Gọi ∆ là tiếp tuyến với đồ thị C tại giao điểm của đồ thị m C với trục tung.. Lấy ngẫu nhiên 4 tấm bìa và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải.. Tính xác suất để xếp được một số tự n
Trang 1Câu 1 (2.0 điểm) Cho hàm số: y x = 3− 3 (m + 2 )x2+ 9 x m − − 1 (C )m với m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
b Gọi ∆ là tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại giao điểm của đồ thị m (C ) với trục tung Viết m phương trình tiếp tuyến ∆ biết khoảng cách từ điểm A( ; ) 1 4 − đến đường thẳng ∆ bằng 82
Câu 2 (1.0 điểm) Giải phương trình: cos x cosxsin x sin x sin x cosx 2 + − + 2 =
Câu 3 (1.0 điểm) Tính tích phân:
5 1
I = ∫ ( x ) x + − dx
Câu 4 (1.0 điểm)
a Giải bất phương trình: log (x )2 + − 1 2 log (4 5 − < − x) 1 log (x2 − 2 )
b Có 6 tấm bìa được đánh số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Lấy ngẫu nhiên 4 tấm bìa và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tính xác suất để xếp được một số tự nhiên có 4 chữ số
Câu 5 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( ; ; ), B( ; ; ) 1 1 0 − 2 0 1 − và mặt phẳng (P): x y z 2 + + + = 1 0 Tìm tọa độ điểm C trên (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và tam giác ABC có diện tích bằng 14
Câu 6 (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 3a và ABC = 60o Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD biết
7
SA SB SC a = = =
Câu 7 (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân
giác trong góc ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình:
x y − + = , điểm D nằm trên đường thẳng∆ có phương trình: x y + − = 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm và đường thẳng AB đi qua E( ; ) − 1 2
Câu 8 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:
x x (x x) y ( y )x
x x x y
x
+
Câu 9 (1.0 điểm) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x, y ≥ 1 và 3 (x y) + = 4 xy Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3
3
P x y
x y
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày thi 09/03/2015
Trang 2
1
(2.0 điểm) a (1.0 điểm)
m= ⇒y x= − x + x−
• Tập xác định: D=ℝ
• Sự biến thiên:
0.25
Giới hạn:
xlim y ; lim yx
→−∞ = −∞ →+∞ = +∞
Bảng biến thiên:
x −∞ 1 3 +∞
y' + 0 − 0 +
y
3 +∞
−∞ 1−
0.25
- Hs đb trên khoảng ( ; ), ( ;−∞1 3 +∞) và nb trên khoảng 1 3( ; )
- Hàm số đạt cực đại tại x=1;yCÑ=3; đạt cực tiểu tại x=3;yCT = −1 0.25
0.25
b (1.0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ …
D=ℝ, y'= x − (m+ )x+ Giả sử M là giao điểm của đồ thị hàm số (C ) với Oym ⇒M( ; m )0 − −1 0.25 Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y=9x m− −1 hay 9x y m− − − =1 0 0.25
Ta có:
70
m ( )
= −
Vậy phương trình tiếp tuyến∆ là:y=9x−95; y=9x+69 0.25
2
(1.0 điểm)
Giải phương trình …
PT⇔cos x sin x cosxsin x sin x (sin x cosx)2 − 2 + + 2 − + =0 0.25
⇔(cosx sin x)(cosx sin x) sin x(cosx sin x) (cosx sin x)− + + + − + =0 ⇔(cosx sin x)(cosx sin x sin x )+ − + − =1 0 0.25
1
sin x cosx (sin x cosx)(cosx )
cosx
=
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2015
Môn: TOÁN
(Đáp án – thang điểm gồm 05 trang)
• Đồ thị:
x 4 0
y 3 −1
Trang 31 4
1
2
= − = − + π
=
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= −π + π =\4 k ;x k 2π
0.26
3
(1.0 điểm)
Tính tích phân …
t= x− ⇒t = x− ⇒tdt dx= Đổi cận: x=1 ⇒t=1
x=5 ⇒t=3
0.25
2
3
1
= + = + − − =
4
(1.0 điểm)
a (0.5 điểm) Giải bất phương trình …
Điều kiện: 2< <x 5 (*)
Khi đó, BPT⇔log (x ) log (x2 + +1 2 − <2) log22+log (2 5−x)
⇔log (x )(x2 +1 − <2) log (22 5−x)
0.25
(x )(x ) ( x) x x
⇔ + − < − ⇔ + − < ⇔ − < <4 x 3 Kết hợp điều kiện(*) ta có: 2< <x 3 là nghiệm của bất phương trình
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2< <x 3
0.25
b (0.5 điểm) Tính xác suất …
- Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên 4 tấm bìa và xếp thành hàng ngang từ trái sang
phải” ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: Ω =A64 =360
- Gọi A là biến cố “Xếp được một số tự nhiên gồm 4 chữ số”
0.25
Giả sử n a a a a= 1 2 3 4 là số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
Chọn a có 5 cách 1
Chọn a a a có 2 3 4 3
5
A cách
⇒ Ω =A 5.A35 =300
360 6
A P(A)= Ω = =
Ω
0.25
5
(1.0 điểm)
Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) …
Giả sử C(a; b;c) , nP =( ; ; )2 1 1 là 1 VTPT của (P)
Do C (P)∈ ⇔2a b c+ + + =1 0 1( )
Ta có: 1 1 1
AB ( ; ; )
AC (a ;b ;c)
= −
0.25
⇒ Mặt phẳng (ABC) nhận n (c b ;= + +1 1− −a c; b a− +2)là 1 VTPT
Vì (ABC) (P)⊥ ⇔n.nP = ⇔ − +0 2a 3b c+ + =5 0 2( ) 0.25
2
ABC
S∆ = AB,AC ⇒ (c b )+ + + − −( a c) (b a+ − + ) = ( )
Từ (1) và (2) ta có: 2 2
1 4
= −
0.25
Trang 4Thay vào (3) ta được:
Vậy tọa độ điểm C thỏa mãn đề bài là: C( ; ; ), C( ; ; ).2 2 7− − −2 6 9
0.25
6
(1.0 điểm)
Tính thể tích khối tứ diện SACD …
S
A
D
H
K
0.25
SHB
∆ vuông tại H nên ta có: SH= SB BH2− 2 =2a
Vậy
3
a
0.25
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên 3HD=2BD
2 d(AB;SD) d(AB;(SCD)) d(B;(SCD))= = = d(H;(SCD))
Ta có: HCD HCA SAD= + =30o+60o =90o ⇒HC CD.⊥
Mà SH CD⊥ nên CD (SHC)⊥
Trong (SHC) kẻ HK SC (K SC)⊥ ∈ ⇒d(H;(SCD)) HK=
0.25
SHC
∆ vuông tại H nên: 1 2 12 12 12 12 2 21
7
a HK
HK = HS +HC = a + a ⇒ =
a
0.25
7
(1.0 điểm)
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
A
D M
E
E'
▪ Giả sử B(b; b+ ∈2) BM (b<0)⇒BE (= − − −1 b; b), BE' ( b;= − − −1 b)
0.25
▪ Phương trình cạnh AB là: x= −1
Giả sử A( ;a) AB (a−1 ∈ ≠1) và D(d;9− ∈ ∆d)
Do M là trung điểm AB 1 9
M − ; + −
0.25
Do SA SB SC= = và tam giác ABC đều nên hình chiếu của đỉnh
S trên (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABC
∆ABC đều ⇒BH a= 3
Ta có:
2
4
a
▪ Kẻ đường thẳng đi qua E vuông góc BM tại H và cắt AC tại E'
H
⇒ là trung điểm của EE' Phương trình EH là: x y+ − =1 0
1 3
2 2
H EH BM= ∩ ⇒H− ;
Vì H là trung điểm EE'⇒E'( ; )0 1
Trang 5Mặt khác: 1 9 2 0 2 6 0 1
M BM∈ ⇔ − − + − + = ⇔ − +a d− = ( )
▪ Ta có: AD (d ;= +1 9− −d a), AB ( ;= 0 1−a)
Mà AB AD⊥ ⇔AB.AD= ⇔ − − + =0 a d 9 0 ( )2
Từ (1) và (2) ta có: 4 1 4
Do AB DC= ⇒C( ; )5 1
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A( ; ),B( ; ),C( ; ),D( ; ).−1 4 −1 1 5 1 5 4
0.25
8
(1.0 điểm)
Giải hệ phương trình …
Điều kiện: 1 1 3
x≠ − − ≤ ≤; y
( )⇔x − x+ − (x )x− − y x (+ − y)=
2
(x ) (x )x y x ( y)
Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ⇒x≠0
Suy ra ( )3 3 2y x 1 1 1
−
⇔ − = = −
0.25
Thay vào PT (2) ta được:
2 1
+ + +
3
⇔ + + = + + + ⇔ + + + = + + +
0.25
Xét hàm số f(t) t= +3 t với t∈ℝ
f '(t)= t + > ∀ ∈t ℝ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ℝ
⇔ + = + ⇔ + = +
0.25
Đặt a=1/ x (a≠0)⇒ (5) trở thành:
3
1 2 0
a
( a) ( a)
+ ≥
+ = + ⇔
+ = +
1 2
2 2
2
a
a
a
≥ −
− − = − − =
−
=
a= + ⇒x= − ⇒( )⇔ − y = − < (loại) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
0.25
Trang 69
(1.0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức …
Đặt t x y (t= + >0) Khi đó 3
4
t
xy=
Từ giả thiết ta có:3(x y)+ =4xy (x y)≤ + 2⇒x y+ ≥3⇒t≥3
4
t (x )( y )− − ≥ ⇔xy (x y)− + + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤t t Vậy ta có 3≤ ≤t 4
0.25
Mặt khác từ giả thiết ta có: 1 1 4
3
Suy ra:
2
= + − + − + + = − + −
0.25
Xét hàm số: 3 9 2 8 16
f(t) t t
t
= − + − với 3≤ ≤t 4
t t
= − − = − + − > với mọi t [ ; ]∈ 3 4 f(t)
⇒ là hàm số đồng biến trên đoạn 3 4[ ; ]
0.25
Vậy GTNN của P là: 3 49
12
2
t= ⇔ = =x y
GTNN của P là: 4 74
3
t
0.25
▪ Chú ý: Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tối đa