.Một hộp chứa 4 quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu mầu xanh và 7 quả cầu mầu được lấy ra có đúng một quả cầu mầu đỏ và không quá hai quả cầu mầu vàng.. Giải hệ phương trình.. Đề chính thức Đề t
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC 20142015
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3- 3 x 2 + 2 ( ) 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) 1
điểm cực trị đồ thị hàm số ( ) 1 là nhỏ nhất.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ( tan 2 cot 1 sin 4 ) sin 2 cos 3 sin
x x - x = æ ç x + p ö ÷ +
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
2
0
6
ln
6
x
x
-
=
+
ò
3
Câu 5 (1,0 điểm). .Một hộp chứa 4 quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu mầu xanh và 7 quả cầu mầu
được lấy ra có đúng một quả cầu mầu đỏ và không quá hai quả cầu mầu vàng.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ¢ ¢ ¢ có đáy ABC là tam giác đều ,
60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB¢ và BC¢ theo a
Câu 7(1,0 điểm) .Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình
đường thẳng chứa trung tuyến và phân giác trong đỉnh B lần lượt là d1 : 2 x + y - = 3 0
2
, d : x + y - 2 = Điểm 0 M ( ) 2;1 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB ,đường tròn ngoại
Câu 8(1,0 điểm). Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
ï
í
ï
î
Câu 9(1,0 điểm). Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , ab bc ca + + = Chứng minh rằng 3
a - a + b - b + c - c + ³
Hết
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ……….……… Số báo danh: ………
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM HỌC 20142015
Môn: Toán; Khối:A+B
(Đáp án – thang điểm: gồm 04 trang)
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ ; 0 ) và ( 2; +¥ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )
0,25
+Cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yC D = y ( ) 0 = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yC T = y ( ) 2 = - 2
+Các giới hạn tại vô cực:
3
3
x y x x
x x
3
3
x y x x
x x
0,25
Bảng biến thiên.
,
0,25
c)Đồ thị .( Tự vẽ)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là ( ) 1; 0 , 1( + 3; 0 , 1) ( - 3; 0 )
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là ( 0; 2 )
Vẽ đồ thị.
0,25
Các điểm cực trị là A( 0; 2 ,) ( B 2; 2 - )
Xét biểu thức g x y( , ) =3x-y - 2
ta có g x( A,y A) =3x A-y A - = - < 2 4 0 và g x( B,y B) =3x B-y B - =2 6> 0 sau ra hai
điểm , A B nằm về hai phía đường thẳng : d y=3x - 2
0,25
Do đó MA MB + nhỏ nhất Û 3 điểm A B M thẳng hàng , , Û M là giao điểm giữa d
Trang 34
;
5
x
y x
M
y x
y
ì
=
ï
ï
2
x x
x x- x= æçx +p ö ÷ +
1,0
å Điều kiện : cos 2x¹0,sinx ¹ 0 . Phương trình đã cho tương đương với pt
x x
0,25
x=p+k p x= p +k p với k Î ¢
0,25
3
Tính tích phân
3
2
0
6
ln
6
x
x
-
=
+
Đặt
2
4
2
4
3
24
6
6
36
4
x
x
x
x
v
dv x dx
ì
ï
=
Þ +
-
0,25
2 2
2
0
0
x
2
2
0
3
5
x
x
ï
Û
¹
ï
0,25
Khi đó phương trình đã cho
2
x x
2
x
é
ê
ê =
ê
0,25
2
Gọi A là biến cố “4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu mầu đỏ và không
Trang 4Xác suất của biến cố A là ( ) ( )
( )
0, 41
n A
P A
n
Trên tia CB uuur
lấy điểm D sao cho CBuuur uuur=BDÞBDuuur uuuur =C B ¢ ¢ Þ
Tứ giác BDB C ¢ ¢ là hình
0,25
Tứ giác BDB C ¢ ¢ là hình bình hành Þ BC DB ¢ ¢ .
60 = AB BC¢, ¢ = AB DB¢, ¢ ÞAB D ¢ = 120 hoặc · AB D ¢ = 60 0
AB D¢ = Þ AD =AB¢ +DB¢ - AB DB ¢ ¢
0,25
· Trường hợp 2. · AB D¢ =60 0 Þ D AB D ¢ đều
AB¢ BD a h a h a
Vậy thể tích của lăng trụ là
2
ABC
V =AA dt¢ × D =a × =
0,25
3
.
2
6
3
4
B ABD
AB D AB D
a
d BC AB d BC AB D d B AB D
¢
Gọi tọa độ điểm A a ( ) ;1 , điểm N đối xứng với M qua phân giác d khi đó ta tìm 2
được N ( ) 1; 0 . Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh :x- =1 0ÞC( ) 1; c Þ Trung
a c
I æç + + ö ÷
0,25
Do IÎd1 Þ2a+ - = c 3 0 , 1 ( )
Từ ( ) 1 v à 2 ( ) đi đến hệ pt
( ) ( )
+ - =
ï
Þ ê
í
Vậy A( ) ( 3;1 ,C 1; 3 - )
0,25
8
2
ï
í
ï
1,0
å
x
y x
³ -
ì
í
- + ³
î
pt( ) 1 :x3-y3+17x-32y=6x2-9y2 -17 Û( x-2) 3+5( x-2) ( = y-3) 3 +5( y - 3 )
( x 2) ( y 3) ( é x 2) ( 2 x 2)( y 3) ( y 3) 2 5ù 0
( x 2) ( y 3) 0 y x 1
0,25
Thế ( ) 3 vào ( ) 2 ta được pt: ( x+3) x+4+( x+9) x+11=x2 +9x + 10
Trang 5( 3) 5 ( 9) 5 ( 5)( 7 )
( )
x
é
ê
ë
)
&
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x y = ; ) ( 5; 6 )
0,25
Nhận xét 2 ( a b c+ + ) 2 ³3( ab bc+ +ca) = Þ9 a b c + + ³ 3
( )
( ) 3
3 , ,
2
a b c
a + ³ a+ + b c
Õ
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta được
( )
( )
3
3 , ,
1
a b c
a + +b + +c + ³ Õ a +
,tương tự ta có
( )
( )
3
3 , ,
2
a b c
b + +c + +a + ³ Õ a +
,
( )
( )
3
3 , ,
3
a b c
c + +a + +b + ³ Õ a +
0,25
cộng ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 theo vế ta được
( )
3 , ,
3
3
a b c
a b c
+ +
( )
( ) 3
3 , ,
2
a b c
a + ³ a+ + b c
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c = ( bước nhận xét 1 sử dụng phương pháp 1
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
Câu 6 học sinh không vẽ hình , thì không chấm điểm.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
