Căn bản học thuyết ứng dụng của siêu vật liệu

Siêu vật liệu thường cấu thành bởi cấu trúc cỡ bước sóng với các thiết kế hình học khả dĩ. Tính chất vĩ mô của nó được khai thác bởi ki thuật điều chỉnh kích thước cấu hình các hạt. Trong vài năm gần đây, thiết kế siêu vật liệu càng yêu cầu mất nhiều thời gian hơn do sự phát triển của độ phức tạp trong tính chất điện từ của chúng và độ phức tạp lại bị hối thúc bởi xuất hiện của siêu vật liệu bất đẳng hướng và bất đồng nhất. Tìm ra phương hướng đẩy nhanh thiết kế siêu vật liệu với độ chính xác cao được tập trung trong chương này. Phương pháp dựa trên mô phỏng toàn sóng, kỹ thuật truy hồi tham số S, lý thuyết môi trường hiệu dụng của meta. Thuật toán thiết kế nhanh cho meta có thể áp dụng rộng cho các hạt có hoặc không cộng hưởng từ viba đến quang. Hiệu năng của nó được khẳng định và minh họa qua một số ví dụ kinh điển.

Chương 4

Thiết kế nhanh cho metamaterial

Jessie Y Chin, Ruopeng Liu, Tie Jun Cui and David R Smith

Mở đầu:

Siêu vật liệu thường cấu thành bởi cấu trúc cỡ bước sóng với các thiết kế hình học khả dĩ Tính chất

vĩ mô của nó được khai thác bởi ki thuật điều chỉnh kích thước cấu hình các hạt Trong vài năm gần đây, thiết kế siêu vật liệu càng yêu cầu mất nhiều thời gian hơn do sự phát triển của độ phức tạp trong tính chất điện từ của chúng và độ phức tạp lại bị hối thúc bởi xuất hiện của siêu vật liệu bất đẳng hướng và bất đồng nhất Tìm ra phương hướng đẩy nhanh thiết kế siêu vật liệu với độ chính xác cao được tập trung trong chương này Phương pháp dựa trên mô phỏng toàn sóng, kỹ thuật truy hồi tham số S, lý thuyết môi trường hiệu dụng của meta Thuật toán thiết kế nhanh cho meta có thể

áp dụng rộng cho các hạt có hoặc không cộng hưởng từ viba đến quang Hiệu năng của nó được khẳng định và minh họa qua một số ví dụ

Key words: Rapid design for metamaterials, system level design, particle level design, material parameters,

geometric parameters, Lorentz parameters, modified permittivity, modified permeability, full-wave simulation, S-parameter retrieval, effective medium theory, Drude-Lorentz model, curve fitting

15, 16, 35, 33, 34, 22, 20, 25] Tuy nhiên, biến đổi quang làm tăng mạnh sự phức tạp của siêu vật liệu cần thiết kế, bởi vì không chỉ các tham số, trong nhiều trường hợp, là bất đồng nhất không gian và bất đẳng hướng [36, 15, 16, 35, 34, 22, 25] , mà cả cấu trúc có thể lớn hơn nhiều [22,25] Điều này dẫn tới trở ngại lớn trong thiết kế siêu vật liệu

Một tiếp cận khác để thiết kế siêu vật liệu là xem xét cách mạch tương đương của hạt siêu vật liệu [6,13,2,3] Tuy nhiên, phương pháp phân tích chỉ có thể áp dụng ở một số lớp cấu trúc và thường không thể dùng đoán nhận chính xác các đặc tính vĩ mô của siêu vật liệu Siêu vật liệu thường được thiết kế hiện nay còn bằng các mô phỏng điện từ fullwave, ví dụ, phương pháp phần tử hữu hạn FEM và kỹ thuật tích phân hữu hạn FIT Phần mềm thương mại dựa trên kỹ thuật FIT như CST Microwave Studio và dựa trên FEM như ANSOFT HFSS thường được dùng rộng rãi Ansoft đã cung cấp một tài liệu kỹ thuật chuyên đề mô tả các mô phỏng

về thiết bị viba dựa trên siêu vật liệu [48] Phương pháp phổ biến lặp lại các mô phỏng nhằm tối ưu hóa tham số cấu trúc cho một hạt siêu vật liệu đơn Nhằm cải thiện các hiệu năng tối ưu, các tiếp cận thường phối hợp phương pháp mật độ [19], thuật toán GA [12,8] và tối ưu mô hình [46,47,38] vào thiết kế siêu vật liệu

Trong trường hợp phức tạp hơn, tối ưu đồng thời tham số vật liệu là cần thiết và số lượng toàn bộ tham số khác nhau của siêu vật liệu có thể khá lớn Siêu vật liệu thiết kế để thực hiện biến đổi quang

có thể có từ vài tới hàng chục nghìn hạt khác nhau [36,25] Thiết kế vật liệu kiểu này có thể tốn rất nhiều thời gian thậm chí với kỹ thuật tối ưu Điều này bởi vì mô phỏng fullwave thường mất nhiều thời gian và kỹ thuật tối ưu đòi hỏi chạy nhiều mô phỏng

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp nhanh và tự động cho thiết kế siêu vật liệu, có khả năng thiết kế với cả yêu cầu về độ chính xác và hiệu quả cao Thuật toán chi tiết được

mô tả và một số ví dụ được đưa ra minh họa tốc độ và độ chính xác của phương pháp Độ chính xác của thiết kế cũng được minh chứng bằng kết quả thực nghiệm

4.2 Thuật toán thiết kế nhanh siêu vật liệu

Siêu vật liệu cấu thành bởi các ô cơ sở cỡ bước sóng gián đoạn không gian, mỗi phần tử được xem như một hạt Nguyên lý của hàm thiết kế nhanh cho siêu vật liệu là thu thập tự động và hiệu quả tham số tối ưu cho tất cả hạt siêu vật liệu của hệ thống phức tạp với tham số đồng nhất hoặc bất đồng nhất để thiết kế

4.2.1 Mô tả sơ đồ của thiết kế nhanh

Sơ đồ quá trình được minh họa trên hình 4.1sau Nó gồm ba bước căn bản

4.2.1.1 Thiết kế mức hệ thống

Mức hệ thống tính toán phân bố không gian của tham số vật liệu dựa trên hàm mong muốn của siêu vật liệu Nó áp dụng biến đổi quang hoặc quang hình tính toán các biến đổi không gian của hằng số điện môi, độ từ thẩm, chiết suất khúc xạ Tính toán có thể phân tích, khi vấn đề trở nên quá phức tạp để giải quyết bằng phân tích, nó có thể được số hóa [25]

4.2.1.2 Thiết kế mức hạt

Thiết kế này đưa ra tham số hình học tối ưu của hạt siêu vật liệu cho mỗi phần của tham số vật liệu

Có bốn bước phụ sau

Bước 1, một số lượng nhỏ hạt meta với giá trị tham số hình khác nhau được mô phỏng như là mẫu

Từ hệ số mô phỏng truyền qua T và phản xạ R, đáp ứng trường địa phương của hạt mô phỏng định nghĩa như là hằng số điện môi và độ từ thẩm được truy hồi, dưới dạng mô hình Drude Lorents khi hạt siêu vật liệu cộng hưởng

Bước 2, đường hằng số điện môi và độ từ thẩm được fit với mô hình Drude nếu hạt meta cộng hưởng và fit với khai triển Taylor nếu không cộng hưởng Đường cong fit bởi mô hình Drude Lorentz suy ra tham số mô hình Lorentz định nghĩa ở mục 4.2.2.2

Bước 3, quan hệ toán học giữa mô hình Drude Lorentz và tham số hình học của kích thước vật lý của hạt vật liệu được đưa ra Qúa trình fit khác đưa ra thu được hệ thức toán giữa tham số hình học và tham số Drude hoặc hệ số Taylor thu được ở bước 2 bởi khai triển Taylor

Trong bước 4, bởi quét các tham số hình học sẵn có, tham số vật liệu được tính toán bởi quan hệ toán học thu được ở bước 3, nhằm mục đích tìm tham số tối ưu cho vật liệu Qúa trình quét cần tính toán cả độ giới hạn của sản xuất và kích thước vật lý thực nghiệm

Mức hạt được mô tả chi tiết ở phần 4.2.2

4.2.2.1 Tính toán hằng số điện môi và độ từ thẩm

(a) Mô hình Drude Lorentz

Hầu hết siêu vật liệu cấu thành từ các hạt cộng hưởng, ví dụ như vòng cộng hưởng hở SRR [30], bộ cộng hưởng kết hợp trường điện (ELC) [37,29], và SRR bổ sung (CSRR) [11] Cộng hưởng dẫn đến các đáp ứng trường điện

mô tả bởi hằng số điện môi phân tán ̅ hoặc đáp ứng tới trường từ mô tả bởi độ từ thẩm phân tán ̅ Sự phân tán mô tả bởi mô hình Drude Lorentz, có thể thu được bằng cách lấy trung bình trường địa phương *42+ Trong khi đó kỹ thuật truy hồi chuẩn [43] cung cấp tiếp cận dễ dàng cho việc tính toán hằng số điện môi hiệu dụng

và độ từ thẩm hiệu dụng từ các kết quả hệ số phản xạ và truyền qua Trong thuật ngữ của chúng ta, ̅

và ̅ là các hệ số điện môi và từ thẩm trung bình, e và µe là hằng số điện môi hiệu dụng và độ từ thẩm hiệu dụng Như thảo luận ở chương trước, hai phần của thông số cấu thành thu từ vi mô và vĩ

mô không thống nhất với nhau Điều này bởi vì hạt meta không phải vô cùng nhỏ so với bước sóng, gây hiệu ứng phân tán không gian Tuy nhiên chúng được xem như vật liệu động nhất bởi xấp xỉ đồng nhất hóa [42] Sai lệch giữa hai phần của tham số cấu thành là cầu nối cho lý thuyết môi trường hiệu dụng [23,49,50]

Lấy ví dụ SRR, độ từ thẩm của nó có tần số phân tán mô tả bằng mô hình Drude Lorentz,

Hình 4.2 so sánh độ từ thẩm địa phương ̅ và độ từ thẩm truy hồi µe Sự không thống nhất giữa hai kết quả có thể được quan sát Hằng số điện môi hiệu dụng và độ từ thẩm hiệu dụng liên quan tới chiết suất khúc xạ như sau

Trong khi đó quan hệ giữa chiết suất khúc xạ và hằng số điện môi trung bình ̅ và độ từ thẩm ̅ là [42,23]

Ở đây d là kích thước ô cơ sở siêu vật liệu theo hướng truyền sóng Như đã thấy từ hai phương trình trên e , µe và ̅ , ̅ thường khác nhau trừ khi d  0, khi ô cơ sở cực kỳ nhỏ và phtr 4.2 trở nên tương đương với 4.3

Hình 4.2 So sánh độ từ thẩm hiệu dụng (đánh dấu 1) và độ từ thẩm trung bình (2) của SRR, Phần

thực là đường liền nét và phần ảo là đường đứt nét

Trở kháng sóng  mô tả tỉ số giữa trường điện và trường từ liên quan tới hằng số điện môi và độ từ thẩm hiệu dụng bằng công thức

Và xấp xỉ với hằng số điện môi trung bình và độ từ thẩm một cách phức tạp hơn [23] Trong trường hợp chỉ có cộng hưởng điện

Nếu chỉ có cộng hưởng từ

Chiết suất khúc xạ và trở kháng sóng dễ dàng thu được từ hệ số phản xạ và khúc xạ,

Do đó ta có thể thu được tham số cấu thành theo tán xạ tần số của hạt từ hoặc điện theo mô hình Drude Lorentz bởi mô phỏng toàn sóng, quá trình truy hồi và phtr 4.3 và 4.5-4.6

(b) Hằng số điện môi và từ thẩm điều chỉnh với môi trường phức

Tuy nhiên, hầu hết các hạt meta cộng hưởng cư xử phức tạp hơn nhiều so với cộng hưởng thuần điện hoặc thuần từ Thậm chí với cộng hưởng từ điển hình SRR sở hữu một cộng hưởng điện ở khung tẩn số cao hơn mode cộng hưởng từ cơ bản Điều này bởi vì dòng điện sinh ra phân bố đối xứng trên vòng tại tần số cộng hưởng điện, như trên hình 4.3

Hình 4.3 Phân bố dòng điện của SRR ở tần số cộng hưởng điện

Như đối với siêu vật liệu với cộng hưởng điện và từ tồn tại đồng thời tại các tần số khác nhau, ta không thể áp dụng phương trình 4.5-4.6 cho tất cả các trường hợp Cần thiết phải tổng quát hóa phương pháp truy hổi các đường cong tán xạ của hằng số điện môi và độ từ thẩm Do đó ta giới thiệu phần khác cảu tham số cấu thành điều chỉnh m và µm, thỏa mãn

m và µm là các chuyển đổi xấp xỉ của ̅ và ̅ nhằm mục đích fit công thức Đặc biệt, khi 1 hạt chỉ có cộng hưởng điện, ta có m= ̅, m= ̅

; khi nó thuần cộng hưởng từ, m= ̅, µm= ̅

; và khi nó có đồng thời hai loại cộng hưởng, µm= ̅

và m= ̅

m vàµm duy trì dạng mô hình Drude Lorent và áp dụng được cho tất cả các hạt ta đã xét

Bằng cách sử dụng phtr 4.9 và 4.10, cấp khác nhau của cả cộng hưởng điện và từ phân chia mà không gây nhập nhằng Hình 4.4 minh họa ví dụ của hạt kết hợp SRR và ELC [24]

Hình 4.4 So sánh tham số cấu thành hiệu dụng và tham số cấu thành điều chỉnh của hạt meta phức hợp chứa SRR và ELC Phần thực được xem trên đường liền nét và phần áo đứt nét

Hằng số điện môi hiệu dụng e và độ từ thẩm hiệu dụng e được thấy bị nhiễu do đa cộng hưởng điện được kèm bởi đa cộng hưởng từ, do đó rất khó xác định tính chất cộng hưởng của hạt phức hợp Tuy nhiên hằng số điện môi điều chỉnh m và độ từ thẩm điều chỉnh m, ngược lại lại không nhập nhằng mà chỉ ra ba cộng hưởng điện tại 8.4,16 và 21 GHz và ba cộng hưởng từ tại 8,12.75 và 15.5 GHz

Chú ý thấy tần số cộng hưởng của hằng số điện môi điều chỉnh và độ từ thẩm điều chỉnh khác nhẹ so với ̅ và ̅ Tuy nhiên, nhằm mục đích phát triển thiết kế tinh vi cho siêu vật liệu, vấn đề của ta là tính toán tham số vật liệu bao gồm chiết suất khúc xạ, trở kháng sóng, hằng số điện môi hiệu dụng và độ

từ thẩm hiệu dụng, hệ số phản xạ và truyền qua Tính toán có thể hoàn thành bởi m và độ từ thẩm điều chỉnh m ,không cần tới ̅ và ̅

4.2.2.2 Mô hình fit Drude Lorentz

Chúng ta sẽ xét cách truy hồi đường cong phân bố tần số của hằng số điện môi và độ từ thẩm điều chỉnh, cung cấp giá trị của m(f) và µm(f) tại các điểm tần số gián đoạn phân bố theo khoảng tần số mô phỏng, tiếp theo ta đánh giá làm sao thu được hệ thức phân tích của chúng

Hạt meta điển hình có hằng số điện môi hoặc độ từ thẩm theo cộng hưởng Drude Lorentz Do đó ta thảo luận làm sao để fit đường cong (f) và µ (f) trong dạng sau:

Đối với µm, ta cần rút ra giá trị độ từ thẩm nền µ0, cường độ cộng hưởng từ Fu, tần số cộng hưởng từ

f0u, hệ số suy giảm cộng hưởng u, tương tự như vậy cho m, giá trị nền 0, cường độ cộng hưởng điện Fe, tần số cộng hưởng điện f0e, hệ số suy giảm cộng hưởng e Ta gọi các hệ số này là tham số Lorentz

Lấy phương trình 4.11 làm ví dụ, để rút ra tham số Lorentz µ0, Fu, f0u, và u. Tại tần số cộng hưởng f0u, phần ảo của µm đạt giá trị lớn nhất Do đó, f0u có thể thu được nhờ xác định tần số mà

µm=max(imag(µm(f)))

Lấy 1 giá trị tần số fpu lớn hơn f0u mà µm=min(real(µm(f))) ???ta sẽ có

Ở đây =imag (µm(fpu)) Nói chung, giá trị của u trong khoảng fpu/1000 và fpu/10 Do đó, ptr 4.12 có thể được xấp xỉ

Và Fu có thể được tính

Lấy f0u và Fu vào ptr 4.11, ta bây giờ chỉ cần quyết định giá trị của µ0 và u Như chúng ta đã biết, từ

mô phỏng và tiền xử lý là chuỗi các gía trị gián đoạn tần số f tương ứng với giá trị m ở tất cả các tần

số này Cho một giá trị 0 ban đầu, ta đinh nghĩa

ở đây f1,2…,m là chuỗi các tần số gián đoạn, như

Là phưong trình trên xác định (overdetermined- loại hệ có nhiều phtr hơn ẩn) để giải và u có thể tìm

ra Đối với vật liệu nền không có phân cực từ, ta thường có thể giả thuyết = 1

Trong trường hợp 01, thay giá trị u vào phương trình 4.17 và giải phương trình trên xác định lại sẽ cho ta giá trị được cải thiện của 0 Lặp tính toán của 0 và u luân phiên tới khi µ0 và u hội tụ tại gi| trị

ổn định sẽ cho chúng ta nghiệm cuối cùng Do đó, ta thu được tất cả thông số cho phương trình 4.10 và xây dựng lại mô hình Drude Lorentz

Trong trường hợp các hạt có nhiều hơn 1 cộng hưởng điện và/hoặc cộng hưởng từ, tính chất phân tán của nó được mô tả bởi mô hình đa cộng hưởng Lorentz [28]

ở đây p là số cộng hưởng Không khó khăn, tần số cộng hưởng f0iu và tần số cắt không fpiu có thể lần lượt được định nghĩa cho mỗi cộng hưởng

Bởi vì hai tần số cộng hưởng đều ở hai giá trị riêng biệt, quanh tấn số cộng hưởng thứ i, các cộng hưởng khác thường thứ yếu Do đó, ta có thể xấp xỉ,

Khi f0iu f fpiu Kết lại ta có thể thu được giá trị Fiu cho tất cả giá trị i bởi giải phương trình

Giống trường hợp cộng hưởng đơn, ta ấn định một giá trị ban đầu cho 0 và định nghĩa dải tấn số gián đoạn từ f0iu tới fpiu là [f] và tương tự dải µm là [µm] như

Ta sẽ thu được iu (i= 1,2,…p) Bằng c|ch thay thế Fiu, f0iu v{o ptr 4.18, một cập nhật µ0 sẽ được thực hiện Lặp quá trình này liên tục, giá trị 0 và iu sẽ hội tụ ở gi| trị cố định v{ tất cả tham số Lorentz của mô hình

đa cộng hưởng Lorentz sẽ đạt được Ta chú ý rằng trường hợp của mô hình đa cộng hưởng Lorentz l{ đặc biệt thú vị cho thiết kế hạt siêu vật liệu phức tạp ví dụ siêu vật liệu nhóm d|n [4]

Nhằm khẳng định tính đúng đắn của thuật toán tách tham số Lorentz, ta mô phỏng một hạt meta1 với một SRR và một ELC (electric-field-coupled), hạt này có hai cộng hưởng điện và một cộng hưởng từ giữa 1 và 16 GHz Bằng thủ tục truy hồi dựa trên phương trình 4.7-4.10, hằng số điện môi và độ từ thẩm điều chỉnh được đưa ra trên hình 4.5b Sau đó, bằng cách tách tham số Lorentz của hằng số điện môi và độ từ thẩm điều chỉnh, đường cong m và µm được tìm lại như trên hình 4.5a

1

Hạt meta cũng được dùng gọi tên cho ô cơ sở của siêu vật liệu hoặc hạt siêu vật liệu

Hình 4.5 So sánh tái dựng lại m của hai cộng hưởng và m và cộng hưởng đơn (a) với m và µm truy hồi từ mô phỏng HFSS (b) Phù hợp tốt có thể được thấy giữa hai phần của tham số vật liệu Phần thực được xem trên đường liền nét và phần áo đứt nét

4.2.2.3 Khai triển Taylor của tham số Lorentz

Bước tiếp theo là thiết lập quan hệ giữa tham số hình học và tham số Loren Lấy ví dụ ở đây ta đánh giá SRR trên hình 4.6 với chiều dài cánh là s trên hình có thể điều chỉnh được và giữ các tham số khác không đổi Nhờ mô phỏng fullwave ta có thể thu được hệ số phản xạ và truyền qua của các gia tri s khác nhau, và, nhờ phương pháp mô tả trên, f0u,Fu, u và µ0 được tính toán cho mỗi giá trị của s Bởi tham số Loren thay đổi đều khi s tăng, ta chọn mở rộng mỗi tham số theo chuỗi Taylor như là hàm của s

Hình 4.6 Cấu trúc SRR với s là chiều dài hai cánh và r là bán kính góc

Thông thường, biến đổi của tham số không đột ngột và fit bởi khai triển Taylor bậc 2 hoặc 3 sẽ đủ chuẩn Tuy nhiên, bậc có thể tăng trong trường hợp đặc biệt

Sau đó có thể tính nhanh độ từ thẩm điều chỉnh với giá trị bất kỳ của s nhờ phương trình 4.21-4.24 và tham số Taylor liên quan, Nếu SRR không có cộng hưởng điện nào trong khoảng tần số và hằng số điện môi điều chỉnh xấp xỉ không phân tán, có thể xem như m= 0, ở đây 0 là hằng số và có thể khai triển thành chuối Taylor

Nếu cả hai bán kính góc r và độ dài cánh s của SRR thay đổi, f0u,Fu, u và µ0, 0 cần khai triển thành chuỗi hai biến Taylor theo cùng cách,