Nghiệm một số bài toán uốn tấm nhiều lớp 4

Luận văn Thạc sĩ toán học-ngành Giải Tích-Chuyên đề :Nghiệm một số bài toán uốn tấm nhiều lớp

Md d'au

Bai toan ufin ta'm nhi'eu lop

Ta'm mong (g<;>iv~n t~t la ta'm) la v~t th~ hlnh trl;l co chi~u cao h nho so

vai cac kich thu'ac cua hai m~t day M~t ph£ng song song vai m~t day va chia doi b~ day cua ta'm g<;>ila m~t trung blnh Bai toan uO'n ta'm mong

la mQt trong cac bai toan ph£ng c6 di~n cua 1:9thuytt dan h6i Ba sO'chi titt ktt ca'u dung trong ky thu~t, d~c bi~t trong ky thu~t Kay dlfng, co d,;mg ta'm chili uO'n;do do vi~c nghien CUutn;mg thai ling sua't va bitn d<;mgcua ta'm chili uO'nco t~m quail tr<;>ngd~c bi~t Cung vai slf phat tri~n cua cong ngh~ v~t li~u, cac doi hoi ngay cang cao v~ dQ chinh xac trong phan tich

thitt kt, cac b~litoan cua 1:9thuytt ta'm ngay cang tra nen phlic tc;tp.Vai st;1'

xua't hi~n v~t li~u composite nhi~u lop, mQt titn bQ cua cong ngh~ v~t li~u, bai toan uO'nta'm b~t d~u vu'<;1tqua khuon kh6 c6 di~n cua no (moi tru'ong khong can la dan h6i d6ng cha't, d£ng hu'ang) Do do, c~n thitt phiii co mQt cach titp c~n mai trong vi~c Kay dlfng mo hlnh toan h<;>c,mQt phu'dng phap tinh toan mai tu'dng thich vai mo hlnh toan h<;>cdu'<;1cKay dlfng

Trong cac tinh tmin ky thu~t cho bai toan uO'nta'm b~ng v~t li~u com-posite nhi~u lop trlfc hu'ang (xem, ch£ng hc;tn[2]), dlfa tren gilt thitt Kirch-hoff, ngu'oi ta xa'p xi cac thanh ph~n chuy~n dich cua ta'm du'ai dc;tngda

thlic b~c nha't theo z (phu'dng ling vai dQ d~y cua ta'm) vai cac h~ sO'1a cac ham cua x, y B~ng cach la'y trung blnh phu'dng trlnh chuy~n dQng cua ta'm (v~t th~ 3-chi~u) theo phu'dng z, ngu'oi ta thu du'<;1Cphu'dng trlnh dc;toham

rieng xac dinh dQ yang w = w(x, y) (thanh ph~n chuy~n dich theo phu'dng

z cua m~t trung blnh) cua ta'm

- Dll 8x4 - 2D12 8x28y2 - D22 8y4 + q = p 8t2 ' (1) trong do p la m~t dQ khO'i (h~ng sO'),q = q(x, y) la h<;1pcac llfc phan

MiJ dtiu 6

b6 lac dl;!ng leD hai day, Dn, D12,D22 la cac hang so' phl;! thue)c tinh cha"t

cua v~t li~Ul

Trong truong hQp 82w/8t2 = 0, de) vang cua ta'm thoa phudng trlnh

din bang

- Dn 8x4 - 2D12 8x28y2 - D22 8y4 + q = O. (2)

D va phudng trlnh (1) trd thanh

82W

- D 6,2 W + q = p 8t2 '

con phudng trlnh (2) thl trd thanh

6,2w = ~.

Day la phudng trlnh S Germain cho ta'm mong daD h6i d6ng cha't d&ng huang [3]

Trong truong hQp cae lop la d&ng huang, ne'u k~ de'n anh huang eua h!c c~t leD de) vang, thl phudng trlnh chuy~n de)ng (dao de)ng) eua ta'm co d~ng [8]

[

82W

(

82w )]

P 8t2 - '"Y6, 8t2 = - D 6,2 W + q- '"Y 6, q, (3)

trong do '"Y la h~ so' anh huang cua Ivc c~t leD de)vang

M1}Cdich va phlidng phap nghien CUu

Nhu me)t baa dam loan hQCcho cac tie'p c~n bang phudng phap so', trong lu~n van nay, chung Wi khao sat sv t6n t~i va duy nha't nghi~m cua me)t so' bai toaD toaD hQCnay sinh tITbai toaD cd hQC- bai toaD u6n ta'm nhi~u

10 day cac thalli s6 cd hQc, d~c bi~t cac h~ng s6 v~t li~u, du'<;Ic ky hi~u hdi khac so vdi cac tai li~u hi~n nay v6 v~t li~u composite M\lc dich cua vi~c lam nay la tinh giam cac bi€u thuc co y nghia v6 m~t cd hQC nhu'ng kh6ng dn thie't v6 m~t loan hQC.

MiJ ddu 7

lop Cac phuong trlnh duQc xet d d~mg t6ng quat hon cac phuong trlnh dii dftn ra d tren, chung baa ham phuong trlnh ma ta bai loan co hQCtuong ling nhu Ia mQt truong hQp d~c bi~t

Bili toaD I

Bai loan thli nha-t (bai loan I) co lien quail d€n bai loan u6n ta-m nhiSu lop trvc huang

04W 04w [)4w

DllOX4 + 2DI2 ox2oy2 + D22 oy4 = f trong 0, (4)

va diSu ki~n bien (tren f):

ow - ow = 0,

Bili toaD II

Bai loan thli hai (bai loan II) Ia mQtt6ng quat hoa bai loan daD dQng cua ta-mnhiSu lop d~ng huang

w : 0 x (0, T) ~ R, thoa

04W [)4w 04w

vai cac diSu ki~n bien (tren f):

ow- ow = 0,

diSu ki~n d~u (trong 0)

trong do f = f(x, t, w, w'), WO,WI la cac ham cho truac.

M(j d6u 8

B~ng cac phu'dng phap cua giai tich ham ap d1;mgcho c6ng thuc bie'n

ph an cua cac bai loan bien VITanell, chung t6i chung minh Sv t6n t~i va duy nhfft nghi~m cua chung Cach tie'p c~n bie'n phan du'Qcdung cho phep

ap dl;lng trvc tie'p phu'dng phap phffn tu hii'u h<;tndS giai s6 cac bai loan u6n tffm nhi~u lop voi bien ngam

B6 C1}Clu~n an

Ngoai phffn ma dffu voi ml;lc dich gioi thi~u nQi dung ban lu~n van, phffn con l<;tidu'Qcchia thanh 3 chu'dng:

Chu'dng 1, b~ng cach phat biSu bie'n phan bai loan I, chung t6i chung minh sv t6n t<;tiva duy nhfft nghi~m ye'u cua no Tie'p thea, tinh trdn cua nghi~m nay cling du'Qckhao sat

Chu'dng 2 la phffn khao sat sv t6n t~i va duy nhfft nghi~m ye'u cua bai loan II Trong chu'dng nay chung t6i xet 2 tru'ang hQp: thu nhfft la ve' hai

chi phl;lthuOc x, y va t, thu hai la ve' hai kh6ng chi phl;lthuQc x, y, t ma con phl;l thuQc vao ham cffn tlm va d<;toham cua no (theo tj.

Cu6i ban lu~n van la ke't lu~n, chua dvng mOt s6 nh~n xet v~ cac ke't qua thu du'Qc, d6ng thai chi ra cac hu'ong phat triSn tie'p theo cua d~ tai

MOt s6 ke't qua cua giai tich ham du'Qc tom tilt trong phl;lIl;lCacu6i t~p voi ml;lc dich tham khao.

MQt s6 ke't qua chufi'n bi

Voiml;lc dich chuftn bi cho cac trlnh bay v~ sau, trong ml;lc nay, ta thie't l~p mOt s6 ke't qua cffn thie't

Ti sai phan

Cho 0 c Rn la mOt t~p ma bi ch~n voi bien r thuOc lop C2 (j day, cac ham xac dinh tren 0 thu'ang du'Qcma rQng ra loan bQ Rn b~ng cach

DhV(X) = v(x + h) - v(x)

trong do ky hi~u Ihl chi m6dun cua h, du'Qc gQi la t1 sai phan cua v

d6i voi h

MiJ ddu 9

UJCC [2 Lffy h thoa 0 < Ihl < ~dist(UJ,f) Ta co b6 d~ sau

B6 d'e 1 Ntu u E £2 thi

Chang minh Ta co

10U(X)DhV(x)dx = 10u(x) v(x + h) - v(x)Ihl dx

{ u(x)v(x + h)dx = ( u(x)v(x + h)dx.

u(x' - h) E £2, sur ra (do v(x') = 0 tren [2 \ UJ)

- { u(x' - h)v(x')dx' + { u(x' - h)v(x')dx'

MlJ d&u 10

Tli (9) va (10) ta guy fa

1, u(x)~v(x)dx = I~I [1, u(x - h)v(x)dx -1, U(X)V(X)dx]

r u(x - h) - u(x) v(x)dx

= in D-hU(X)v(x)dx.

M~nh d'e 1 Cho u Ia mf)t ham xac djnh tren St Ta co:

i) Ntu t6n t(Ii hang SO~ C > 0 saDcho IIDhUllL2 < C, thi u E HI;

ii) Ntu t6n t(Ii hang s6 C > 0 saD cho IIDk(DhU)IIL2< C, thi u E H2.

Chang minh i) Vdi mQi rp E Cgo(St), theo be>dS 1, ta co

1 <pDt,udx = 1 uD_b<pdx.

Lffy h = hel = (h, 0, ,0) vdi h > 0 kha be sao cho 0 < h <

~dist(w, 8St) VI

r UD-hrpdx = r u rp(x - h) - rp(x)

-1 rp(x - hel) - rp(x)d

-nen

MlJ ddu 11

Tmrp = {uD -leI rpdx= ( rpDleI udx,

Trp = - u-dx.

n OXI

Ta co

ITmrpl< IIrpllL211DleIulivm < CllrpllL2

Vi C~(Q) la tru m~t trong L2 Den ta co thS ma rQng Tm tren C~(Q) thanh

Tm : L2 t R, voi chuffn cua tmln tii' IITml1< C.

Theo dinh ly Riesz t6n t~i duy nha"tfm E L2 sao cho

Tm<P= «p, fm) = in <pfmdx va IlfmllL' = IITmll< c.

Nhu'v~y, theo dinh ly compact ye'u, t6n t~i mQtday con cua day {fm},

ma ta v~n ky hi<$ula {fm}, sao cho fm t f ye'u trong L2; nghla la

Tm'P = In 'Pfmdx -> In 'Pfdx

voi mQi rp E L2.

M~t khac,

Tmrp t Trp = - u~dx

n UXI

r~-;~~'~~lJ

"

.

"~':~';'

.

i~~~

1 -~~ I'rr :!~ ~~: ( ';! !

I nlJ \it~:.~ I

I 00085'7 I

l_"'-' ~-'-' ""' h_)

suy ra

UXI

MiJ d5u 12

ii) Ta c~n chung rninh 8~2;;Xj E £2 (i, j = 1,2, , n).

C6 dinh i,j Voi m, m' E N dii lon, d~t

Tmm'<P=

1 uD1-e.(D 1 e.<p)dx = 1 <pD- Le.(D-1-e.u)dx.

Ta co

1

f)2u

Hrn lirn Tm,m'<P = <pf) f) dx.

m-.O m'-.O 0 Xi Xj

Chung rninh tu'dng tl]' nhu' tren, ta Hrn du'Qc ham 9 E £2 d~ cho 9 =

8Xi8Xj.

M~nh d'e 2 Neu u E HI thi

IIDhUllv < IlullHl

Chang minh Xet u E 01 n HI f)~t g(t) = u(x + th) - u(x), ta co

g'(t) = \7u(x + th) h, sur ra

.In lurK + h) - u(x)12dx < .In [ l'i7u(x+ th) hl2dtdx

< Ihl2 [ lIV'ull~2dt

< IhI211\7uII12

Do do

IIDhull12 < II\7u1112< Ilull~l'

VI 01 nHI tru rn~t trong HI nen

MiY ddu 13

IIDhUllL2 < IlullHl

Cong thuc Green cho mi'en vo h~n

Cho u, v Ia hai ham xac djnh trong rni~n vo h~n T C R2 Ne'u U,v chinh guy d vo cung, nghia Ia tan t~i sf) du'dng A sao cho

vdi r = Jx2 + y2 > ro, thl cong thuc Green v§:ncon dung

au

u-dT = - v-dT

au

Th~t v~y, gQi ~R Ia hlnh troll co ban kinh R va TR Ia mi~n gidi h~n bdi ~R Ap d\lng cong thuc Green cho u, v tren TR, ta du'(lc

Danh gia tich ph an tren du'ong cong ~ R

1

-* "'"':":""t A2 R >CX)

uv cos( X , n )d~R < R227f R 7 0,

r.R

suy ra

lirn ( uv cos(x, rt)d~R = 0,

R >CX) Jr.R

.

U-a dTR = u~dT.

R >CX) TR X T uX

MiYddu 14

T" h h" "",., ;:; . d av C

Nh "

lC P an CUOIcling ton t,;11 0 u ax rv R2 t(;1100. u' v~y,

1

av

u-dT = - v-dT.

C6ng thuc con l(;1idu'Qc chung minh ho~m to~m tu'dng t\1'.

Cae bfft ding thue thu'(1ng dung

B"? d"" 2 7I.T"", H I H 2 ,av av 0 h '

i) Ilvll£2< hc

( av 2 + av 2)

1/2

£2

(13)

ii) II\l vll£2 < V2C

( av 2 + av 2 )

1/2

(14)

2 !

Il

iii) II\l vlli2 < Ilvll£2+ 2 ax £2 2 ay 11£2 (15)

trong do C > 0 la hling s{f chi phl;l thuQc vao 0.

Chang minh Do gilt thie't, ta co:

av

1

avav

1

a2v

1

_

a = _ a _ a dx = - a 2vdx < a 2v dx < a 2

11

IIvII £2,

av 2

l avav 1

a2v

_

11

IIvII £2

MiJ ddu 15

Suy ra (dung bfft d~ng thuc Cauchy)

( 82v 82v )

lI\7vlli2 < IIVIIL2 8x2 L2+ 8y2 £2

2

)

1/2

82v 2 + 82v

< V2l1vllL' (8x2 L' 8y2 L'

(16)

M~t khac, theo bfft d~ng thuc Poincare, t6n t~i h~ng 86 C > 0 saD cho

Tn (16) va (17)ta co ngay (13) va (14) Cling tn (16) va bfftd~ng thuc