SKKN Một số dạng toán trong hệ tọa độ Oxyz

- Trong quá trình dạy học, tôi luôn cố gắng tìm tòi các ví dụ điển hình, tổnghợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tôi đã viết ra chuyên đề “Một số dạng bài tập chương Ph

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP

TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Tên đề tài

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Hồng Tâm

2 Ngày tháng năm sinh: 17/05/1985

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2006

- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán THPT

Số năm có kinh nghiệm: 06

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không có

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, của Hình học nói riêng,

không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức căn bản màcòn phải giúp cho học sinh rèn luyện các kỹ năng cần thiết và phát triển tư duy

- Theo phân phối chương trình bộ môn toán THPT, lớp 12 chỉ có 1,5 tiếthình học mỗi tuần.Với thời lượng hạn chế như vậy, giáo viên và học sinh gặp rấtnhiều khó khăn trong việc dạy và học bộ môn Hình học, đặc biệt là phần Phươngpháp toạ độ trong không gian của lớp 12 Do đó, việc hệ thống lý thuyết, phândạng và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán trong chương này theo đúngChuẩn kiến thức và kỹ năng là thực sự cần thiết, giúp cho giáo viên và học sinh cótài liệu phục vụ cho việc dạy và học đạt kết quả cao nhất Thiết nghĩ, trong mỗi tiếthọc, cùng với tài liệu học tập này, giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ năng giải toán,

kỹ năng suy luận cho học sinh, thông qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức trọngtâm của bài học, và có một hệ thống bài tập phù hợp với khả năng để luyện tậpthường xuyên

- Trong quá trình dạy học, tôi luôn cố gắng tìm tòi các ví dụ điển hình, tổnghợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tôi đã viết ra chuyên đề

“Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian”

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

- Các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian được tổng hợp từhai bộ sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 (Ban cơ bản và Ban khoa học tựnhiên) do Bộ giáo dục ban hành

- Các kỹ năng giải toán Hình học tọa độ ở mức độ trung bình

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Giáo viên cần chuẩn bị tốt các yêu cầu sau:

- Nghiên cứu thật kỹ Chuẩn kiến thức và kỹ năng để xác định kiến thứcchuẩn cần phải dạy cho học sinh

- Cần nghiên cứu thêm các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây,trong đó hình học tọa độ trong không gian chiếm 1/5 tổng số điểm (2 điểm) Câuhỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến thức (kiến thức cơ bản)

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

- Nội dung của chuyên đề đảm bảo các kiến thức, kỹ năng trọng tâm củachương Phương pháp tọa độ trong không gian, cụ thể gồm các nội dung sau:

1) Hệ trục toạ độ trong không gian

- Các phép toán về tọa độ vectơ và toạ độ điểm: tổng, hiệu của hai vectơ, tích của một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ

- Khoảng cách giữa hai điểm, độ dài đoạn thẳng

- Góc giữa hai vectơ

2) Phương trình mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

3) Phương trình đường thẳng

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của một đường thẳng

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Góc giữa hai đường thẳng

4) Phương trình mặt cầu

- Phương trình của mặt cầu

- Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)

Hệ gồm ba trục 'x Ox y Oy z Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng , ' , '

với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là , ,  i j k

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ ,a b  là một vectơ có tọa độ xác

Diện tích tam giác: 1 ,

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

x y z

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng.c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện

d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC

6 1 2

5 1 3

2 1 4

d d d

531

d d d

c)EOxy E e e 1; ;02 

1;2;31; 1; 1

e e

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

b) SABC là một tứ diện khi và chỉ khi S, A, B, C không đồng phẳng

 SA SB SC  , , không đồng phẳng, suy ra điều phải chứng minh

c) Gọi h là chiều cao của tứ diện S.ABC kẻ từ đỉnh S Ta có: 3 S ABC.

ABC

V h

c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tính chu vi của tam giác ABC

d) Tính các góc của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB Tính độ dài đường trung tuyến CI của tam giác ABC

f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C

Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm

1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCd) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A

Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm

A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0)

a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD

d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh D

thuộc trục Oy và ba đỉnh A2;1; 1 ,  B3;0;1 , C2; 1;3 .Biết rằng tứ diện

có thể tích bằng 5 đơn vị thể tích Tìm toạ độ đỉnh D

Bài 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

với A2;0;2 , B4;2;4 , C2; 2;2 , ' 8;10; 10  D   .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

  

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

0

Ax By Cz D    , với A2B2 C2 0 Trong đó, nA B C; ;  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Mặt phẳng   đi qua điểm M x y z và nhận  0; ;0 0 n A B C; ;  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Phương pháp: Tuỳ theo điều kiện của từng bài toán, ta có thể chọn một trong số

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

trong đóhai vectơ ,a b  khác 0, không cùng phương với nhau thì ta có thể chọn na b, 

Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện

Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

a) Viết phương trình mặt phẳng( ) qua A và vuông góc với BC

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong mỗi trường hợp sau:

a) ( ) đi qua điểm M 3;3;3và song song với mặt phẳng

f) ( ) đi qua điểm M1; 1;1  và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,

C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

g) ( ) đi qua điểm M 1;4;2 và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn thẳng bằng nhau

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M1;2;3 và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với OA a OB b OC c ,  ,  sao cho:

a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

b) OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Dạng 2 – Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0),

C(0; 0;6), D(2; 4; 6) Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện

và D1;1;1.

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt phẳng (ABC)

Bài 2: Cho hai mặt phẳng   : 2x 2y z  3 0 và   :x2y 2z12 0 Tìm trên Oz điểm cách đều   và  

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:   :x y z   5 0 và   :x y z   5 0

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng

  : 4x 4y7z 3 0 , biết rằng khoảng cách từ điểm M4;1; 2  đến mặt phẳng   bằng 4

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm A2;0;0,

B0;3;0 và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) bằng 6

7.

Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng   đối xứng với mặt phẳng

  : 2x y 2z 3 0 qua điểm M   2; 4;3 .

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

a

M 0

M

- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của

u song song với  hoặc chứa trong 

- Nếu hai vec tơ ,a b  khác 0, không cùng phương và cùng có giá vuông góc với  thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là ua b, 

  

2 Phương trình của đường thẳng.

a)Phương trình tham số của đường thẳng:

- Đường thẳng  đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng  là:

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

- Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên 

- Khi đó  có một vectơ chỉ phương là:

3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng: 1 đi qua A và có vectơ chỉ phương a 

2 đi qua B và có vectơ chỉ phương b

thì số giao điểm của hai đường

thẳng trên là số nghiệm của hệ :

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

4 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Cho hai đường thẳng

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a( ; ; ) a a a 1 2 3

2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương ( ; ; ) 1 2 3

Cách 1: Xác định toạ độ một điểm M x y z mà đường thẳng đi qua và toạ độ 0; ;0 0 của một vectơ chỉ phương của đường thẳng na a a1; ;2 3

23

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng  đi qua điểm A ( 2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng ( ):2P x 3y6z19 0

a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (1 ; – 4 ; – 5).

b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0)

c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (): x + y – x + 5 = 0

d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:

1 2

3 34

lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz)

Bài 3:Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với

đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (): 3x – y + 2z – 7 =0 và (): x +3y – 2z + 3 = 0

Bài 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) và () đi qua ba điểm

A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số của đườngthẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α) và ()

Bài 5:Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–

4 21 ,

a b M M d

d:

123

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

d:

1

2 23

Bài 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và đường

thẳng dm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (), (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.) với:

(): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0 (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

Bài 3:Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

b) Lập phương trình đường thẳng   (P) đồng thời cắt cả d1 và d2

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

d1: x3 1y121z và d

2:

11

Dạng 3: Khoảng cách và góc

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a và đi qua điểm A Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng  (chọn M từ phương trình cuả )

Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2

1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a( ; ; ) a a a 1 2 3

2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương ( ; ; ) 1 2 3

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian Cách 1:

- Lập phương trình mặt phẳng () chứa 1 và song song 2

- Lấy một điểm A tuỳ ý trên 2

a b

BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M 1; 1;1  đến đường thẳng

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 2;6 ,  B2;4;4 Hãy tính

độ dài đường cao OH của tam giác OAB

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 1 1 2

a) Chứng minh d d chéo nhau 1 , 2

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d d 1 , 2

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 6 x y 4 z  5 0 đường thẳng : 2 7 1

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

a) Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng  P

Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng  : x42 y11z23

a) Tìm giao điểm M của d và (P)

b) Viết phương trình đường thẳng  chứa trong mặt phẳng (P) sao cho 

vuông góc với d và khoảng cách từ M đến  bằng 42

Dạng 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian

- Trên 2 lấy một điểm bất kỳ là N x 2 a t ; y2 2 2 b t ;z2 2 2 c t2 2

- MN là đường vuông góc chung của 1 và 2 khi thoả mãn

00

Giải hệ phương trình trên ta tìm được t ,t , từ đó tìm được toạ độ M và N.1 2

- Viết phương trình đường vuông góc chung  của 1 và 2 qua M và N

- Chọn điểm A thuộc 1 Lập phương trình mặt phẳng   chứa  và 1

(  qua A và có một vectơ pháp tuyến nu,u1

  

)

- Xác định toạ độ điểm M là giao điểm của   và 2

- Viết phương trình đường vuông góc chung  của 1 và 2 qua M và nhận