Hệ phương trình trong các ký thi tuyển sinh đại học

Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi ñạy học có.

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014

Giải hệ phương trình sau: ( 2)

3

8 1 2 2





 − − = −



trong ñó (x y, ∈ℝ)

Hướng dẫn giải

( )

2

3







ðiều kiện: − 2 3 < ≤x 2 3; 2 ≤ ≤y 12

Ta có

2

2 2

12 12

2 12 12

2





+ −



0 1

12

x

≥



⇔

= −



Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

2

2 3

1 10

x

+ −

2

2 3

1 10

x

+ + + + >

+ −

Do ñó: ( )3 ⇔ =x 3 thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của

hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3;3

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014:

Giải hệ phương trình sau: ( ) ( )

2





 trong ñó (x y, ∈ℝ)

( )

2

2 3 6 1 2 2 4 5 3 2

 − − + = + − −







ðiều kiện:

0 2

y

≥





≥





Ta có

1 1

y x y

− + +

1 1

x y + y >

− + + nên phương trình (3) tương ñương với

1 1

y

y x

=



 = −

 Với y= 1, phương trình (2) trở thành 9 3 − x= ⇔ = 0 x 3

Trang 2

Với y= −x 1, ñối chiếu ñiều kiện thì phương trình 2 trở thành

2

1

x x

1 2

− + − nên (3)

1 0

2

x − − = ⇔ =x x ±

ðối chiếu ñiều kiện và kết hợp với trường hợp trên ta ñược nghiệm của hệ phương trình ñã

cho là ( ) ( ) 1 5 1 5

; 3;1 , ;

x y

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014:

x+ x+ + +x x+ ≥x + x+

ðiều kiện: x≥ − 2 Bất phương trình ñã cho tương ñương với

2

Do x≥ 2 nên x+ ≥ 2 0 và x+ > 6 0 Suy ra

x

Do ñó ( )1 ⇔ ≤x 2

ðối chiếu ñiều kiện, ta ñược nghiệm của bất phương trình ñã cho là − ≤ ≤ 2 x 2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:

Giải hệ phương trình sau:

4 4





ðiều kiện: x≥ 1

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( )2

4y= + −x y 1 , ⇒ y≥ 0

1, 0

u= x− ⇒u≥ Phương trình (1) của hệ phương trình trở thành

( )

u + + =u y + +y

Xet hàm số ( ) 4

2

f t = t + +t, Với mọi t≥ 0

Ta có: ( ) 24 3

2

t

f t

t

= + >

+ ,Với mọi t≥0

Do ñó phương trình (3) tương ñương với y=u, nghĩa là 4

1

x= y + Thay vào phương trình (2) ta thu ñược ( 7 4 ) ( )

y y + y + − =y

Hàm số ( ) 7 4

f y = y + y + −y có ( ) 6 3

g y = y + y + > , với mọi y≥ 0

Mà g( )1 =0, nên phương trình (4) có hai nghiệm không âm là 0

1

y y

=



 =

 Với y= 0 ta ñược nghiệm của ( ) ( )x y; = 1; 0

Với y= 1 ta ñược nghiệm là ( ) ( )x y; = 2;1

Trang 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) ( )x y; = 1; 0 , 2;1

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:

Giải hệ phương trình sau:





− + + = + + +

4 0

x y

+ ≥





+ ≥



Tử phương trình (1) của hệ ta thu ñược

1

2 1

y x

= +





Với y= +x 1, thay vào phương trình (2) ta ñược

2

1 0

0

x x

x

x x

x

− + = + + +

=



⇔ − = ⇔ 

=

 Khi ñó ta thu ñược nghiệm ( ) ( ) ( )x y; = 0;1 , 1; 2

Với y= 2x+ 1, thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

3 3 4 1 9 4

3 4 1 1 9 4 2 0

4 1 1 9 4 2

Khi ñó nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 0;1

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2013:

Giải hệ phương trình sau: 3 1 02

xy y





 trong ñó (x y, ∈ℝ)

Hệ phương trình ñược ñược viết lại ( )

( )

2

xy y

x y xy







Nhận xét y= 0 không thỏa mãn phương trình (1)

Từ phương trình (1) ta ñược 3 1( )

3

y x y

−

= Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

Trang 4

3 2

1

3 11 12 4 0 2

2 3

y



 =



− + − = ⇔ =



=



 Vậy nghiệm của hệ tích phân là ( ) ( ) 5 3 2

; 2;1 , ; 2 , ;

2 2 3

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau

2 0

xy x

+ − =





Hệ phương trình ñã cho tương ñương với

( )

xy x

+ − =







Với 2x− + = ⇔ =y 1 0 y 2x+ 1 thay vào phương trình 1 của hệ ta ñược 2 1 0 1 5

2

x + − = ⇔ =x x − ±

Do ñó ta có các nghiệm ( ) 1 5 ( ) 1 5

=   =  − 

x − = ⇔ =y y x Thay vào phương trình (1) của hệ phương trình ta ñược

x + − = ⇔x x− x + + = ⇔ =x x Do ñó ta ñược nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1

Vậy nghiệm của hệ phương trình( )x y; ñã cho là 1 5; 5 , 1 5; 5

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012: Giải hệ phương trình sau

1 2

x y x y



 + − + =

 trong ñó (x y, ∈ℝ)

Ta có:

( ) ( )

1

2 2

x y x y





+ − + =





1





Từ (2), suy ra

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤

⇔

 − ≤ − ≤  − ≤ − ≤

Xét hàm số ( ) 3

12

f t = −t t trên 3 3;

2 2

−

 ; ( ) ( 2 )

f t = t − < , suy ra f t( ) là hàm nghịch biến

Do ñó (1) tương ñương x− = + ⇔ = −1 y 1 y x 2 3( )

Trang 5

Thay vào (2), ta ñược

2

1

1 4 8 3 0

3

2

x



=



− + − = ⇔ − + = ⇔ 

Thay vào phương trình (3), ta ñược nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là 1; 3

2 2

−

  hoặc

3 1

;

2 2

−

2





+ + = +

2





+ + = +



Từ phương trình (2) tương ñương ( ) ( 2 2 )

1

2

xy

x y

=



 + xy= 1; từ phương trình (1) suy ra y4− 2y2+ = ⇔ = ± 1 0 y 1

Do ñó, nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 hoặc ( ) (x y; = − −1; 1)

+ x2+y2 = 2 , từ phương trình (1) suy ra

1

2

xy

xy y x

=



=

 Với x= 2y, từ 2 2 ( ) 2 10 10

5 5

+ = ⇒ =  

  hoặc ( ) 2 10 10

x y

= −  − 

Vậy hệ phương trình ñã cho cho 4 nghiệm ( ) ( ) 2 10 10

1;1 , 1; 1 , ;

5 5

− −  

2 10 10

;

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011: Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm

2

1 2



 + − = −

4

u=x −x u≥ − v= x−y

Hệ phương trình ñã cho trở thành 2 ( ) ( )



⇔

+ = −  = − −

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn 1

4

u≥ −

Với 1

4

u≥ − , ta có : (1) ( ) 2 2

2 1

u u

u

− +

⇔ + = − + ⇔ =

+ Xét hàm số ( ) 2

2 1

u u

f u

u

− +

= + Với

1 4

u≥ − , ta có ( ) (2 )2 ( )

2

2 1

u

+

Trang 6

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2011: Giải hệ phương trình sau

2 2 3 2

x xy y

 + = − −





Hướng dẫn giải ðiều kiện 2x+ ≥y 0 , ñặt t= 2x+y t, ≥0

Phương trình (1) trở thành :

( )

2 3 0

3

t

t t

t loai

=

 + − = ⇔ 

= −

 Với t =1, ta có y= − 1 2x Thay vào (2) ta ñược 2 2 3 0 1

3

x

=

 + − = ⇔

= −

 Với x=1 ta ñược y= − 1

Với x= − 3 ta ñược y= 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là (1; 1− ) và (−3; 7)

2

2 log 2 log 0

 − + + =





ðiều kiện x>2;y>0 1( )

Từ hệ phương trình ñã cho ta có :

0 2

1

x y

y

  =





= −

 − + + =  − = 



=





ðối chiếu nghiệm của hệ phương trình với ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ là ( ) ( )x y; = 3;1 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010: Giải hệ phương trình sau

2

log 3 1

4x 2x 3

y



 + =

3

y> , phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta 3y− = 1 2x

Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với

1

1 2

1 1

6 3 0

3 1 3 1 3

2 2

x

y

=

− =

Trang 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) 1

; 1;

2

= − 





4 2

x≤ y≤ Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương ñương với

4x + 1 2x= − 5 2y+ 1 5 2 − y 1 Nhận xét phương trình (1) có dạng f ( )2x = f ( 2 2 − y) , với ( ) ( 2 )

1

f t = t + t

Ta có ( ) 2

f t = t + > suy ra f là hàm số ñồng biến trên R

0

2

x

y

≥





⇔ = − ⇔  = −

 The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta ñược

( )

2

+ −  + − − =

Nhận thấy x= 0 và 3

4

x= không phải là nghiệm của phương trình (3) Xét hàm số ( ) 2 5 2 2

2

= + −  + − −

3 0;

4

Mặt khác 1 0

2

g 

=

 

  , do ñó phương trình (3) có nghiệm duy nhất

1

2 2

x= ⇒ y= Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) 1

; ; 2

2

x y  

= 

( )2

2

1 3 0 5

1 0

x x y

x y

x

+ + − =





 + − + =





trong ñó (x y, ∈ℝ) Hướng dẫn giải

Trang 8

( )2 2

1 1

1 3

2

x x

x

x y



=





 + + − =  + = −  + = −  + =  =



=

 + − + =   −  − + =  − + =  







 + =





Vậy

Hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 và 2; 3

2

−

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009: Giải hệ phương trình sau

1 7

1 13

+ + =





( ) ( )

2

2 2

2

1 5 1

12

3

x



+ = −







 =





+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm

+ Hệ phương trình (II) có nghiệm ( ) 1

; 1;

3

x y  

=  

  và ( ) ( )x y; = 3;1 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009: Giải hệ phương trình sau

2 2

log 1 log

3x xy y 81

− +





=

ðiều kiện: xy>0 ( )* , hệ phương trình ñã cho tương ñương với

2

2 4

4

x y

y y

x xy y

=



= ±

=

− + =

 Kết với với ñiều kiện ta thấy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( )2; 2 và (− −2; 2)

5 4

, 5

1 2

4

x y x y xy xy

x y

 + + + + = −



∈





ℝ

Trang 9

Ta có biến ñổi:

2

*

1 2

⇔

ðặt

2

v xy



=

 Hệ phương trình (*) trở thành

2

0,

u



 + = −  + + =  = − = −

Giải ta ñược nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là 3 5 3 25

;

4 16

−

3 1;

2

−

2

2 6 6

x x y x y x





2

2 2

3

2

2 9

0

4 2

3 3

2

x x

xy x

= −





+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình

4

x= − ⇒ y=

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) 17

; 4;

4

= − 

2

,

xy x y x y

x y

 + + = −



∈



− − = −

ðiều kiện: x≥ 1,y≥ 0

Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( )( ) ( )

( )

x y x y





− − = −



Từ ñiều kiện ta có x+ >y 0 nên ( )1 ⇔2y+1 3( )

Thay (3) vào(2) ta ñược(y+ 1) 2y = 2(y+ ⇔ = 1) y 2 (do y+ > 1 0)⇒ x= 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 5; 2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực

5

15 10

 + + + =







Trang 10

1

2, 2 1

u x

x

v y

y



= +





 = +



8

+ =



⇔

= −

 Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình 2 ( )

t − + =t m

Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa

t ≥ t ≥ , (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt)

Xét hàm số ( ) 2

5 8

f t = − +t t với t ≥2 Bảng biến thiên của hàm số f t( )

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ñể hệ phương trình có nghiệm thì m≥ 22 hoặc 7 2

4 ≤ ≤m Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2006: Tìm a ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất

ln 1 ln 1

,

x y

y x a



∈



− =

ðiều kiện: : x, y>-1 Hệ phương trình ñã cho ñường thẳng với

( )

ln 1 ln 1 0 1

2

x a x

y x a

+





= +



Hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất trong khoảng (− + ∝1; )

Xét hàm số f x( )=e x a+ − +e x ln 1( + −x) ln 1( + +a x) với x>-1

Do f(x) liên tục trong khoảng (− + ∝1; ) và lim1 ( ) ; lim ( )

x x

Nên phương trình f x( )=0 có nghiệm trong khoảng (− + ∝1; )

+

Suy ra f(x) là hàm số ñồng biến trong khoảng (− + ∝1; )

Do ñó, phương trình f x( )=0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (− + ∝1; )

Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất

3

,

x y xy

x y



∈



Trang 11

ðiều kiện: : x≥ − 1,y≥ − 1;xy≥ 0 ðặt t= xy (t≥ 0) Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta suy ra: x+ = +y 3 t

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta ñược x+ + +y 2 2 xy+ + + =x y 1 16 2( )

xy=t x+ =y t vào phương trình (2) ta ñược

2

4 4 11 3 26 105 0

≤ ≤



+ + = −  + − =



Với t= 3 ta có 6

9

x y xy

+ =





=

 suy ra nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3;3 Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2005: Giải hệ phương trình sau

3log 9 log 3





3log 9 log 3 2





1

x y

≥





< ≤



Từ phương trình (2) của hệ suy ra 3 1 log( + 3x)−3log3y= ⇔3 log3x=log3 y⇔ =x y

Thay y=x vào phương trình (1) ta có

2

x

=



− + − = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − = ⇔

=

 Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) ( )x y; = 1;1 và ( ) ( )x y; = 2; 2

1 3





 =





=

 ñiều kiện

0 0

u v

≥





≥



Hệ phương trình ñã cho trở thành 3 31 1

1 3

uv m

⇔

=

 Vậy u, v là hai nghiệm của phương trình 2 ( )

0 **

t − + =t m

Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm sao cho 0

0

u v

≥





≥

 ðiều này tương ñương phương trình (**) có nghiệm t không âm

1

4 0

m







4

1

25

y x

y









Trang 12

ðiều kiện: y > x và y > 0

4

−

Thay vào phương trình 2 2

25

x +y = ta có

2 2

3

4

y

  + = ⇔ = ±

 

 

So sánh ñiều kiện ta ñược y= 4 ⇒x= 3 thỏa mãn ñiều kiện

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( )x y; = 3; 4

2

2 3

, 2

3

y y x

x y x

x y



∈



+



ℝ trong ñó (x y, ∈ℝ)

ðiều kiện: x≠ 0;y≠ 0

Khi ñó hệ phương trình ñã cho tương ñương với

x y xy x y

x y y

⇔

1

y

xy x

⇔

=

 Trường hợp 2: 3 2 2 0

xy x y

xy x

+ + =





 vô nghiệm vì từ (1) và (2) ta có x, y >0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x= =y 1

3

,

y x



− = −



∈





ℝ

ðiều kiện: xy≠ 0

Ta có phương trình (1) tương ñương ( ) 1

1

x y

xy xy

=

−   +   = ⇔   = −

Trường hợp 1:

1

1 5

1 5 2

x y



 = =



=



− + − =

− −

 = =



Trang 13

( )

3

4 3

1

3 1

2

2 0 4 1

y

x

y x

x x x

x

= −

=

= +

  − = +  + + =



Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì

+ + =  −  +  +  + > ∀

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 , 1 5; 1 5

1 5 1 5

;

1

2 5 4

4 2

2 2

x

y

+



1

4

x

y

 = >



  =



So sánh ñiều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )0;1 và ( )2; 4

3

2





 trong ñó (x y, ∈ℝ) Hướng dẫn giải

( )





0

x y

− ≥



 + ≥



Từ phương trình (1) tương ñương 3 (1 6 ) 0

1

x y

=



− − − = ⇔ 

= +

 Thay x= yvào phương trình (2), giải ra ta ñược x= =y 1

Thay x= +y 1 vào phương trình (2), giải ra ta ñược 3; 1

x= y=

Kết hợp với ñiều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình ( )x y; là ( )1;1 và 3 1;

2 2

Lời kết:

+ Qua hơn 10 năm thực hiện ñề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi ñã biên soạn và giới thiệu ñến cộng ñồng một hệ thống những chuyên ñề luyện thi tuyển sinh ñại học của từng năm

+Tài liệu ñược sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung tâm giáo viên Quốc Tuấn ñịa chỉ 157 ðặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -ðiện thoại:

0905671232-0989824932 Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi ñạy học có

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	471,06 KB