Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ3

Luận văn thạc sĩ toán học: Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ

Xua't phat tITs1,1'cftn thie't cua cac phuong trinh bi6u di€n £n da duQc trinh bay trong phftn md dftu, bai toan £n hoa trd thanh mQt trong nhung bai toan kinh

di6n va la d6i tuQng nghien CUllcua nhieu nha toan hQc voi nhieu cong Cl,ltoan hQc khac nhau trong hon mQt the' ky M~c du v~y, vi~c cai tie'n va tim cac thu~ t

toan £n hoa hi~u qua v~n dang tie'p di€n Trong chuang nay, chung Wi se phat bi6u nQi dung cua bai toan £n hoa tham so' huu ty tang quat va Cl,lth6 hoa cho truong hQp duong cong va m~t huu ty

Dinh nghia 1.1 Cha k fa mQt truiJng va h,"',1s fa cac da thac thuQc k[xl"",xn]'

Dijt

V(h, ,Is) = {(~, ,aJ E kn I h(al, ,aJ =0, 0:::; i < s}.

V(h, , Is) du(jc gQi fa da tqp affine du(jc xac dtnh bai cac da thac h, , Is.

Dinh nghia 1.2 Cha k fa mQt truiJng MQt ham hilu ty m biin tl"'" tm V(ji cac h~

sr/ trang k fa thuang so' gjh cua hai da thac g, h E k[~, , tIn]'trang do h khac da thac khong Han nila hai ham hilu ty gjh va pjq gQifa bdng nhau niu gq = hp trang k[t1, ,tmJ Tljph(jpcachamhiluty m biin tl' ,tm vcJicach~so'trang k du(jc ky hi~u fa k(t1, , tIn)'

k(t1, ,tm) voi phep cQngva phep nhan cua cac ham huu ty thoa man cac tinh

cha'tcua truong, vi v~y k(~, ,tm) con duQcgQila truong ham huu ty.

Cho da t~p V = V(h,"',Is) c kn Bi6u di€n tham sff huu ty cua V Ia cac

ham huu ty gl/~, ,gn/hn E k(~, ,tm) sao cho cac diem cua V duQc xac dinh

bdi

gl(tl, ,tm)

~(tl, ,tm) g2(~"'" tIn)

h2(tl, ,tm)

(1.1)

gn(~, ,tm)

hn(tl, ,tm)

NguQc l<;ticac phuong trlnh h = = is = a duQCgQila bien dien ffncua V Bai toan ffnhoa huu ty la cho truoc da t<;tPV co bien dien tham so'huu ty, ta c~n tlm

cac phuong trlnh xac dinh bien dien ffn cua V.

Th1;1'cte', trong nnh v1;1'cma hinh hoa va thie't ke' hinh hQc b~ng s1;1'trQ giup cua may Hnh, h~u he't la cac bien dien tham so' huu ty cua cac duong cong trong ]R2va cac m~t trong ]R3.Do do bai toan ffn hoa huu ty tang quat duQCdua vS giai quye't cho truong hQp ffn hoa cac duong cong va m~t huu ty Cae duong

cong huu ty co phuong trlnh tham so'

c(t) ,

b(t)

trong do a(t), b(t) va c(t) Ia cac da thuc thuQc k[t], u = max(dega,degb,degc)

la b~c cua duong congoCac m~t huu ty co phuong trlnh tham so'

X= a(s,t) d(s, t) ,

b(s,t)

,

Y - d(s,t)

c(s,t)

trong do a(s,t), b(s,t), c(s,t) va d(s, t) la cac da thuc thuQc k[s,t] Ne'u a, b,c va d

la cac da thuc tich tensor co d<;tng

a(s, t) = L:L:aijSitj,

i=O j=O

C(S, t) = L:L:CijSitj,

i=O j=O

b(s,t) = L:L:bijSitj,

i=O j=O

1l V

d(s, t) = L:L:dijSitj

i=O j=O

thl (1.3) duQc gQi la cac m~t tich tensor hay cac m~t song b~c (u,~) Ne'u a,b,c

va d la cac da thuc phan tam giac co d(;lng

1l 1l-i

a(s, t) = L:L:aijsitj,

i=O j=O

1l 1l-i

c(s, t) = L:L:CijSitj,

i=O j=O

1l 1l-i

b(s, t) = L:L:bijSitj,

i=O j=O

1L 1l-i

d(s, t) = L:L:dijSitj

i=O j=O

thl (1.3) duQc gQi la cac m~t phan tam giac hay cac m~t b~c u Trong lInh vl!c

ma hlnh hoa va thie't ke' hlnh hQc thl hffu he't cac m~t hliu ty la cac m~t tich

tensor Khi do bai loan ffn hoa Cl;lthe la xac dinh cac phuong trlnh bieu di€n ffn

f(x, y)= 0 cho duang cong hliu ty (1.2) va f(x, y,z)= 0 cho m~t hliu ty (1.3)

MQt trong cac ye'u t61am cho vi~c giai quye't bai loan ffn hoa tham so' hil'u

ty tra nen phuc t(;lp do la sl! co m~t cua cac diem co sa Diem co sa la diem voi tQa dQ tham so' (tl,.", tm) -:;z::: 0 ma ta khang the xac dinh duQc tQa dQ (x1"'" xn)

trong bieu di€n ffn, nghla la cac da thuc trong bieu di€n tham so' d6ng thai tri~t

lieu gl(tp ,t17J = = gn(~, ,tm) = ~(~, ,tm) = = hn(tl, ,tm) = o.

hilu ty (1.3) la cac diim thuQc V(a,b,c) va V(a,b,c,d) tudng ung.

Djnh nghia 1.4 Dilm cd sO Gilamift tham s6 hilu ty (1.3) du(/c gClila giaa dt1ydil

dia phudng nlu trang mQt tan cqn cila no ideal I = (a,b,c,d) co thi du(/c sinh boi hai da thuc I du(/c gCli la giaa dt1y dil diG phuCJngnlu mCli dilm Cd sO p EV(I)

fa giao day dii dia phuang.

(s, t) = (0,0) Khi ta khao sat trong mQt Hin c~n cua diem cd sd nay thi I c6 the

du'Qcsinh voi s6 da thuc it hdn:

s = 0 =? I (t2,t3) = (e) trong mQtIan c~n cua (0,0).

V~y (0,0) khong phai la diem cd sd giao d~y du dia phu'dng va do d6 I ding khong la giao d~y du dia phu'dng Vai tro cua cac diem cd sd d6i voi bai toan fin

h6a du'Qctrinh bay chi tiSt trong [7]

Nhi~u phu'dng phap dii du'Qcphat trien de giai quySt bai toan fin h6a,

trong d6 g6m cac phu'dng phap dt;ta tren Iy thuySt khii' nhu' cd sd Grobner, kSt

thuc va g~n day nha't la phu'dng phap dt;tatren Iy thuySt syzygy