Tiểu luận Hình không gian chuyên đề - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.. Như vậy ∆ cùng vuông góc với cả a và B nên ∆ chính là đường vuông góc chung củ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP

™&˜ HÌNH KHÔNG GIAN

Chuyên đề:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

GV hướng dẫn: Ngô Hải Dương

Người thực hiện: Nhóm 2.

Năm học: 2014 - 2015

MỤC LỤC

Phần 1: DANH SÁCH NHÓM 2 3

I Lý thuyết 4

3.Phương pháp:

II Bài tập 9

III DẠng bài tẬp liên quan 27

I LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Nếu đường thẳng ∆ cắt cả a và b lần lượt tại

M và N, đồng thời vuông góc với cả a và b thì đường thẳng ∆ được gọi là đường vuônggóc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b Độ dài đoạn MN được gọi là khoảngcách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

2 Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Khi đó có

duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với

a Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua a và vuông góc với a

Mặt phẳng (Q) cắt b tại N và cắt (P) theo giao tuyến

a’ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với

(P) thì ∆ nằm trong (Q) và cắt a tại M Như vậy ∆

cùng vuông góc với cả a và B nên ∆ chính là đường

vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và

b, còn độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau a và b

a

d a b d song song

Ví dụ : Minh Hạnh

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA⊥

mp(ABCD) và SA= a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

1, SB và AD;

2, BD và SC;

Giải:

1) Ta có DA ⊥ mp(SAB) tại A Gọi AH là đường

cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường

vuông góc chung của SB và AD

Vậy d(SB;AD) = AH

Vì tam giác SAB vuông cân nên 1 2

a AI

2 Nếu a, b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn vuông góc chung của

a và b theo hai cách sau:

Cách 1:

- Dựng mặt phẳng (α) chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu A’ của một điểm A∈(α)

trên(α)

- Trong (α) dựng đường thẳng a’ đi qua A’ và

song song với a cắt b tại M, từ M dựng đường thẳng

song song với AA’ cắt a tại N Đoạn MN chính là

đoạn vuông góc chung của a và b

Ví dụ 1:Phương Hà

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh bằng a SA vuông góc với đáy góc tạo

bởi SC và (SAB) là 30 ° Gọi E,F là trung điểm của BC và SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.

AB CB

Ta có d(DE,CF)= d(DE,(CFI))= d(D,(CFI))= d(H,(CFI)) với H là chân đường cao

hạ từ F lên AD

)

(

HF HK

HF HK HR

d FCI HR

FK HR

CI HK

CFI H

3

2

1 2

1

2 2

a a

a

a a CI

HI CD HK HI

CD CI

a a

HR

a

31

313

13

32

213

3.22

Nhận xét : Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ

bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI) Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 2: Hoàng.Khánh Huyền

(A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính d AB SN ( , )

Giải:

+ Gọi I là trung điểm của BC

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó, IN//AB hay

( , ) ( ,( ))

d AB SN =d AB SNI

+ Trong mp(ABC) kẻ AJ ⊥IN J,( ∈IN) (*)

Trong mp(SAJ) kẻ AH ⊥SJ H SJ,( ∈ ) (1)

+ Theo giải thiết ta có: ((SAB SAC))⊥((ABC ABC))⇒SA⊥(ABC)⇒SA⊥IN (**)

∆AHK vuông tại H ⇒ HK2 = AK2 – AH2 = - =

⇒ d(AC,BF) = HK =

II BÀI TẬP

Bài 1: (ĐH khối B năm 2002) –Hà.Khánh Huyền

Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và B 1 D

2 GC1 ⇒ G là trọng tâm của tam giác A1BC1.

Vì A1BC1 là tam giác đều nên GH ⊥ A1B , còn GH ⊥ B1D vì B1D ⊥ (A1B1C1) Như thế GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách giữa A1B và B1D

Ta có : 1 1 1 2 3 6 ( 1 , 1 ) 6

GH = C H = = ⇒d A B B D =

Bài 2: (A_2010) – Thanh Tâm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH ⊥(ABCD SH), =a 3

a HK

Bài 3:(ĐH khối B năm 2007) Hà.Khánh Huyền

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a.

Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)

⇒ d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 2

a

BD= (với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC)

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Hà.K.Huyền

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

Giải :

Ta có : BC // MN

⇒ MN // (A’BC) ⇒ d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)

Ta có : AI ⊥ A'B ( AB' ∩ A'B = I)

Qua A kẻ đường thẳng d song song với

BD Gọi O là giao điểm của AC và BD;

I, M lần lượt là trung điểm của AD và

OD; N là giao điểm của d và IM

Theo giả thiết: (SI SAD⊥ AD) (ABCD)⇒SI ⊥(ABCD)⇒SI ⊥d (*)



/ /

(**)/ /

Bài 6 : Thanh Tâm

Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi

một vuông góc và SA=SB=SC=a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của AB và

SA Dựng đường vuông góc chung và

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và CN.

Giải:

Cách 1:

Dựng đường thẳng đi qua N và song

song với SM, cắt AB tại E

Mà NE⊂(CNE) nên (CNE) (⊥ CSF)

Trong (CSF), kẻ SH ⊥CF ⇒SH ⊥(CNE) Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên

(CNE)

Từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K, từ K kẻ đường thẳng song songvới SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN

=

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB và CA,

E là giao điểm của NP và SM

Khi đó: NQ song song với CS (1)

Vì vậy, NH là hình chiếu của NC trên (NPQ)

Kẻ EF ⊥ NH tại F , từ F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại I, từ I kẻ

đường thẳng song song với EF cắt SM tại K thì IK chính là đoạn vuông góc chung của

AK=AD.cos60 = =

• Dựng IL’//DK

Lại có I là trung điểm DH

→IL’ là đường trung bình của HDK

Bài 8 Hồng Linh

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Tính

khoảng cách giữa A’B và B’C.

Theo giả thuyết ta suy ra :

- ∆A’B’C’ là tam giác đều cạnh a

- CC’⊥( A’B’C’)

Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông A’ABB’và BB’C’C

M là trung điểm A’C’

Ta có: JM là đường trung bình của ∆C’A’B

→ (A’NL) ⊥(MB’J) theo giao tuyến KG (**) (G=A’N B’M→ G là trọng tâm ∆ đều A’B’C’)

Từ (*),(**) suy ra d(A’,KG)=d(A’B,B’C)

Từ A’ kẻ A’H ⊥KG

Ta có:

- A’N là đường trung tuyến của ∆ đều A’NL → A’N =

- NL là đường trung bình của ∆B’DC’→NL=

Gọi I là giao điểm của AD’ và A’D →I là trung điểm A’D

Lại có N là trung điểm DD’

→ NI là đường trung bình ∆A’D’D

Gọi O, J lần lượt là giao điểm của AC với BD và KM

Từ A, J lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với A’O cắt A’O tao H và H’

DB⊥

(AOH)

→DB⊥AH

Lại có AH⊥A’O và A’O DB=O →AH⊥(A’DB)→A

là chân hình chiếu vuông góc của A lên (A’DB)

→ d(A,(A’BD))= AH

Chứng minh tương tự ta có H’ là chân hình chiếu vuông góc của J lên (A’DB).

Bài 10 Hồng Linh

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AC và AD Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM

Dựng hình chữ nhật HKPD ta có PK⊥D’N và DM suy ra PK là đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó

Tính DH:

Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ D’JD vuông tại D:

Bài 11: (Trần Yến)Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai

mặt phẳng vuông góc với nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải:

a) Gọi I là hình chiếu của S lên (ABCD)

M là trung điểm của BC

ó = ó IH =

b)

Gọi O là tâm của đáy (ABCD)

E là giao điểm của đường thẳng song song với DB cùng và đường thẳng song song với AC

L và J là trung điểm của EA và DO

Ta có BD//AE ( theo cách dựng) => BD // (SEA)

Lại có IL // SL ( L và J là trung điểm của EA và DO)

Dựng IH ⊥ SL => IH ⊥ (SEA)

Dựng JR // IH => JR ⊥ (SEA)

Suy ra d(BD, SA) = d(BD, (SEA)) = d(J, (SEA)) = JR

Dựng hình chữ nhật RKPJ => KP là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA vàBD

Bài 12: (Trần Yến) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, cạnh bên AA’= a , BD= 2a, AD’⊥ BA’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’

Giải:

Gọi I là tâm của đáy ABCD

E là giao điểm của D’I và B’B

Dễ thấy

A’B // AE ( A’AEB là hình bình hành ) mà AE (ADE) => A’B // (ADE)

Ta có

=> AI ⊥ (BDD’B’) => (AD’E) ⊥ ( BDD’B’)Dựng BH⊥ D’E => BH ⊥ (AD’E)

Suy ra d(A’B,AD’) = d( A’B, (AD’E)) = d(B, (AD’E)) = BH

Dựng hình chữ nhật BHKP => KP là đoạn vuông góc chung của 2

đường thẳng A’B và AD’

Xét ∆IBE vuông tại B

= +

ó = + ó BH =

III DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN

Bài 1(Minh Hạnh) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’

= c.

1, Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng(ACC’A’);

2, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’;

3, Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D);

từ đó BH= 2 2

b a

ab

+

2, Ta có BB’ và AC’ là hai đường thẳng chéo nhau mà BB’// mp(ACC’A’) nên

D(BB;AC’) = d(BB’; mp(ACC’A’)) = d(B;mp(ACC’A’)) = 2 2

b a

ab

+

3, Cách 1:

Dễ thấy mp(AB’C) // mp(A’C’D)

Kẻ DK⊥AC ( K ∈ AC) và KK’ vuông góc với mp(A’B’C’D’) Kẻ đường cao KI của

tam giác KK’D Khi đó AC ⊥ mp(KK’D), mặt khác A’C’// AC, từ đó A’C’ ⊥

mp(KK’D)

Vậy mp(KK’D) ⊥mp(A’C’D) Do K’D là giao tuyến của hai mp( A’C’D) và (KK’D)

và KI⊥K’D nên KI⊥mp(A’C’D) Từ đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’C’D) và (ACB’) là KI

Xét ∆ vuông KK’D với đường cao KI ta có

2 2

2 2

2

11

1'

11

DK c

DK KK

Vì ∆ ADC vuông tại D và DK là đường cao của nó nên

2 2 2 2

2

111

11

b a DC DA

DK = + = + (2)

Từ (1), (2) ta có 12 12 12 12

c b a

a c c b b a

abc KI

+ +

Ta lại có: 2 2 2 2 12 12 12

'

11

11

c b a BB BC

BA

BH = + + = + +

Từ đó BH = 2 2 2 2 2 2

a c c b b a

BD

=

Bài 2 (Minh Hạnh) Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giác đều ABC

một 600 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AM và đường thẳng BC, biết rằng cạnh của tam giác đều bằng a và =

Giải:

Vì = nên hình chiếu của đường thẳng AM trêm mp (ABC) là đường phân giác của góc AH của

Dễ thấy BC⊥mp AHM( ), từ đó chính là góc giữa AM với mp(ABC).

Trong mặt phẳng (AHM) kẻ đường cao HK của tam giác AHM thì HK chính là

khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC

Bài 3: (Minh Hạnh) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a lấy điểm M

thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho AM = DN =x

Tương tự ta cũng chứng minh được MN⊥BD

Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD

1 2

IM

MA = Vậy trong tam giác IA’C, ta có 1

Vậy MN⊥AD’ và MN⊥BD hay MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD

+ Ta có uuuur uuur uuur uuur uuur uuur AC ' = AC AA − ' = AB AD AA + − ' = + − = i r r j k r 3 MN uuuur

Suy ra A’C // MN

Bài 2: Phương Hà

Cho đường tròn đường kính AB=2R trong mặt phẳng (P) C là một điểm chạy trên đường tròn Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA=a<2R Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và SB Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB.Khi đó, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)

Như thế (1) đúng với mọi vị trí của C trên đường tròn

Để EF là đường vuông góc chung của AC và SB thì chỉ cần EF⊥SB

Ta có EF⊥SB⇔ES=EB⇔ ∆SAE =∆BCE ⇔ BC=SA=a

Vậy C là đường giao của hai đường tròn : đường tròn đường kính AB=2R đã cho và đường tròn tâm B bán kính a Vì a < 2R nên tồn tại 2 giao điểm như vậy

Cách 2 :

Dễ thấy ACB là tam giác vuông tại C mà SA⊥(ABC) nên S ˆ C B=90° Tam giác SAB vuông tại A, tam giác SCB vuông tại C mà F là trung điểm của SB, từ đó AF=CF Mặt khác EA=EC Vậy EF⊥ AC Từ đó, EF là đường vuông góc chung của AC và SB khi

và chỉ khi ES=EB Xét các tam giác vuông SAE và BCE ta thấy ES=EB khi và chỉ khi SA=BC

Vậy điểm C thuộc đường tròn đã cho sao cho BC=a thì EF là đường vuông góc chungcủa AC và SB

2

4 2 − 2 .