~p

md bfft ky

A Tnlifng hf/P D = R2

Lffy h E R2 Khi do, D + h = D Trong phuong trlnh (27) cua bai toaD

I, Iffyu = D-hDhW E V Ap dl}ngb6 d~ 1, phuong trlnh nh~n duQcco thS vie't gQn lc;tila VT = VP Ta co

Ch 1 Nghi?m ytu Gila bid loan I 22

DS danh gia V P, ta dung bfft d~ng thae (14)

Bay gio, thay u = D-h(D-k(Dk(DhW))) E V trong phu'dng trlnh (27).

Cupg ap d\lng b6 dS 1, phu'dng trlnh nh~n du'<;1eco thS vie't gQn lc;tila

< V2CllfllL' ( /J2w ax 2 £2+ /J2DhW ay2 2 £2) 1/2

< V2Cllfllu ( fj2 8x w2 £2+ ff2 axay Dhw 2 + £2 ff2 ay2 DhW 2 £2) 1/2 (30)

Ch 1 Nghi?m ye'u cua bili toan I 23

Ch 1 Nghi?m ytu cila hili loan I 24

nghla Ia

82Dk(DhW)

82Dk(DhW) 8x8y 11£2'

82Dk(DhW)

8y2 II£2

bi ch~n Thea m~nh d~ 1, W E H4([2).

B TntiJng htJp[2= R~ = {(x,y) E R2,Y > O}

ChQn h = (h,O)E R2, ta co [2+h = [2.Lffyu = D-h(DhW) E V, thay

u vaa (27), danh gia tu'dng tl]' nhu' tru'ong h<jp [2= R2 ta du'<jcke't qua

8x3' 8x8y2' 8x28y E L2.

Bay gio, voi h = (h,O), k = (k,O), Iffy u = D_h(D_k(DhW))) E V,

danh gia tu'dng tv nhu' tru'ong h<jp [2 = R2 ta ding co

u'VC;ly, e et t uc, ta can c ling mIll 8y4' 8y3 E . 01 U E c at

ky, tIT(27), sau mQt s6 bie'n d6i ta co

Ch 1 Nghifm ye'u caa hili toan I 25

R5 rang, T Ia anh x~ tuye'n tinh lien tt;letu C~(S1) vao R (do (33)) Theo

djnh 19 Riez, ta tlm dlt<;1cr E L2 sao cho r = ~y~' nghlaJa ~:~ E L2,

f){j' ki{j'm Ira ~:~ E L2, ta vie't (27) dUdi dl).ng

Dl1 8y4

Ch 1 Nghi?m yeu Gilahili loan I 26

DO"ivoi bai loan bie'n phan (35), sii' d1;lngke't qua v6 tinh chinh quy

cua loi giai ye'u (xem dinh 19 IX.25, [4], IT 325), ta du'Qc w E HI Con

voi bai loan (34), ne'u du'Qcvie't hili du'oi d<;tng

C TntiJng hf/P fling quat: D fa t(ip md bfft Try

Cl Danh gia hen trang (danh gia tren t(ip Q cc D)

cO"dinh t~p ma Q cc D, la'y mQtt~p ma Q' sao cho Q cc Q' cc D.

X6t ham ch~t c1;lt~E Cgo(R2), 0 < ~ < 1 sao cho

{

~-1

~=O

tren Q tren R2 - Q'

GQiv la mQtham ba't ky thuQclop V (Q') la kh6ng gian V voi D du'Qcthay bai Q' Luc do ~v E V (Q') la ham noi rQngcua v ra bell ngoai Q' va b~ng

0 bell ngoai Q' B~ng cac ph6p tinh don gian ta co

Ch 1 Nghi~m ytu cua hili roan I 27

+ [8y2(w8y2) - 8y2 8y2]v}dx (38)

Bay gid, ta giai b~Liloan (27) trong t~p Qt Ta ki~m chung duQc ding ~w

thoa b~Liloan bitn phan sau

Ch 1 Nghi~m ytu cila hili roan I 28

voi ffiQiv E V (Q'), trong d6 I" E £2(Q') va

d day ta da sa d\lng cac c6ng th1i'c(36) - (38)

VoiV1 = Dh(~W)E V(Q') va Ihl kha be Lffyv = D-hV1 thay v vao

(39) Dung b6 dS 1, phu'dng trlnh nh~n du'Qcvie't gQn l(;lila VT = V P.

Danh gia V P Do ~E cgo(R2) va ~ bi ch~n Den

fJ2V1 11

2

II

fJ2V1 11

2

Il

fJ2V1 11

2)

< C1 IIV'v111i2+ II fJx2 £2 + 2 fJxfJy L2 + fJy2 L2

Ch 1 Nghi?m ye'u cua bili toan I 29

bi ch~n Ap d\lng b6 d~ 1 ta co ~w E H3(Q) Va nhu' v~y w E H3(Q).

Chung minh tu'dngtv nhu'tren vdi v = D_k(D_hVl), VI = Dh(Dk(~w))

ta cling chung minh du'Qc

11D.(Dk 8~~~)t" 11D.(Dk 8;~~:)t2' IIDh(Dk 82~~~)t2

Ch 1 Nghi?m ytu cua bili loan I 30

bi ch~n va nhu' v~y theo b6 d€ 1 ta ding du'QcW E H4( Q).

C2 Ddnh gid iJ fan c(in cua bien

Tru'oc he't ta xet tru'ong hQp don gian Sl Ia lllla qua cffu don vi

Khi do ~- 1 tren Q va ~ tri~t lieu tc;tigffn bien cua Sl Vi W= o dQctheo

du'ongth~ngy = ° va ~ = ° gffnbien cua Slnen ~wE V (Sl).

VoiVI E V(Sl), h > o kha be, Iffyh = (h,O), thay v = D-hVl va ~w

Danh gia tu'ong t\1'nhu' trong C 1 ta co bfft d~ng thlic :

IIDh(~w)IIV(Q) < C

Ch 1 Nghi?m ytu cua bili roan I 31

Voi vI E V(~), h,k > 0 kha nho, d~t h = (h,O),k = (k,O) thay V =

D_k(D_hVI) sau do thay VI = Dh(Dk(~w)) ta cling chung minh du'Qc

H E C2(Q), J E C2(U)

va

H(Q+)=Un~, H(Qo)=Unf

Ky hi~u

Qo = {(x,y) E Q,y = a}, Q+ = {(x,y) E Q,y > a}.

Ta vie't (YI,Y2)= J(x, y), (x, y) = H(yl, Y2).

ChQn s > 0 kha be sao cho nii'ahlnh troll U' = B(O,s) n{y > O} chua

trong Q+ D~t Q' = B(O,~) n {y > a} La'y ham ch~t c\lt ~E Cr:(R2) , 0 <

~ < 1 sao cho

~-g

tren B(O, ~)tren R2 - B(O, s)

Khi do ~- 1 tren Q' va ~tri~t lieu t~i gffn bien cua U' Cu6i cling ta dinhnghla

_OYiOYj b _OYiOYj _OYiOYj

aI] - ox oX' I] - ox oy' cI] - oY oY

Ch 1 Nghifm ye'u caa hili roan I 32

Vdi ffiQiv' E V(U'), thay ~w vao (27) bi6n d6i nhu'trong (42) ta du'Qc

-Ch 1 Nghi?m ye'u cua hili toan I 33

J 82Db W' 82v~

+ 2D12 U' bijbkl 8 8Yi Yj 8Yk Yl8 IJHIdx

+D22 U' CijCkl8 8Yi Yj 8Yk Yl8 IJHIdx

Ch 1 Nghifm ye'u cua hili loan 1 34

( a~ a2D_hv~+ ~( a~ aD_hv~ )) IJHI dx

}u' aYi aYj aYkOYl aYj aYk aYl

l aw' ( a~ a2D_hv~ a a~ aD_hv~ ) I

}

+2D22 U' CijCkl-aYi _ aYi 0 aYk Yl + -aYj(- aYk 0Yl ) IJH dx

ChQn v~ = DhW' E V(U').

Danh gia VT1 D~t

h = Lz,J= . 1aij a a ' l2 = LYz YJ z,J= 1bij a a ' l3 = LYz YJ z,J= 1Cija a 'Yz YJ

Ch 1 Nghi?m ye'u Gila hili roan I 35

Z,)=

(j day ta dung chuffn cua ma tf~n A = (aij) : IIAII = (L:~j=1 a7j}I/2 Cu6i

cung ta co danh gia sau

IVT11 > C2 { (li + 2l~+ l~) IJHIdx

Ch 1 Nghi?m ytu cila bili todn I 36

Dung bfit d~ng thuc Schwarz ta du'cjc

2 II

< c; ("9111, + ij; IIOYiOy)lL') (j; II OYiOy)lL'

Bfit d~ng thuc cu6i cung cua danh gia tren co du'cjcdo (14)

Ch 1 Nghi~m ytu Gilahili loan I 37

+ IIglll2 + ij; IIOYiOYjt, X {ij; IIOYiO~j IIJ (45)

thay v~ = DhW' vao (45) ta duQc

Ch 1 Nghi~m yeu cila bili toan I 38

Voi vI E V(U'), Vt, l > 0 kha nho Lffy h = (h, 0),k = (k,O),V =D_k(D_hVI) sau doIffy VI = Dh(DkW) thay vao (27) chung minh tudng t1;1'

Cu5i clIng ta din kitJ'rn Ira ~:~ t6n t(li vii thuQc vila L2(UnO). Vi U' c Q+

do do H(U') c H(Q+) = un sl, dung cong thuc d6i biSn ta dU<;lc

Ch 1 Nghi?m ytu cua hili todn I 39

biSn d6i tich phan ta du'Qc

Tv tuySn tinh va lien Wc (do ((46) » do do theo dinh 19 biSu di~n Riez co

duy nhfft 9 E L2(H(Q')) sao cho