Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ7_2

Luận văn thạc sĩ toán học: Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ

Chung ta bier ding yoi m6i d~;lllgtham s6 hoa cua m~t huu ty se t6n t(;limOt s6 nguyen n ~ 1 sao cho mOt diSm tren m~t tu'dng ling yoi n gia tri tham s6 s6 n du'QcgQi 1fts6 tu'dng ling cua d(;lngtham s6 boa Khi n = 1~ ta noi d(;lng tham s6 hoa 1ft chinh qui, ngu'Qc l(;li 1ftkhong chinh qui Theo Dinh

19 Bezout [14], b~c cua da thlic f b~ng s6 giao diSm cua m~t d(;li s6 f =0 . yft hai m~t ph~ng Nhu'ng giao cua hai m~t ph~ng 1ft mOt du'ong th~ng, y~y

su dvng hai du'ong th~ng khac nhau chung ta se Hnh du'Qcb~c cua da thlic f.

Thm}t toan A.I Tinh b~c in cua m~t tham s6 huu ty (1.3) [4].

Nh4p:

Xudt:

Rude 1:

Rude 2:

Rude 3:

Rude 4:

Cac da thlic a,b,c,dE k[s,t].

I Ia b~c in cua m~t tham s6 huu ty (1.3).

TIm biSu di~n in cua mOt du'ong th~ng toy 9 ca:t m~t tham

s6 huu ty alx + (31Y+ "YlZ+ 81=a2x +(32Y+"f2Z +82= o.

Cac gia tri s tu'dng ling yoi cac giao diSm cua du'ong th~ng trong Rude 1 yoi m~t tham s6 1ft nghi~m cua k~t thuc

h(s) = Res(ala + (31b+ "flC+ 81d,a2a + (32b+ "f2C+ 82d,t).

Neu m~t tham s6 co chlia cac diSm co so thl h(s) co cac

nghi~m ngo(;li lai DS lo(;li bo chung, chung ta Hm biSu di~n in cua mOt du'ong th~ng toy 9khac yoi du'ong th~ng

trong Rude 1 Ia alx +!31Y+ilZ +81= a2x+ !32Y +i2Z +82

= o.

Tu'dng tv xac dinh da thlic co cling s6 nghi~m ngo(;lilai yoi

Budc 5:

81d, a2a + ,B2b + "Y2C+ 82d, i).

Xua't l:= deg(h(s)) - deg(gcd(h(s),fi(s))).

Trang ph§n nay chung toi se trinh bay tom tilt mQt s6 khai nit?m va cac thu~t roan Hnh roan cd ban vS ma tr~n da thuc lam cd sd cho vit?c xa~ dinh

modun syzygy [14, 19]

Ma tr~n F ca'p m x l voi cac ph§n td' thuQc k[xl' ,xIJ duQc gQi Ia ma

tr~n da thuc, ky hit?u FE k1nXI[Xl"",Xn] Ma tr~n F co h~ng Ia T', ky hi~u

rankF = T', ne'u tan t~i mQt dinh thuc con ca'p T' khac khong va ta't ca cac dinh thuc con ca'p T'+ 1 dSu b~ng khong Ne'u rank(F) = min(m, l) ta noi F 1a h~ng

d§y duo B~c cua F, ky hit?u deg(F), 1a gia tri IOn nha't cua b~c cua cac ph§n td' cua F.

Cho ME k1nX1n[Xl"",XIJ,khi do dinh thuc cua M 1a mQt da thuc thuQc

k[Xl"",Xn]' Ta noi M khong suy bie'n ne'u det(M) +=O Ne'u det(M) Ia mQt h~ng khac khong thuQc k ta noi M Ia ddn modun

Djnh nghia B.l Cha FE k1nXI[Xl' ,xnJ,m < l Khi do F dll(1CgQi [a:

(1) Nghi~m nguyen ((5 trai (ZLP) ntu khong t6n tCfi mQt n-bQ (zf, , z~) E kn [a nghi~m chung cila tat cd cac dinh thac can cap m cila F.

(2) Dinh thac nguyen t6 trai (MLP) ntu tat cd cac dinh thac can cap m cila F nguyen to' cung nhau.

(3) Thaa s6 nguyen t6 trai (FLP) ntu F = ~F;, trang do ~ dan modun.

Cac khai ni~m nghi~m nguyen t6 phdi (ZRP), dinh thac nguyen t6 phdi (MRP) va

thaa s6 nguyen tlf phdi (FRP) dU:(lcdinh nghia tllang fT!.

Vdi n = 1,2 thl MLP FLP va MRP FRP Vdi n 2:: 3 thl MLP $. FLP

va MRP $. FLP Vdi n 2::1 thl MLP ~ FLP va MRP~ FRP [18]

B.I Phan tich nhan tii'ma tr~n da thuc

~

Thu~t tmin B.l Phan tich nhan tii' tnii cho ma tr~n da thuc hai bie'n h~ng d~y du

[12, 16]

Nhljp: Ma tr~n FE kmXI[XpX2Jco h~ng d~y du, m < l.

Xudt: Hai ma tr~n L E kmxm[xpx2J, R E kmXI[XpX2JsaD cho F = LR

va det L = 9 vdi 9 E k[XIJIa dung cua tide chung ldn nha't cua

BucJe 1:

cae dinh thuc ca'p m cua F.

TIm da thuc 9 E k[XIJIa dung cua tide chung ldn nha't cua cac dinh thuc ca'p m cua F Phan tich 9 thanh tich cua cae da thuc

ba't kha guy trang k[XIJ

L = 1m;R = F.

Bude 2: Ne'u da: xet he't cae thanh ph~n ba't kha guy thl de'n Rude 6.

NgtiQc I~i, vdi thanh ph~n ba't kha guy p E k[XIJ

Rude 3: Trang ma tr~n R,ne'u t6n t~i mQt hang io, vdi i < io < m, ma

ta't ca cae ph~n tii' deu b~ng kh6ng thl Do= diag(l, ,p, ,l)

Ia mQt tidc trai cua F

L = LDo; R = D;;lR.

Quay I~iBude 2 vdi thanh ph~n ba't kha guy ke'tie'p

BUdC 4:

BUdC 5:

Trang ma tr~n R, tlm cQt jo d~u tien, vdi j < jo < l, co it nha't mQt ph~n ta khac kh6ng trong cac hang tu i de'n m

Trang cQt j cua ma tr~n R, tu hang i de'n m Hmph~n ta co~

b~c theo x2 nho nha't, gQi la Rj~' D~t D1 la ma tr~n co du<;1ctu 1mbiing cach hoan vi hai dong i va ~

R =D1R; L = LD1;R = D1 R.

Giii sa CQtj co d~ng ( ,ai, ,am)T Hc$s6 chu d~o cua cac da

thuc ai' , am E k(X1)[X2] la cac da thuc bi, , bm E k[xd Do

bi va p nguyen t6 clIng nhau nen theo thu~t toan chia Euclide

tan t~i cac da thuc g, h E k[X1]sao cho

gbi= 1- hp.

D~t a; =gai (modp) E k[XpX2]'Khi do tan t~i cac c~p da thuc qk' , rk E k[X1,X2]sao cho

*

ak = qkak + rk'

vdi k = i + 1, , m va degt rk<degt a; ho~c rk = O. D~t

1

1

-xqi+1 1

RUdC 6:

R = D3R;L = LD3 ; R = D3R.

Khi do cQt j co d(;lng( ,ai,1i+1, ,r;n)T.

R = R (modp).

Ne'u cac da thuc 1i+1= = r;n = 0 thl

i = i + 1;j = j + 1;

va quay l(;liRUdC 3 NguQc l(;li, quay l(;liRUdC 5.

Xua't L, R.

Ne'u m > l, ta cling co phan rich nhan tii' phai cho P, nghla la tlm duQc

hai ma tr~n L E k1nXl[Xp X2] va R E k1Xl[X1' X2] sao cho P = LR Ap d\lllg ma tr~n chuyS'n vi ta co thS' xay dvng thu~t roan phan rich nhan tii' phai nhu sau.

Thm}t tmin B.2 Phan rich nhan tii' phai cho ma tr~n da thuc hai bie'n h(;lngdfiy

duo

Nhqp:

Xudt:

RUdC 1:

RUdC 2:

RUdC 3:

Ma tr~n P E k1nXl[Xp X2] co h(;lng dfiy du, m > l.

Hai ma tr~n L E k1nXl[X1' X2]' R E k1Xl[X1' X2] sao cho P = LR va

det R = g voi g E k[X1]la dung cua uoc chung IOn nha't cua cac dinh thuc ca'p l cua P.

Di;it p' = pT E k1X1n[X1' X2]' dung Thu~t roan B.1 tlm hai ma tr~n L' E k1Xl[X1' X2] va R' E k1X1n[xp X2] sao cho p' = L'R'.

Ta co (pT)T = pIT = (L'R')T hay P = R'TLff = LR Di;it

L = R'T;R = Lff.

Xua't L, R.

B.2 Tim d~ng Hermite

Cho ma tr;%n F E k1nXI[Xl'X2]' d,.lllg Hermite cua F la ma tr;%n H = UF vdi

hij = 0 nSu i > j va degx2 hii > degx2hij nSu i < j, trong do U E k1nX1n[xl' X2] va

ddn modun Sa dl;lllgky thu;%tkha Gauss de tim d~ng Hermite cho tru'ong hQp mQt biSn [12], ta co thu;%ttoan sau

Thu~t toan B.3 Tim d~ng Hermite cho ma tr;%nda thti'c hai biSn h~ng d~y du [12, 14, 19]

Nhqp: Ma tr;%nF E k1nXI[Xl' X2] co h~ng d~y duo

Xudt: Ma tr;%nHermite HE k1nXI[Xl'X2]cua F.

Bu(]c 1: Xem F E k1nX\Xl)[X2]'sa d\lng ky thu;%tkha Gauss ta tim du'Qc

ma tr;%nHermite II E k1nXI(Xl)[X2]cua F va ma tr;%n0 E k1nX1n(

Xl)[X2] sao cho II = OF.

Bu(]c 2: GQi hi vdi i = 1, , m la bQi chung nho nha't cua cae m§:uthti'c

hang thti' i D~t D = diag(~, ,h1n)'

-H=DH;U=DU.

Bu(]c 3: Xua't H.

B.3 Rut trich tide chung IOn nha't

A, B la hai ma tr;%nda thti'c cung sO'hang (cQt) A, B du'QcgQi la nguyen

to' cung nhau trai (phai) nSu t6n t~i hai ma tr;%nA, B va ma tr;%nda thti'c ddn

modun C sao cho A = CA,B = CB (A = AC,B = BC).

Ma tr;%nda thuc vuong D duQc gQi la uoc chung tnii (phiii) IOn nha't cua

A va B ne'u tan t~i hai ma tr;%nda thuc 1, 13nguyen to' cung nhau trai (phiii)

sao cho A = DA,B = DB (A = AD,B = BD).

Thu~t tmin B.4 TIm uoc chung phiii Ion nha't cua hai ma tr;%nda thuc [12, 16].

~

Nhqp: Hai ma tr;%n da thuc A E kmXI[Xl'X2] va B E knXI[XpX2] sao cho

Xu{{t:

(AT,BT)T E k(m+n)xl[Xl,X2]la h~ng d~y duo

Ma tr;%nda thuc DE kIXI[Xl,X2]la uoc chung Ion nha't phiii cua

A va B.

RUdC1: Dung Thu;%ttoan B.2 phan tfch nhan tu phiii ma tr;%n

RUdC 2: Dung Thu;%ttoan B.3 tlm d~ng Hermite cua ma tr;%n(iF, IF)T

u[~J = [~J.

RUdC3: Dung Thu;%ttoan B.l phan tich nhan tu trai ma tr;%n

Rv = LR.

RUdc 4: Xua't D = RR.

B.4 Dc) phuc t~p Hnh toaD

BQ phuc t~p cua Thu;%ttoan BA phl;1thuQc vao dQ phuc t~p cua Thu;%t

toan B.l d RUdC1 va 3 va dQ phuc t~p cua Thu;%ttoan B.3 d RUdC2 Cac Thu;%t

toan B.l va B.3 d€u duQc xay d1.,1'ngd1.,1'atren cach tie'p c;%nc6 dien la phuong

phap khii' Gauss Banh gia dQ phuc t~p cua Thu;%ttoan B.l tuy khong don giiin

nhrtng chUng ta co th€ thiy cd ban no se g6rn di) ph",c taP d€ Hnh (7] dinh thuc

ca'p m d Budc 1 va dQ phuc t""p cua cac bu'oc khii' Gauss con I""i Nhu' v~y dQ

phuc t""p cua Thu~t roan B.I cling Ia mQt ham da thuc theo m, Z DQ phuc t~p

,

cua Thu~t roan B.3 Ia O(mZ2d2)[20], trong do d Ia b~c cua ma tr~n da thuc V~y

dQ phuc t""pcua Thu~t roan BA Ia mQt ham da thuc

Trang ph~n nay chung Wi trlnh bay thu~t toan tim f.L-cdsd cua duong cQng

ph~ng va m~t thalli s6 hull ty duqc sa d1;lllgtrong Thu~t toan 3.3 va 3.4 trong Chuang 3

c.t Thn~t toaD Om p,-cd sO'cua du'ong cong tham s(f hun ty phdng

Cd sd de xay dl;1'ngthu~t toan xac dinh f.L-cd sd cua duongcong thalli s6

hull ty ph~ng la cac ke't qua sau

Dinh Iy C.t Cho p, q E Syz(a,b,c) la hai dudng thdng di d(}ng sinh dudng Gong

tham sf;' (1.2) bfjc n Gid sii deg(p) <deg( q), khi do p va q tCJothanh f.L-casO cua dudng Gong(1.2) niu va chi niu m(}t trong cac ddu ki~n sau thoa

(1) M(}t dudng thdng di d(}ng L sinh dudng Gongtham s{f (1.2) co thi duf/c biiu

diln boi (2.3) wii deg(~p) :::;deg(L) va deg(h2q) < deg(L).

diln boi (2.3) va hai vectd LV(p) va LV(q) d(}c lfjp tuyin tinh tren JR.

(3) M(}t dudng thdng di d(}ng L sinh dudng Gong tham s{f (1.2) co thi duf/c bilu diln boi (2.3) va deg(p) + deg(q) = n.

Chung minh: xem [2, tr 374].

M~nh d~ C.2

(1) Modun syzygy Syz(a, b,c) cua dudng Gong tham s{f hilu ty phdng (1.2) duf/c

sinh biJi ba duilng thling di dQng VI= (-b, a,0), V2= (-c, 0,a) va V3= (D,c,

-b)

(2) rank(vI,v2,V3)=2

(3) rank(LV(vI)' LV(V2)'LV(vJ) = 2.

Chung minh: xem [2, tr 376 -377]

Thu~t toaD C.l Tim p,-ed sa eua dttong eong tham s6 huu ty phing [2].

Nh(jp: Cae da thlie a,b,c E k[t].

Xudt: Hai da thlie p, q E k[x, y, t] 13.p,-ed sa eua dttong eong tham s6

huu ty phing

Rude 1: Df;it

VI= (-b,a,D), V2= (-c,D,a), V3= (D,c,-b);

mI = LV(VI)' m2=LV(v2)' m3=LV(v3)'

Rude 2: Df;it ni = deg(vi)' vdi i = 1,2,3 Khong ma't tinh tang quat, ta

siip xe'p 1~i cae Vi theo thli t1! giam d~n eua cae ni

Rude 3: Tim cae s6 th1!e aI' a2' a3 (co it nha't 2 s6 khae thong) sao eho

aImI + a2m2 + a3m3 = D.

Rude 4: Ne'u al -:;r:. D thi

~ =LV(VI);

nI =deg( VI)'

Ne'u al = D khi do a2,a3 -:;r:.0 thi

V - r" V + t n2-n3 V '

m2 = LV(V2);

Buac 5: Ne'u mQt trong cac Vi=0, gia SITla VI= 0, thl d~t p = V2va

q = V3 Ia hai da thuc t<:;lO thanh f-J,-Cdsa cua du'ong cong t~ham

s6 huu ty ph£ng Ngu'qc l<:;li,quay v6 Buac 2.

C.2 Thn~ t toaD tim p,-cd sd cua m~t tham sf{ hun ty

Cd sa quan trQng de giup Hm f-J,-cdsa cua m~t tham s6 hUll ty la hai ke't

qua sau

Dinh Iy C.3 Cho mift tham sd hiiu ty (1.3), khi d6 fuon tan ((;iiba phdng di dqng

p, q, r saG cho (2.4) thoa Ban niia, mqt ca sa p, q, r tfly ycaa modun Syz(a, b,c, d) Gang thoa (2.4).

Chung minh: xem [1, tr 694].

Dinh Iy C.4 Cho p, q,r fa mQt f-J,-casa caa mift tham so' hiiu ty (1.3) Khi do

p, q, r fa mQt ca sa caa modun Syz(a, b,c,d), ngh'ia fa vai ba't ky phdng di dQng P sinh mift tham so' co bilu ddn duy nha't

P = ~p + ~q + h3r

vai ~,~, h3 E IR.[s,t] Ban niia degt(~p), degt(~q), degt(h3r) <degt(P) + degt(p)

+ degt(q) + degt(r) - n; degs(~p), degs(~q), degs(h3r) :::; degs(P) + degs(p) + degs(

(P) + deg(p) + deg(q) + deg(r) - n ntu mift fa phan tam gidc btJ-cn.

Chung minh: xem [1, tr 695].

Do d6 de rim f-L-cosd cua mi,it tham s6 huu ty (1.3) chung ta chi cffn xac dinh co sd cua m6dun Syz(a, b,c,d) Chung ta bie't ding vi~c xac dinh co sd cho

mQt m6dun tl,l' do la kh6ng d~ dang Trong khi d6 ta c6 the sa d\lng ytudng cua thu~t roan Buchberger de xay dl,l'ngt~p hqp cac phffn ta sinh cho m6dun sy-zygy

[10] va sa d\lng ke't qua cua M~nh d€ 2.20 de rim co sd cho m6dun Syz(a,b,c,d).

Nhung phuong phap nay ding chua hi~u qua

Sa d\lng cac ke't qua nghien CUll v€ m6dun syzygy cua h~ cac phuong

trinh tuye'n tinh thuffn nha't voi cac h~ s6 la da thuc nhi€u bie'n dl,l'atren ly thuye't cac ma tr~n da thuc [18], chung ta c6 the xay dl,l'ngthu~t roan xac dinh

f-L-co sd cho mi,it tham s6 huu ty [12] Hon nua phuong phap nay cling c6 the duqc

ap d\lng de rim f-L-cosd cho duong cong tham s6 huu ty hi~u qua hon Thu~t roan

D.l

Cho ma tr~n da thuc F = (A, ,ft)E k7nXI[Xl"",XrJ Khi d6 (~, ,hl)T E kl[ Xl, ,X,J duqc gQi Ia mQt syzygy cua F ne'u

I

Lhd: = o.

i=l

(D 1)

T~p hqp ta't ca cac syzygy cua F duqc gQila m6dun syzygy cua F, ky hi~u la Syz(F) T~p hqp cac ~, ,hs E kl[xl1'",xnJ duqc gQi Ia t~p cac phffn ta sinh cua

Syz(F) ne'u

va voi mQi syzygy t E Syz(F) t6n t~i duy nha't cac da thuc fl1""fs E k[xl1""x,J

saD cho

t = h~ + Ishs' (D.3)

Ne'u ta d~t h = (hi, ,fmJT, hj = (~j, ,hlj)Tva t = (~, ,tl)T voi i = 1, ,[ va

j = 1, ,s thl cac bi€u thuc (C.2) va (C.3) trd thanh

hI hi )(~I ~s

=0

Imi ImLjl hn

~

F

his

Ii

va

; _f;I - ;sH~

tl Ihn his Ills

Khi do H = (~, ,hs) E kIXS[xu ,x,J duQc gQi la ma tr~n sinh cua Syz(F) Cau hoi d~t ra la khi nao thl ma tr~n H co s6 cQt nho nha't va co tan t~i hay kh6ng mQt ma tr~n sinh co s6 cQt nho nha't voi F ba't ky? Cac ke't qua sau se tra loi

cho va'n d€ nay

sinh dip [x T ntu va chi ntu tan t{li m(}t ma trtJ.nMRP HE kIXr[XI, ,x,J SaD cho

FH = O Hefn nila H chinh fa ma trtJ.nsinh.

Chung minh: xem [18, tr 80].

Voi n ::;2 ta lu6n Hm duQc mQt ma tr~n sinh co s6 cQt nho nha't cho F tuy y.

Mc%nhd~ C.6 Cho F = (-Njj) E klnXI[Xl,X2] co hc;mgla m, veli l> m va DE

klnXIn[xl'X2] khong suy bien Dijt r =l- m, khi do tan tc;limQt ma tr4n sinh H E

klXr[xl' X2] cho modun Syz(F).

Chung minh: xem [18, tr 81].

D~t F = (a,b,c,d) E eX4[s,t], theo M~nh de C.6 m6dun Syz(F) hay Syz(a, b,c,d) co ma tr~n sinh H E k4X3[S,t] Theo M~nh de 2.20, suy ra cac cQtcua H

t(;lOthanh mQt cd sa cua m6dun Syz(a, b,c,d) V~y ta co thu~t toan sau xac dinh

p,-cd sa cho m~t tham sO'hilu ty.

Thu~t toaD C.2 Tim p,-cd sa cho m~t tham sO'hilu ty [12].

Nh4p: Cac da thuc a,b,c,d E k[s,t].

Xw1't: Ba da thuc p, q,r E k[x,y, z, s, t] la p,-cd sa cua m~t tham sO'hilu

Buelc 1:

?

ty

D~t N = (-a,-b,-c) va jj = (d) Xay dllng ma tr~n

p = jj-lN =(-ajd,-bjd,-cjd) = ND-1.

BuelC 2:

Trong do N = (-a,-b,-c) va D = diag(d,d,d).

Dung Thu~t toan B.4 till u'oc chung IOn nhtt C cua N va D.

Khi do t6n t(;lihai ma tr~n N, jj E k[s, t] sao cho

-N = NC; D = DC;

trong do N va jj nguyento' cung nhau phai D~t

-T -T T

H = (N ,D ) = (hr,~,h3);

P= hrT(x,y,z,l);q = h;(x,y,z,l);r = hJ(x,y,z,l).

Blide 3: Xua't p, q, r.

C.3 Dc} phuc t~ p Hnh tmin

DQ phuc t(;lp cua Thu~t roan C.! trong trliong hQp trung binh la O(n2)[2]

Trang khi do vi~c danh gia dQ phuc t(;lpcua Thu~t roan C.2 la khong don gian

va no ph\l thuQc chinh vao dQ phuc t(;lpcua cac thu~t roan v€ Hnh roan ma tr~n

da thuc trong Ph\ll\lc B C\l the, neu bo qua dQ phuc t(;lpcua vi~c xay d1;fngcac

ma tr~n N va D t(;liBlide 1 thi dQ phuc t(;lpcua Thu~t roan C.2 ph\l thuQc chinh vao dQ phuc t(;lpcua Thu~t roan B.4 d Blide 2 V~y ta co the xem dQ phuc t(;lp

cua Thu~t roan C.2 xa'p Xl dQ phuc t(;lpcua Thu~t roan B.4 va cling la mQt ham

da thuc

Trang phgn nay chung Wi lit%tke phu'dng trinh cac m~t huu ty du'Qcdung d€ daub gia cac thu~t roan gn hoa trong Chu'dng 3

Sl = -3s3t - 3,-4i + 6st,9s- 6,t;

s2'= it + 2st5- st s3e - s2t3 - 2it2 + S2 - st - 2s s - t - 2 s2t - se - 2st,",

S3 = S2 + t, s2t+ st4 + st2- 3s +t5 - 3t3, st + e- 3, s2t + 2se - 3s + t3 - 3t;

S4 = -18s4t + 27s3t2 - s2t3 - 8st4 + 2t5,

4s3t3 + 6s3t2+ 2s3t - 2s2t4 - 3it3 - s2t2,

-3s3t2 - 3s3t - 8it3 - 8s2t2 - 6s2t - 6i + 3st4 + 3st3 + 2st2 + 2st,

6s3t2+ 6s3t - 5s2t3- 5it2 + st4 + st3;

S4 + t4- 1;

48it + 8i + 16se - 456st + 384s + 16e -16t2 + 392t - 392,

16s3 + 32it + 192i + 48se -1328st + 1040s + 64e - 48e + 1232t -1248, 16s3 - 240st + 224s + 16e + 224t - 240;

S7 = 16s3 + 32it -120i - 56st + 128s + 24t - 24,

48s2t + 8i + 16se - 456st + 384s + 16t3 -16e + 392t - 392,

16s3 + 32it + 192i + 48st2 -1328st + 1040s + 64t3 - 48e + 1232t -1248,

- 2i + 8s - 6;

S8 = 684288s3 -1419264it - 608256i + 684288st2 + 1495296st -

836352s-684288t2 - 76032t + 760320,983808s2t+ 1043712i - 8711424st +