Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. Gọi M là trung điểm của BB’.. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.. Cho hình bình hành ABCD
Trang 1Trường THPT Lam Kinh
THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề)
2
x y x
(1)
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm
m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu 2 (2.0 điểm)
a Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
b Giải phương trình 1 2 1
logx 1 logx6
Câu 3 (1.0 điểm) Giải bất phương trình 2.14 x3.49x4x 0
Câu 4 (4.0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, ACB 120o Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300
Gọi M là trung điểm của BB’ Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a
Câu 5 (1.0 điểm) Tìm hệ số của 7
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
22
, biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn 3 2 3
1 2
4C n C n A n
Câu6 (2.0 điểm) Tính nguyên hàm (e x 2015)xdx
Câu 7 (2.0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D
Câu 8 (2.0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 9 (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a
a b a c a b c a c a b
HẾT…
Họ tên thí sinh: SBD:
Trang 2ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015)
Câu 1
(4.0đ)
a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1
2
x y x
i/ TXĐ: D = R\{-2}
ii/ Sự biến thiên
+ Giới hạn- tiệm cận
Ta có:
2 2 lim ; lim ; 2 lim lim x x x x y y y y Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2 0,5 + Chiều biến thiên Có x D x y 0 ) 2 ( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;) 0,5 + Bảng biến thiên x -2
y’ + +
2
y
2
0,5 iii/ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1 ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng
2 1
0,5
b (2.0 đ) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
) 1 ( 0 2 1 ) 4 (
2 2
1 2
2
m x
m x
x m x x
x
0.5
x
y
O
2
-2
Trang 32
Câu2
(2.0đ) a (1.0đ) Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
4
0.25
0.25
2
4
3
2
k
Vậy, phương trình có nghiệm:
2
4
k
0.25
b (1.0 đ) Giải phương trình 1 2 1
logx 1 logx6
ĐK: x > 0 và x 1; x
10
1
0.25
Đặt t = logx, được phương trình theo ẩn t là:
t 2 - 5t + 6 = 0 (với t0 và t-1) 2
3
t t
0.5
Với t = 2 thì ta có x = 100 (t/m)
Với t= 3 thì ta có x = 1000 (t/m)
Vậy phương trình có hai nghiệm là x =100 và x = 1000 0.25
Trang 4Câu3
(1.0đ)
Giải bất phương trình sau 2.14x3.49x4x0
Chia cả hai vế của bpt cho 4 x
được bpt
2
Đặt 7
2
x
t (với t > 0 )
Bpt trở thành 3t2 + 2t – 1 0
1
1 1
3 3
t
t t
0.5
7 1
x
2
log 3
x
log 3;
2 7
Câu 4
(4.0đ)
0.5
Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CHAB ;CHAA’ suy ra
CH(ABB’A’),Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc 0
' 30
Ta có
2 0
.sin120
ABC
a
S CA CB
AB AC BC AC BC c a ABa 0,5
M
H
C/
B/
A/
C
B
A
1200
2a
a
Trang 54
7
CH A C A C a
7
AA A C AC a
0,5
+)
3 ' ' '
15 '
2 7
a
+)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))= 3
7
Câu 5
(1.0đ) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7
n
x
22
, biết rằng n là
số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3
1 2
4C n C n A n
6
) 1 ((
) 1 ( 4 2
4C n31 C n2 A n3 n n n n n n n n n
0,25
11
) 2 ( 3 3 ) 1 ( 2
n
n n
0,25
11
0
3 22 11
11
0
11 2 11
11
k
k k k k
k k
k
x C
x x
C x
x
Số hạng chứa 7
x là số hạng ứng với k thỏa mãn 223k 7k 5 Suy ra hệ số của 7
x là C115.(2)5 14784
0,5
Câu 6
(2.0đ) Tính nguyên hàm e x xdx
) 2015 (
Đặt
dx e
dv
x u
x
) 2015
x e
v
dx du
x
Khi đó
(e x 2015)xdx =x(e x 2015x)(e x 2015x)dx
0,5
2 2015 (
2015
2
e x
xe x x
xe xe x x2 C
2
Trang 6Câu 7
(2.0đ)
Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm
I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C
và D
Ta có:AB 1; 2 AB 5 Phương trình của AB là: 2x y 2 0
0,5
I d y x I t t I là trung điểm của AC và BD nên ta có:
2 1; 2 , 2 ; 2 2
C t t D t t
Gọi CH là đường cao kẻ từ đỉnh C của hình bình hành
Theo giả thiết S ABCD AB CH 4 4
5
CH
0,5
Ta có:
| 6 4 | 4
;
t
d C AB CH
Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2;
C D
hoặc C1;0 , D 0; 2
1.0
Câu8
(2.0đ) Giải hệ phương trình:
NX: hệ không có nghiệm dạng (x0 ;0)
Vớiy0, ta có:
2
2
1
4
1 4
x
x y y
x y
y
0.5
Đặt
2
1 ,
x
y
0,5
+) Với v3,u1ta có
hệ:
x y
KL: Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5)
0,5
+) Với v 5,u9ta có hệ:
, hệ này
Trang 76
Câu 9
(2.0đ) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
1 1 2 2
a
a b a c a b c a c a b
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:
a b c
b c a
c a b
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
Viết lại vế trái:
2
VT
a c a b a b c
y z z x x y
0,5
x y z z x y z z x y
x y z x y
y z x y z z x x y z
2
x y z
y z z x x y x y z
a
a b a c a b c a c a b
0,5
