Bai tap quan he vuong goc trong kg & loi giai _03

Câu 1: 3,0 điểm Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.a Chứng minh tam giác SBC vuông.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường

Câu 1: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH)

c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Câ

u

4

0,25

a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 0,50

b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC) 0,50

c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d B SAC( ,( ))=BH

BH2 AB2 BC2

2

AB BC

AB BC

Câu 2: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA =

a 3

a) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM)

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC)

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Câ

u

Điểm

2

4

0,25

( )

SAC SAB c g c SBC

∆ = ∆ ⇒ ∆ cân tại S ⇒SM BC⊥ (2) 0,25

b) (SBC)∩(ABC) = BC, SM BC cmt AM BC⊥ ( ), ⊥ 0,50

·

SBC ABC SMA

(( ),( ))

AM = 3 , 3( ) tan· 2

2

a SA a gt SMA SA

AM

SBC SAM SM AH SAM AH SM AH SBC

d A SBC( ,( )) AH,

a a

2 2

2

2

3

3

5 3

3

4

Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 Gọi I

là trung điểm của SO

a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

4

0,25

a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM)

Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*)

0,25

I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra IH =

2

OK d I SCD IH

OK2 OM2 SO2 a2

3

b) ∆SMC = ∆SNC c c c( )⇒MQ SC⊥ ⇒NQ SC⊥ 0,25

·

SCD SCB SC SCD SCB MQN

SM =OM +SO =a + a = a

SMC

∆ :

2 2

5

a MQ

MQ = MS +MC = a +a = a ⇒ =

0,25

· MQ NQ MN MQN

MQ NQ

cos

2 MQN

c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD)

Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC 0,50

a

d AC BD OP

OP2 SO2 OD2 a2 a2 a2

5

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),

SA a 2= Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD

a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN)

b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc

c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD)

4

a)

SAD SAB

∆ =∆ , AN SD AM SB SN SM MN BD

SD SB

,

SC AN uur uuur = uuur uur uuur AC AS AN− = uuur uuur uur uuur uuuruuur uuur uuur uur uuur AD AB AS AN AD AN AB AN AS AN+ − = + −

(AD AS AN SD AN) 0 SC AN

= uuur uur uuur uuur uuur− = = ⇒ ⊥ 0,25

SC AM uur uuur = uuur uur uuur AC AS AM− = uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur AD AB AS AM AD AM AB AM AS AM+ − = + −

(AB AS AM SD AM) 0 SB AM

= uuur uur uuur uuur uuur− = = ⇒ ⊥ 0,25

b) SA⊥(ABCD)⇒SA BD AC BD⊥ , ⊥ ⇒BD⊥(SAC)⇒BD AK⊥ ⊂(SAC) 0,50

AK⊂(AMN),MN // BD ⇒MN ⊥ AK 0,50 c) SA⊥(ABCD) ⇒AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ (SC ABCD,( ))=· SCA 0,50

· SCA SA a (SC ABCD )

2

2

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a và

SA⊥(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD)

b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC)

c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD)

a) Vì SA⊥(ABCD)⇒SA BC BC AB⊥ , ⊥ ⇒BC⊥(SAB) 0,50

SA⊥(ABCD)⇒SA CD CD AD⊥ , ⊥ ⇒CD⊥(SAD) 0,50 b) SA⊥(ABCD SA a), = , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒FE là đường

trung bình tam giác SBD ⇒FE BD P 0,25

BD AC⊥ ⇒FE AC SA⊥ , ⊥(ABCD)⇒BD SA⊥ ⇒FE SA⊥ 0,50

FE⊥(SAC FE), ⊂(AEF)⇒(SAC) (⊥ AEF) 0,25 c) SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ =ϕ ·SCA 0,50

SA a

AC a

0

1

2 2

Câu 6: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD=

a 7 và SA ⊥(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =

a 3 , SD= a 7 và SA ⊥(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

0,25

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

( ) SA AB

SA ABCD

SA AD

⊥

 các tam giác SAB, SAD vuông tại A

0,25

BC AB BC SB SBC

BC SA

CD AD CD SD SDC

CD SA

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

SCD ABCD CD

( ) (∩ )=

AD⊂(ABCD AD CD), ⊥ , SD⊂(SCD SD CD), ⊥

0,50

( SCD ABCD ) SDA· SDA· AD a

SD a

3 21

7 7

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)

AB SA AB SAD MN AB MN SAD

0,25

MND SAD MND SAD DM SH DM SH MND

d S MND SH

( ,( ))

·

·

0

3

2 60

AM a AMH

0,25

2

a SHM SHM SH SM SMH

Câu 7: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,

SA = a 2

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông

b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)

3) Tính góc giữa SC và mp (SAB)

4

0,25

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông

SA AB

SA ABCD

SA AD

⊥

 các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A

0,25

CD AD CD SD SDC

CD SA

BC AB BC SB SBC

BC SA

b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)

BD AC BD SAC



0,50

BD⊂(SBD BD), ⊥(SAC)⇒(SAC) (⊥ SBD) 0,50 c) Tính góc giữa SC và mp (SAB)

SA⊥(ABCD)⇒hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 0,25

⇒ ϕ =( ,(·SC ABCD)) ( ,=·SC AC)=SCA· 0,25

∆ vuông tại A nên , AC = a 2,SA a= 2( )gt ⇒ =ϕ SCA· =450 0,50

Câu 8: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC)

b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC)

c) Cho SA = a 6

3 Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

4

0,25

a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC)

BC AB BC SA⊥ , ⊥ ⇒BC⊥(SAB) 0,50

BC⊂(SBC)⇒(SBC) (⊥ SAB) 0,25 b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC)

BD (SAC)

c)

Cho SA = a 6

3 Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Vì SA⊥(ABCD)⇒AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

0,25

(·SC ABCD,( )) =(·SC AC, ) =SCA· 0,25

AC a

0

6 1

3 2 3

Câu 9: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh tam giác SAD vuông

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC

c) Gọi F là trung điểm của AD Chứng minh (SID) ⊥ (SFC) Tính khoảng cách từ I đến (SFC)

0,25

a) Chứng minh tam giác SAD vuông

SAB ABCD SAB ABCD AB SI AB SI ABCD

( ) (⊥ ),( ) (∩ )= , ⊥ ⇒ ⊥( ) 0,25

AD AB

AD SI

 ⇒ AD⊥(SAB)⇒ AD SA⊥ ⇒ ∆SAD vuông tại A 0,5 b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC

*) BC P AD⇒BC P(SAD)

*) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒

MN BQ AD

MN BQ AD

,

1 2





P

⇒ MNQB là hình bình hành ⇒NQ MB P

0,25

AD⊥(SAB)⇒ AD MB⊥ mà BC//AD, NQ//MB nên BC⊥NQ 0,25

AD MB⊥ , MB⊥SA⇒MB⊥(SAD)⇒MB SD⊥ ⇒NQ SD⊥ Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD 0,25

Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB = 3

2

a d BC SD( , ) NQ a 3

2

c) Gọi F là trung điểm của AD Chứng minh (SID) ⊥ (SFC) Tính khoảng cách từ I

đến (SFC)

Tam giác SAB đều cạnh a nên 3

2

a

SI =

¶ µ

AID DFC cgc( ) D C1 1

C F+ = ⇒D F+ = ⇒ID CF⊥

mặt khác CF⊥SI⇒CF⊥(SIK)⇒(SID) (⊥ SFC)

0,50

Hạ IH ⊥SK⇒d I SFC( ,( ))=IH

ID

IK2 a2 IH2 SI2 IK2 a2 a2 a2

0,50

a a

IH2 9 2 IH 3 32

Câu 10: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a 2

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′

b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′)

c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′

4

0,25

a) Tam giác ABC có AB2+BC2 =2a2 =( 2)a 2 =AC2 ⇒ ∆ABC vuông tại B 0,25

BC AB BC BB gt BC B B BC AB

b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′)

*) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC

, '( ' ( )) (AA' ' )

BM AC BM CC CC ABC BM C C

( ' ) ( ' ) ( ' ')

c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′

BB′ // (AA′C′C) ⇒ d BB AC( ′, ′)=d BB AA C C( ′,( ′ ′ ))=d B AA C C( ,( ′ ′ )) 0,50

AC a

BM (AA C C) d B AA C C( ,( )) BM 2

Câu 11: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a,

CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′).

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK)

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK)

4

0,25

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK)

BC AC BC AA, BC (AAC C) BC CK

0,25

′ ⊥ ′ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

AB A B KH A B, P ' KH AB CH', AB' AB' (CHK) 0,50 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK)

Có AB' (⊥ CHK AB), ' (⊂ AA B B' ' )⇒(AA B B' ' ) (⊥ CHK) 0,50

0

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK)

Ta đã có AB' (⊥ CHK cmt)( ) tại H nên ( ,(d A CHK))=AH 0,25

AC BC gt CC⊥ ⊥AC gt lt ⇒AC⊥ CC B B ⇒AC CB⊥ 0,25

= 2+ 2 = 2+ 2, '= 2 = 2 2+2 2

Trong ∆ACB’ vuông tại C: CH ⊥AB′⇒AC2 =AH AB ′

AH

+

0,25